Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia Spis tre±ci

Spis tre±ci

1 Logika i zbiory 1

2 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej 3

3 Ci¡g i granica ci¡gu 6

4 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji 8

5 Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala 10

6 Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji 12

7 Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii 13

8 Caªki nieoznaczone 15

9 Caªki oznaczone 17

10 Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta 18

11 Szeregi liczbowe 19

12 Przestrze« wektorowa 20

13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 22

14 Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy 25

15 Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i jednorodne 26 16 Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elementarnych, rozwi¡zania bazowe 27

17 Ukªady nierówno±ci liniowych 28

18 Funkcje wielu zmiennych 30

19 Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient 31 20 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych 33

21 Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe 34

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 1. Logika i zbiory

Zadanie 1.1. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczy¢ A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Wyniki zaznaczy¢ na osi liczbowej.

a) A =



x ∈ R : 3x³

x²− 1 −4x + 16 x + 1 = 0



B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 5| > 8}

b) A = (

x ∈ R : 3√

log x + 2 logr 1 x = 2

)

B =x ∈ R : log²(x − 1) − 2 log (x − 1) > 0 c) A = {x ∈ R : ||x + 1| + 2| = 2} B = x ∈ R :√

x + 1 −√

x − 1 = 1 d) A = {x ∈ R : |x − 3| + |x + 4| = 9} B =n

x ∈ R : ¹₂
^1−x_|x|

≤ 1o e) A = {x ∈ R : cos 3x = cos x} B = {x ∈ R : cos²2x = 1}

f) A = {x ∈ R : 3 sin x = 2 cos²x} B = {x ∈ R : sin x − cos 2x = 0}

g) A =



x ∈ R : x < 1 x



B =



x ∈ R : 1 + x 1 − x > 1



h) A =



x ∈ R : x²+ 1

x > x² x + 1



B = {x ∈ R : |x + 2| > 3}

i) A = (

x ∈ R : (x + 3)²(x²+ x + 1) (4 − x) x ≥ 0

)

B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 5}

j) A = x ∈ R : logx−2(x − 1) > 1

B = {x ∈ R : |2x − 1| < |x + 3|}

Zadanie 1.2. Oceni¢ warto±¢ logiczn¡ ka»dego ze zda«, a nast¦pnie napisa¢ jego negacj¦:

a) ^

x∈R

x = 2x b) ^

x∈N

x²

x + 1 ≥ x + 2

x + 1 c) _

x∈N

1

x + 1 ≥ 1 x + 2

d) ^

x∈N

3x + 1

2x + 1 ≥ 0 e) _

x∈R

−2x²+ x − 4

−3x²− 2 ≤ 0 f) _

x∈C

2x²− 4x + 2

−2x²− 3 ≤ 0

g) ^

x∈R

|x + 1|

x²+ 1 ≥ 0 h) _

m∈N

_

n∈N

m²+ n² = 10 i) ^

x∈R

_

y∈R⁺

y = x²− 4

j) ^

x∈C⁻

_

y∈N

x ≤ y k) _

y∈N

^

x∈C⁻

x ≤ y

Zadanie 1.3. W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory A × B oraz B × A, je±li:

a) A = {x ∈ R : x = 1, 2, . . .} B = {y ∈ R : y = 0}

b) A = {y ∈ R : y ≤ 2} B = {x ∈ R : x > 2}

c) A = {x ∈ R : |x − 2| > 3} B = {y ∈ R : |y + 2| ≤ 3}

d) A =



x ∈ R : x²− 2x + 1 4x − x² ≥ 0



B = {y ∈ R : 0 < |y| < 3}

e) A = {y ∈ R : 1 < |y| < 5} B =



x ∈ R : 16 − x² x³ + 27



f) A = {x ∈ C : log2(x²− 1) < 3} B =



y ∈ R : 2y − 1 y + 1 < 1



g) A = {x ∈ C : log2(x + 1) + log₂(x − 1) < 3} B = (−1, 2) h) A =n

t ∈ R : log¹

3 (− |1 − t| + 4) < −1o

B =



x ∈ R : x³− x²− 4x + 4

x − 1 ≤ 0



Zadanie 1.4. W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory punktów:

A = {(x, y) : 2x − y − 2 > 0} B = {(x, y) : x + 3y + 6 ≤ 0}

C = {(x, y) : x − 2y < 0} D = {(x, y) : x − y ≥ 4 ∧ 2x − y < 6}

E = {(x, y) : 2x + y ≥ 2 ∧ 4x + 2y ≤ 12} F = {(x, y) : x + 2y > 0 ∧ x < −2}

G = {(x, y) : |x| − 1 < y} H = {(x, y) : |y − 1| + x > 3}

I = {(x, y) : y ≤ 3 − |x − 2|} J =(x, y) : ¹₂x + |y − 2| ≤ 2 K = {(x, y) : |y − 1| − 2 < 3x} L = {(x, y) : |x − 1| < y}

M = {(x, y) : |x| − |y − 2| ≤ 2} N = {(x, y) : |2x + 4| − |y| = 4}

O = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 4} P = {(x, y) : |y − 3| < 2}

Q = {(x, y) : |1 − x| ≥ 3} R = {(x, y) : |x − 3| ≥ 2}

S = {(x, y) : |y + 1| < 3} T = {(x, y) : x²− y² ≤ 0}

Zadanie 1.5. Zaznaczy¢ w prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych sum¦, iloczyn i ró»nic¦ zbiorów A i B:

a) A = {(x, y) : |x + 2| < 4} B = {(x, y) : |x − 1| + y ≥ 3}

b) A = {(x, y) : x²+ y²− 2x − 4y ≤ 0} B = {(x, y) : x − 4y ≥ 0}

c) A = {(x, y) : |x| + x = y + |y|} B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} . Zadanie 1.6. Obliczy¢:

(−1)^13!, ^3·13!_15! , ⁶₂

, ¹³₁₁
, P¹⁵

k=7

5, P⁵

k=2

5k − ²_k
, P⁴

k=0

−¹₂
k

, Q⁵

i=2

iⁱ, Q⁶

i=0

i²(i − 1), Q³

k=0

sin kπ,

3

PP³ _i, P³ P⁵ ₂ .

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 2. Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

Zadanie 2.1. Dla funkcji

f (x) = 1 − x 1 + x znale¹¢: f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f ¹_x

, _{f (x)}¹ . Zadanie 2.2. Dana jest funkcja

f (x) =

( 2^x dla |x| ≤ 2 x²− 1 dla |x| > 2 Obliczy¢: f (−1), f (0), f (2), f (−8), f (8).

