GAL (I INF)
Kolokwium 26-11-2008
Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
Zadanie 1. Znajd´z wszystkie liczby zespolone z spe lniaj ace r´ownanie
,z
3+ |z|
2+ z = 0.
Zadanie 2. Uzasadnij, ˙ze (nie)osobliwo´s´c macierzy kwadratowej nie zale˙zy od kolejno´sci wierszy i kolejno´sci kolumn tej macierzy.
Zadanie 3. Czy funkcja Φ : C
n,n→ [0, ∞) zdefiniowana wzorem Φ(A) = kA + A
Hk
2+ kA − A
Hk
∞, A ∈ C
n,n, jest norm a w C
, n,n? Oblicz Φ(A) dla
A =
1 1 0 1
.
Zadanie 4. Niech (a
1, a
2, . . . , a
n) b edzie baz
,a pewnej przestrzeni
,X
|K. Wyka˙z, ˙ze uk lad wektor´ow (b
1, b
2. . . , b
n), gdzie
b
i= a
1+ a
2+ · · · + a
i, 1 ≤ i ≤ n, jest te˙z baz a
,X
|K.
Zadanie 5. W przestrzeni P
|R4rozwa˙zmy zbi´or
Y = {p ∈ P
4: p( −1) + p(0) + p(1) = 0 i p(−2) = p(2)}.
Wyka˙z, ˙ze Y
|Rjest podprzestrzeni a w
,P
|R4. Nast epnie znajd´z wymiar i baz
,e
,Y oraz baz e
,podprzestrzeni Z takiej, ˙ze
P
4= Y ⊕ Z.
1
