W
każdym doświadczeniu losowym można wyróżnićpewne najprostsze, elementarne wyniki (zdarzenia), charakteryzujące się tym, że każde powtórzenie doświadczenia kończy się jednym i tylko jednym z nich. Oprócz zdarzeń elementarnych można rozpatrywać również inne zdarzenia – złożone. Niech Ω będzie dowolną przestrzenią lub zbiorem punktów ω. Przestrzeń Ω nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy ω nazywają się zdarzeniami elementarnymi. Są to pojęcia pierwotne.Definicja
Zdarzeniem losowym (zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.
Będziemy mówili, że zaszło zdarzenie A, gdy w wyniku
doświadczenia losowego wybrano w przestrzeni Ω element ω ∈ A. Zdarzenia losowe oznaczamy zawsze wielkimi literami, najczęściej z początku alfabetu: A, B, C , . . .
Przykład (rzut monetą symetryczną)
Możliwe są dwa zdarzenia elementarne: O (ω1) i R (ω2). Zatem Ω = {ω1, ω2}.
Przykład (rzut kością symetryczną)
W tym doświadczeniu Ω = {ω1, ω2 . . . , ω6}. Zdarzenie wypadła parzysta liczba oczek (zdarzenie złożone) to, A = {ω2, ω4, ω6}.
Przykład (n-krotny rzut monetą symetryczną)
Każdemu wynikowi odpowiada n-elementowy ciąg np. OOORROO. Zatem zbiór Ω składa się ze wszystkich możliwych n-elementowych ciągów tej postaci. Oczywiście takich ciągów jest 2n.
Przykład (praca centrali telefonicznej)
Obserwujemy pracę centrali telefonicznej w pewnym ustalonym odcinku czasu i notujemy liczbę zgłoszeń. Oczywiście ta liczba jest skończona, ale nie wiemy jaka jest jej górna granica. W takiej sytuacji prościej jest przyjąć, że wynikami obserwacji mogą być wszystkie liczby naturalne. Zatem Ω = {0, 1, 2, . . .}.
Przykład (strzelanie do tarczy)
Strzelamy do tarczy prostokątnej w układzie współrzędnych i każdemu strzałowi przyporządkowujemy współrzędne na tarczy. Wówczas zbiór zdarzeń elementarnych stanowi cała płaszczyzna
Ω = {(x, y ) : −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞}, gdzie x, y są liczbami rzeczywistymi.
Z
godniezatem wszelkie wiadomości dotyczące zbiorów możnaz definicją zdarzenia utożsamiamy ze zbiorami, przenieść na zdarzenia. W szczególności na zdarzeniach można wykonywać takie same działania jak na zbiorach.Definicja
Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń
elementarnych Ω. Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór pusty ∅ przestrzeni Ω.
Zdarzenie A jest zatem pewne jeśli zachodzi przy każdej realizacji rozpatrywanego doświadczenia. Natomiast jest niemożliwe, jeżeli nie zachodzi przy żadnej realizacji doświadczenia.
Definicja
Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A (dopełnieniem zdarzenia A) i oznaczamy A′ (AC lub ¯A).
Definicja
Mówimy, że zdarzenia A i B się wykluczają (wyłączają), jeżeli nie mają żadnego wspólnego elementu przestrzeni zdarzeń
elementarnych Ω, tzn. jeżeli A ∩ B = ∅
Definicja
Mówimy, że zdarzenia A1, A2, . . . , An tworzą układ zupełny zdarzeń, jeżeli wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym tj. n [ i=1 Ai = Ω, Ai∩ Aj = ∅, dla i 6= j, i , j = 1, 2, . . . , n.
D
oabstrakcyjnych zbiorów. Jest to pierwszy etap budowytej pory nadaliśmy zdarzeniom losowym postać rachunku prawdopodobieństwa jako teorii aksjomatycznej. Teraz należy tym zdarzeniom przypisać prawdopodobieństwo, które byłoby teoretycznym odpowiednikiem obserwowalnej częstości zachodzenia tego zdarzenia przy dużej liczbie powtórzeńdoświadczenia losowego. Niestety nie zawsze da się to zrobić. Z taką sytuacją mamy do czynienia w przypadku zbiorów
niemierzalnych.