Zadanie 2.3. Dane s¡ funkcje f (x) = x³ − x oraz g (x) = sin 2x. Obliczy¢: f g ₁₂^π

, g (f (1)), g (f (2)), f (f (f (1))).

Zadanie 2.4. Znale¹¢: f (f (x)), g (g (x)), f (g (x)), g (f (x)), je»eli f (x) = x² oraz g (x) = 2^x. Zadanie 2.5. Wyznaczy¢ dziedziny funkcji:

a) f (x) = x²

x + 1 b) f (x) = √⁴

1 − x² c) f (x) = 1

√x²− 4x d) f (x) = (x − 2)r 1 + x 1 − x e) f (x) =√

2 + x − x²+ 1

√x²− 3x f) f (x) = e^x2−x−21 g) f (x) = 1

log (1 − x) +√

x + 2 h) f (x) = log |x|

i) f (x) = log (sin x) j) f (x) = ln (e^x− e) k) f (x) = logx2 l) f (x) = arc sin 2x

1 + x m) f (x) = arc cos 2x

1 + x² n) f (x) = 1 + x

π 6

2

− (arc sin x)² o) f (x) =√

3 − x + arc sin3 − 2x

5 p) f (x) = arc sin (1 − x) + log (log x) Zadanie 2.6. Czy funkcje f i g okre±lone nast¦puj¡co:

a) f (x) = x²+ 1 i g (z) = z²+ 1 b) f (x) = √

x² i g (z) = z c) f (x) = |x| i g (z) =√

z² d) f (x) = ^x_x i g (z) = 1

e) f (x) = 1 i g (z) = sin²z + cos²z f) f (x) = 1 i g (z) = tg z · ctg z s¡ równe?

Zadanie 2.7. Dane s¡ funkcje:

A) f (x) = x³ B) f (x) = sin x C) f (x) = 1

x dla x 6= 0 Naszkicowa¢ wykresy funkcji:

a) x 7→ f (x) b) x 7→ −f (x) c) x 7→ f (−x) d) x 7→ f (x) − 1 e) x 7→ f (x + 1) f) x 7→ f (2 − x) + 1 g) x 7→ |f (x)| h) x 7→ f (|x|)

Zadanie 2.8. Odwoªuj¡c si¦ do wykresów poda¢ zbiory warto±ci nast¦puj¡cych funkcji:

a) f (x) = x − ¹₂
2

+ 3 b) f (x) = ln (2 − x) + 1 dla x < 2 c) f (x) = |1 − |x − 2|| + 3 d) f (x) = 1 − e^2−x

Zadanie 2.9. Na podstawie wykresów poda¢ wªasno±ci funkcji:

a) f (x) = |x| b) f (x) = |x| + 1 c) f (x) = |x − 2|

d) f (x) = − |x + 1| e) f (x) = 2 − |x + 1| f) f (x) = |4 − x²| g) f (x) = x²− 3x h) f (x) = (x − 1)²− 4 i) f (x) = 2^x+1 j) f (x) = 2^x− 2 k) f (x) = 3^x−2− 1 l) f (x) = 1 − ²₃
x

m) f (x) = log3(x + 2) n) f (x) = log¹

2 (−x) + 1 o) f (x) = tg x − ^π₂
p) f (x) = −2 sin x q) f (x) = sin 2x r) f (x) = 2 + sin 2x s) f (x) =

( x + 1 dla x < 0 1 − x² dla x ≥ 0

Zadanie 2.10. Wyja±ni¢, które z poni»szych funkcji s¡ parzyste, a które nieparzyste:

a) f (x) = (x − 1)² b) f (x) = x |x| c) f (x) = 2 + x² x² d) f (x) =√

1 + x² e) f (x) = 3^x− 3^−x f) f (x) = x log x² g) f (x) = 1 + cos 2x h) f (x) = sin²x i) f (x) = |sin x|

j) f (x) = sin x

x³ k) f (x) = sin x³

Zadanie 2.11. Okre±li¢ funkcje zªo»one f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g, je»eli:

a) f (x) = x², g (x) = 2^x b) f (x) = 2 + cos x, g (x) =√ x Zadanie 2.12. Z jakich funkcji zªo»ona jest funkcja:

a) f (x) = (1 − 3x²)⁵ b) f (x) = 1

(1 − x²)⁴ c) f (x) =q³

(4 + 3x)² d) f (x) = ln x

x² + 1 e) f (x) = sin 2x f) f (x) = sin²x

2 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

Zadanie 2.13. Znale¹¢ funkcje odwrotne do nast¦puj¡cych funkcji i sporz¡dzi¢ wykresy obu funkcji w jednym ukªadzie wspóªrz¦dnych:

a) f (x) = 3x + 5 b) f (x) = x² dla x ≤ 1 c) f (x) =√ 2x + 3 d) f (x) = 3^x+2− 1 e) f (x) = log2(x + 3) f) f (x) = 1 + log¹

2 x

Zestaw 3. Ci¡g i granica ci¡gu

Zadanie 3.1. Napisa¢ kilka pierwszych wyrazów ci¡gu (an) okre±lonego nast¦puj¡co:

a) an = 2 b) an= n⁽⁻¹⁾ⁿ c) an= (−1)ⁿ

n + 1 + (−1)ⁿ 2 d) an = (−1)ⁿ⁺¹· 3

n + 1 e) an= −n (2 + (−1)ⁿ) f) an = sin^nπ₂ g) an = (−1)ⁿ+ sin^nπ₂ h) an= 1 + n sin^nπ₂ i) an= 1 + n

n + 1cos^nπ₂

Zadanie 3.2. Obliczy¢ pi¡ty wyraz ci¡gu (an) ,je±li suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n²−3n.

Zadanie 3.3. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gów o wyrazach ogólnych an+ bn, an− bn, an· bn oraz ^a_bnⁿ, je±li:

a) an = 2n²+ 3n − 1, b_n= 2n²+ 3n b) an= 3n²− 7, b_n= 2n²+ 4 c) an = n, bn = 1

n d) an= n + 1

n , bn = n²

Czy w powy»szych prypadkach mo»na korzysta¢ z twierdzenia o granicy sumy, ró»nicy, iloczynu i ilorazu ci¡gów?

