Politechnika Poznańska Wydział Elektryczny Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej ROZPRAWA DOKTORSKA Estymacja zmiennych stanu i parametrów układu dwumasowego przy pomocy rozmytych filtrów Kalmana

(1)

UL. PIOTROWO 3A www.cie.put.poznan.pl

Politechnika Poznańska Wydział Elektryczny

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej

ROZPRAWA DOKTORSKA

Estymacja zmiennych stanu i parametrów układu dwumasowego przy pomocy rozmytych filtrów Kalmana

Autor: mgr inż. Krzysztof Dróżdż

Promotor: prof. dr hab. inż. Krzysztof Szabat

Promotor pomocniczy: dr inż. Dariusz Janiszewski

Poznań - Wrocław 2017

(2)

(3)

Praca realizowana we współpracy pomiędzy:

Politechnika Poznańska Wydział Elektryczny

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej

Politechnika Wrocławska Wydział Elektryczny

Katedra Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych

(4)

(5)

Składam serdeczne podziękowania Panom prof. dr. hab. inż. Krzysztofowi Szabatowi i dr. inż. Dariuszowi Janiszewskiemu za opiekę naukową, cierpliwość i poświęcony czas, które przyczyniły się do powstania niniejszej pracy.

Dziękuję swojej rodzinie za wsparcie w trudnych chwilach, wyrozumiałość i cierpliwość, które w sposób szczególny pomogły w powstaniu niniejszej pracy.

(6)

(7)

Praca finansowana przez Narodowe Centrum Nauki w ramach projektu:

„Odporne estymatory zmiennych stanu i parametrów układu napędowego z połączeniem sprężystym"

UMO-2011/01/B/ST7/03500. 2011-2014.

(8)

(9)

Spis treści

Wykaz ważniejszych oznaczeń ... 13

1. Wstęp ... 17

1.1. Wprowadzenie ... 17

1.2. Definicja problemu i uzasadnienie podjęcia tematu ... 20

1.3. Cel, zakres i tezy pracy ... 21

2. Modele matematyczne obiektu badań ... 24

2.2. Silnik napędowy - silnik prądu stałego ... 25

2.3. Układ dwumasowy ... 26

2.4. Tarcie ... 32

3. Struktury sterowania układu dwumasowego ... 35

3.1. Przegląd podstawowych struktur sterowania układu dwumasowego ... 35

3.1.1. Kaskadowa struktura sterowania bez dodatkowych sprzężeń zwrotnych ... 37

3.1.2. Kaskadowa struktura sterowania z jednym dodatkowym sprzężeniem zwrotnym ... 41

3.1.3. Kaskadowa struktura sterowania z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi ... 45

3.1.4. Struktura sterowania z regulatorem stanu ... 49

3.1.5. Kaskadowa struktura sterowania z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi i kompensacją wpływu momentu obciążenia ... 51

3.1.6. Kaskadowa struktura sterowania adaptacyjnego z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi i sprzężeniem kompensacyjnym ... 54

3.2. Podsumowanie ... 58

4. Zagadnienia odtwarzania zmiennych stanu i parametrów układu dwumasowego ... 60

4.1. Przegląd metod odtwarzania zmiennych stanu i parametrów układu dwumasowego .. 60

4.2. Metody algorytmiczne ... 61

4.2.1. Symulatory ... 62

4.2.2. Obserwator Luenbergera ... 63

4.2.3. Obserwator ślizgowy ... 63

4.2.4. Filtr Kalmana ... 64

4.3. Metody oparte na sztucznej inteligencji ... 65

(10)

10

5. Systemy rozmyte ... 71

5.1. Przegląd systemów rozmytych ... 71

5.1.1. Systemy rozmyte Mamdaniego ... 73

6. Filtr Kalmana ... 77

6.2. Podstawy matematyczne filtru Kalmana ... 78

6.3. Model matematyczny rozszerzonego filtru Kalmana ... 83

6.4. Model matematyczny bezśladowego filtru Kalmana ... 85

6.5. Rozmyte filtry Kalmana ... 88

6.5.1. Rozmyte filtry Kalmana ze statyczną adaptacją ... 96

6.5.2. Rozmyte filtry Kalmana z dynamiczną adaptacją ... 99

7. Wybrane badania symulacyjne ... 106

7.2. Realizacja rozszerzonego filtru Kalmana ... 106

7.3. Realizacja bezśladowego filtru Kalmana ... 110

7.4. Metodologia badań ... 112

7.5. Wybrane wyniki badań symulacyjnych - rozszerzony filtr Kalmana i rozmyty rozszerzony filtr Kalmana zastosowane poza zamkniętą strukturą sterowania ... 116

7.6. Wybrane wyniki badań symulacyjnych - rozszerzony filtr Kalmana i rozmyty rozszerzony filtr Kalmana zastosowane w zamkniętej strukturze sterowania ... 126

7.6.1. Filtry Kalmana strojone za pomocą funkcji celu F₁ ... 126

7.6.2. Filtry Kalmana strojone za pomocą funkcji celu F2 ... 149

7.6.3. Porównanie rozmytych filtrów Kalmana strojonych za pomocą funkcji celu F1 i F2 ... 163

7.6.4. Filtry Kalmana strojone za pomocą różnych funkcji celu: F₁ i F₂ ... 167

7.6.5. Weryfikacja filtrów Kalmana przy występowaniu nieliniowości w modelu matematycznym układu dwumasowego ... 171

7.7. Wybrane wyniki badań symulacyjnych - bezśladowy filtr Kalmana i rozmyty bezśladowy filtr Kalmana zastosowane poza zamkniętą strukturą sterowania ... 179

7.8. Wybrane wyniki badań symulacyjnych - bezśladowy filtr Kalmana i rozmyty bezśladowy filtr Kalmana zastosowane w zamkniętej strukturze sterowania ... 180

7.8.2. Filtry Kalmana strojone za pomocą funkcji celu F₂ ... 186

(11)

