n}, V+(Xi) b¦dzie podzbiorem domkni¦- tym PnA

Geometria Algebraiczna 2, Lista 9

Niech k b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i A pier±cieniem.

1. Udowodni¢, »e P⁰_A∼= Spec(R).

2. Niech dla n > 0 i i ∈ {0, . . . , n}, V+(X_i) b¦dzie podzbiorem domkni¦- tym Pⁿ_A. Udowodni¢, »e istnieje domkni¦ta immersja Pⁿ⁻¹_A → Pⁿ_A o obrazie równym V+(X_i).

3. Niech V b¦dzie rozmaito±ci¡ rzutow¡ nad algebraicznie domkni¦tym ciaªem k, S jednorodnym pier±cieniem V i f ∈ S jednorodnym ele- mentem. Udowodni¢, »e OV(V \ Z(f )) ∼= S_{(f )}.

4. Udowodni¢, »e

Pⁿ_A∼=_ASpec(A) ×_Spec(Z)Pⁿ_Z.

1