GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI REGRESJI KWANTYLOWEJ

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 344 · 2017 Informatyka i Ekonometria 12

Grażyna Trzpiot

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Informatyki i Komunikacji

Katedra Demografii i Statystyki Ekonomicznej grazyna.trzpiot@ue.katowice.pl

GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI REGRESJI KWANTYLOWEJ

Streszczenie: Zastosowania miar porządkowych, w tym kwantyli, znajdujemy w róż- nych obszarach zastosowań, w szczególności w statystyce odpornej. Odejście od kla- sycznego podejścia bazującego na momentach zmiennej losowej wynika zazwyczaj z analizowanego zbioru danych, który nie spełnia założeń modeli. Dwa pierwsze mo- menty zmiennej losowej, na których budujemy dalej modele regresji, nie są adekwatne w opisie zbiorów danych z obserwacjami odstającymi. Zbiory danych z asymetrycznymi rozkładami również nie powinny być analizowane z wykorzystaniem modeli regresji estymowanych MNK. Celem artykułu jest prezentacja własności geometrycznych regre- sji kwantylowej. To podejście metodologiczne wykorzystuje wartości rozkładu, wyzna- czając zbiór kwantyli oraz zbiór modeli regresji.

Słowa kluczowe: kwantyle, regresja kwantylowa, własności modeli regresji kwantylo- wych.

JEL Classification: C14, C20, C21.

Wprowadzenie

Regresja kwantylowa pozwala na estymację wpływu zmian wartości roz- kładu zmiennej objaśniającej na rozkład zmiennej objaśnianej. Podstawowe zasady przyświecające temu podejściu znajdujemy w pracy autorów Koenker i Bassett [1978] oraz podjęte raz jeszcze w pracy Koenker [2005]. Wykorzysta- nie tego podejścia jest coraz powszechniejsze, zwłaszcza w analizach zbiorów o zależnościach nieliniowych czy o obserwacjach odstających, dla których po- dejmujemy się oceny ryzyka wystąpienia zdarzeń.

Grażyna Trzpiot 146

W ilościowym zarządzaniu ryzykiem miary ryzyka służą do określania pre- ferencyjnego porządku wśród pozycji finansowych z losowym wynikiem. Pozy- cja finansowa jest postrzegana jako zmienna losowa, która odwzorowuje każdy stan natury x w rzeczywistą wartość. Wartość zmiennej losowej odpowiada wy- nagrodzeniu (lub jest to stopa zwrotu) zapewnianemu przez instytucję finansową, gdy wystąpi stan x. Miary ryzyka mają na celu uwzględnienie kompromisu między wartościami, jakie może zajmować pozycja finansowa, a ryzykiem lub zmienno- ścią tych wartości. Wybór miary ryzyka określa profil ryzyka inwestycyjnego.

Miara ryzyka, jaką jest wartość zagrożona (VaR), kwantyl rozkładu prawdopo- dobieństwa dla stopy zwrotu z inwestycji, została wykorzystana w instytucjach finansowych [RiskMetrics, 1995]. Miara ta została skrytykowana za brak wy- krywania niekorzystnych wartości stóp zwrotu w ogonie rozkładu prawdopodo- bieństwa [Donnelly, Embrechts, 2010; Trzpiot, 2007a; 2007b; 2009a]. Wprowadzo- no klasy ryzyka, które spełniają pewne pożądane właściwości. Klasa wypukłych miar ryzyka [Föllmer, Schied, 2002] obejmuje monotonne i wypukłe odwzoro- wania, które posiadają własność niezmienniczości translacji. Koherentne miary ryzyka [Artzner i in., 1999] stanowią podklasę wypukłych miar ryzyka, są to miary dodatnio homogeniczne. Mogą być wyrażone jako najgorszy oczekiwany wynik portfela, gdy miara prawdopodobieństwa stóp zwrotów z aktywów zmie- nia się w zbiorze niepewnych stóp zwrotu [Artzner i in., 1999; Trzpiot, 2016].