11 7.8.3. Porównanie rozmytych filtrów Kalmana strojonych za pomocą funkcji

celu F1 i F2 ... 191

7.8.4. Filtry Kalmana strojone za pomocą różnych funkcji celu: F₁ i F₂ ... 192

7.8.5. Bezśladowy filtr Kalmana strojony poprzez osobny proces optymalizacji ... 193

7.8.6. Weryfikacja filtrów Kalmana przy występowaniu nieliniowości w modelu matematycznym układu dwumasowego ... 194

7.9. Wybrane wyniki porównawczych badań symulacyjnych filtrów Kalmana ... 196

7.9.1. Filtry Kalmana strojone bez uwzględnienia tarcia w modelu układu dwumasowego ... 196

7.9.2. Filtry Kalmana strojone z uwzględnieniem tarcia w modelu układu dwumasowego ... 200

8. Wybrane badania eksperymentalne ... 205

8.1. Opis stanowiska laboratoryjnego ... 205

8.2. Wybrane wyniki badań eksperymentalnych - rozszerzony filtr Kalmana i rozmyty rozszerzony filtr Kalmana ... 208

8.2.2. Filtry Kalmana strojone za pomocą funkcji celu F₂ ... 214

8.3. Wybrane wyniki badań eksperymentalnych - bezśladowy filtr Kalmana i rozmyty bezśladowy filtr Kalmana ... 222

9. Podsumowanie i wnioski końcowe ... 238

Bibliografia ... 244

Z.1. Systemy rozmyte ... 261

Z.1.1. Główne elementy i operacje w systemach rozmytych ... 261

Z.1.2. Systemy rozmyte Takagi-Sugeno-Kang'a ... 275

Z.1.3. Systemy rozmyte Tsukamoto ... 279

(12)

(13)

Wykaz ważniejszych oznaczeń

Symbole:

A – macierz stanu,

Ak – macierz stanu dla kroku obliczeniowego k, AR – rozszerzona macierz stanu,

B – macierz wymuszeń (wejść),

B_k – macierz wejścia dla kroku obliczeniowego k, B_R – rozszerzona macierz wymuszeń (wejść), C – macierz wyjść,

Ck – macierz wyjścia dla kroku obliczeniowego k, CR – rozszerzona macierz wyjściowa,

Fk – macierz stanu filtru Kalmana, K – macierz korekcji,

P – macierz kowariancji,

Q – macierz kowariancji zmiennych wewnętrznych, R – macierz kowariancji zmiennych wyjściowych, S – macierz innowacji kowariancji systemu, h – funkcja wyjścia,

u – wektor wymuszeń (wejść),

uk – wektor wymuszeń dla kroku obliczeniowego k, v – wektor zakłóceń pomiarowych,

w – wektor zakłóceń wewnętrznych, x – wektor stanu,

x_k – wektor stanu dla kroku obliczeniowego k, xR – rozszerzony wektor stanu,

y – wektor wyjść,

y_k – wektor wyjść dla kroku obliczeniowego k,

w – strumień wzbudzenia,

D – współczynnik tłumienia wewnętrznego elementu sprężystego, E – estymata (wartość spodziewana),

Es – siła elektromotoryczna, F – funkcja celu,

GF – transmitancja filtra w zadajniku prędkości, Gp – transmitancja przewodnia,

G_R – transmitancja regulatora prędkości,

G_t – transmitancja pętli wymuszenia momentu elektromagnetycznego, Gz – transmitancja zakłóceniowa,

H0 – stosunek pulsacji rezonansowej i antyrezonansowej, It – prąd twornika w jednostkach fizycznych,

I_tb – prąd twornika bazowy,

I_w – prąd wzbudzenia w jednostkach fizycznych, Iwb – prąd wzbudzenia bazowy,

(14)

14

J – moment bezwładności w jednostkach fizycznych, Je – moment bezwładności silnika,

JL – moment bezwładności maszyny roboczej, Js – moment bezwładności połączenia sprężystego, K_c – stała sprężystości elementu sprężystego, K_t – współczynnik wzmocnienia obwodu twornika,

Lt – indukcyjność obwodu twornika w jednostkach fizycznych, Mb – moment elektromagnetyczny bazowy,

Me – moment elektromagnetyczny w jednostkach fizycznych, M_L – moment obciążenia w jednostkach fizycznych,

M_s – moment skrętny w jednostkach fizycznych,

R – stosunek momentów bezwładności (stałych czasowych) maszyny roboczej i silnika napędowego,

Rt – rezystancja obwodu twornika w jednostkach fizycznych, R_w – rezystancja obwodu wzbudzenia w jednostkach fizycznych, T₁ – stała czasowa silnika,

T2 – stała czasowa maszyny roboczej, Tc – stała czasowa sprężystości,

Te – stała elektromagnetyczna obwodu twornika, T_M – stała mechaniczna,

T_wN – stała elektromagnetyczna obwodu wzbudzenia, U_t – napięcie twornika w jednostkach fizycznych, Utb – napięcie twornika bazowe,

Uw – napięcie wzbudzenia w jednostkach fizycznych, U_wb – napięcie wzbudzenia bazowe,

Ω₁ – prędkości kątowa silnika napędowego w jednostkach fizycznych, Ω₂ – prędkości kątowa maszyny roboczej w jednostkach fizycznych, Ωb – prędkość bazowa,

Ωm – prędkość kątowa w jednostkach fizycznych, b – bias,

c₁ – współczynnik tarcia wiskotycznego, c₂ – współczynnik tarcia Coulomba, c3 – współczynnik tarcia statycznego, c4 – współczynnik tarcia statycznego,

g – względny współczynnik tłumienia drgań, i_t – względny prąd twornika,

i_w – względny prąd wzbudzenia,

k – wzmocnienie sprzężenia zwrotnego,

k(φw) – nieliniowa charakterystyka magnesowania, ke – stała konstrukcyjna,

k_i – wzmocnienie członu całkującego regulatora prędkości, k_p – wzmocnienie członu proporcjonalnego regulatora prędkości, me – względny moment elektromagnetyczny,

mf – wypadkowy moment tarcia, mfC – moment tarcia Coulomba,

(15)

15 mfS – moment tarcia statycznego,

mfW – moment tarcia wiskotycznego, mfWE – tarcie wentylatorowe,

mL – względny moment obciążenia, m_s – względny moment skrętny,

s – operator przekształcenia Laplace’a, uw – względne napięcie wzbudzenia, w – współczynnik wagowy,

x – zmienna wejściowa, y – zmienna wyjściowa, μ – stopień przynależności,

ξ – naturalny współczynnik tłumienia drgań układu dwumasowego,

ξrPI – współczynnik tłumienia drgań układu dwumasowego ze strukturą sterowania, φw – względny strumień wzbudzenia,

