Wyznaczenie współczynnika dyfuzji cieplnej κ z rozkładu amplitudy fali cieplnej

© Instytut Mechaniki Górotworu PAN

Wyznaczenie współczynnika dyfuzji cieplnej κ z rozkładu amplitudy fali cieplnej

JAN KIEŁBASA

Instytut Mechaniki Górotworu PAN; ul. Reymonta 27, 30-059 Kraków

Streszczenie

W pracy podano sposób wyznaczenia współczynnika dyfuzji cieplnej κ wykorzystując rozkład podłużny lub poprzeczny amplitudy fali cieplnej generowanej przez opływane periodyczne źródło ciepła (opływane włókno anemometru z sinusoidalną modulacją amplitudy).

Słowa kluczowe: anemometr stałorezystancyjny, anemometr z falą cieplną, fala cieplna

1. Wstęp

Dotychczas analizowano rozkłady fazy fali cieplnej w aspekcie wyznaczenia prędkości przepływu gazu. Teorie tego procesu podano w pracy [1] i dalej rozwijano w pracach [2-5]. Ponieważ o propagacji fali cieplnej decyduje także rodzaj medium, głównie poprzez współczyczynnnik dyfuzji cieplnej κ dlatego też warto wyznaczyć jego wartość a taką możliwość daje analiza rozkładu amplitudy fali cieplnej, powstającej w płynącym medium, w którym mamy opływane periodyczne źródło ciepła.

2. Rozkład temperatury wokół źródła zmiennego w czasie, o zadanej intensywności, opływanego przez gaz

Przepływający z prędkością v gaz ma stałą temperaturę T₀, w całej w półprzestrzeni x ≥ 0. Źródło ciepła (Rys. 1) podnosi temperaturę gazu w okolicach źródła i ta nadwyżka temperatury T(x, y,t) jest funkcją współrzędnych x, y i czasu t.

Można więc napisać, że temperatura rzeczywista płynu T_r(x, y,t) jest równa ( , , ) 0( , ) ( , , )

T x y tr T x y T x y t (1)

Rys. 1. Stolik koordynatometru i źródło ciepła (nadajnik fali) opływane przez płynące medium

Równanie opisujące rozkład nadwyżki temperatury T(x, y,t) ma postać [1]:

2 2

2 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1

( ) ( , , )

dT x y t dT x y t d T x y t d T x y t

v q x y t

dt dx  dx dy c

    (2)

gdzie κ – jest współczynnikiem dyfuzji cieplnej przepływającego gazu, ρ – gęstością gazu a c – ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem gazu, zaś q(x, y,t) oznacza moc źródła ciepła. Zadany warunek począt- kowy jest dany wyrażeniem

( , ,0) 0

T x y  (3)

a brzegowy

2 2

lim_rT r t( , ) 0 gdzie r x y (4) Rozwiązanie równania (2) ma postać

2 0

0

( , , ) (( ) )

4

k

vx i t

k k k r

k

T x y t Q e K A iB Q

c

 



 







gdzie

ω_k = kω, k = 1, 2, 3... (6)

przy czym

x 2 Q vx

  (7)

r 2 Q vr

  (8)

2

4 _k Pk

v

  (9)

2 2

1 1

(1 1 ) i ( 1 1 )

2 2

k k k k

A   P B    P (10)

3. Asymptotyczny rozkład temperatury wokół periodycznego źródła

Analiza rozwiązania (5) jest utrudniona ze względu na występującą tu funkcję Bessela K₀(ζ_k) od zespolonego argumentu ζ_k = A_kQ_r + iB_kQ_r. Dalszą analizę rozwiązania przeprowadzi się wykorzystując asymptotyczne rozwinięcie funkcji K₀(ζ_k) wg zależności [6]

0 2 3

1 9 225

( ) (1 ...)

2 8 2!(8 ) 3!(8 )

k k

k k k k

K   e ^

   

      (11)

i przy spełnieniu warunku, że wszystkie składniki w nawiasie z wyjątkiem jedynki można zaniedbać, czyli że jest spełniona nierówność

| 1 | 1

8_k  (12)

rozwiązanie (5) może być wówczas zapisane w formie

[ ( )]

0

( , , ) ( , ) ^{k k}

k n i t r

k k

T x y t ^  x y e ^{ }







gdzie

8 2

( , )

1

x k r

k

Q A Q k

r

x y C e

Q P

  ^

 (14)

( ) 1arctg

k r B Qk r 4 Pk

   (15)

Warunek (12) w zmiennych fi zycznych opisujących zjawisko zapisze się w postaci

2 2

2 4 4

4 4 16

| 8 1 | 1 1

2

k k

rv rv

i v v

  

 ^{ }  ^{  (16)}

Jeżeli chcemy by błąd wynikający z zaniedbania składników rozwinięcia nie przekraczał wartości 1% to odległość r punktów od źródła musi spełniać warunek

2 2 41 2 12.5

r k k r k

Q A B Q P  (17)

który pociąga za sobą, że

min 4 4 2 2

25 16 _k

r v



  

 (18)

Widzimy, że r_min jest funkcją malejącą prędkości gazu, i największą wartość uzyskuje dla v = 0.

