i X jestzmiennąlosową. 1 n XXX =( X ,..., X ) jestwektoremlosowymwtedyitylkowtedy,gdykażdazfunkcji 1 n { ω :( X ( ω ) ,..., X ( ω )) ∈ B }∈F . B ⊂ R zachodziwarunek: n n -wymiarowązmiennąlosową,jeślidladowolnegozbioruborelowskiego Funkcję X :Ω → R nazywam

Definicja

Funkcję X : Ω → Rn _{nazywamy wektorem losowym, bądź} n-wymiarową zmienną losową, jeśli dla dowolnego zbioru borelowskiego B ⊂ Rn _{zachodzi warunek:}

{ω : (X1(ω), . . . , Xn(ω)) ∈ B} ∈ F. X

X

X = (X₁, . . . , Xn) jest wektorem losowym wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji Xi jest zmienną losową.

Definicja

Rozkładem prawdopodobieństwa (łącznym) wektora losowego X

X

X = (X1, . . . , Xn) nazywamy miarę probabilistyczną P na przestrzeni (Rn_{, B(R}n_{)) zdefiniowaną wzorem}

Definicja

Dla zadanej miary P : B(R2_{) → [0, 1] definiujemy funkcję} F : R2_{→ [0, 1] następująco}

F(x, y ) = P(X < x, Y < y ).

Funkcję F (x, y ) nazywamy dwuwymiarową dystrybuantą (funkcją rozkładu) wektora losowego (X , Y ).

Definicja

Jeżeli wszystkie składowe wektora losowego XXX są zmiennymi losowymi dyskretnymi, to XXX jest wektorem losowym dyskretnym.

Definicja

Wektor losowy XXX nazywamy wektorem absolutnie ciągłym, jeżeli istnieje taka nieujemna funkcja f , zwana gęstością, że dla każdego xxx _{∈ R}n F(xxx) = Z x₁ ∞ . . . Z xn ∞ f(x₁, . . . , xn)dx1. . . dxn.

Przykład (wielowymiarowy rozkład normalny – N(µµµ, ΣΣΣ)) W przypadku danych wielowymiarowych bardzo często

wykorzystywany jest wielowymiarowy rozkład normalny. Funkcja gęstości n-wymiarowego rozkładu normalnego wektora losowego XXX o wektorze wartości oczekiwanych µµµ i macierzy kowariancji ΣΣΣ dana jest wzorem: f(xxx) = 1 (2π)n/2_|ΣΣΣ|1/2exp  −1₂(xxx − µµµ)′ Σ−₁ (xxx − µµµ)  .

Przykład (wielowymiarowy rozkład normalny – N(µµµ, ΣΣΣ))

Funkcja gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego z wektorem wartości oczekiwanych 000′

Definicja

Jeśli znany jest rozkład łaczny zmiennych X i Y to rozkłady zmiennych X i Y nazywamy rozkładami brzegowymi.

Theorem

1 _{Jeżeli dwuwymiarowa zmienna losowa} (X , Y ) jest dyskretna,

to zmienne X i Y sa również dyskretne.

2 _{Jeżeli dwuwymiarowa zmienna losowa} (X , Y ) jest absolutnie

Definicja

Rozkład zmiennej losowej (X |Y = y) nazywamy rozkładem warunkowym zmiennej losowej X przy ustalonej wartości zmiennej losowej Y .

Theorem

Niech (X , Y ) będzie dyskretnym wektorem losowym. Warunkowa funkcja

prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y dana

jest wzorem pX|Y =y = pXY(x, y ) pY(y ) , o ile pY(y ) > 0. Theorem

Niech (X , Y ) będzie absolutnie ciągłym wektorem losowym. Warunkowa

gęstość zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y dana jest wzorem fX|Y =y(x) =

fXY(x, y )

fY(y ) , o ile fY(y ) > 0.

Definicja

Zmienne losowe X₁, X₂, . . . , Xn nazywamy niezależnymi jeśli dla wszystkich x₁, x₂, . . . , xn∈ R

Theorem

Zmienne losowe X₁, X2, . . . , Xn o rozkładach dyskretnych są

niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu

(x_1j, x_2j, . . . , xnj) ∈ Rn, j ∈ N

P(X₁ = x_1j, . . . , Xn= xnj) = P1(X1 = x1j) · . . . · Pn(Xn= xnj),

gdzie Pi, i = 1, 2, . . . , n są funkcjami prawdopodobieństwa

rozkładów brzegowych jednowymiarowych zmiennych losowych

Theorem

Zmienne losowe X₁, X₂, . . . , Xn o rozkładach absolutnie ciągłych są

niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu

(x₁, x₂, . . . , x_{n) ∈ R}n_,

f(x₁, . . . , xn) = f1(x1) · . . . · fn(xn),

gdzie fi, i = 1, 2, . . . , n są gęstościami rozkładów brzegowych

Przykład (zmienna absolutnie ciągła (2))

Dana jest funkcja f(x, y ) =

(

ce−_{(x+y )}

dla x, y > 0,

0 dla pozostałych (x, y ).

Dla jakiej wartości stałej c ta funkcja jest funkcją gęstości pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej (X , Y )? Ile wynoszą

prawdopodobieństwa P(X < 1, Y > 5), P(X + Y > 3)?

Przykład (rozkład chi-kwadrat – χ2_(n))

Suma kwadratów n niezależnych zmiennych losowych, z których każda podlega standardowemu rozkładowi normalnemu, ma

rozkład χ2 _{o n stopniach swobody. Można to zapisać symbolicznie:} Y = X₁2+ X₂2+ . . . + X_n2,

gdzie zmienne losowe Xi ∼ N(0, 1) oraz są niezależne. Wtedy Y _{∼ χ}2_(n).

Przykład (rozkład t-Studenta – t(n))

Rozkładem t-Studenta inaczej Gosseta z n stopniami swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej Z określonej następująco:

Z = √X

Y

√

n,

gdzie X ∼ N(0, 1) oraz Y ∼ χ2_{(n) sa niezależnymi zmiennymi} losowymi.

Przykład (rozkład F -Snedecora – F (m, n))

Wielkość będąca ilorazem dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie chi-kwadrat (z odpowiednimi liczbami stopni swobody) podlega rozkładowi F (Fishera-Snedecora. Zatem rozkładem F-Snedecora z (m, n) stopniami swobody nazywamy rozkład prawdopodobieństwa ilorazu: Z = X/m Y/n = X Y · n m,

gdzie X ∼ χ2_{(m) oraz Y ∼ χ}2_{(n) są niezależnymi zmiennymi} losowymi.