ω1 – względna prędkość silnika,

ω₂ – względna prędkość maszyny roboczej, ωar – pulsacja antyrezonansowa,

ωm – względna prędkość kątowa, ωr – pulsacja rezonansowa,

ωrPI – pulsacja rezonansowa układu ze strukturą sterowania, ω_z – prędkość zadana,

Indeksy:

^ – wartość estymowana,

k – aktualny krok obliczeniowy,

k-1 – poprzedni krok obliczeniowy,

k|k-1 – wartość obliczona w aktualnym kroku na podstawie kroku poprzedniego,

k+1|k – wartość w przyszłym kroku obliczona na podstawie kroku aktualnego – predykcja,

k|k – wartość w kroku aktualnym obliczona na podstawie kroku aktualnego – korekcja,

N – wartość znamionowa,

(16)

(17)

1. Wstęp

1.1. Wprowadzenie

Wymagania stawiane nowoczesnym układom napędowym związane są z ich właściwościami statycznymi i dynamicznymi. Skupiają się na uzyskiwaniu jak najkrótszego czasu narostu odpowiedzi rozpatrywanego układu na zadane wymuszenie, przy jednoczesnej minimalizacji przeregulowań, niedopuszczaniu do powstawania oscylacji zmiennych stanu i eliminacji uchybów ustalonych. Omawiane właściwości osiągane są za pomocą zastosowań odpowiednich dla danego układu metod i struktur sterowania. Podczas projektowania przemysłowych układów napędowych zazwyczaj pomijana jest sprężystość połączenia silnika napędowego z maszyną roboczą. Podejście takie jest prawidłowe w przypadku rozpatrywania wielu typowych układów napędowych. Występuje jednak liczna grupa napędów, w której przyjęcie takiego założenia jest niedopuszczalne. Proces ich projektowania wymaga uwzględnienia charakterystyki części mechanicznej, ze względu na główny problem związany z takimi układami napędowymi, którym jest występowanie zjawiska drgań skrętnych [30, 86, 91, 120, 149, 168, 177-179, 190, 197, 201]. W takich warunkach precyzyjne sterowanie prędkością i/lub położeniem jest utrudnione, a w wielu przypadkach niemożliwe. W związku z tym przyjęcie modelu rozpatrywanego układu napędowego, uwzględniającego zjawiska zachodzące w części mechanicznej jest bardziej odpowiednie [166].

Problem występowania drgań skrętnych początkowo rozpatrywano w ciężkich napędach przemysłowych, przykładami czego są napędy cementowe [113, 210], walcownicze [21, 123, 137, 138, 147] i wyciągowe [69, 146]. Wymienione układy napędowe charakteryzują się dużymi wartościami momentów bezwładności, zarówno wirników silników napędowych, jak i maszyn roboczych, oraz długimi sprężystymi połączeniami mechanicznymi.

Nieuwzględnienie skończonej sztywności sprzęgieł w procesie projektowania takich układów oraz występowanie zjawisk zachodzących podczas ich eksploatacji może prowadzić do wzbudzania drgań skrętnych. Drgania skrętne mogą ujawnić się pod wpływem następujących wymuszeń: zmienność prędkości, momentu obciążenia, momentu bezwładności maszyny roboczej, tętnienia momentu elektromagnetycznego i jego ograniczenia [179]. Wymuszanie dynamicznych zmian stanu układu napędowego jest przyczyną wzbudzania drgań skrętnych, których występowanie powoduje nieefektywną pracę napędu i skrócenie żywotności jego części mechanicznych [30, 152, 177, 191, 193]. Istnieją także dodatkowe przyczyny wzbudzania omawianych drgań podczas pracy układu, takie jak:

występowanie luzów i niedokładności połączeń mechanicznych, zmienność momentów tarcia, niewspółosiowość połączenia silnika z maszyną roboczą, niewyważenie wału i stany awaryjne napędu [179]. Rozwój energoelektroniki i techniki mikroprocesorowej obserwowany w ostatnich latach, umożliwił efektywne sterowanie momentem

W rozdziale tym zwięźle omówiono aspekt sterowania układu dwumasowego. Główny nacisk położono na zagadnienia dotyczące tłumienia drgań skrętnych, realizowanego za pomocą odpowiednich struktur sterowania, oraz metod estymacji zmiennych stanu i parametrów rozpatrywanego układu, umożliwiających ich praktyczne zastosowanie.

Przedstawiono definicję rozważanego problemu, uzasadnienie podjęcia tematu, cel, zakres i tezy niniejszej pracy.

(18)

18

elektromagnetycznym silników napędowych. Spowodowało to uwidocznienie zjawiska występowania drgań skrętnych w innych grupach układów napędowych. Ich przykładami są napędy: robotów, radioteleskopów, dysków twardych, serwonapędy i inne [18, 29, 89, 102, 105, 211].

W celu zmniejszenia wpływu sprężystości połączenia między silnikiem napędowym i maszyną roboczą oraz tłumienia drgań skrętnych wykorzystywany jest szereg rozwiązań.

Począwszy od specjalistycznych konstrukcji mechanicznych zwiększających sztywność sprzęgła lub jego właściwości tłumienia drgań, przez sterowane tłumiki mechaniczne, aż do wyspecjalizowanych układów automatycznej regulacji. Zastosowanie odpowiedniej struktury sterowania stanowi jedną z najefektywniejszych metod tłumienia drgań skrętnych [179]. W literaturze znany jest szereg struktur regulacji prędkości rozważanego układu dwumasowego. Ich przegląd przedstawiono w [65, 177, 179]. Najprostsze rozwiązania bazują na wykorzystaniu regulatorów PI/PID i podstawowego sprzężenia zwrotnego od prędkości silnika napędowego. Nie zapewnia to jednak efektywnego tłumienia drgań skrętnych.

W bardziej złożonych strukturach regulacji stosowane są dodatkowe sprzężenia zwrotne od trudno mierzalnych wielkości rozważanego układu, takich jak moment skrętny, prędkość maszyny roboczej i moment obciążenia [30, 55, 120, 149, 168, 176, 177, 179]. Omówione struktury sterowania zapewniają pożądane działanie układu napędowego w przypadkach, w których nie występuje zmienność parametrów w czasie ich pracy (układy stacjonarne).

