5; 3, 121121121 . . . ; 5, 1234567891011...} . Podaj wszystkie te liczby nale»ace do zbioru A, które sa:

Zadania - lista 3 1. Dany jest zbiór: A = { ⁵ ₃ ; −0, 5; −65; e; 12;

√

√ 21 7 ; π, √

5; 3, 121121121 . . . ; 5, 1234567891011...} . Podaj wszystkie te liczby nale»ace do zbioru A, które sa:

(a) naturalne;

(b) caªkowite;

(c) wymierne;

(d) niewymierne;

2. Wyka», »e:

(a) dla ka»dej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówno±¢: 4a ² +1 ≥ 4a.

(b) suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotno±ci jest nie mniejsza od 2;

(c) je»eli a i b sa liczbami tego samego znaku, to ^a _b + _a ^b ≥ 2 .

3. Rozstrzygnij (nie u»ywajac kalkulatora), która z liczb jest wieksza: ¹²³ ₄₅₆ czy ¹²¹ ₄₅₆ ; ₁₃₅ ¹⁷ czy ₁₃₄ ¹⁷ ; 2, 5 czy √

6 ; q

− ₂₄₃ ³² czy q

− ₁₂₅ ²⁷ . 4. Usu« niewymierno±¢ z mianownika: ^{√ 1} ₂ ; ^√ ₃₋₁ ² ; ^{√ √} ₁₄₋ ^{3−1 √} ₁₁ ; √

⁴

2−3 . 5. Rozstrzygnij, czy liczby a = ^{√ 2+} ₂₊₁ ^{√ 2} oraz b = ^{√ √ 7+} ₇₋ ^{√ √ 3} ₃ +

√ 7− √

√ 3 7+ √

3 sa wymierne, czy niewymierne.

6. Poka», »e liczba √

2 jest liczba niewymierna.

7. Zapisz w prostszej postaci liczbe:

(a) p

19 + 8 √ 3 ; (b) p

9 − 4 √ 2 ; (c) p

7 − 2 √ 10 .

8. Sprawd¹, czy liczba q

6 + p

6 + √

6 + . . . jest wymierna, czy niewy- mierna.

9. Poka», »e p

√

5 + 2 − p

√

5 − 2 = 1 . 10. Porównaj liczby x i y gdy:

(a) x = 2 ³⁰⁰⁰ i y = 3 ²⁰⁰⁰ ;

1

(b) x = 2 ¹⁷ · 3 ²¹ · 5 ¹⁹ · 7 ⁷ i y = 2 ²³ · 3 ¹⁴ · 5 ²⁵ ; (c) x = ^√

₅₋ ^{1 √}

₄ i √

25 − √

20 + 2 √

2.

11. Obliczy¢:

(a) 3 : ¹ ₆ + 1 − 0, 8 :

^1,5

·0,4·

1: 12

+ ¹ ₄ + ¹⁺

1 2

·

0,25

6−

; (b) 33 ¹ ₂ : h _(2,4+1

7

)·4,375

3

2

−1 − ⁽²

⁻¹

^)·21

8,15−

i

; (c) 10, 25 : h (0,3−0,15):

(1,88+2

):80 − ₍₃

^:

−2,65)·4+

i . 12. Wykona¢ dziaªanie

3a

a ³ − 8 : a ² − 4 4(a ² + 2a + 4) . 13. Upro±ci¢ wyra»enie

a ² + a − 2 a ⁿ⁺¹ − 3a ⁿ

 (a + 2) ² − a ²

4a ² − 4 − 3 a ² − a



, n ∈ N.

14. Wykona¢ dziaªanie

n + 2 + √ n ² − 4 n + 2 − √

n ² − 4 + n + 2 − √ n ² − 4 n + 2 + √

n ² − 4 . 15. Przedstawi¢ w mo»liwie najprostszej postaci wyra»enie

a ⁻¹ + b ⁻¹ + 2( √ a + √

b) ⁻¹ (a ⁻

+ b ⁻

) ( ^ab−a

√ ab a+ √

ab ) ⁻¹ .

16. Wyznaczy¢ zbiór wszystkich x speªniajacych warunek:

(a) 2|x| − |x + 1| = 2;

(b) |2|x + 1| + 1| = 3;

(c) p(x − 2) ² + √

x ² + 6x + 9 = 1 − x ;

2