Warunkowa wartość zagrożona (CVaR), czyli oczekiwana wartość portfela na ogonie rozkładu stopy zwrotu portfela, która leży poza ustalonym kwantylem rozkładu, jest koherentną miarą ryzyka. Optymalny portfel wykorzystaniem CVaR można wyznaczyć, wykorzystując różne estymatory [Rockafellar, Uryasev, 2000; Trzpiot, 2007a; 2007b; 2008; 2009a; 2009b]. W artykule podejmujemy problem geometrycznych własności regresji kwantylowej celem wskazania zalet metodologii, która jest wykorzystywana w wielu analizach, a w szczególności w opisie ryzyka, w tym finansowego.

1. Funkcja kwantyli rozkładu zmiennej losowej

Rozważamy przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, Ƥ) oraz klasę zmiennych lo- sowych L¹(Ω, F, Ƥ). Dystrybuanta zmiennej losowej Y ∈ L¹(Ω, F, Ƥ) będzie zapisana jako FY(y) = P(Y ≤ y).

Funkcja kwantyli zdefiniowana jest następująco:

Q_Y(u) = inf { y ∈ R : F_Y (y) ≥ u},

co można zapisać równoważnie QX(u) = F_X⁻¹

( )

u . Możemy rozważać:

R Ź

w

2

c z

W

g Rys Źród

war

2. E

cji, z dy

Qˆ_τ

Wó

gdz Za

s. 1.

dło: O

Po runk

Est W w t ystr Za

τ= a

ówc

zie f atem

Prz Opra

opr kow

ym W ba tym rybu apis argm

zas

f jes m d

zykł cowa

zez wyc

mac ada m kw

uan szem min

s dla

st fu dla d

łado anie

z de ch F

cja nia wan ntą F

my n{∑

= n i

a n

unk dow

owe wła

efin F(y|x

kw ch ntyl F.

y Q_τ

∑= n

1 R

→

kcja Ge

woln

e wy sne.

nicję x) =

wan nie li. R

τ = R^q_τ

∞:

a gę eom

Q nej

ykre

ę pr

= P

nty zwy Rozw

arg (yi

R^q_τ

n( ęsto

metry

Q_Y( ros

esy f

rzy [Y ≤

yli r ykl waż gmi

− q

τ(u)

(Qˆ ści

yczn

(u) = snąc

funk

ytoc

≤ y

roz e is żmy in{E q)},

) =

τ − zm

ne w

= su cej

kcji

czon

|X =

kła stot

y pr E [R

dla u ·(

Q_τ) mien

włas

up{

tran

i dy

ną p

= x]

adu tny

rób R^q_τ a fu (τ −

τ) → nnej

snoś

{y ∈ ansf

ystry

pow ] i r

u zm jes bę p (Y unkc

− 1(

→ N j Y.

ści r

∈ R form

ybua

wyż rów

mie t pr pros

− q cji r (u <

N (0 regr

R: F macj

anty

żej wnow

enn robl stą { q)]}

ryz

< 0)

0, τ

resji

F_Y (y cji t,

y i fu

otrz waż

nej lem {y₁, }, g yka )), τ

τ (1 i kw

y) <

, Q_t

funk

zym żnie

los m es , … gdzi a:

τ ∈ − τ

want

< u}

t(Y )(

kcji

muje e Q

sow stym

…, y_n ie Y

[0,

τ)/f² tylow

}.

(τ) =

kwa

emy Q_{Y |x}(

wej mac

n} p Y m

1].

f²(Q wej

= t(

anty

y z (u)

cji p poch ma d

.

Q_τ), j

(Q_Y

yli

zapi

= F

para hod dyst

Y(τ

is d F⁻¹(

ame dząc tryb

)).

dla r u|x

etró cą z buan

roz x).

ów p z po antę

zkła

pop opu

F 14

adów

pula ulacj ora

7

w

a- ji az

Grażyna Trzpiot 148

Estymacje empirycznych kwantyli na podstawie próby, które możemy wy- konać z wykorzystaniem Minitab i SPSS, zostały opisane w pracy Hyndman i Fan [1996]. Na kolejnych rysunkach przedstawiono metody estymacji i wyniki estymacji różnych opisanych w tej pracy algorytmów wraz z kodami w R (rys. 2-4).