Wśród przemysłowych aplikacji występuje jednak wiele napędów charakteryzujących się zmianą wartości parametrów w trakcie pracy (układy niestacjonarne). Parametrem, którego wartość najczęściej ulega zmianom jest moment bezwładności maszyny roboczej.

W celu prawidłowej regulacji takich układów stosowane są metody sterowania odpornego [55, 91, 131, 140, 172] lub adaptacyjnego [58, 109, 119, 156, 167, 198].

Praktyczna realizacja zaawansowanych struktur sterowania wymaga dostępności informacji o trudno mierzalnych zmiennych stanu sterowanego obiektu. W celu ich uzyskania wymagane jest zastosowanie jednej z dostępnych metod estymacji tych wielkości.

Najprostszym podejściem jest wykorzystanie symulatora obserwowanego obiektu, będącego jego odwzorowaniem w postaci modelu matematycznego. Rozwiązanie to nie zapewnia jednak odporności na zakłócenia pomiarowe i parametryczne, co dyskwalifikuje je z większości praktycznych zastosowań. Metody estymacji znajdujące zastosowanie w obecności wspomnianych zakłóceń, można podzielić na dwie główne grupy [179]: metody algorytmiczne, bazujące na modelu matematycznym rozpatrywanego układu [52, 77, 85, 150], który zawarty jest w algorytmie obserwatora oraz metody oparte na sztucznej inteligencji [80, 128, 132, 148]. Jednym z najczęściej wykorzystywanych rozwiązań jest zastosowanie obserwatora Luenbergera [3, 85, 150, 180], cechującego się prostą strukturą oraz nieskomplikowaną metodologią projektowania. W tym przypadku jakość odtwarzania zmiennych stanu zależna jest od doboru macierzy wzmocnień obserwatora. Algorytm ten jednak nie zapewnia tak dokładnego oszacowania jego aktualnego stanu, w przypadku występowania dużej niedokładności identyfikacji parametrów obserwowanego obiektu i/lub zakłóceń sygnałów wyjściowych, w porównaniu do bardziej skomplikowanych rozwiązań. Kolejnym podejściem jest zastosowanie algorytmów wykorzystujących teorię filtru Kalmana [52, 62, 77, 172, 176, 179]. Zapewniają one dokładne oszacowanie aktualnego stanu obserwowanego obiektu pomimo obecności zakłóceń pomiarowych i parametrycznych.

Wynika to z ich modeli matematycznych uwzględniających w swojej postaci wspomniane

(19)

19 zakłócenia [170]. Algorytmy te charakteryzują się relatywnie dużą złożonością obliczeniową oraz wymagają doboru wartości wyrazów macierzy kowariancji Q i R, co jest problematyczne. Zapewniają jednakże lepszą jakość estymacji zmiennych stanu, w porównaniu do obserwatorów Luenbergera. Następnym przykładem zaliczanym do omawianej grupy są obserwatory o przesuwnym oknie (ang. Moving Horizon Observer) [114, 117, 158, 165]. Metoda ta wymaga rozwiązywania problemu optymalizacji w trybie on- line, co drastycznie podnosi koszt numeryczny w porównaniu do innych rozwiązań. Drugą grupą z omawianych układów są systemy bazujące na sztucznej inteligencji. Przykładami reprezentującymi omawiane systemy są: sztuczne sieci neuronowe, systemy rozmyte i neuronowo-rozmyte [133, 141]. Ich praktyczne zastosowanie wymaga jednak zgromadzenia danych pochodzących z pomiarów działającego układu w różnych warunkach pracy (w postaci próbek uczących). Następnie wymagane jest przeprowadzenie procesu uczenia.

Należy zauważyć, że metody te nie są popularne w aplikacjach przemysłowych [132].

Filtr Kalmana został zaproponowany w 1960 roku przez Rudolfa Emila Kalmana w [84].

Ważną zaletą tego podejścia, w stosunku do wcześniejszych teorii Wienera i Kołmogorowa, był brak wymagania spełnienia założenia stacjonarności podstawowego sygnału użytecznego i szumu, co pozwoliło na jego szersze zastosowania praktyczne. Estymata wektora stanu wyznaczana jest za jego pomocą na podstawie sygnałów wymuszających i odpowiedzi rozpatrywanego obiektu. Ich źródłem są pomiary obarczone szumem Gaussa. Bazując na znajomości modelu matematycznego układu oraz kowariancji wspomnianych szumów użyteczne sygnały zmiennych stanu są od nich oddzielane, co tłumaczy zastosowanie pojęcia filtracji [78]. Algorytmy opierające się na teorii filtru Kalmana znalazły, i w dalszym ciągu znajdują, ogromną liczbę zastosowań praktycznych. Początkowe implementacje związane były z eksploracją przestrzeni kosmicznej i wykorzystaniem militarnym, jako algorytmy śledzące [115]. Późniejsze ujawnienie informacji dotyczących projektów Apollo oraz wspominany rozwój techniki obliczeniowej, spowodowały gwałtowny wzrost przestrzeni ich zastosowań w wielu dziedzinach technicznych. Wymienić tu można systemy nawigacji GPS [70, 202, 208], układy elektroniczne i energoelektroniczne [20, 63, 97, 101, 106, 143, 206], różnego rodzaju roboty [25, 68, 74, 142], przetwarzanie sygnałów [151, 195, 199], inżynierię dźwięku i obrazu [64, 90, 134, 204], rzeczywistość rozszerzoną [1, 7, 122], systemy autopilota [9, 59], układy sterowania napędów elektrycznych [56, 75, 161] i wiele innych.

Odnosząc się do rozważanych algorytmów filtrów Kalmana, będących algorytmami rekurencyjnego wyznaczania minimalno-wariancyjnej estymaty wektora stanu, zastosowanie znajdują tu ich dwa główne rodzaje. Są to rozszerzony filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter - EKF) [13] i bezśladowy filtr Kalmana (ang. Unscented Kalman Filter - UKF) [82].

W algorytmie EKF model obserwowanego obiektu podlega linearyzacji. Następnie wartości estymowane zawarte w wektorze stanu oraz kowariancje wykorzystywane są w dalszych obliczeniach. W algorytmie UKF problem estymacji rozwiązywany jest za pomocą przekształcenia bezśladowego. Pozwala to aproksymować nieliniową przestrzeń wokół wektora stanu [78]. Oba algorytmy charakteryzują się znaczną złożonością obliczeniową i ich implementacja wymaga zastosowania wydajnych systemów obliczeniowych (mikroprocesorów, procesorów sygnałowych lub układów logiki programowalnej).