Wówczas mamy

min

( 0) 25 4.987

4 _{k k}

r v

f

 

    (19)

gdzie

2

k k

f 

  (20)

Równanie (19) może posłużyć do obliczenia danych geometrycznych dla sondy o zastosowaniach użytkowych. Na Rys. 2 pokazano rodzinę krzywych r_min dla powietrza (κ = 0.18 cm²/s) w zależności od v przy różnych częstotliwościach f_k fali temperaturowej.

Rozkładami fazy fali temperaturowej (15) zajmowali się autor w pracach [1-4] oraz A. Rachalski w [5-7].

Rys. 2. Zależność r_min jako funkcja prędkości powietrza przy różnych częstotliwościach f_k fali temperaturowej

4. Wykorzystanie rozkładu amplitudy fali

Z rozkładu amplitudy fali temperaturowej możemy wyznaczyć współczynnik dyfuzji cieplnej. Wy- korzystując wzór (14) wprowadza się nowe funkcje A_z(x,y) i L_a(x,y) będące zmodyfi koaną amplitudą fali oraz logarytmem zmodyfi kowanej amplitudy, które defi niujemy jako

8 2

( , ) ( , ) 1

x k r

k

Q A Q

z r k k

k

A x y Q x y C e

 P ^

 

 (21)

oraz

8 2

( , ) ln( ( , ) ln( ( , )) ln( ) ln( 1 )

k k

a z r k k k x k r

L x y  A x y  Q  x y  C  P Q A Q (22) Gdy pomiaru rozkładu amplitudy fali temperaturowej dokonywać się będzie wzdłuż osi x (tzn. gdy y = 0) wzór (22) możemy przedstawić jako

( ,0) 0, (1 )

ak k x k

L x C Q A (23)

gdzie

  



0,_k ln 0,_k ln 1 _k

C  C  P (24)

Gdy spełnimy warunek (co jest nietrudne), że P_k < 0,3, to można zastosować przybliżenie

2 2

1 1

4 8

k k

k

P P

A     (25)

Wykorzystując (24) wzór (23) możemy zapisać jako

2 2

0, 0, 3 0,

( ,0)

8

k

k k

a k x k k k

L x C Q P C x C x

v

 

      (26)

gdzie

2 3

k

k v

  (27)

Widzimy więc, że logarytm naturalny zmodyfi kowanego rozkładu amplitudy fali cieplnej jest liniową funkcją odległości od źródła. Z nachylenia prostej można łatwo wyznaczyć współczynnik dyfuzji cieplnej, który określa zależność

3 3

2 4 2 2

k

k k

v v

f

 

 ^  ^  ⁽²⁸⁾

Analogicznie możemy wykorzystać poprzeczne rozkłady amplitudy (patrz Rys. 1). Wykorzystując (22)

k 0k

a x k r

L C Q A Q (29)

i wprowadzając

2 2 2

r x y

Q Q Q (30)

gdzie

y 2 Q vy

  (31)

prawą stronę równania (29) możemy przekształcić jako

2 2 2

0

1(1 1 ) 2

k x x y k

C Q  Q Q  P (32)

Rozwijając podwójny pierwiastek w szereg dostaje się

2 2

2 2 2

0 0 2

1(1 1 ) [1 (1 )(1 )]

2 2 8

k k

y k

x x y k x

x

Q P

C Q Q Q P C Q

         Q  (33)

a po dalszych przybliżeniach

2 2 2

0 (1 ) (1 )

8 8

k

k y k

x

x

P Q P

C Q

   Q  (34)

Przechodząc teraz do zmiennych fi zycznych wzór (34) zapisze się jako

2 2 2 2 2

0 4 4

2 2

(1 ) (1 )

2 2

k k

k k

a

vx vy

L C

v x v

   

 

     (35)

Ponieważ interesuje nas tu poprzeczny profi l amplitudy fali temperaturowej, więc współrzędna x₀ jest tu parametrem, podobnie jak v i ω_k. Stąd możemy napisać

