SIŁY ODDZIAŁYWANIA W PRZEPŁYWIE PRZEZ RUROCIĄG RÓWNANIE ZACHOWANIA PĘDU

(1)

ĆWICZENIE 7

SIŁY ODDZIAŁYWANIA W PRZEPŁYWIE PRZEZ RUROCIĄG

RÓWNANIE ZACHOWANIA PĘDU: zmiana w czasie pędu w dowolnej objętości płynnej (S) jest równa sumie sił masowych działających na tę objętość oraz sił powierzchniowych działających na powierzchnię płynną S.

S S

d Ud F F

dt_



   ^

( )

n n

S S S

d Ud fd p dS

dt_



  _



  



_

( ) ( ) ( )

postać całkowa równania zachowania pędu

S

d Ud

dt_



 

( )

zmiana pędu objętości płynnej (S)

S

F_ fd







 

( )

siły masowe (objętościowe) działające na objętość płynną (S) np. siła grawitacji, siły odśrodkowe, siły elektromagnetyczne

S nn

S

F p dS







( )

siły powierzchniowe działające na powierzchnię płynną S()

np. siły ciśnienia, tarcie wewnętrzne w płynie, tarcie płynu o ściany sztywne, napór hydrostatyczny, reakcje hydro- i aerodynamiczne

 

n n

S S S S

U

d UU ndS fd p dS

 t   

        





  

( ) ( ) ( ) ( )

(2)

Przykład

Określić siły oddziaływania między ściankami rurociągu a płynem.

Założenia:

t 0

 

 stacjonarność przepływu const

  nieściśliwość płynu

f g jedyna siła masowa to siła grawitacji

Analiza równania zachowania pędu:

n n

S S S

d Ud fd p dS

dt_



  _



  



_

( ) ( ) ( )

 

n n

S S S S

U

d UU ndS fd p dS

 t   

        





  

( ) ( ) ( ) ( )

 

S

U

d 0

 t

   





( )

przepływ jest stacjonarny

0 1 2 3

0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3

S S S S S

UU ndS U U n dS U U n dS U U n dS U U n dS

    

        

    

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0 0n

S S

U U n dS U U dS 0

 

   

 

( ) ( )

ponieważ U_0n 0 U₀ n₀

1 1 1

1 1 1 1 1n 1 1n 1 1

S S S

U U n dS U U dS U U dS U m

  

        

  

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2n 2 2n 2 2

S S S

  

     

  

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 3 3 3 3n 3 3n 3 3

S S S

  

     

  

( ) ( ) ( )

(3)

S S S

fd gd g d Mg

  

        

  

( ) ( ) ( )

gdzie: M - masa płynu zawarta w objętości (S)

0 1 2 3

n

n nn 0 nn1 nn 2 nn3

S S S S S

p dS p dS p dS p dS p dS

    

   

    

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

0 0

n

n 0 nnn 0 nn 0 0

S S

p dS p p_ dS R

 

  

 

( ) ( )

R0 siła oddziaływania rurociągu na płyn R R0 siła oddziaływania płynu na rurociąg

 

1 1 1 1 1

1

n

n1 nnn1 nn 1 nnn1 nn 1 nnn1

S S S S S

nn1 1 1 1 1

S

p dS p p dS p dS p dS p dS 0

p n dS p n S

 

    



      

   

    



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

 

2 2 2 2 2

2

n

n 2 nnn 2 nn 2 nnn 2 nn 2 nnn 2

S S S S S

nn 2 2 2 2 2

S

p n dS p n S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

 

    



      

   

    



 

3 3 3 3 3

3 n

n3 nnn3 nn 3 nnn3 nn 3 nnn3

S S S S S

nn3 3 3 3 3

S

p n dS p n S

 

    



      

   

    



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

gdzie:

1

n n 1 S

p_ dS 0







( ) ₂

n n 2 S

p_ dS 0







( ) ₃

n n 3 S

p _ dS 0







( )

Wartości średnie określić można jako:

i i

i

i in i in

S S

i

in i S

U U dS U U dS

U U dS m

( ) ( )

( )

 



 

 



 



i i

i

in in

S S

in in S

U dS U dS

U dS U S

( ) ( )

( )

 



 

 







i i

i

i i

S S

i S

p dS p dS

p dS S

( ) ( )

( )

 











(4)

Ostatecznie:

 

n n

S S S S

U d UU ndS fd p dS

 t   

        





  

( ) ( ) ( ) ( )

przybiera postać:

1 1 2 2 2 3 0 1 2 1 2 2 2 3 3 3

m U m U m U Mg R p n S p n S p n S

       

Siła oddziaływania rurociągu na płyn:

0 1 1 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 3 3

R  m U m U m U Mgp n S p n S p n S

2 2 2

0 0x 0 y 0z

R  R R R

Siła oddziaływania płynu na rurociąg:

R R0

2 2 2

x y z

R R R R

Dla przepływu przez rurociąg jak na rysunku i przyjętego układu współrzędnych mamy:

x y z

RR iR jR k

1 1

U U i U₂ U₂cos i U₂sin j U₃ U i₃ g gj

n1 i n₂ cos i sinj n₃i

1 1 2 2 3 3 0x 0 y 0z 1 1 1 2 1 2 3 3 3

m U m U m U R i R j R k Mg p n S p n S p n S

         

 

1 1 2 2 2 3 3

0x 0 y 0z 1 1 2 2 3 3

m U i m U i U j m U i

R i R j R k Mgj p S i p S i j p S i

cos sin

      

        

(5)

0x 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

0 y 2 2 2 2

0z

R m U m U m U p S p S p S

R m U Mg p S

R 0

cos cos

sin sin

        

     

 



siła oddziaływania rurociągu na płyn

2 2 2

0 0x 0 y 0z

R  R R R

x 0 x

y 0 y

z 0z

R R

  

  

  



siła oddziaływania płynu na rurociąg

2 2 2

x y z

R R R R