Obserwowany w ostatnich latach rozwój tych systemów pozwala jednak na swobodne wykorzystywanie omawianych algorytmów w praktycznych aplikacjach.

(20)

20

1.2. Definicja problemu i uzasadnienie podjęcia tematu

Niniejsza rozprawa odnosi się do problematyki estymacji zmiennych stanu i parametrów niestacjonarnego układu dwumasowego o zmiennym momencie bezwładności maszyny roboczej. Układ dwumasowy rozumiany jest jako elektryczny układ napędowy z połączeniem sprężystym. Składa się on z dwóch mas: wirnika silnika napędowego oraz maszyny obciążającej, połączonych ze sobą za pomocą elementu o skończonej sztywności, np. wału napędowego. Jak wspomniano wcześniej, głównym problemem występującym w tego typu układach jest występowanie zjawiska drgań skrętnych, które należy efektywnie tłumić.

Realizacja tego zadania wymaga zastosowania odpowiedniej struktury sterowania.

W przypadku rozpatrywania niestacjonarnego układu dwumasowego należy wykorzystać metody sterowania odpornego lub adaptacyjnego. W niniejszej rozprawie zdecydowano się na rozważanie struktury sterowania adaptacyjnego z regulatorem liniowym o zmiennych parametrach. Struktury sterowania z regulatorami liniowymi stanowią zdecydowaną większość używanych struktur w praktyce przemysłowej [5]. Z tego powodu ich analiza jest bardzo istotna i cechuje się umotywowaniem praktycznym. Jednocześnie stanowi bazę porównawczą dla bardziej zaawansowanych metod. W celu praktycznej realizacji złożonych struktur sterowania adaptacyjnego wymagana jest dostępność trudno mierzalnych wielkości układu dwumasowego. Pomiar momentu skrętnego jest kłopotliwy w realizacji, ze względu na konieczność instalacji kosztownego przetwornika pomiędzy silnikiem napędowym i maszyną roboczą. Moment obciążenia jest praktycznie niemierzalny w rzeczywistym układzie napędowym, natomiast instalacja przetwornika prędkości maszyny roboczej jest w wielu przypadkach niemożliwa. Z wymienionych powodów konieczne jest zastosowanie algorytmu odtwarzającego wymagane wielkości. W przedstawianej pracy zdecydowano się na wykorzystanie algorytmów filtrów Kalmana, umożliwiających efektywną estymację zmiennych stanu i parametrów rozpatrywanego niestacjonarnego układu dwumasowego.

Algorytmy te to rozszerzony filtr Kalmana (EKF) i bezśladowy filtr Kalmana (UKF).

Głównym problemem w przypadku ich wykorzystania jest fakt zmiany wartości błędów estymacji wszystkich wielkości wraz ze zmianą wartości momentu bezwładności maszyny roboczej. Działanie takie ma negatywny wpływ na właściwości struktury regulacji. Duże wartości błędów estymacji prowadzą do nieprawidłowego sterowania prędkością układu napędowego, a nawet w krytycznych sytuacjach do utraty stabilności struktury regulacji.

Determinuje to konieczność wprowadzenia adaptacji wyrazów macierzy kowariancji rozpatrywanych filtrów Kalmana, prowadzącej do minimalizacji niekorzystnej zmienności błędów estymacji.

Podjęcie tematu poruszanego w niniejszej rozprawie wynika z przeprowadzonych badań literaturowych. Zagadnienie tłumienia drgań skrętnych cieszy się niegasnącym zainteresowaniem wielu ośrodków naukowych i badawczo-rozwojowych w kraju i na świecie.

Nie sposób wymienić ich wszystkich, w związku z czym wymieniono te, których prace miały największy wpływ na powstanie tej rozprawy. Z ośrodków krajowych wymienić można:

Politechnikę Poznańską, Politechnikę Wrocławską, Akademię Górniczo-Hutniczą w Krakowie, Politechnikę Śląską, Politechnikę Łódzką, Politechnikę Świętokrzyską i Politechnikę Częstochowską. Ośrodki światowe to: University of Tokio, East London University, University of Siegen, Technical University of Munich, Technical University of Zagreb i inne. W literaturze zarówno światowej, jak i krajowej zaobserwować można, że istnieje szereg prac związanych z zastosowaniem algorytmów filtrów Kalmana

(21)

21 w strukturach sterowania układu dwumasowego. Część z nich skupia się jednak na rozważaniu stacjonarnych układów napędowych, czego przykładami są [24, 61, 62, 172, 174]. Rozpatrywanie układów niestacjonarnych zawarte jest w ograniczonej liczbie publikacji [23, 159, 166, 167, 171, 173, 175]. W większości z nich wprowadzana jest adaptacja wybranych wyrazów macierzy kowariancji filtrów Kalmana. Dodatkowo wspomniana adaptacja stosowana jest do maksymalnie dwóch wyrazów, jedynie w rozszerzonym filtrze Kalmana. Natomiast brak jest prac wykorzystujących bezśladowy filtr Kalmana oraz wprowadzających elementy logiki rozmytej do obu algorytmów filtrów Kalmana w rozważanych zastosowaniach. Powody te stanowią umotywowanie podjęcia realizacji tematu niniejszej rozprawy.

1.3. Cel, zakres i tezy pracy

Celem niniejszej pracy jest opracowanie rozmytych filtrów Kalmana odtwarzających zmienne stanu i parametr układu dwumasowego. Celem dodatkowym jest weryfikacja w badaniach symulacyjnych i eksperymentalnych opracowanych algorytmów estymacji, zastosowanych w adaptacyjnej strukturze sterowania rozważanego obiektu.

Przedstawione dotychczas w literaturze rozwiązania, dotyczące stosowania algorytmów filtrów Kalmana w strukturach sterowania układu dwumasowego oraz zdobyte doświadczenie, pozwoliły na sformułowanie następujących tez pracy:

1. Wprowadzenie logiki rozmytej do klasycznych algorytmów filtrów Kalmana, estymujących wielkości związane z układem dwumasowym, zapewnia poprawę jakości

ich estymacji.

