Uogólnione równanie ruchu i prawo zachowania pędu

VI.5 Ruch ciała o zmiennej masie

Uogólnione równanie ruchu i prawo zachowania pędu

Cząstka P  o masie m i prędkości v w układzie inercjalnym.

Do cząstki przyłącza się druga cząstka o  Znikomo małej masie dm i prędkości w.

Zmiana pędu układu w czasie dt:

Równanie ruchu:

m v dm

w

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= ⎡ ⎣ + − ⎤ ⎦ = + + − − =

≈ + −

JJJJJJJG JJG

G G G G

G G G

dp p t dt p t dt m dm v dv mv dmw mdv dm v w

( )

;     

;      

= + − =

= + = −

G G G G G

G G G G G G

dp dv dm

F m v w F

dt dt dt

m dv F dm

dt u u w v dt

Siła odrzutu

cd.

Aby rozwiązać problem takiego ruchu musimy dodatkowo podać  zależność masy od czasu  m(t) oraz prędkości u od czasu u(t).

Na ogół, technika rozwiązywania r.r ciała o zmiennej masie  polega na zastąpieniu różniczkowania po czasie przez 

różniczkowanie po masie:

= = 

d dm d d

dt dt dm m dm

Przykład1: Ruch rakiety w stałym polu g

Rakieta porusza się pionowo do góry. Gazy wylatują z jej dyszy  ze stałą prędkością u i w stałej ilości: dm/dt=‐a.

R. Ruchu w kierunku pionowym:

( ) 0

= −

= − dm a

dt

m t m at

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

;   = =

= − +

= − − +

= − +

d z au

dt g m

dz dz d z d z au

a a g

dt dm dt dm m

d z g u

dm a am

Rakieta cd.

Całkujemy dwukrotnie względem m:

( ) ( )

( )

2 1

2

1 2

2

0 0 0

0 0

0 0

0

1 2 0 0

2 0

2 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0

ln 2 ln

0 : (0) ; (0) 0; 0

;       0

ln

ln ln

2

= − + +

= − + − + +

= = = = ≠

= = − = −

= − + −

⎛ ⎞

= − − + − ⎜⎝− + − ⎟⎠

z

dz g u

m m C

dm a a

g u

z m m m m m C m C

a a

dla t m m z v v

dz dz dz v

v a

m m

dt dm dm a

v g u

C m m

a a a

g u v g u

C m m m m C m m m m

a a a a a

Rakieta cd.

Wstawiając warunki początkowe:

( )

0 0

0 2

0 0

0

( ) ln

( ) ln 1

2

= = + − −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= − + ⎢ − ⎜ − ⎟ + ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

z

dz g m

v v m m u

dt a m

gt u a

z t v t m at t at

a m

Przykład 2: spadająca kropla

Zmiana masy kropli następuje w wyniku kondensacji bądź  parowania wody z/ do otoczenia.

Badania doświadczalne pokazują, że prawo zmiany masy silnie  zależy od warunków:

1. W próżni kropla odparowuje masę proporcjonalnie do swojej  powierzchni (~R²).

2.W ośrodku dla małych prędkości względnych zmiana masy jest  proporcjonalna do promienia kropli R, a przy większych 

prędkościach proporcjonalnie do R^3/2u^1/2.

Dodatkowo zazwyczaj należy uwzględnić siłę oporu ośrodka.

Przyjmiemy, że przed kondensacją lub po odparowaniu para  spoczywa w układzie inercjalnym tj.  u=v. Zaniedbamy siłę  oporu. Oś OZ kierujemy zgodnie z g.

Kropla cd.

Równanie ruchu:

Pochodną logarytmiczną oznaczymy przez f(t):

Rozwiązaniem jest:

+  =

 m

v v g m

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ln

: exp

= =

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ =

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ = =

∫

∫





d m

m f t

dt m

F t f t dt m t

dF d m

F f t dt Ff t F

dt dt m

( ) ( )

0

ʹ ʹ

= ^g ∫

v t F t dt

F

Kropla cd.

Bo:

2

   =      =   

⎛ ⎞

⎜ ⎟ = − + = − +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

=

∫ ∫ ∫

∫

d g F g dF gF gf

F F g

dt F F dt F F

fv gf F

F

g

Kropla cd.

a) Przyjmijmy, ze kropla paruje proporcjonalnie do powierzchni:

Całka z m(t):

Prowadzi do prędkości:

( ) ( )

( )

1 / 3

2 1/3 1/3

2 / 3 3

4 ;   R= Am t 3 m t ;    4

4 3

4

⎛ ⎞

= − π = ⎜⎝ πρ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= µ − π⎜⎜⎝ ⎜⎝ πρ⎟⎠ ⎟⎟⎠ m a R

m t a t

( ) ( )

2 / 3 4

2 / 3

4 3

ʹ ʹ ʹ ʹ 4

16 3

4

⎛µ − π ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ πρ⎠ ⎟

⎝ ⎠

= = −

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ π ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ πρ⎠ ⎟

⎝ ⎠

a t

dt m t dt

a

( ) ( )

4 2

2 4 2 3

16 4

⎡ µ ⎤

⎢ ⎥

= − µ − π −

π ⎢⎣ µ − π ⎥⎦

v t g aA t

aA aA t

t v

3

2 µ aA

∫

∫

Kropla cd.

b) Przyjmijmy, ze na kropli następuje kondensacja  proporcjonalna do promienia:

Całkując masę względem czasu dostajemy:

Prędkość wynosi:

 = +

m aR

( )

5 / 2 2

2 3

3 2

5 3

⎛ ⎞

= µ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ µ + ⎟

⎝ ⎠

∫

m t aAt

m aAt

aA

( )

5 3 2 5

⎡ ⎤

⎢ µ ⎥

⎢ ⎥

= µ + − →

⎢ ⎛µ + ⎞ ⎥

g gt

v t aAt

aA aAt