Rys. 2. Odwrotność empirycznej dystrybuanty Źródło: Hyndman, Fan [1996].

Rys. 3. Liniowa interpolacja empirycznej dystrybuanty Źródło: Hyndman, Fan [1996].

Geometryczne własności regresji kwantylowej 149

Rys. 4. Liniowa interpolacja empirycznej dystrybuanty Źródło: Hyndman, Fan [1996].

3. Modele regresji i metody estymacji

Modele regresji mają na celu wskazanie wpływu zbioru zmiennych objaśnia- jących na wybraną zmienną objaśnianą. Klasyczny model regresji liniowej jest wartością oczekiwaną rozkładu warunkowego zmiennej objaśnianej. Model regre- sji kwantylowej jest rozkładem warunkowym kwantyla odpowiedniego rzędu.

Rozważmy model liniowy y = β0 + x^Tβ +ε , prawie wszędzie, wówczas:

E[Y |X = x] = x^Tβ.

Następnie rozważmy funkcję regresji względem rozkładu warunkowego dowol- nego kwantyla rzędu τ:

Q(τ |X = x) = β0 + Q_ε(τ ) + x^Tβ.

Estymacje przeprowadzamy odpowiednio metodą najmniejszych kwadratów (rys. 5 i 6) oraz metodą najmniejszych bezwzględnych odchyleń¹. Dla modelu liniowego: yi = β0 + x^Tβi + εi wyznaczamy rozwiązania:

⎟=

⎠⎞

⎜⎝

⎛βˆ^MNK,β^ˆMNK

0 argmin( ∑

= n

i 1 (yi − β0 + x^Tβi )²),

⎟=

⎠⎞

⎜⎝

⎛βˆ^LAD,β^ˆLAD

0 argmin( ∑

= n i 1

|y_i − β₀ + x^Tβ_i |).

1 LAD – Least Absolute Deviation – metoda najmniejszych bezwzględnych odchyleń.

1

R Ź

[ t n e

R Ź

150

Rys Źród

[ε|X tym nie esty

Rys Źród

0

s. 5.

dło: O

R X] = mato jes yma

s. 6.

dło: O Zb Opra

ozw

= 0, oram

t sy ator

Re Opra

iór cowa

waż , w mi p yme ram

szty cowa

obs anie

żając wów

par etry mi β

y reg anie

serw wła

c za wcza

ram yczn β. Je

gres wła

wacj sne.

ada as ⎜⎝⎛ metró

ny, eżel

sji o sne.

i i l

anie

⎝⎛β^ˆ₀^M ów

ale i M

oraz linio

tak 0MNK

(

β e E[

M_e[ε

z lin owa

kie, NK,

β_0,, [ε|X

|X]

niow G

a fun

że β^ˆM

)

β X] =

= γ

wa fu Graż

nkcj

roz MNK . R

= 0, γ, w

funk żyna

ja re

zkła

⎟⎠

⎞ K Rozw

wó wów

kcja a Tr

egre

ad ε or waż ówc wcza

reg rzpi

esji

ε|X az żają czas as β

gresj iot

jes

⎜⎝

⎛β^ˆ ąc p s β^ˆ

0L

βˆ

ji t sy β^ˆ₀LAD

przy β^ˆMN LAD

yme D,β ypa NK Djes

etry β^ˆLA adek

ora st zb

yczn AD k ta az β

bież ny o

⎟⎠

⎞ s aki, β^ˆLA żne

oraz są z , że AD e do

z E[

zgo e ro

są o β0

[ε|X odny ozk

zgo

0 + γ X] =

ymi kład

odn γ.

