__________________________________________
* Politechnika Wrocławska.
Krzysztof DRÓŻDŻ*
ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEGO ROZMYTEGO FILTRU KALMANA W STEROWANIU ADAPTACYJNYM
UKŁADU DWUMASOWEGO
W pracy przedstawiono zagadnienia związane z zastosowaniem zmodyfikowanego algorytmu rozmytego filtru Kalmana w adaptacyjnej strukturze sterowania układu dwumasowego. Modyfikacja algorytmu polegała na wprowadzeniu dynamicznej adaptacji wybranych współczynników macierzy kowariancji zakłóceń zmiennych stanu.
W celu jej wprowadzenia zaprojektowano omówiony w artykule system rozmyty.
Proces adaptacji przeprowadzany był w trybie on-line na podstawie dwóch sygnałów zawierających informację o stanie sterowanego obiektu. Opracowany algorytm testowano w badaniach symulacyjnych i eksperymentalnych w zamkniętej strukturze regulacji. Wyniki badań wskazują na uzyskanie znaczącej poprawy jakości estymacji zmiennych stanu i parametru rozważanego układu w porównaniu do klasycznego algorytmu rozszerzonego filtru Kalmana.
SŁOWA KLUCZOWE: estymacja, filtr Kalmana, układ dwumasowy, tłumienie drgań
1. WSTĘP
Praktyczna realizacja złożonych struktur sterowania układu dwumasowego wymaga dostępności informacji o jego zmiennych stanu i wartościach parametrów. W wielu przypadkach wykorzystanie czujników pomiarowych jest trudne w realizacji lub niemożliwe do wykonania, np. ze względu na brak przestrzeni lub koszt ich instalacji. Z tych powodów rozwinięte zostały metody odtwarzania zmiennych stanu układów dynamicznych [3-5, 8]. Wartości parametrów muszą być uprzednio zidentyfikowane i wprowadzone do struktury regulacji. W wielu przypadkach stała czasowa maszyny roboczej zmienia się w szerokim zakresie poprzez zmienność momentu bezwładności obciążenia.
Zmiany te powinny być uwzględniane przez strukturę sterowania. W tym celu stosuje się sterowanie adaptacyjne [5-7].
Istnieje kilka podziałów struktur sterowania adaptacyjnego znanych z literatury. Najogólniejszym z nich jest podział na bezpośrednie i pośrednie sterowanie adaptacyjne. Omówienie obu rodzajów takiego sterowania znajduje się w [5]. W niniejszej pracy przedstawiono zagadnienia związane z
zastosowaniem pośredniego sterowania adaptacyjnego dla układu dwumasowego, wykorzystującego zmodyfikowany algorytm rozmytego filtru Kalmana (RFK) w celu estymacji niedostępnych zmiennych stanu i parametru rozpatrywanego układu. Wybraną strukturą regulacji jest struktura z regulatorem PI oraz dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi. Zastosowano również pomocnicze sprzężenie zwrotne od momentu obciążenia [5]. Podstawowa wersja algorytmu rozmytego filtru Kalmana została przedstawiona w [1]. Jego modyfikacja polegała na wprowadzeniu dynamicznej adaptacji wybranych współczynników macierzy kowariancji zakłóceń zmiennych stanu Q filtru Kalmana. Elementem wprowadzającym adaptację jest zaprojektowany i dalej omówiony system rozmyty. Przeprowadzono badania symulacyjne i eksperymentalne w zamkniętej strukturze regulacji. Uzyskano znaczną poprawę jakości estymacji wszystkich wielkości w porównaniu do nieliniowego rozszerzonego filtru Kalmana (NRFK).
2. MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ I STRUKTURA STEROWANIA
Obiektem badań rozważanym w niniejszej pracy jest układ napędowy z połączeniem sprężystym. W badaniach symulacyjnych zastosowano powszechnie wykorzystywany model matematyczny układu dwumasowego z bezinercyjnym połączeniem sprężystym [5]. Badany obiekt można opisać następującym równaniem stanu (w jednostkach względnych):
e
L
s
c c s
T m m T t m
t t
T T
T T
t m
t t dt
d
0 1 0
0 0 1
) (
) (
) (
1 0 1
0 1 0
0 1 0
) (
) (
) (
2 1
2 1
2 1
2 1
(1)
gdzie: 1 - prędkość silnika, 2 - prędkość maszyny roboczej, ms - moment skrętny, mL - moment obciążenia, T1 - mechaniczna stała czasowa silnika, T2 - mechaniczna stała czasowa maszyny roboczej, Tc - stała sprężystości. Znamionowe wartości parametrów badanego układu są następujące: T1N = T2N = 203 ms, TcN = 1,2 ms.
