Analiza II, zadania domowe, seria I

Analiza II, zadania domowe, seria I

1. Wykaza¢ istnienie caªek i metod¡ ró»niczkowania po parametrze obliczy¢ je (a)

Z 1 0

arc tg(ax)

x(1 + x ² ) dx, a ∈ R, (b)

Z

0

log  1 + a sin x 1 − a sin x



dx, |a| < 1, (c)

Z ∞ 0

1 − e ^−ax

xe ^x dx, a > −1, 2. Sprawd¹ czy zbiory A = {(x, y) ∈ R ² | y = sin ¹ _x , |x| ≤ 1} ,

B = {(x, y) ∈ R ² | x ⁴ + y ⁴ ≤ 1} s¡ otwarte, domkni¦te, ograniczone, zwarte.

3. Niech f : R ³ → R ² , (x, y, z) 7→ f(x, y, z) = (x ² + y ² + z ² , xyz) ,

g : R ² → R ³ , (s, t) 7→ g(s, t) = (sin t cos s, sin t sin s, cos t). Znajd¹ macierze Df, Dg, Df · Dg , Dg · Df, D(f ◦ g), D(g ◦ f), gdzie · oznacza mno»enie macierzowe.

4. (GC) Niech f ∈ C ¹ (R ² ) . Sprawdzi¢, »e x ^∂f _∂y − y ^∂f _∂x = 0 ⇐⇒ ∃ _g ∈ C ¹ (]0, ∞[) : f (x, y) = g(x ² + y ² ) .

Wskazówka: przej±¢ do ukªadu biegunowego.

5. Zapisa¢ dwuwymiarowy operator Laplace'a L = _∂x ^∂

+ _∂y ^∂

we wspóªrz¦dnych parabolicz- nych (ξ, η). wi¡»¡cych si¦ ze wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi w nast¦puj¡cy sposób x = ξη, y = ¹ ₂ (ξ ² − η ² )

6. Zapisa¢ trójwymiarowy laplasjan L = _∂x ^∂

+ _∂y ^∂

+ _∂z ^∂

we wspóªrz¦dnych sferycznych (r, θ, φ) gdzie x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ.

1