= M i es d ε|X

nym Me

s- X mi

β

W

g

s w – –

– Z m m i

R Ź

ˆM

β

W s

gdz

szą wag – o r – r s ( – w Zate mni muj i wy

Rys Źród

Es

MNK

swo

zie:

Ta wa gi z

A obs rozk regr skła (sce wła em iejs jem yzn

s. 7.

dło: O

stym , je

ojej

ak z ażo zależ Aby

serw kład reso adn entr asno reg zyc my

nacz

Mo Opra

mat est r

pra

zap ną żą o

esty wacj

dzie ory nik row ość gres ch k

k (

εi

zmy

odel cowa

tor rozw

acy

ω_τ prop śre od ś ym je ( e, y (z

loso wana

„lo sja kwa

=

) k

y w

le w anie

wy wią

An

β

^ˆτ

(

β

τ

pon edni

śred mato

(Y_i, zmie owy a), okal kw adra

= y_i ażo

waru wła

Ge

yzna ązan

ˆM

β ngri

=

)

β = ow iokw dnie

ry b X_i enn y, ε lnej want atów

i− oną

unko sne.

eom

acz niem

MNK

ist, arg

= ∫¹

0

ana wad ej w były

i) m ne o ε je j ide tylo w. W

T

xi β MN

owe metry

zony m ró

K = Ch gmin

(1 a me dra waru

y zg musz obja est

enty owa

Wybβ(k

NK

ej śr yczn

y m ówn

= arg hern

n {E

1 − etod tow unk god zą aśn

zm yfik a m

bier−1), K, ab

redn ne w

meto nan gmi nozh E [

u)fy

da p wą a kow dne, być niają mien kacj może ram , a by e

niej włas

odą nia r in{E huk

ω_τ

fy|x(u poz apr wej , mu ć (w ące) nną

ji”

e by my p

na esty

ora snoś

ą na rów E([

kov

(

β

ux^T

zwa roks fun usz war ) m

los [fε( yć poc astę ymo

az m ści r

ajm wnow

E[Y

)

i F^(Q

Tβ +

ala n sym nkcj zą b runk mus

sow (0)X pos zątk ępni

owa

mode regr

mnie waż Y |X ern Q_τ [Y

+ (1 na w macj

i gę być

kow zą wą c

XX^T strz kow ie d ać β

ele w resji

ejszy żne X = x nand

Y |X

− u wyz ją r ęsto spe wo) mi ciąg

T] je ega we β

defi β^(k).

waru i kw

ych ego:

x] − dez- X =

u)Q

zna regr ości ełnio

nie eć głą est d ana

β⁽⁰⁾ finiu

unk want

h kw :

− x^T -Va x]

Qτ [Y

acze resj i Y one ezal ogr X_i, dod jak , np ujem

kow tylow

wad

Tβ) al [2

− x

Y |X

enie ji k wzg e pe

leżn ran

z datn ko i p. β my

wych wej

drat

2]}.

200 x^Tβ)

X = e

β

^ˆ_τ

kwa ględ ewn

ne niczo

me nio iter β^MNK

wa

h kw j

tów

. 06] u

)²]}

x])

β

τ, k anty

dem ne w ora ony dia okr racy

K. W agi

want w, z

udo ,

)du.

któr ylow m x^T waru az o y d aną reśl yjna W k ω_τ

tyli zapi

owo

. re j wej

Tβ. unk o ty drug wy ona a m krok( )k

ω_τ isan

odn

est , w ki:

ym gi m ynos

a.

meto ku k

=R ny j

nili,

naj w kt

sam mom sząc

oda k pr

(

R_τ ε 15

jak

że:

jlep tóre

mym men

cą

naj rzyj( )k

εi

1

ko

:

p- ej

m nt 0

j-

)j-

)

1

c r

J

g r

4

c

W

R Ź

n M l n 152

ciąg regr

Jak

gdz runk

4. W

cje,

Wp

Rys Źród

niem Mu linii nie

2

W głyc resj

zap

zie kow

Wy M na

prow

s. 8.

dło: O

Pr my usim i w

z k W kl

ch, je k

prop

FˆY

weg

ybr Może

któ

wad

Wł Opra

rzes pun my m wzgl

kier lasy

roz kwa

pon

Y |X=

go.