2. Adaptacyjna struktura sterowania układu dwumasowego z regulatorem liniowym i dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi od wybranych wielkości, współpracująca z rozmytym filtrem Kalmana, umożliwia uzyskanie założonych przebiegów prędkości

obciążenia układu dwumasowego, niezależnie od zmian jego parametrów.

Osiągnięcie postawionych problemów badawczych wymaga realizacji wymienionych poniżej zadań z zakresu:

 doboru modeli matematycznych obiektu badań:

 silnika napędowego prądu stałego,

 układu dwumasowego,

 występujących nieliniowości: tarcia,

 przeglądu i krytycznej analizy istniejących rozwiązań układów odtwarzania wielkości związanych z układem dwumasowym,

 przeglądu systemów rozmytych,

 zastosowania i porównania:

 rozszerzonego filtru Kalmana,

 bezśladowego filtru Kalmana,

 rozmytych filtrów Kalmana,

(22)

22

 przedstawienia zagadnień dotyczących projektowania rozmytych filtrów Kalmana w rozważanych zastosowaniach,

 przeprowadzenia badań symulacyjnych,

 weryfikacji eksperymentalnej wybranych rozwiązań,

 krytycznej oceny uzyskanych wyników.

Niniejsza rozprawa doktorska składa się z 9 rozdziałów zawierających opis powyższego zakresu pracy.

Pierwszy rozdział stanowi wstęp.

Drugi rozdział zawiera krótkie wprowadzenie do modeli matematycznych układu napędowego rozważanego w niniejszej rozprawie. Począwszy od omówienia modelu matematycznego bocznikowego silnika prądu stałego, przechodzi się przez modele matematyczne układu dwumasowego, gdzie wskazano wybrane do analizy warianty (bez uwzględnienia występowania tarcia oraz uwzględniające to zjawisko), uzasadniając ten wybór.

W trzecim rozdziale zawarto przegląd struktur sterowania układu dwumasowego.

Omówiono kolejno kaskadowe struktury regulacji: bez dodatkowych sprzężeń zwrotnych, z jednym dodatkowym sprzężeniem zwrotnym i z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi. Przedstawiono również strukturę sterowania z regulatorem stanu. Następnie zaprezentowano możliwości kompensacji wpływu momentu obciążenia na przebieg prędkości maszyny roboczej. Dokonano wyboru realizowanej w niniejszej pracy struktury sterowania adaptacyjnego, uzasadniając go. Rozdział zakończono podsumowaniem i wnioskami.

Czwarty rozdział przedstawia zagadnienia odtwarzania zmiennych stanu i parametrów układu dwumasowego. Zamieszczono w nim przegląd metod z tym związanych. Omówiono metody algorytmiczne, takie jak: symulatory, obserwator Luenbergera, obserwator ślizgowy i rozważane w niniejszej rozprawie filtry Kalmana. Następnie opisano metody bazujące na sztucznej inteligencji. Rozdział zakończono podsumowaniem.

Piąty rozdział związany jest z systemami rozmytymi, gdzie zaprezentowano ich przegląd i opisano systemy rozmyte Mamdaniego. Rozdział zakończono podsumowaniem.

Rozdział szósty zawiera teorię dotyczącą procesu filtracji wykorzystującego założenia Kalmana. Po krótkim wprowadzeniu, gdzie omówiono rys historyczny filtrów Kalmana wraz z zastosowaniami przemysłowymi, zaprezentowano ich podstawy matematyczne.

Kolejno omówiono modele matematyczne rozszerzonego filtru Kalmana i bezśladowego filtru Kalmana. Następnie przedstawiono zagadnienia związane z modyfikacjami tych algorytmów, proponowanymi w niniejszej rozprawie. Dotyczą one rozmytych filtrów Kalmana, gdzie wyróżniono rozmyte filtry Kalmana ze statyczną i dynamiczną adaptacją wyrazów macierzy kowariancji, wprowadzaną przez zaprojektowane w tym celu systemy rozmyte.

Rozdział zakończono podsumowaniem.

W rozdziale siódmym opisano realizację rozważanych w niniejszej rozprawie algorytmów filtrów Kalmana. Przedstawiono metodologię badań oraz wybrane wyniki badań symulacyjnych z wykorzystaniem: rozszerzonego filtru Kalmana i rozmytego rozszerzonego filtru Kalmana, bezśladowego filtru Kalmana i rozmytego bezśladowego filtru Kalmana.

Zaprezentowano wyniki badań porównawczych rozważanych algorytmów. Rozdział zakończono podsumowaniem i wnioskami.

(23)

23 Weryfikację eksperymentalną rozważanych algorytmów filtrów Kalmana zawarto w rozdziale ósmym. Po krótkim opisie stanowiska laboratoryjnego przedstawiono wybrane wyniki badań z wykorzystaniem: rozszerzonego filtru Kalmana i rozmytego rozszerzonego filtru Kalmana, bezśladowego filtru Kalmana i rozmytego bezśladowego filtru Kalmana.

Rozdział kończy podsumowanie i wnioski.

Rozprawę zakańcza rozdział dziewiąty, w którym zawarto podsumowanie, uwagi i wnioski odnoszące się do całości pracy. Potwierdzono w nim tezy niniejszej rozprawy oraz wskazano możliwości rozwoju poruszanych zagadnień w dalszej pracy naukowej.

W niniejszej rozprawie zamieszono załącznik odnoszący się do uzupełnienia rozdziału piątego - Systemy rozmyte. Przedstawiono w nim główne elementy i operacje wykorzystywane w systemach rozmytych oraz opisano systemy rozmyte Takagi-Sugeno- -Kang'a i Tsukamoto.