Z tego powodu w każdej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω będziemy wyróżniać pewną klasę F zdarzeń, dla których określimy prawdopodobieństwo. Zdarzenia te będziemy nazywali zdarzeniami probabilizowalnymi. Zdarzenia nie należące do tej klasy nazwiemy natomiast zdarzaniami nieprobabilizowalnymi.
Jakie zatem warunki musi spełniać klasa F, aby był sens uznać ją za klasę zdarzeń probabilizowalnych. Oczywiście jeśli chcemy mówić o prawdopodobieństwie jakiegoś zdarzenia A (tzn. A ∈ F), to musi mieć sens również mówienie o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego (A′ ∈ F). Podobnie jeśli chcemy mówić o prawdopodobieństwie zdarzeń A i B (tzn. A, B ∈ F), to musimy móc również mówić o prawdopodobieństwie ich alternatywy, koniunkcji i różnicy (A ∪ B ∈ F, A ∩ B ∈ F, A\B ∈ F). Niestety jak się już przekonaliśmy w pewnych sytuacjach mamy do czynienia z nieskończonymi ciągami zdarzeń, zatem dla nich też musimy móc określać prawdopodobieństwa alternatywy i koniunkcji.
Definicja
Niepusta klasa F podzbiorów zbioru Ω nazywa się σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów, jeżeli spełnia następujące warunki:
1o Ω ∈ F, 2o jeżeli A i ∈ F, dla n = 1, 2, . . ., to ∞S i=1 Ai ∈ F, 3o jeżeli A ∈ F, to A′ ∈ F.
Dowolne co najwyżej przeliczalne działania mnogościowe
wykonywane na zbiorach σ-algebry F dają w wyniku zbiór również należący do σ-algebry F.
Definicja
Przestrzeń Ω wraz z σ-algebrą F jej podzbiorów nazywamy przestrzenią mierzalną i oznaczmy (Ω, F).
Kolejne pytanie jakie powstaje, to jaką σ-algebrę wybrać. Należy rozróżnić dwa przypadki:
przestrzeń zdarzeń Ω jest co najwyżej przeliczalna, przestrzeń zdarzeń Ω jest nieprzeliczalna.
W tej pierwszej sytuacji jako σ-algebrę przyjmuje się klasę wszystkich zdarzeń, oznaczaną 2Ω. W co najwyżej przeliczalnych przestrzeniach nie ma zatem zdarzeń nieprobabilizowalnych, każde zdarzenie ma prawdopodobieństwo. Zdarzenia takie pojawiają się dopiero nieprzeliczalnych przestrzeniach Ω. Z takich przestrzeni nieprzeliczalnych rozpatrywać będziemy jedynie podzbiory przestrzeni euklidesowych Rk. W takiej sytuacji za σ-algebrę przyjmiemy klasę podzbiorów borelowskich przestrzeni Ω, oznaczaną B(Rk).
zdefiniować jako klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych (domkniętych, półotwartych) za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji mnogościowych. W
szczególności zbiorami borelowskimi są wszystkie przedziały postaci (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞), wszystkie zbiory jednopunktowe, wszystkie zbiory przeliczalne, wszystkie zbiory otwarte, wszystkie zbiory domknięte, cała prosta oraz zbiór pusty. Podobnie możemy zdefiniować klasę zbiorów borelowskich B(R2
) na płaszczyźnie. Jest to zatem klasa
wszystkich zbiorów płaskich, które można otrzymać z prostokątów za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji
mnogościowych. Analogicznie postępujemy dla wyższych wymiarów.
Prawdopodobieństwo określa się tylko na zbiorach należących do σ-algebry. Dla pozostałych się go nie wyznacza.