ane emy óryc

dzam

łasn cowa

sun nkt min

ęde runk

yczn zwi anty

now

=x(y

e w y za ch b

my

nośc anie

nięc t po nąć em

kiem nym iązu ylow

wan

y) m

włas aob bud

tran

ci ge wła

ie w o lew pe pun m o

m z ujem we,

o w

moż

sno bser duje

nsfo

eom sne.

w g wej wie nktu osi

zada my pró Q w pr Qˆ że b

ości rwo emy

form

metry

górę , a en p u w

OY aniu

za óbuj Q_{Y |X} raca

Y |X

być

i re owa

y m

macj min

yczn

ę od nas pun wspi Y), w

u re dan jem

X = x ( ach

X = x ( est

egr ać, ż mode

ję: y nim

ne r

d w stęp nkt

iera wów

G

egre nie my r

(u) Ne (u) tym

resj że r el. Z

y y_i =

mum

regr

wyzn pne (su ając wcz

Graż

esji E[

rozw

= in ewe

= i mato

i k regr Zac yi =

= (β m ∑

= n i

resji

nacz prz uma cego

zas żyna

, w Y |X wią

nf{

ey, P inf{

orem

kwa resj czyn

= β0

β₀ ±

∑=

n y

1

i me

zon zesu a je o (r po

a Tr

w sz X = ązać {y : Pow {y :

m j

anty ja m nam

0 + β

± ε)+

i−

edia

nej unię est l rys.

owię rzpi

cze

= x ć za

F_Y well

Fˆ ądr

ylo med my o

β1x + β

( β

₀

anow

lini ęcie lini

9).

ęks iot

egól x] = adan

|X=x

l [1

Y |X=

row

owe dian od l

i. β₁x_i,

0+

wej

ii ob e bę

ow . Je za

lnoś

= ∫

R

nie (y) 987

=x(y wym

ej now

linii

a n

1x

β

– pr

bni ędz wa w

żeli się

ści

R∫ yd (ry

≥ u 7] o y) ≥ m dy

wa z i re

nast

i

)

x

rzes

iża zie p w ε) i ob wa

dla dFY

s. 7 u}.

oraz u}

ystr

zaw egre

tępn .

suni

war pow ε). R brót arto

a zm

= x X

7):

z Li , rybu

wsze esji:

nie

ięci

rtoś więk Roz

t bę ość

mie_x

(

y

i, R

uan

e m :

wy

e

ść s ksza zwa

ędzi sum

nny

)

y .

Racin

nty

a d

yzna

sum ać s ażm ie w my

ych Wy

ne

roz

dwie

acza

my o sum my t

w g (du

h lo yzn

[20

zkła

e ob

amy

o ε, mę ( tera górę uży

sow nacz

007]

adu

bser

y:

, aż (rys az o ę (zg

wp wyc

zają

]:

wa

rwa

ż mi s. 8) obró god pływ

ch ąc

a-

a-

i- ).

ót d- w

p o

R Ź

w r 1

2

τ

2

3

pun osi

Rys Źród

wów regr 1) R

2) R M

τ

_a

2 1 2

3 B3

nktu OY

s. 9.

dło: O

Je wcz resj R Rów

Rów Ma

W a

β

> li

> fi

> w Badan

u po Y), w

Wł Opra

eżel zas ja m

ozw wno

wno acier

Wyk

β

^ˆτ p

brar it <- which

nia d

o pr wów

łasn cowa

li o pom med

waż owa

β

owa rz A

korz prac

ry (q rq(d h (p dla d

raw wcz

nośc anie

obró mn dian żym ażn

β

^ˆτ( ażn A m

zyst cę A

quan dist redi duże

wej) zas

ci ge wła

ót b niejs now my w

nik s (αY ność ma w

tam Abr

ntreg

~sp ict (f ej pr

Ge

Jeż pom

eom sne

będz szm wa p wyb skal Y,X) ć po wym

my reva

g), peed

fit)=

róby eom

żeli mni

metry

zie my w

posi bran

li: D X) =

o rep miar

dla aya

, da

== ca y now

metry

obr iejs

yczn

w war ada ne tr Dla

α

β

par ry p

a il a [20

ata = ars $ wor

yczn

rót szm

ne r

dó rtoś a za ran a do

β

^ˆτ( ram p ×

β

^ˆτ

lust 001

=cars

$ dis rodk

ne w

będ my w

regr

ół (k ść s awsz nsfo owo (Y,X metry p o (Y,X trac 1]³.