(24)

2. Modele matematyczne obiektu badań

2.1. Wprowadzenie

Analiza działania dowolnego układu wymaga doboru jego modelu matematycznego, który stanowi hipotezę odnoszącą się do sposobu jego działania. Na podstawie takiego modelu wnioskuje się, jaki jest wpływ sygnałów wymuszających i ewentualnych zakłóceń na jego stan i odpowiedź. Modelowanie maszyn elektrycznych zakłada kilka głównych podejść. Pierwszym z nich jest podejście czysto teoretyczne, zakładające nieznajomość struktury wewnętrznej obiektu [163]. Kolejnym podejściem jest dokładne odwzorowanie tej struktury, poprzez wykorzystanie modelowania polowego [10, 11]. Modelowanie polowe odbywać się może w dwóch lub trzech wymiarach i umożliwia symulację większości zjawisk fizycznych zachodzących w rozważanych obiektach. Często stosowanym podejściem jest również modelowanie obwodowe [145, 184]. Stanowi mniej dokładne podejście do zagadnienia niż w przypadku modelowania polowego. Nie uwzględnia ono tak wielu zjawisk fizycznych. Ostatnim z ogólnych podejść jest modelowanie polowo-obwodowe, łączące w sobie modele polowe i obwodowe [27, 93]. Wybór danego podejścia determinowany jest z reguły potrzebami konkretnej aplikacji. W przypadku badań dotyczących samych maszyn elektrycznych wybierane są modele dokładniejsze, polowe lub polowo-obwodowe, a zarazem bardziej skomplikowane i wymagające znacznego nakładu obliczeniowego. Umożliwiają one jednak uzyskanie wyników najbardziej zbliżonych do rzeczywistych. Badania skierowane na syntezę układów regulacji automatycznej lub algorytmów estymacji w nich wykorzystywanych, wymagają jednak bardziej uproszczonego podejścia. Powodem jest konieczność zmniejszenia nakładu obliczeniowego, skutkującego skróceniem czasu takich obliczeń np. wymagających wielokrotnych iteracji, w przypadku zastosowania algorytmów optymalizacji do doboru wartości współczynników struktury sterowania lub algorytmu estymacji. W przypadku omawianego zagadnienia należy więc osiągnąć swojego rodzaju kompromis pomiędzy dokładnością odwzorowania obiektu fizycznego, a złożonością obliczeniową jego modelu, przekładającą się na czas obliczeń.

Z tego powodu najczęściej wybierane są modele obwodowe.

Badanie złożonego układu napędowego również wymaga doboru odpowiedniego modelu matematycznego. W niniejszej pracy złożonym układem napędowym jest niestacjonarny układ dwumasowy. Dobór modelu matematycznego odpowiedniego do jego analizy powinien być kierowany podobnymi zasadami do omówionych powyżej, odnoszących się do modelu samego silnika napędowego. Rozpatrując jego zastosowanie w rozważanych zagadnieniach należy także osiągnąć kompromis pomiędzy złożonością obliczeniową, a dokładnością odwzorowania fizycznego układu. Kompromis ten uzasadniony jest również przeznaczeniem wybranego modelu matematycznego. W rozpatrywanym przypadku jest to synteza struktury sterowania adaptacyjnego wykorzystującej algorytmy filtrów Kalmana, co determinuje wybór modelu o zmniejszonej komplikacji.

Rozdział ten zawiera krótkie wprowadzenie do modeli matematycznych obiektów badań. Kolejno przedstawiono opis modeli matematycznych: silnika napędowego, układu dwumasowego i występujących w nim nieliniowości w postaci tarcia.

(25)

25 2.2. Silnik napędowy - silnik prądu stałego

Wśród silników prądu stałego wyróżnić można kilka konstrukcji. Począwszy od klasycznych maszyn, w których obwód wzbudzenia znajduje się w stojanie, a twornik z komutatorem mechanicznym w wirniku, aż do maszyn charakteryzujących się trójpasmowym uzwojeniem twornika znajdującym się w stojanie i wzbudzeniu realizowanym poprzez umieszczenie magnesów trwałych w wirniku. Silniki takie nazywane są bezszczotkowymi silnikami prądu stałego (BLDCM - ang. brushless direct current motor) ze względu na sposób ich zasilania z falownika, który zastępuje tradycyjny komutator mechaniczny. W podrozdziale tym omówiony zostanie model matematyczny obcowzbudnego silnika prądu stałego, wybranego do eksperymentalnej weryfikacji rozważań teoretycznych i badań symulacyjnych zawartych w niniejszej rozprawie. Silniki obcowzbudne znajdują w dalszym ciągu szereg zastosowań w tego typu wyspecjalizowanych przemysłowych układach napędowych. Spowodowane jest to możliwością łatwego kształtowania ich charakterystyk mechanicznych i elektromechanicznych. Ze względu na relatywnie duże stałe czasowe i prostotę regulacji momentu, są one "wdzięcznym" obiektem badań laboratoryjnych.

Model matematyczny obcowzbudnego silnika prądu stałego opisany jest za pomocą poniższych równań [192]:

) ( _w

w  f I

 (2.1)

dt t d I R t

U_w _w _w ^w



 ()

)

( (2.2)

) ( )

( )

( E t

dt L dI t I R t

U_t  _t _t  _t ^t  _s (2.3) )

( )

(t k I t

M_e  _e_w _t (2.4) )

( )

(t k t

E_s  _e_w_m (2.5)

) ( ) ( )

(t M t M t

dt

J d _m  _e  _L (2.6)

gdzie: w – strumień wzbudzenia, Iw(t) – prąd wzbudzenia, Uw(t) – napięcie wzbudzenia, Rw – rezystancja obwodu wzbudzenia , Ut(t) – napięcie twornika, Rt – rezystancja obwodu twornika, It(t) – prąd twornika, Lt – indukcyjność obwodu twornika, Es(t) – siła elektromotoryczna, Me(t) – moment elektromagnetyczny, ke – stała konstrukcyjna, Ωm(t) – prędkość kątowa, J – moment bezwładności, ML – moment obciążenia.

Wygodną formą modelu matematycznego omawianego obiektu jest przedstawienie go w jednostkach względnych. W tym celu przyjmuje się następujące wielkości bazowe:

wN tN N b tN wN e eN b tN tb tN tb wN wb wN

wb k

I U k M M i I U U I I U

U  ,  ,  ,  ,    , ₀   (2.7)

(26)

26

Omawiany model matematyczny w jednostkach względnych przedstawiono poniżej:

 t w m

t t t

e i K u

dt

T di     (2.8)

 _w _w _w

w

wN k u

dt

T d    

(2.9)

 ^w_w

w k

i

   (2.10)

L t w m

M i m

dt

T d  

(2.11)

gdzie:

t tN

tN

t I R

K  U - współczynnik wzmocnienia obwodu twornika,

t t

e R

T  L - stała

elektromagnetyczna obwodu twornika,

wN w

wN

wN R I

T 

 - stała elektromagnetyczna obwodu

wzbudzenia,

N N

M M

T _ J⁰

- stała mechaniczna, k _w - nieliniowa charakterystyka magnesowania.