Na rysunku 1 przedstawiono zastosowaną strukturę sterowania adaptacyjnego z regulatorem PI, dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi od momentu skrętnego (k1) i różnicy prędkości (k2) oraz dodatkowym pomocniczym sprzężeniem zwrotnym od momentu obciążenia (kL1).
Współczynniki układu regulacji dobierane są w trybie on-line na podstawie aktualnej estymowanej wartości parametru T2 zgodnie z poniższymi zależnościami [2]:
c r
I TTT
K 4 1 2 (2)
c r z
p TTT
K 4 3 1 2 (3)
1 1
2
2 3
c rTT k
(4)
1
14
2 2
2 2 1
1
k T
k
k T z (5)
2
11 T K 1 k 1 k
kL c I (6)
gdzie: r - zadana pulsacja rezonansowa, z - zadany współczynnik tłumienia.
Badania przeprowadzono przyjmując następujące wartości pulsacji rezonansowej oraz współczynnika tłumienia układu: r = 40s-1, z = 0,7.
Rys. 1. Adaptacyjna struktura sterowania
Założono następującą transmitancję pętli wymuszenia momentu elektromagnetycznego:
1 002 , 0 ) 1
(
s s
Gp (7)
3. ZMODYFIKOWANY ROZMYTY FILTR KALMANA
W niniejszej pracy optymalizację współczynników macierzy Q i R rozszerzonego filtru Kalmana przeprowadzono za pomocą algorytmu genetycznego minimalizującego poniższą funkcję celu:n
T T m
m m
m F
n
i
e i i n
i
iLe iL n
i
ise is n
i
e i i n
i
e i
i
1
2 2 1
1 1
2 2 1
1 1
1
(8) Prezentowane rozwiązanie stanowi modyfikację tego algorytmu, która polega na wprowadzeniu dynamicznej adaptacji współczynników q44 i q55 macierzy kowariancji Q filtru Kalmana. Elementem wprowadzającym wspomnianą adaptację jest zaprojektowany system rozmyty, którego sygnałami wejściowymi są aktualna estymowana wartość parametru T2 i moduł różnicy pomiędzy momentem elektromagnetycznym i estymowanym momentem skrętnym, na podstawie wartości którego identyfikowany jest aktualny stan sterowanego obiektu (statyczny lub dynamiczny). W przypadku wystąpienia wartości tego sygnału przekraczającej ustalony próg rozpoznawany jest stan dynamiczny układu. W przeciwnym przypadku identyfikowany jest stan statyczny. Następnie, odpowiednio dla danego stanu, przestrajane są współczynniki macierzy Q.
Strukturę systemu rozmytego przedstawiono na rysunku 2. Zastosowane funkcje przynależności zmiennych wejściowych zaprezentowano na rysunku 3. Wartości singletonów mi omawianego systemu rozmytego dobrano za pomocą algorytmu genetycznego minimalizując następującą funkcję celu:
n T
m m E
a F
n
i s
Le i iLe
1
) 1 (
2
3 1
(9)
n
i
e i i n
i
iLe iL n
i
ise is n
i
e i i n
i
e i
i m m m m T T
a
1 2 2 1
1 1
2 2 1
1
1
Rys. 2. Struktura systemu rozmytego
Rys. 3. Funkcje przynależności zmiennych wejściowych: T2e (a) i Swy (b)
4. WYBRANE WYNIKI BADAŃ
Badania symulacyjne rozpoczęto od testowania klasycznego algorytmu nieliniowego rozszerzonego filtru Kalmana pracującego w zamkniętej strukturze sterowania. Założono zakres zmian parametru T2 w granicach od T2N do 4T2N. Jakość estymacji prędkości silnika, maszyny roboczej i momentu skrętnego można było uznać za zadowalającą. W pozostałych występowały duże wartości błędów estymacji. Wspomnianą wadę należało wyeliminować. W tym celu zastosowano zaprojektowany system rozmyty wprowadzający dynamiczną adaptację współczynników q44 i q55 macierzy Q. Rezultaty badań wskazują na uzyskanie znaczącej poprawy jakości estymacji wszystkich wielkości. Wybrane wyniki przedstawiono na rysunku 4. W celu porównania obu metod obliczono wartości błędów estymacji stosując poniżej przedstawioną zależność:
n n i
x x x
n
i
ie i
,.., 2 ,.
1
1 ,
(10)
gdzie: x - poszczególne wielkości rzeczywiste, xe - wielkości estymowane, n - liczba próbek. Zestawienie obliczonych błędów estymacji przedstawiono w tabeli 1. W celu zweryfikowania badań symulacyjnych przeprowadzono testy eksperymentalne na stanowisku składającym się z dwóch maszyn prądu stałego o mocy 500W połączonych sprężystym wałem. Wyniki tych badań, potwierdzające prawidłową pracę układu, przedstawiono na rysunku 5.