s , ta st.

ków w włas

dzie wart

resji

kier um ze d rma olne X) a yza oraz XA cji

au = w la

snoś

e w tość

i me

run my ( dwa acje ego and acji:

z τ ∈ A) =

wi

=.5), atach

ści r

w dó ć su

edia

nek aż a pu e re

α >

β

^ˆτ

∈ [ A⁻ zua

h 19 regr

ół (k umy

anow

prz osi unk egre

> 0

τ(−α

0, 1

−1

β

^ˆτ

aliza

992- resji

kier y (a

wej

zeci ągn kty w esji

ora αY,

1]:

β

τ(Y acji

199 i kw

rune aż o

– ro

iwn niem

wsp kw az τ Y,X)

Y,X) i o

6 w want

ek p osiąg

otac

ny d my

pier want τ ∈

= −

X).

omó

USA tylow

prze gni

cja

do pun rają tylo [0,

−α

β

ówi

A.

wej

eciw em

ski nkt ące² owe 1]:

β

^ˆ₁₋

one j

wny y p

iero po

2. ej:

:

τ

− (Y

ego y do

unk

owa o pr

Y,X

o o sk kt p

ania raw

X);

dw kier po p

a os wej).

wzor row praw

si O . Za

row 15

wani wej)

OY) atem

wani 3

ia ).

), m

ia

1

R Ź

k r z w k s j s d b t r M 154

Rys Źród

kszt rosó zmi wpł kszt sja jest się dos bard terp regr Mat 4

s. 10 dło: [

W tałc ów ienn ływ tałc kw t w fun tęp dzie pret

resj ta, 2

0. R w www

Wyk ceni prz nych w dla ceni want tym nkcj

ny ej u

acja ji, a

200 Regr wiek w 1].

korz ie m zez m

h. U a w ie ( tylo m z je w

onl użyt a m ale 05;

resja k ma

.

zysty matk

mat Uzy wyso SEX owa zbio wiel line tecz mod

odn d’H

a kw atki

ywa ki, o tkę yska okic XM a dl orze lom e, st zna deli nosi Hau

wan ora

ano opie ora ano ch k M, S la z e lin mian

tano a, od reg i się ultfo

tylo az w

o zb eka az w o zn

kwa SMO zmie

nio now

owi dno gre ę d oeui

owa waga

biór zdr wyz nacz anty OK enn we we, i do osi

sji o w illle

a dla a no

r zm row znac zącą yli KER

nej , dl

któ obry

się kw wart e, G

G

a zm owor

mie wotn

czon ą ist (rys RTR obj la z óre

y pr bo want

tośc Givo

Graż

mien rodk

enny na, w

no r totn s. 1 RUE

jaśn zmi

są rzy wie tylo ci w ord

żyna

nnej dka

ych wag regr ność 10 i E, W nian ienn trud ykła

em owy waru

, 20 a Tr

obj

h ta ga n resj ć m 11 WE nej nych dne ad s do ych unk 014

rzpi

jaśn

akic now je k mod ): p EITH wie h o e w ytu

roz jes kow ].

iot

nian

h j woro kwa deli płeć HGA

ek obja

int uacj zkła st a wego

nej w

ak:

odk anty dla ć, p AIN

ma aśni terp i, g adó anal o kw

wiek

pł ka, w ylow a do palac

N, C atki.

iany pret gdy ów b

logi wan

k m

łeć wie we d olny cz, CO . D ych acja

reg bad iczn ntyl

atki

now ek m

dla ych wa LL opa h (ry ach gres dany na, la r

i ora

wor matk

róż kw aga EG asow ys.

h. Z sja ych

jak rozk

az z

rodk ki, p żnyc want now GET

wan 11) Zbió kw h zm

k d kład

zbió

ka, pale ch p tyli wor TRU nie ) do ór d want mien dla k du [

ór da

ra enie prze ora rodk UE)

MN opa dany

tylo nny kla [Ma

anyc

sa, e pa ekro az m

ka, , re NK asow

ych owa ych syc ach

ch:

wy apie ojów mał

wy egre K ni wuj h jes a jes . In czne hado y- e- w ły y- e- ie ją st st n-

ej o,

R

Ź

P

k w n r z z Rys

Źród

Pod

kwa wej nież row zast zag

s. 11

dło: [

dsu W anty . W ż m wych

toso adn

1. W w re www

umo W pr

ylow Wsk możl

h.

owa nien

Wpły wyks egre w 1].

ow racy wyc aza liwo

Reg ania niu

yw z szta esja

.

wani y om ch w ano

ośc gres ach

po zmi ałcen

kw

ie mów w p

na i w sja . K oświ

Ge

ienn nie wanty

wio pow róż wizu kw Koja

ięca eom

nych (SE ylow

ono wiąz żne ualiz

wan arzo a s

metry

h ob EXM

wa d

wy zani me zacj ntyl ona się

yczn

bjaś M, S dla

ybra iu z etod ji w ow

jes w

ne w

niaj SMO

zmi

ane z ró dy w wyn

a j t z wię

włas

jący OKE

ienn

e wł óżny

wyk nikó est mi ększ

snoś

ych ERT nej

łasn ym korz ów t m

ara zoś

ści r

taki TRU

obja

nośc i m zys z w meto mi ści

regr

ich j UE,

aśni

ci f meto tyw wyk odą ryz pra

resji

jak WE iane

funk odam wan korz sto zyka ace

i kw

płe EITH ej: w

kcji mi ne w

zyst oso a n ba

want

eć, p HG wiek

i kw esty w es

tani owa a o adaw

tylow

pala GAIN

k ma

wan yma stym iem

ną gon wcz

wej

cz, N, C

atki

ntylo acji mac m pro

z nach ze [

j

wag COL

i

owy i re cji m

ogr uw h ro [Trz

ga n LLE

ych egre mod ram wagą

ozk zpio

now EGE

h or esji delu mów

ą w kład

ot, woro

ETR

raz kw u, ja w ko

w r dów Kr

odka RUE

reg want ak r omp różn w i t

rężo 15

a, E),

gresj tylo rów pute nyc tem ołek

5

ji o- w- e- ch mu k,

Grażyna Trzpiot 156

2009, Trzpiot, Majewska, 2010] W tym artykule wykorzystano dostępną bazę danych, aby wskazać możliwość pracy na zbiorach niekoniecznie posiadających wartości odstające. Niezależną ścieżką badawczą są zastosowania regresji kwan- tylowej z parametrem przestrzennym [Trzpiot, 2014; Trzpiot, Orwat-Acedańska, 2016]. Prace aplikacyjne w powiązaniu z miarami ryzyka to osobne rozważania, często modele mają wówczas charakter modeli dynamicznych w odniesieniu do szeregów czasowych.

Literatura

Abrevaya J. (2001), The Effects of Demographics and Maternal Behavior on the Distribu- tion of Birth Outcomes, “Empirical Economics” March, Vol. 26, No. 1, s. 247-257.

Angrist J., Chernozhukov V., Fernandez-Val I. (2006), Quantile Regression under Mis- specification, “Econometrica” March, Vol. 74, Iss. 2, s. 539-563.

Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999), Coherent Risk Measures, “Mathe- matical Finance”, No. 9(3), s. 203-228.

d’Haultfoeuillle X., Givord P. (2014), La régression quantile en pratique, “Économie et Statistique”, No. 471, s. 85-113.

Donnelly C., Embrechts P. (2010), The Devil is in the Tails: Actuarial Mathematics and the Subprime Mortgage Crisis, “ASTIN Bulletin”, May, Vol. 40(01), s. 1-33.