Zadanie 3.4. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):

a) lim

n→∞(n²+ 5n − 6) b) lim

n→∞(−2n⁷ + 3n² − 4) c) lim

n→∞

n²+ 3n n²− 1 d) lim

n→∞

6n³− 1

3n³+ 2n − 4 e) lim

n→∞

n²− 2

n f) lim

n→∞

−3n³+ 1 n²+ 4 g) lim

n→∞

n − 1

n²+ 2n − 1 h) lim

n→∞

n³+ 2n − 1

n⁴ + n i) lim

n→∞

(1 − 2n)³ (2n + 3)²(1 − 7n) j) lim

n→∞

 2n + 3 n + 1

3

k) lim

n→∞

1 + 2 + 3 + . . . + n

(3n − 1)² l) lim

n→∞

2 + 4 + 6 + . . . + 2n (1 − 9n²) m) lim

n→∞

1 − 2n 2 +√

n n) lim

n→∞

2 +√ n

1 − 2n o) lim

n→∞

(3 −√ n)² 5 + 4n p) lim

n→∞

r9n²+ 4n

n²+ 3 q) lim

n→∞

√2n − 1 −√ n − 7

r) lim

n→∞ 3n −√

9n² + 1
s) lim

n→∞

√4n²+ 9n − 2 − 2n

t) lim

n→∞

√3

n³+ 5 − n

u) lim

n→∞eⁿ⁺¹ⁿ v) lim

n→∞2ⁿ¹ w) lim

n→∞

4ⁿ⁻¹− 5

2²ⁿ− 7 x) lim

n→∞

2ⁿ⁺¹− 3ⁿ⁺² 3ⁿ⁺² y) lim

n→∞

√n

2ⁿ+ 3ⁿ z) lim

n→∞

√n

4n²+ n + 5 aa) lim

n→∞

n

q 1 2

n

+ ²₃
n

+ ³₅
n

ab) lim

n→∞

sin n

n + 1 ac) lim

n→∞

n

n²+ 1sin (3n + 1) ad) lim

n→∞

√3

n²sin n n + 1 ae) lim

n→∞

 n − 1 n + 2

n

af) lim

n→∞



1 + 2 n + 1

n+1

ag) lim

n→∞

 n + 4 n

2n

3 Ci¡g i granica ci¡gu

Zadanie 3.5. Poda¢ wzór na procent skªadany. W którym banku nale»y zªo»y¢ roczn¡ lokat¦ ter- minow¡, je±li w Banku I dopisuje si¦ 21% co póª roku, natomiast w Banku II dopisuje si¦ 10% co kwartaª?

Zadanie 3.6. Zaªó»my, »e fundusz wyj±ciowy 40 000 zª podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitaªu mo»na si¦ spodziewa¢ po upªywie tego okresu?

Jaki byªby kapitaª w przypadku oprocentowania skªadanego?

Zadanie 3.7. Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitaªu wyj±cio- wego 4000 zª w oprocentowaniu prostym wynios¡ 1000 zª?

Zadanie 3.8. Odsetki od kapitaªu wyj±ciowego 5400 zª oprocentowanego w systemie prostym przez 9 miesi¦cy wynosz¡ 360 zª. Wyznaczy¢ roczn¡ stop¦ procentow¡.

Zadanie 3.9. Niech roczna stopa procentowa wynosi 10%. Po ilu latach kapitaª pocz¡tkowy potroi si¦, je±li oprocentowanie jest:

a) proste, b) skªadane?

Zadanie 3.10. (¹) Do pewnego banku wpªacono 12 000 zª na 3 lata. Jak du»e odsetki wypªaci bank po tym okresie, je±li stopa procentowa w pierwszym roku wynosiªa 18%, natomiast w latach nast¦pnych zostaªa zmniejszona do 15%?

Zadanie 3.11. Pewien starszy pan otrzymaª spadek w wysoko±ci 20 000 zª i zdeponowaª go w banku.

Po 12 latach zgromadzony w banku kapitaª, ów pan podarowaª wnuczce. Jaki du»y posag otrzymaªa wnuczka, je±li stopa procentowa w banku byªa zmienna i wynosiªa w pierwszych czterech latach 18%, w nast¦pnych pi¦ciu latach 15%, a przez ostatnie trzy lata byªa na poziomie 10%?

1W zadaniach3.103.11przyjmujemy, »e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu.

Zestaw 4. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

Zadanie 4.1. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):

a) lim

x→1

(x − 1)√ 2 − x

x²− 1 b) lim

x→¹₂

8x³− 1

6x²− 5x + 1 c) lim

x→1

 1

1 − x − 3 1 − x³



d) lim

x→4

√1 + 2x − 3

√x − 2 e) lim

x→3

√x + 13 − 2√ x + 1

x²− 9 f) lim

x→0

sin 5x sin 3x g) lim

x→^π₂

cos x

π − 2x h) lim

x→0

1 − cos x

x² i) lim

x→∞

 x²+ 1 x²− 2

x²

j) lim

x→∞

√1 + x + x²−√

1 − x + x²

k) lim

x→∞

√x + 3 −√ x + 1

l) lim

x→∞x sin¹_x m) lim

x→0x ctg 3x, n) lim

x→∞

 2x + 3 2x + 1

x+1

o) lim

x→∞

 3x − 1 2x + 1

2x−5

p) lim

x→0

√cos x − 1

x² q) lim

x→^π₄

cos x − sin x

cos 2x r) lim

x→0

sin 5x − sin 3x sin x Zadanie 4.2. Obliczy¢ granice jednostronne funkcji f w punkcie x0, je±li:

a) f (x) = 1

x − 3, x₀ = 3 b) f (x) = 1

3 − x, x₀ = 3 c) f (x) = 1

(3 − x)², x₀ = 3 d) f (x) = x + 1

x − 1, x₀ = 1 e) f (x) = 1

x² − 4, x₀ = 2 f) f (x) = 2^x−11 , x₀ = 1 g) f (x) = 4^x2−41 , x₀ = 2 h) f (x) = e^4−x21 , x₀ = −2 i) f (x) = x

1 + e^x1, x₀ = 0 Zadanie 4.3. Obliczaj¡c granice jednostronne zbada¢, czy istniej¡ granice:

a) lim

x→1

x + 1

x − 1 b) lim

x→0x [x] c) lim

x→1

|x − 1|³

x³− x² d) lim

x→1e^1−x21

Zadanie 4.4. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji f i poda¢ rodzaje nieci¡gªo±ci, je»eli:

a) f (x) =

( 2^x+ 3 dla x ≤ 0

(x − 2)² dla x > 0 b) f (x) =

( x − 1 dla x < 0

3^x dla x ≥ 0 c) f (x) =

( e^1−xx dla x 6= 1 0 dla x = 1

d) f (x) =

( sin x

x dla x 6= 0

0 dla x = 0 e) f (x) =

( cos¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0 f) f (x) =

( arctg¹_x dla x 6= 0 0 dla x = 0

Zadanie 4.5. Sprawdzi¢, czy mo»na dobra¢ warto±ci parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R byªa ci¡gªa, je»eli:

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

a) f (x) =

( 2^x+ 8 dla x ≤ 0

(x − a)² dla x > 0 b) f (x) =

( cos^πx₂ dla x ≤ 1 a |x − 1| dla x > 1

c) f (x) =







−a

x dla x ≤ −1

2x + 3 dla −1 < x ≤ 1 b (x − 2)²+ 3 dla x > 1

d) f (x) =







2 + e^x1 dla x < 0

sin ax

3x dla x > 0 b dla x = 0

Zestaw 5. Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala

Zadanie 5.1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji:

a) f (x) = −2x²+ 3x + 1 b) f (x) = x⁻² c) f (x) = e^−x d) f (x) = 1 sin x Zadanie 5.2. Obliczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1) f(x) = 3 2) f(x) = x⁴ + 3x²− ¹_x +√

x 3) f(x) = 2x³− x² 4) f(x) = 5x − 1

3 − 2x 5) f(x) = x²− 1

x²+ 1 6) f(x) = 2

x³− 1 7) f(x) = x√

1 + x² 8) f(x) = (√

x + 1)( 1

√x − 1) 9) f(x) = x²e 10) f(x) =



x³+ 1 x²



e^x 11) f(x) = 10^x 12) f(x) = x

4^x 13) f(x) = 2√

x − 3 ln x + 1 14) f(x) = x ln x 15) f(x) = ln x 1 + x² 16) f(x) = log3x 17) f(x) = sin x + cos x 18) f(x) = x³sin x 19) f(x) =√

x cos x 20) f(x) = sin x

x⁴+ 4 21) f(x) = sin x − cos x sin x + cos x 22) f(x) = arc sin x + arc cos x 23) f(x) = x arc sin x 24) f(x) = x + arctg x 25) f(x) =q

1−x

1+x 26) f(x) = ln(e^x+√

1 + e^x) 27) f(x) = e^{(x2−3x−4)} 28) f(x) = cos1 −√

x 1 +√

x 29) f(x) = (2x³− 1)⁵ 30) f(x) = 1 + x² 1 + x

5

31) f(x) =

 sin x 1 + cos x

3

32) f(x) = cos³4x 33) f(x) =

√4x²+ 2 3x⁴ 34) f(x) = (2x + 1) 2^2x+1 35) f(x) = (1 +√⁴

x) tg (√

x) 36) f(x) = sin 2x cos²x 37) f(x) = arc sin^x₂ 38) f(x) = arc sin√⁴

1 − 5x 39) f(x) = arctg 2x 1 − x² Zadanie 5.3. Obliczy¢ pochodne f⁰, f⁰⁰, f⁰⁰⁰ dla podanych funkcji:

a) f(x) = x ln x b) f(x) = (x²+ x + 1) cos x c) f(x) = √ x²+ 1 Zadanie 5.4. Sprawdzi¢, »e funkcja y speªnia warunek:

a) y = e^xsin x, y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 0 b) y = ln²x − 2 ln x, y⁰⁰+ 1

xy⁰− 2 x² = 0

5 Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala

Zadanie 5.5. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢ podane granice:

a) lim

x→1

x³− 1

x²− 1 b) lim

x→0⁺x ln x c) lim

x→−∞x



e^x1 − 1

d) lim

x→0

e^x− x − 1

x² e) lim

x→0

ln (1 + x)

x f) lim

x→e

ln x − 1 x − e g) lim

x→0

1 − cos x

x² h) lim

x→0

sin x

x i) lim

x→0

sin x x cos x j) lim

x→+∞

e^x

x k) lim

x→+∞

ln x

x l) lim

x→+∞

ln x√ x

m) lim

x→1⁺

 x

x − 1 − 1 ln x



n) lim

x→0⁺

x^{sin x} o) lim

x→^π₂⁻

(sin x)^{tg x}

Zestaw 6. Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji

Zadanie 6.1. Znale¹¢ asymptoty wykresów nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = 1

1 − x² b) f(x) = x²

2x + 3 c) f(x) = x x²+ 1 d) f(x) = x³+ x²

x²− 4 e) f(x) = x − 3

√x²− 9 f) f(x) =√

1 + x²+ 2x g) f(x) =

√1 + x²

x h) f(x) = sin x

x i) f(x) = x²e^−x Zadanie 6.2. Wyznaczy¢ ekstrema funkcji:

a) f(x) = 2x³− 15x²+ 36x − 14 b) f(x) = x⁴+ 4x − 2 c) f(x) = x x²+ 4 d) f(x) = (1 − x)²

2x e) f(x) = x −√

x f) f(x) = e^x+ e^−x Zadanie 6.3. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = xe^−3x b) f(x) = x − ln(1 + x) c) f(x) = (x²− 3) e^−x

Zadanie 6.4. Znale¹¢ najwi¦ksze i najmniejsze warto±ci funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = x²− 2x + 3, x ∈ [−2, 5] b) f(x) = 2x³− 3x²− 36x − 8, x ∈ [−3, 6]

c) f(x) = x − 2√

x, x ∈ [0, 5] d) f(x) = x²ln x, x ∈ [1, e]

e) f(x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ 0,³₂π

Zadanie 6.5. Wyznacza¢ punkty przegi¦cia, przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci funkcji:

a) f(x) = x⁴− 12x³+ 48x² b) f(x) = x²− 5x + 6

x + 1 c) (x) = x + sin 2x d) f(x) = xe^−x e) f(x) = ln x

x f) f(x) = x⁴

12 −x³ 3 + x² Zadanie 6.6. Zbada¢ przebieg zmienno±ci i sporz¡dzi¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = x³− 3x²+ 4 b) f(x) = (x − 1)²(x + 2) c) f(x) = x 1 − x² d) f(x) = x³

x − 1 e) f(x) = x√

1 − x² f) f(x) =√ x − x g) f(x) = ln x

x h) f(x) = e^−x2 i) f(x) = e^x

x + 1

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 7. Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii

Zadanie 7.1. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji logistycznej

y = a

1 + be^−cx gdzie a, b, c > 0, x ∈ hx0, ∞) . Naszkicowa¢ wykres krzywej logistycznej.