Opisany model matematyczny obcowzbudnego silnika prądu stałego odnosi się do sytuacji, w której część mechaniczna układu napędowego zawiera sztywne połączenie z maszyną roboczą. W przypadku występowania połączenia sprężystego równania dotyczące tej części napędu zmieniają swoją postać, co omówiono w kolejnym podrozdziale niniejszej rozprawy.

2.3. Układ dwumasowy

Spośród najczęściej stosowanych modeli matematycznych układu dwumasowego spotykanych w literaturze wymienić można [179]:

 model układu o parametrach rozłożonych,

 model Rayleigha,

 model z bezinercyjnym połączeniem sprężystym,

 model łańcuchowy.

Model układu dwumasowego o parametrach rozłożonych uwzględnia połączenie sprężyste pomiędzy masami wirnika silnika napędowego i maszyny roboczej, rozłożonymi wzdłuż osi obrotu. Cechuje się on największą dokładnością, nieskończoną liczbą stopni swobody oraz pulsacji drgań własnych. Równanie opisujące drgania jest jednak równaniem różniczkowym cząstkowym. Taka postać jest kłopotliwa w syntezie struktury sterowania, co stanowi powód do powszechnego stosowania uproszczeń. Ich zastosowanie powoduje pominięcie lub redukcję zjawisk przestrzennych.

W modelu Rayleigha uwzględniono ciągły rozkład masy. Założono w nim jednak liniowy rozkład naprężeń wzdłuż połączenia sprężystego pomiędzy silnikiem napędowym i maszyną

(27)

27 roboczą. Model ten znajduje zastosowanie w przypadku układów charakteryzujących się zbliżoną wartością momentu bezwładności łączącego elementu sprężystego do momentów bezwładności mas silnika napędowego i maszyny roboczej.

Model z bezinercyjnym połączeniem sprężystym stanowi najpowszechniej stosowane narzędzie w literaturze odnoszącej się do analizy i syntezy układów automatycznej regulacji układu dwumasowego. Przyjęto tu założenie, że moment bezwładności elementu sprężystego jest wielokrotnie mniejszy od momentów bezwładności silnika i maszyny roboczej.

W rozwiązaniu tym układ mechaniczny najczęściej sprowadzany jest do dwóch mas skupionych. Znacznie rzadziej rozpatruje się większą liczbę mas.

Model łańcuchowy stanowi swojego rodzaju rozszerzenie modelu z bezinercyjnym połączeniem sprężystym, polegające na uwzględnieniu większej liczby mas. Znajduje zastosowanie w analizie np. napędów taśmociągów.

W badaniach związanych z syntezą struktury sterowania adaptacyjnego wykorzystującej filtry Kalmana, przedstawianych w niniejszej rozprawie, przyjęto model z bezinercyjnym połączeniem sprężystym. Umotywowane jest to stosunkowo niskim nakładem obliczeniowym i wystarczającą dokładnością odwzorowania układu rzeczywistego w rozpatrywanych zastosowaniach. Szczegółowy opis wymienionych modeli znajduje się w [65]. Wybrany model budowany jest przy założeniu następujących uproszczeń:

 w skład układu mechanicznego wchodzi tylko jeden element sprężysty,

 element ten charakteryzuje się jednorodnością i liniowością,

 parametry mechaniczne są stałe w czasie,

 pomija się tarcie.

W rozważanym przypadku, gdzie moment bezwładności sprężystego elementu łączącego silnik napędowy z maszyną roboczą jest wielokrotnie mniejszy od momentów bezwładności mas skupionych na jego końcach, stosuje się następujące podejście. Połowa momentu bezwładności połączenia sprężystego dodawana jest do momentu bezwładności silnika napędowego, natomiast druga połowa do momentu bezwładności maszyny roboczej, co opisane jest poniższymi zależnościami:

1 2

s e

J J

J   (2.12)

2 2

s L

J J

J   (2.13) gdzie: Je – moment bezwładności silnika napędowego, Js – moment bezwładności połączenia sprężystego, J_L – moment bezwładności maszyny roboczej.

Omówione podejście skutkuje uzyskaniem zastępczych momentów bezwładności silnika napędowego i maszyny roboczej, co pozwala na pominięcie momentu bezwładności połączenia sprężystego w dalszych rozważaniach. Na rysunku 2.1 przedstawiono schemat ideowy układu dwumasowego z bezinercyjnym połączeniem sprężystym.

(28)

28

J1 J₂

 t

1 K^c D

 ^t

M_e

 t

2

 t

M_s M_s t M_L

 

t

Rys. 2.1. Schemat układu dwumasowego z bezinercyjnym połączeniem sprężystym.

Omawiany układ opisany jest poniżej przedstawionymi równaniami różniczkowymi:

)) ( ) ( 1 ( ) (

1

1 M t M t

J dt

t d

s

e 

 

(2.14)

)) ( ) ( 1 ( ) (

2

2 M t M t

J dt

t d

L

s 

 

(2.15)

 

dt t t

Dd t t

dt K t dM

c

s () ()

)) ( ) ( ) (

( ₁ ₂

2 1



 

   ^

 (2.16)

gdzie: Ω₁, Ω₂ - prędkości silnika napędowego i maszyny roboczej, J₁, J₂ - zastępcze momenty bezwładności silnika napędowego i maszyny roboczej, Me - moment elektromagnetyczny, Ms - moment skrętny, ML - moment obciążenia, Kc - stała sprężystości elementu sprężystego, D - współczynnik tłumienia wewnętrznego elementu sprężystego.

Powyższe równania przedstawiono w formie schematu blokowego na rysunku 2.2.

1

sJ s

1

2

1 sJ

ML

Ms

Ω1

-

- -

Me Ω2

Kc

dt d D

Rys. 2.2. Schemat blokowy układu dwumasowego opisanego równaniami (2.14)-(2.16)

Podczas analizy elektrycznych układów napędowych często dokonywane jest normowanie ich wielkości. Zaletą takiego podejścia jest możliwość porównywania właściwości układów charakteryzujących się różnymi danymi znamionowymi. W przypadku układu dwumasowego unormowanie takie można przeprowadzić na podstawie następujących wyrażeń: