GAL (I INF)
Kolokwium nr 1 28-11-2009
Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
Zadanie 1. Dla danej liczby naturalnej n znajd´z wszystkie liczby zespolone z spe lniaj ace
֒r´ownanie
nX
k=0
z
k= 1.
Zadanie 2. Niech macierz A ∈ C
m,nb edzie pe lnego rz
֒edu, tzn. rz(A) = min(m, n).
֒Wyka˙z, ˙ze macierz A ∗ A
Hjest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy m ≤ n.
Zadanie 3. Dla macierzy A =
12
+ ı
√432 − ı √
5 2
−1 √
ı −4ı
∈ C
2,3oblicz normy kAk
1, kAk
∞i kAk
F(norma Frobeniusa). Znajd´z niezerowy wektor ~x ∈ C
3dla kt´orego
kA ∗ ~xk
∞= kAk
∞· k~xk
∞.
Zadanie 4. W przestrzeni R
4|Rpodprzestrze´ n Y sk lada si e z wektor´ow ~x spe lniaj
֒acych
֒jednocze´snie r´ownania
x
1+ x
2+ x
3+ x
4= 0, x
1− x
2+ x
3− x
4= 0, a podprzestrze´ n Z = span(~z
1, ~ z
2), gdzie
~
z
1= [1, 2, −1, α]
T, ~ z
2= [−α, α, α, β]
T.
Zbadaj wymiar sumy Y + Z w zale˙zno´sci od parametr´ow α i β. Czy ta suma jest sum a
֒prost a?
֒Zadanie 5. Wyznacz rz ad macierzy
֒A =
1 1 + λ 3 1
−1 λ − 1 2 1
1 1 1 1
0 λ 3 λ + 2
∈ R
4,4w zale˙zno´sci od parametru rzeczywistego λ.
Wskaz´owka. Rz ad macierzy nie zmieni si
֒e je´sli do kolumny (wiersza) dodamy liniow
֒a kom-
֒binacj e innych kolumn (wierszy).
֒1