Zadanie 7.2. Zbada¢ zale»no±¢ popytu y od dochodu x stosuj¡c:

a) dla dóbr podstawowych funkcj¦ Törnquista pierwszego rodzaju y = a x

x + b gdzie a, b > 0, x ∈ hx0, ∞) ,

b) dla dóbr wy»szego rz¦du funkcj¦ Törnquista drugiego rodzaju (c oznacza minimalny dochód) y = ax − c

x + b gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) , c) dla dóbr luksusowych funkcj¦ Törnquista trzeciego rodzaju

y = axx − c

x + b gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) . Poda¢ interpretacj¦ ekonomiczn¡ wynikaj¡c¡ z wykresów tych funkcji.

Zadanie 7.3. Zbada¢ przebieg zmienno±ci:

a) funkcji Pareta (x0 oznacza minimalny dochód) f (x) = a

(x − x₀)^b gdzie a, b > 0, x ∈ hx0, ∞) , b) prognostycznej funkcji Gomperteza

f (x) = ab^cx gdzie a, b, c > 0

Zadanie 7.4. Przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 100, zysk rmy wynosi f (x) = 144x − x²− 400zª (144 zª to bezpo±redni zysk na ka»dej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty staªe powoduj¡ strat¦ x² + 400 zª ). Firma produkuje obecnie x = 70 jednostek towaru i na ka»dej jednostce ma zysk f(70)/70 = 4780/70 ≈ 68.29 zª. Czy opªaca si¦ jej zwi¦kszy¢ produkcj¦? Ile wynosi warto±¢ kra«cowa zysku dla x = 70? Wyznaczy¢ funkcj¦ kra«cow¡ zysku.

Zadanie 7.5. Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 200, wynosi k(x) = 60x − 0.25x^3/2+ 80 zª. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x − 0.03x² zª. Poda¢ funkcje: kkr(x) kosztu kra«cowego, ukr(x) utargu kra«cowego oraz zkr(x) zysku kra«cowego. Ile wynosi koszt kra«cowy, utarg kra«cowy oraz zysk kra«cowy dla x = 100?

Zadanie 7.6. Wyznaczy¢ elastyczno±¢ funkcji:

a) y = 3x − 6 b) y = 1 + 2x − x² c) y = 2x²+ 3x − 2 d) y = 120 − 0.4x² e) y = e^−x f) y = x ln x

g) y = x − 6 dla x = 10 h) y = 1 + 2x + ¹₂x² dla x = 1

Zadanie 7.7. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji ka»dej tony wynosi 4700 − 2x zª. Poda¢ elastyczno±¢ kosztu produkcji ze wzgl¦du na wielko±¢ produkcji. Jak wpªynie zwi¦kszenie obecnej produkcji 86 ton o ka»dy procent na zmniejszenie kosztów produkcji ka»dej tony?

Zadanie 7.8. Na podstawie okresu 1960  1970 oszacowano kilka wariantów funkcji popytu na obuwie:

y = 0.502 + 0.25x y = e^−0.83x^0.86 y = 1.86 + 0.127t

gdzie x, y, t oznaczaj¡ odpowiednio dochód realny netto na jednego mieszka«ca w tys. zª w roku t, zu»ycie obuwia w parach na jednego mieszka«ca w roku t, czas (t = 1 dla 1960 roku). Na podstawie modelu liniowego obliczy¢ elastyczno±¢ dla rocznego dochodu 10000 zª.

Zadanie 7.9. Funkcja popytu na pomidory ma posta¢ y = 120 − 0.4x², gdzie x oznacza cen¦

pomidorów w zª na kg, natomiast y popyt miesi¦czny w kg na osob¦. Wyznaczy¢ elastyczno±¢ popytu dla ceny maksymalizuj¡cej utarg.

Zadanie 7.10. Pewna rma mo»e wyprodukowa¢ x sztuk pewnego towaru miesi¦cznie przy koszcie produkcji sztuki po 130 − 0.01x zª, za± ka»d¡ sztuk¦ mo»na sprzeda¢ w cenie 800 − 0.5x zª. Ponadto staªe miesi¦czne koszty rmy wynosz¡ 90000 zª. Firma jest w stanie wyprodukowa¢ miesi¦cznie co najwy»ej 650 sztuk. Przy jakiej miesi¦cznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi?

Zadanie 7.11. Jakie wymiary powinien mie¢ walec o podstawie koªowej, aby zminimalizowa¢ koszty materiaªu na jego wykonanie? Walec ma mie¢ pojemno±¢ 8800 cm³. Na wyci¦cie kóª na obie podstawy trzeba przeznaczy¢ odpowiednie kwadratowe kawaªki materiaªu. Cena materiaªu na obie podstawy jest o 10% wy»sza ni» koszt materiaªu na powierzchni¦ boczn¡.

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 8. Caªki nieoznaczone

Zadanie 8.1. Wyznaczy¢ t¦ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f (x) = ln x

x , x > 0, do wykresu której nale»y punkt A(1, −1).

Zadanie 8.2. W oparciu o wªasno±ci caªek obliczy¢:

a)Z

(x³− 3x²+ 2x) dx b)Z

(x²− 1)³

x dx c) Z

x

1 − xdx d)Z x⁴ x²+ 1dx e)Z 

3√³

x²+ 1

x³ − 2x√ x



dx f) Z x√³ x +√⁴

x

x² dx g)Z x²−√ x

√3

x dx h)Z

√4

3^xdx

i)Z q xp

x√

xdx j) Z

2^x− 5^x

10^x dx k) Z

e^−2x− 4

e^−x+ 2dx l)Z

e^3x− 1 e^x− 1dx m) Z

cos 2x

cos x − sin xdx n)Z

sin² x

2dx o)Z

ctg²xdx p)Z

dx sin²x cos²x Zadanie 8.3. Stosuj¡c metod¦ podstawiania obliczy¢ caªki:

a)

Z xdx

1 + x² b)

Z xdx

(x²+ 3)⁶ c)

Z e^3xdx

1 + e^6x d)

Z x³dx q

(1 − x²)³ e) Z

x√

x − 3dx f) Z √

3x + 1dx g)Z x√

1 + x²dx h) Z e^x1 x²dx i) Z dx

x√

x²− 2 j) Z xdx

√x²− 9 k) Z x³dx

√1 − x⁸ l) Z e^−4xdx

√4 + e^−4x

m) Z sin xdx

3 + 2 cos x n)Z

sin x cos xdx o)Z cos ln x

x dx p) Z

xe^−x2dx

Zadanie 8.4. Obliczy¢ caªkuj¡c przez cz¦±ci:

a) Z

x cos xdx b)Z

x²e^xdx c) Z

e^xcos xdx d)Z

x sin x cos xdx e) Z

x ln²xdx f) Z

ln xdx

x² g) Z

xdx

sin²x h)Z

(x − 1) e^x x² dx i) Z

x²sin xdx j) Z

e^2xsin xdx k) Z xdx

cos²x l)Z

xe^−3xdx

Zadanie 8.5. Obliczy¢ nast¦puj¡ce caªki:

a)Z

cos²xdx b)Z

sin²xdx c)Z

sin⁵x cos xdx d)Z cos xdx

√1 + sin x e)Z

x ln (1 + x²) dx f) Z p2 + ln |x|

x dx g)Z

xdx

x⁴+ 1 h)Z

x²dx

√1 − x⁶

Zadanie 8.6. Dana jest funkcja kosztów kra«cowych produkcji K_K(x) = 0.2x + 11

gdzie x oznacza wielko±¢ produkcji. Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztów caªkowitych, je»eli koszt caªkowity wyprodukowania 10 sztuk wyrobu wynosi 260 zª.

Zadanie 8.7. Zaªó»my, »e funkcja kosztu kra«cowego przy produkcji opon w ci¡gu dnia zale»y od wielko±ci produkcji x wedªug wzoru

f (x) = 10 − 0.4x + 0.09x², gdzie x > 0.

Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztu przeci¦tnego produkcji opon, je»eli koszty staªe ponoszone w ci¡gu dnia wynosz¡ 2000 jednostek pieni¦»nych.

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 9. Caªki oznaczone

Zadanie 9.1. Obliczy¢ caªki oznaczone:

a)

2

Z

0

dx

x²+ 4 b)

1

Z

−1

√ dx

4 − x² c)

1

Z

0

xe^−xdx d)

π

Z

0

x²cos xdx

e)

π

Z2

−π 2

cos³xdx f)

π

Z4

0

x dx

cos²x g)

2

Z

1

1

x²dx h)

e

Z

1

ln x x dx Zadanie 9.2. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = x³− 2x²− 3x, x = −1, x = 2 i osi¡ OX b) y = 1

1 + x², x = −1, x = 1 i osi¡ OX c) y = x², y² = x

d) y = x³, y = 4x

e) y = 10^x, y = 100, y = 10, x = 0 f) y = e^x, y = e^−x, x = 1

g) y = x²− 4, y = 4 − x² h) y = 1

1 + x², y = x² 2 i) y = a

x², x = a, x = 2a, y = 0 (a > 0)

Zadanie 9.3. Obliczy¢ warto±ci ±rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = sin³x, x ∈ [0, π] b) g(x) = e^x, x ∈ [−2, 2] c) h(x) = x

√1 − x², x ∈h 0,

√ 2 2

i

Zadanie 9.4. Do magazynu nadchodzi towar, przy czym ilo±¢ towaru nadchodz¡cego w jednostce czasu okre±lona jest funkcj¡ ci¡gª¡ czasu f(t). Obliczy¢ przyrost zapasu w magazynie w odst¦pie czasu od T1 do T2.

Zadanie 9.5. Zapas pewnego wyrobu w magazynie zmniejsza si¦ w czasie t równomiernie z ilo±ci Q jednostek w momencie pocz¡tkowym, do 0 w momencie ko«cowym. Obliczy¢ ±redni¡ wielko±¢ zapasu wyrobu w magazynie.

Zadanie 9.6. Przedsi¦biorstwo nabyªo urz¡dzenie, które zapewnia zysk

Z (t) =



120 − 1 5t²



, t > 0,

gdzie t oznacza liczb¦ lat eksploatacji urz¡dzenia. Koszty zwi¡zane z utrzymaniem urz¡dzenia w stanie sprawno±ci wzrastaj¡ z czasem, przy czym wzrost ten okre±la funkcja

K (t) = t².

Obliczy¢ ª¡czny zysk osi¡gni¦ty z urz¡dzenia w okresie jego eksploatacji.

Zestaw 10. Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta

Zadanie 10.1. Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:

a)

1

Z

0

√xdx

1 − x² b)

3

Z

2

√xdx

x²− 4 c)

π 2

Z

0

tg xdx d)

∞

Z

0

dx 1 + x² e)

∞

Z

√ 3

dx x²+ 9

f)

∞

Z

3

dx

x² g)

∞

Z

0

xe^−x2dx h)

∞

Z

0

e^−xsin xdx i)

0

Z

−∞

e^−xdx j)

−1

Z

−∞

dx x³

k)

∞

Z

−∞

(arctg x)² 1 + x² dx l)

∞

Z

−∞

xdx

x⁴+ 1 m)

2

Z

−1

dx

x n)

1

Z

−1

xdx ln x² Zadanie 10.2. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = e^−x i osiami OX, OY b) y = x

1 + x⁴ i osi¡ OX c) y = 1

p3 _x

3 − 1, y = 0, x = 0, x = 3 d) y = 1

|x − 1|, y = 0, x = 0, x = 2 e) y = 8

x²+ 4, y = 0, x = 0 f) y = ln x, y = 0, x = 0, x = e g) y = q³

(x + 1)², y = 0, x = 0 h) y = 1

x³, x = 1 i osiami ukªadu wspóªrz¦dnych

Zadanie 10.3. Czy pole obszaru zawartego mi¦dzy wykresami funkcji y = 2^x, y = 1

x − ¹₂ i osi¡ OX jest sko«czone?

Zadanie 10.4. Obliczy¢:

a)

∞

Z

0

xe^−x2dx b)

∞

Z

0

x⁵²e^−xdx c)

∞

Z

0

x⁶e^−xdx

d)

∞

Z

0

x√

xe^−3xdx e)

∞

Z

0

x⁵e^−4xdx f)

∞

Z

0

x√³

xe^−2xdx

g)

1

Z

0

x¹² (1 − x)³² dx h)

1

Z

0

x¹² (1 − x)¹² dx i)

1

Z

0

x⁶(1 − x)⁴dx

1

3 5 1

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 11. Szeregi liczbowe

Zadanie 11.1. Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce szeregi s¡ zbie»ne oraz wyznaczy¢ ich sumy:

a) P^∞

n=1

1

(n + 1) (n + 2) b) P^∞

n=2

3ⁿ+ 2ⁿ 6ⁿ

Zadanie 11.2. Korzystaj¡c z warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢, »e podane szeregi s¡ rozbie»ne:

a) P^∞

n=1

n + 2

n + 100 b) P^∞

n=2

n

ln n c) P^∞

n=2

n

r n

1000 d) P^∞

n=1

 1 − 1

n

n

Zadanie 11.3. Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a) P^∞

n=1

n

n³+ 1 b) P^∞

n=1

n sin_n¹2 c) P^∞

n=1

tg 1

√n d) P^∞

n=2

√n + 1

n²− 3 e) P^∞

n=1

2ⁿ+ 1 3ⁿ− 1 Zadanie 11.4. Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a) P^∞

n=1

3ⁿ

n³ b) P^∞

n=1

3ⁿ− 2ⁿ

5ⁿ− 4ⁿ c) P^∞

n=2

n tg π

2ⁿ d) P^∞

n=1

(n!)(3n)!

[(2n)!]² e) P^∞

n=1

(2n)!

n²ⁿ Zadanie 11.5. Korzystaj¡c z kryterium Cauchy'ego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a) P^∞

n=1

 2n + 1 3n + 1

n

b) P^∞

n=2

πⁿ n − 1 n

n²

c) P^∞

n=1

 arctg n π

n

d) P^∞

n=1

(n − 5)ⁿ

√nⁿ

Zestaw 12. Przestrze« wektorowa

Zadanie 12.1. Wyznaczy¢ wektor x ∈ R³, je»eli:

a) x = 2a1− 3a₂+¹₂a₃ b) x = a3− a₂+ 2a₁

gdzie: a1 = (3, −1, 2), a2 = (−5, 1, −2), a3 = (2, −8, 4) Zadanie 12.2. Obliczy¢ wektor x = 2a − 3b + 7c, je»eli:

a) a = (4, −1), b = (3, 2), c = (5, −6)

b) a = (4, 0, −7, 6), b = (3, 2, −18, 7), c = (1, −3, −2, 2)

Zadanie 12.3. Czy wektor b mo»na zapisa¢ jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów a1 i a2, je»eli:

a) b = (3, 4), a1 = (1, 2), a2 = (−1, 2) b) b = (2, 7), a1 = (3, 1), a2 = (−6, −2)

Zadanie 12.4. Napisa¢ x = (3, −4, 2) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Czy mo»na przedstawi¢ e3 jako kombinacj¦ liniow¡ e1, e2 i x?

Zadanie 12.5. Przedstawi¢ wektor y = (4, 1, 0, 6) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e1 = (1, 0, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)?

Zadanie 12.6. Udowodni¢, »e dane wektory s¡ liniowo niezale»ne:

a) x1 = (2, 7), x2 = (−3, 1)

b) x1 = (1, 3, 1), x2 = (2, 1, 1), x3 = (2, 0, 1) c) x1 = (1, 1, 1, 1), x2 = (1, 2, 1, 2), x3 = (1, 1, 0, 0) Zadanie 12.7. Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ wektorów:

a) x1 = (3, 4), x2 = (−1, 2)

b) x1 = (3, −2, −3), x2 = (1, 2, 1), x3 = (5, 2, −1)

c) x1 = (2, 0, 0, 0), x2 = (−3, 1, 0, 0), x3 = (0, 4, 3, 0), x4 = (4, 2, 1, −7) Zadanie 12.8. Wykaza¢, »e wektory:

a) x1 = (0, 2, 1), x2 = (2, 1, 0), x3 = (2, 4,³₂)

b) x1 = (−6, 1, 2), x2 = (3, 2, −1), x3 = (−9, −5, 3) nie tworz¡ bazy w przestrzeni R³.

Zadanie 12.9. Udowodni¢, »e wektory:

a) x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, −1, 0), x3 = (0, 0, 1) b) x1 = (1, 1, 1), x2 = (1, 1, 0), x3 = (1, 0, 0) tworz¡ baz¦ w przestrzeni R³.

Zadanie 12.10. Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora x = (1, 0, 0) w bazie utworzonej z wektorów:

12 Przestrze« wektorowa

Zadanie 12.11. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora:

a) x = (4, 2, 0) b) y = (0, −1, 2)

w bazie utworzonej z wektorów: b1 = (1, 0, 0), b2 = (2, 1, 0), b3 = (3, 2, 1). Zadanie 12.12. Obliczy¢ iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a) u = (3, 1), v = (2, 1) b) u = (−1, 5, 2), v = (3, 0, 7) c) u = (1, 0, 3, 4), v = (8, 5, 0, 1)

d) u = e1− e₂+ e₃, v = 3e1− 2e₃, gdzie e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Zadanie 12.13. Obliczy¢ dªugo±ci nast¦puj¡cych wektorów:

a) u = (2, 4, 3) b) v = (1, −√

3,√ 5) c) w = (8, 2, 0, 1) d)−→

P Q, gdzie P = (1, 2, 3), Q = (4, 6, 15)

Zadanie 12.14. Czy podane wektory s¡ ortogonalne:

a) x = (1, 1, 0), y = (1, −1, 0) b) x = (2, −1, 0), y = (1, 0, 1) c) x = (1, 2, 3, 4), y = (−4, 1, −2, 1) d) x = (1, 0, −1, 1), y = (3, 1, 3, 0)

Zadanie 12.15. Dobra¢ parametr m tak, aby wektory x = (m, m, 1, 0) i y = (m, 3, 2, 25) byªy ortogonalne.

Zestaw 13. Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

Zadanie 13.1. Wyznaczy¢ macierze A + B, 2A, 2A − B i A − αB, gdzie α ∈ R, za±:

a) A =

"

3 1

0 −2

# B =

"

−2 4 3 5

#

b) A =







0 7 1 1 0 4

−2 ¹₂ 3





 B =







−2 1 3 0 7 4 1 3 2







c) A =

"

1 −3 0

3 4 −2

# B =

"

2 2 √

2 1 5 −√

3

#

d) A =

"

α 1 − α

−3 4

# B =

"

−α 7 + 2α

0 3α

#

Zadanie 13.2. Obliczy¢ (je»eli istniej¡) nast¦puj¡ce iloczyny: A · B, A · B^T, B · A, B · A^T, gdzie:

a) A =

"

1 −3 0

3 4 −2

# B =







−2 1 3 0 7 4 1 3 2





 b) A =

"

3 1

0 −2

# B =

"

−2 4 3 5

#

Zadanie 13.3. Rozwi¡za¢ równanie (ukªad równa«) macierzowe:

a) 2

"

1 −4 −2

3 7 0

#

+ X =

"

3 −5 2 1 −11 3

#

b)















X + Y =

"

7 0

1 −2

#

2X + 3Y =

"

1 4

5 −1

#

Zadanie 13.4. Obliczy¢ nast¦puj¡ce wyznaczniki:

a)     