2

0 0

( , , ) ( , , , )

ak k k

L    v x  x   v y (36)

gdzie

2 2 2

0 0 0

0 4 3

( , , ) (1 2 )

2 2

k k

vx vx x

x v

v v

  

 

 

    (37)

i

2 2 2

0 4

(1 2 ) 2

k k

vy

x v

  

   (38)

Gdy ² 0.01

P 8 to zależność (34) redukuje się do

2 0_k

y x

x

C Q Q

  Q (39

Znając dla konkretnego rozkładu wartość β_k możemy wyznaczyć wartość κ. Dla warunków dopusz- czających tę analizę możemy zaniedbać drugi wyraz w nawiasie w (38) i wówczas

2 0 _k

v

 x

  (40)

5. Warunki przeprowadzania eksperymentu

Kilka słów należy tu jeszcze powiedzieć na temat warunków geometrycznych jakie należy dochować by spełniona była nierówność (19). Analiza tej nierówności prowadzi do następującej zależności, która winna być w eksperymencie zachowana.

min 2 2

4 4

25 1 16 ^k r

v v



  



(41)

Jeśli

2

4 ^k 0.1 v

   

 

  (42)

to z dostateczną dokładnością

min

r 25 v

  (43)

Nierówność (41) można zapisać w zmiennych bezwymiarowych jako

min 4 2

12.5

r 1

k

Q  P

 (44)

Najbardziej niekorzystny przypadek zachodzi dla v = 0. Wówczas nierówność (41) możemy zapisać w formie

min

25 5

8 _{k k}

r f f



   (45)

W innym przypadku, gdy v > 0 autor postępuje następująco: jeżeli oczekuje się, że najmniejsza realizo- wana w eksperymencie prędkość będzie mieć wartość v₀ i tę prędkość chcemy wyznaczyć z niedokładnością 1% wówczas częstotliwość fali cieplnej f_k musi spełniać warunek

02

8 f^k 0.2 v

 _

(46)

wynikający bezpośrednio z nierówności (41). Przekształcając dalej dostaje się

02 k 40 f v

  (47)

Wówczas r_min wyrazi się wzorem

min 0

r 25 v

  (48)

Gdy mamy ustaloną częstotliwość f_k a chcemy wiedzieć jaką prędkość można już mierzyć z 1%

niedokładnością, to z równania (46) znajdujemy

40 _k 11.21 _k

v f  f (49)

Dla przykładu generując falę cieplną o częstotliwości f_k = 40 Hz, znajdujemy, że v₀ > 30.0 cm/s, a r_min=1.5 mm. Natomiast chcąc zmierzyć przepływ powietrza o prędkości v₀ = 5cm/s z tą samą niedokład- nością, częstotliwość fali winna wynosić 1 Hz, a r_min jest równe 10 mm.

Praca realizowana w ramach Projektu Badawczego NCN 2012/07/B/ST8/03041: „Badania przestrzen- nej propagacji oraz optymalizacja metod generacji, detekcji i analizy fal temperaturowych w aspekcie bezwzględnego pomiaru prędkości przepływu i dyfuzyjności cieplnej gazów”

Literatura

[1] Kiełbasa J.: Fale cieplne w metrologii powolnych przepływów. Zeszyty naukowe AGH. Seria: Górnictwo. Z. 72, 1976.

[2] Kiełbasa J.: Czas formowania się fal cieplnych w płynącym medium. Arch. Min. Sci., Vol. 41, No 1, p. 71-84, 1996.

[3] Kiełbasa J.: Measurements of steady fl ow velocity using the thermal wale method. Arch. Min. Sci., Vol. 50, No 2, p. 191-208, 2005.

[4] Kiełbasa J.: Steady state velocity measurements by the thermal wave method. Arch. Min. Sci., Vol. 51, No 4, p. 589-598, 2006.

[5] Rachalski A.: High-precision anemometr with thermal wale. Rev. Sci. Instr. 77(9), 2006.

[6] Rachalski A.: Absolute measurement of low fl ow by means of the spectra analysis of the thermal wale. Rev. Sci. Instrum., 84(2), 2013.

[7] Rachalski A.: Absolutny pomiar bardzo małych prędkości przepływu gazu metodą fal cieplnych. PAK. 6, 2013.

Determining the thermal diffusion coeffi cient κ basing on the thermal wave distribution amplitudes

Abstract

The method is outlined that is used to determine the thermal diffusion coeffi cient κ based on the longitudinal or transverse distribution of the thermal wave amplitude generated by the heat source around which a medium fl ows (a hot wire in a anemometer with sine amplitude modulations).

Keywords: constant-resistance anemometer, thermal wave anemometer, thermal wave