Föllmer H., Schied A. (2002), Convex Measures of Risk and Trading Constraints, “Fi- nance & Stochastics”, No. 6(4), s. 429-447.

Hyndman R., Fan Y. (1996), Sample Quantiles in Statistical Packages, “American Stat- istician”, No. 50, s. 361-365.

Koenker R. (2005), Quantile Regression, Econometric Society Monograph Series, Cam- bridge University Press, Cambridge.

Koenker R., Bassett G. (1978), Regression Quantiles, “Econometrica”, No. 46, s. 33-50.

Li Q., Racine J.S. (2007), Nonparametric Econometrics: Theory and Practice, Princeton University Press, Princeton.

Machado J., Mata J. (2005), Counterfactual Decomposition of Changes in Wage Distri- butions using Quantile Regression, “Journal of Applied Econometrics” May/June, Vol. 20, Iss. 4, s. 445-465.

Newey W.K., Powell J.L. (1987), Asymmetric Least Squares Estimation and Testing,

“Econometrica”, Vol. 55, No. 4, s. 819-847.

RiskMetrics (1995), Technical Document. Technical Report, Morgan Guarantee Trust Company, Global Research, New York.

Rockafellar R.T., Uryasev S. (2000), Optimization of Conditional Value-at-Risk,

“The Journal of Risk”, No. 2(3), s. 21-41.

Geometryczne własności regresji kwantylowej 157 Trzpiot G. (2007a), Decomposition of Risk and Quantile Risk Measures [w:] Dynamicz-

ne Modele Ekonometryczne, Prace Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, s. 35-42.

Trzpiot G. (2007b), Regresja kwantylowa a estymacja VaR, „Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu”, nr 1176, s. 465-471.

Trzpiot G. (2008), Implementacja metodologii regresji kwantylowej w estymacji VaR,

„Studia i Prace”, nr 9, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin, s. 316-323.

Trzpiot G. (2009a), Application Weighted VaR in Capital Allocation, “Polish Journal of Environmental Studies”, Vol. 18, No. 5B, s. 203-208.

Trzpiot G. (2009b), Estimation Methods for Quantile Regression, „Studia Ekonomiczne.

Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach”, nr 53, s. 81-90.

Trzpiot G. (2014), Some Properties of Spatial Quantiles, “Acta Universitatis Lodziensis.

Folia Oeconomica. Spatial Econometrics”, nr 5(307), Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, s. 141-152.

Trzpiot G. (2016), Semi-parametric Risk Measures, „Studia Ekonomiczne. Zeszyty Na- ukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach”, nr 288(5), s. 108-120.

Trzpiot G., Krężołek D. (2009), Quantiles Ratio Risk Measures for Stable Distributions Models in Finance, „Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Akademii Ekono- micznej w Katowicach”, nr 53, s. 109-120.

Trzpiot G., Majewska J. (2010), Estimation of Value at Risk: Extreme Value and Robust Approaches, „Operation Research and Decisions”, vol. 20, nr 1, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, s. 131-143.

Trzpiot G., Orwat-Acedańska A. (2016), Spatial Quantile Regression in Healthy Life Years in the UE Countries, „Comparative Economic Research”, vol. 19, nr 5, Uni- wersytet Łódzki, s. 179-199.

[www 1] http://freakonometrics.free.fr/natality2005.txt (dostęp: 15.06.2017).

GEOMETRIC PROPERTIES OF THE QUANTILE REGRESSION Summary: The use of ordinal measures, including quantles, is found in various areas of application, in particular robust statistics. The retreat from the classical approach based on the moments of random variables is usually the result of a data set that does not meet the assumptions of the models. The first two moments of the random variable, on which we are building the regression models, are not adequate in describing the sets of observa- tion data sets. Data sets with asymmetric distributions should also not be analyzed using regression models estimated by MNK. The aim of this paper is to present the geomet- rical properties of quantile regression. This methodological approach uses the values of the distribution of the random variables by determining the set of quantiles and the set of regression models.

Keywords: quantiles, quantile regression, property of quantile regression models.