Tabela 1. Zestawienie wartości błędów estymacji
δω1 δω2 δms δmL δT2
Metoda
[p.u] [p.u] [p.u] [p.u] [s]
NRFK 7,31E-4 20,01E-4 219,66E-4 375,40E-4 434,46E-4 RFK 6,37E-4 17,46E-4 180,94E-4 372,36E-4 359,94E-4
Rys. 4. Przebiegi symulacyjne: sygnałów wejściowych rozmytego filtru Kalmana - momentu elektromagnetycznego (a) i prędkości silnika napędowego (b), rzeczywistych i estymowanych
wielkości wraz z błędami estymacji: prędkości silnika napędowego (c, f), prędkości maszyny roboczej (d, g), momentu skrętnego (e, h), momentu obciążenia (i, l), stałej czasowej maszyny
roboczej (j, m) i współczynników układu regulacji (k, n)
Rys. 5. Przebiegi eksperymentalne prędkości silnika napędowego i maszyny roboczej (a), rzeczywistej i estymowanej prędkości silnika napędowego oraz błędu estymacji (b, e), rzeczywistej i estymowanej prędkości maszyny roboczej oraz błędu estymacji (c,f), momentów:
elektromagnetycznego, skrętnego i obciążenia (d), stałej czasowej maszyny roboczej (g) i współczynników układu regulacji (h, i)
5. WNIOSKI
W niniejszej pracy przeprowadzono badania symulacyjne w zamkniętej strukturze sterowania dla obu algorytmów, na podstawie których wykonano porównanie jakości estymacji wszystkich wielkości. Wyniki badań symulacyjnych zmodyfikowanego rozmytego filtru Kalmana potwierdzono testami eksperymentalnymi. Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski:
zastosowanie zaprojektowanego systemu rozmytego wprowadzającego dynamiczną adaptację współczynników q44 i q55 macierzy kowariancji Q filtru Kalmana w znaczący sposób poprawia jakość estymacji wszystkich wielkości,
wykorzystanie algorytmów genetycznych w procesach optymalizacji wartości współczynników macierzy Q i singletonów systemu rozmytego
umożliwia uzyskanie wyżej wymienionej poprawy jakości estymacji wszystkich wielkości, co pozytywnie wpływa na pracę struktury regulacji,
podczas doboru wartości singletonów szczególną uwagę należy zwrócić na odpowiednie sformułowanie funkcji celu.
LITERATURA
[1] Dróżdż K., Janiszewski D., Szabat K., 16th International Power Electronics and Motion Control Conference and Exposition (PEMC), 575-578, 2014.
[2] Dróżdż K., Szabat K., Adaptacyjne sterowanie układu dwumasowego z wykorzystaniem rozmytego filtru Kalmana, Przegląd Elektrotechniczny, NR 06/2014, 40-44, 2014.
[3] Janiszewski D., Real-time control of drive with elestic coupling based on motor position measured only, 2011 IEEE International Symposium on Industrial Electronics (ISIE), 1931-1936, 2011.
[4] Jie J., Surong H., A novel acceleration estimation algorithm for mechanical vibration suppression of two-mass system, 17th International Conference on Electrical Machines and Systems (ICEMS), 22-25, 2014.
[5] Szabat K., Struktury sterowania elektrycznych układów napędowych z połączeniem sprężystym, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, nr 61, Wrocław 2008.
[6] Szabat K., Orłowska-Kowalska T., Adaptive Control of Two-Mass System using Nonlinear Extended Kalman Filter, IEEE Industrial Electronics, IECON 2006 - 32nd Annual Conference on, 1539 - 1544, 2006.
[7] Szabat K., Orłowska-Kowalska T., Performance Improvement of Industrial Drives With Mechanical Elasticity Using Nonlinear Adaptive Kalman Filter, Transaction on Industrial Electronics, vol. 55, no. 3, 1075-1084, 2008.
[8] Zoubek H., Pacas M., Two steps towards speed estimation and encoderless identification of two-mass-systems with extended speed adaptive observer structure, IECON 2011 - 37th Annual Conference on IEEE Industrial Electronics Society, 2072-2077, 2011.
APPLICATION OF THE MODIFIED FUZZY KALMAN FILTER IN THE ADAPTIVE CONTROL OF THE TWO-MASS SYSTEM
In this paper issues related to an application of the modified fuzzy Kalman filter in an adaptive control structure of the two-mass system are presented. A proposed modification of the Kalman filter consists in introducing an adaptation of selected coefficients of the covariance matrix. For this purpose a fuzzy system has been designed.
The on-line adaptation of the coefficients is based on two signals containing information about a state of the controlled system. The proposed algorithm has been tested by simulation and experiment in a closed-loop control structure. In comparison to the classical extended Kalman filter, the research has shown a significant improvement of the estimation quality of all state variables and a parameter that are related to the considered motor drive system.