Definicja
Weźmy pod uwagę ustaloną przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω wraz σ-algebrą F. Prawdopodobieństwem (miarą probabilistyczną, rozkładem prawdopodobieństwa) na przestrzeni mierzalnej (Ω, F) nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na zbiorach z F i spełniającą następujące aksjomaty:
A1. P(A) 0, dla każdego A ∈ F,
A2. P(Ω) = 1,
A3. jeżeli (An) jest ciągiem takich zdarzeń należących do F, że Ai ∩ Aj = ∅, dla i 6= j, to P( ∞ [ n=1 An) = ∞ X n=1
P(An) (przeliczalna addytywność). Trójka (Ω, F, P) nazywa się przestrzenią probabilistyczną.
Wprowadzony układ aksjomatów jest niesprzeczny i niezupełny, tzn. nie wyznacza konkretnych wartości liczbowych funkcji P. Nie mówi zatem jak liczyć prawdopodobieństwo. Definicja ta jest bardzo ogólna, pozwala dla konkretnego eksperymentu rozpatrywać wiele różnych przestrzeni probabilistycznych.
Przykład (rzut monetą symetryczną)
Przeanalizujmy ponownie rzut monetą symetryczną.
Przykład (rzut dwoma kośćmi)
Przeanalizujmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką.
Widzimy, że zbiór Ω pełni rolę pomocniczą, natomiast główna informacja o eksperymencie zawarta jest w F oraz P. Oczywiście powstaje pytanie jakie wartości przyjąć za prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Należy je tak wybrać, aby w długich seriach n powtórzeń równały się one częstości pojawiania się konkretnych wyników. Powinniśmy kierować się zdrowym rozsądkiem, a nie ścisłością matematyczną. Z tego powodu niezupełność układu aksjomatów jest korzystna, pozwala tym samym zdarzeniom przyporządkować różne prawdopodobieństwa w zależności od konkretnej sytuacji. Podobnie ta sama przestrzeń probabilistyczna nadaje się do opisu różnych zjawisk, trzeba tylko odpowiednio interpretować zdarzenia elementarne i przypisać im prawdopodobieństwa.
prawdopodobieństw, a nie o ich obliczaniu. W oparciu o przyjęte aksjomaty można pokazać szereg twierdzeń, które pozwolą na obliczanie prawdopodobieństw pewnych zdarzeń, gdy znane są prawdopodobieństwa innych zdarzeń. Oznacza to, że pewne prawdopodobieństwa mierzymy doświadczalnie, a pozostałe wyliczamy w oparciu o odpowiednie twierdzenia.
Przestrzeń probabilistyczna stanowi formalny odpowiednik powszechnie stosowanego terminu doświadczenie losowe. Można powiedzieć, że stanowi ona model probabilistyczny doświadczenia losowego. Badaniem takich modeli zajmuje się rachunek
prawdopodobieństwa. Wszystkie pokazywane twierdzenia dotyczą właśnie takich modeli, a nie rzeczywistych doświadczeń.
Użyteczność modeli polega na tym, że jeśli znajdziemy
prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia w modelu, to wiemy, że w długiej serii doświadczeń częstość zdarzenia będzie w przybliżeniu
Możemy zatem wyróżnić następujące etapy rozwiązywania zadania dotyczącego doświadczenia losowego:
1 Konstrukcja modelu probabilistycznego doświadczenia losowego, czyli przestrzeni probabilistycznej.
2 Rozwiązanie zadania w tym modelu (odpowiada on doświadczeniu).
3 Interpretacja rozwiązania otrzymanego z modelu do doświadczenia losowego.
Tylko w etapie drugim potrzebna jest nam cała teoria
prawdopodobieństwa. Najczęściej najtrudniejszy jest etap pierwszy, jest on zarazem najważniejszy.
Theorem
Niech A, B, An∈ F. Prawdopodobieństwo ma następujące własności: 1 jeśli A⊂ B, to P(A) ¬ P(B), 2 P(A) ¬ 1, 3 P(A′) = 1 − P(A), 4 P(∅) = 0, 5 P(B\A) = P(B) − P(A ∩ B),
6 jeśli A⊂ B, to P(B\A) = P(B) − P(A), 7 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Jeśli zbiór zdarzeń jest co najwyżej przeliczalny, można podać prosty i intuicyjny opis wszystkich możliwych prawdopodobieństw.
Theorem
Jeśli Ω = {ω1, ω2, . . .} jest zbiorem przeliczalnym, a F = 2Ω oraz P({ωi}) = pi, i = 1, 2, . . .
∞ X n=1
pn= 1,
to dla dowolnego A⊂ Ω mamy P(A) = X
{n:ωn∈A} pn.
Twierdzenie to mówi, że w tym przypadku prawdopodobieństwo jest jednoznacznie wyznaczone przez prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Dlatego każdy ciąg (pi) spełniający powyższe warunki wyznacza prawdopodobieństwo na Ω.
Definicja
Układ liczb p1, p2, . . ., gdzie pn 0 oraz P∞n=1pn = 1 nazywa się dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa.
Przykład (rzut monetą do pierwszego sukcesu)
Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła.
Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i wybrać odpowiednie prawdopodobieństwo.
Definicja (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Niech Ω będzie zbiorem skończonym i składa się z n
równoprawnych elementów. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A ⊂ Ω określa się wzorem
P(A) = n(A) n(Ω),
Definicja ta została podana przez Laplace’a w 1812 roku. Jak widać określa ona prawdopodobieństwo za pomocą zdarzeń równoprawdopodobnych. Powstaje w ten sposób błędne koło. Nie należy więc używać tej definicji jako definicji prawdopodobieństwa, a jedynie jako metodę obliczania aksjomatycznie zdefiniowanego prawdopodobieństwa w pewnych sytuacjach. Klasyczna definicja może być stosowana jedynie do zbiorów skończonych. Ponadto jedynie do takich, których wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przykład (1)
Skreślamy siedem spośród czterdziestu dziewięciu liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że maszyna losująca (bez zwracania) sześć z 49 kulek z numerami od 1 do 49, wylosuje dokładnie cztery „nasze” liczby?
Przykład (2)
Z pudła, w którym jest pięć par butów, dziecko wyciąga dwa buty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że są one z jednej pary.
Przykład (3)
Spośród 5 kul niebieskich, 3 kul czerwonych oraz 2 kul zielonych, wybrano bez zwracania 6 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul: (a) są dokładnie 3 kule niebieskie; (b) są 3 kule niebieskie i 2 kule czerwone?
Przykład (4)
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
Przykład (5)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.
Przykład (6)
Rzucamy 3 razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie wypadnie mniej niż pięć oczek?
Przykład (punkt na odcinku)
Dany jest przedział [0,1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x ∈ [0,1/3]?
Dość często Ω jest podzbiorem Rn, na którym istnieje naturalna miara (np. miara Lebesgue’a), przy czym Ω ma miarę skończoną. Mówimy wtedy o prawdopodobieństwie geometrycznym, a
rozwiązanie sprowadza się do znalezienia miary (pola, objętości) podzbioru Rn. Wiadomo, że jedyną miarą będącą uogólnieniem długości jest miara Lebesgue’a (uogólnia znaną ze szkoły miarę Jordana – długość, pole, objętość), zatem w dalszym
rozważaniach taką właśnie miarę wybierzemy. Miarę Lebesgue’a zbioru A ⊂ Rn będziemy oznaczać λ
Definicja
Niech Ω ⊂ B(Rn), takim, że 0 < λ
n(Ω) < ∞ oraz F = B(Ω). Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A ∈ F definiujemy
P(A) = λn(A) λn(Ω) .
Przykład (spotkanie)
Dwóch przyjaciół, którzy razem jeżdżą tramwajem do pracy z tej samej stacji przychodzą na stację losowo pomiędzy godziną 7.00 a 7.20 rano. Osoba, która przyjdzie pierwsza, czeka na drugą
!["Odwzorowane w językach sformalizowanych klasyczne koncepcje zmiany sytuacji i rzeczy", Kordula Świętorzecka, Warszawa 2008 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)