7 0

1 −1     

b)       

1 3 −2

2 4 5

−1 0 −2       

c)          

1 0 1 7

0 −3 2 2

0 0 4 −4

0 0 0 5

          Zadanie 13.5. Obliczy¢ wyznaczniki sprowadzaj¡c do postaci trójk¡tnej:

a)          

−1 −2 4 1

−3 1 3 1

0 2 1 4

1 −1 2 0          

b)          

0 1 3 −2

1 2 −1 4

−1 −3 −5 0

1 3 −2 1

Zadanie 13.6. Obliczy¢ poni»sze wyznaczniki korzystaj¡c z rozwini¦cia Laplace'a (a, b, c, d ∈ R):

a)      

1 −2 0 0

0 1 3 5

 b)

2 −1 3 1 3

0 1 0 −1 0

1 3 0 2 −1

 c)

a 3 0 1

0 b 2 −1      

13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

Zadanie 13.7. Rozwi¡za¢ równania:

a)       

2 x + 2 −1

1 1 −2

5 −3 x

= 0 b)

1 + x 1 1 1

1 1 − x 1 1

1 1 1 + x 1

1 1 1 1 − x

= 0

Zadanie 13.8. Przedsi¦biorstwo wytwarza trzy wyroby w ilo±ciach odpowiednio P1 = 100000 jedno- stek, P2 = 300000 jednostek, P3 = 200000 jednostek. Do produkcji zu»ywane s¡ materiaªy 1, 2, 3, a macierz¡ norm ich zu»ycia jest macierz

M =







0, 3 0, 1 0, 0 0, 2 0, 3 0, 2 0, 1 0, 0 0, 1





 .

Obliczy¢ wektor zu»ycia poszczególnych materiaªów w przedsi¦biorstwie.

Zadanie 13.9. Wektorem planowanej produkcji jest P = (100000, 300000, 200000). Przy produkcji zatrudnieni s¡ robotnicy zaliczani do kategorii 1, 2, 3, 4, 5, 6. Macierz¡ norm pracochªonno±ci jest macierz

N =























5 1 0

6 0 10

10 4 3

0 1 5

10 10 0 0 5 20





















 .

Obliczy¢ wektor zatrudnienia Z poszczególnych kategorii robotników (w roboczogodzinach).

Zadanie 13.10. W przedsi¦biorstwie przemysªowym wytwarza si¦ z pi¦ciu surowców S1, S2, S3, S4i S5

dwa póªfabrykaty H1 i H2. Póªfabrykaty w nast¦pnym stadium procesu produkcyjnego s¡ przerabiane na wyroby gotowe G1, G2, G3 i G4. Macierz¡ norm zu»ycia surowców do produkcji póªfabrykatów jest macierz S, a macierz¡ norm zu»ycia póªfabrykatów do produkcji poszczególnych wyrobów gotowych jest macierz H, gdzie:

S =















 4 6 2 4 0 6 2 0 10 4

















H =

"

8 4 6 1 2 6 4 5

# ,

Okre±li¢ planowane zu»ycia surowców, je»eli planowana produkcja towarowa przedsi¦biorstwa obejmuje wyroby gotowe i póªfabrykaty, a planowane ich wielko±ci s¡ dane w postaci nast¦puj¡cych wektorów wielko±ci produkcji:

G =











 100 400 500 300













P =

"

200 100

# ,

gdzie G jest wektorem planowanej wielko±ci produkcji wyrobów gotowych, a P jest wektorem póªfa- brykatów przeznaczonych na sprzeda».

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 14. Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy

Zadanie 14.1. Wyznaczy¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:

a)

"

1 3 2 5

#

(z denicji)

b)







1 −1 0

2 3 1

1 1 1





 c)







1 2 3 0 1 5 1 2 3





 d)













2 0 0 4 0 0 0 1 0 2 0 0

−1 0 1 0













Zadanie 14.2. Rozwi¡za¢ równania macierzowe (X jest macierz¡ o 2 wierszach i 2 kolumnach, Y o 3 wierszach i 2 kolumnach):

a) X ·

"

−1 1

3 −4

#

=

"

−2 −1

3 4

#

b) 3 · X +

"

1 3

−2 1

#

=

"

5 6 7 8

#

· X

c)







1 1 −1

4 5 −4

−2 −3 3





· Y =







1 2

0 −1

2 1







Zadanie 14.3. Obliczy¢ rz¦dy macierzy za pomoc¡ wyznaczników:

a)







2 6 0 1 3 0

−1 3 1





 b)

"

1 3 2 5 2 1 0 2

#

c)







3 −2 4 1

4 2 −4 0

1 1 −2 0





 Zadanie 14.4. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy metod¡ przeksztaªce« elementarnych:

a)







1 2 5 2 4 10 3 6 15





 b)







1 −1 0 2 1

3 1 1 3 2

−1 −3 −1 1 0





 c)























2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1























d)













1 3 5 −1

2 −1 −3 4

5 1 −1 7

7 7 9 1













Zestaw 15. Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i jednorodne

Zadanie 15.1. Rozwi¡za¢ metod¡ wyznaczników nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)







x₁ − 3x₂ + 5x₃ = −4 2x₁ + 5x₂ − x₃ = 3

− x₁ − x₂ + 3x₃ = −4

b)







− x₁ + 2x₂ − x₃ = 2 3x₁ − x₂ + x₃ = ¹₂ 2x₁ + 8x₂ − 3x₃ = 12

c)







5x₁ − 3x₂ + 7x₃ = 0

− 4x₁ + x₂ − 5x₃ = 0 x₁ − x₂ + x₃ = 0

d)















x₂ − 3x₃ + 4x₄ = 0

x₁ − 2x₃ = 0

3x₁ + 2x₂ − 5x₄ = 2

4x₁ − 5x₃ = 0

Zadanie 15.2. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)







1 1 −1

1 −3 2

−1 2 −1











 x₁ x₂ x₃





=







−2 0 1





 b)

"

2 5 −7

3 −8 5

#





 x₁ x₂ x₃





=

"

1 2

#

c)

"

1 −2 5

1 2 −3

#





 x₁ x₂ x₃





=

"

0 0

#

d)













1 ⁴₃ −3 3 2 −5 3 4 −9 5 2 −8

















 x₁ x₂ x₃





=











 3 0 9 0













Zadanie 15.3. Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne i dwa ró»ne rozwi¡zania szczególne ukªadu równa« liniowych:

a)







2x₁ − x₂ + x₃ − x₄ = 0

− x₁ + 3x₂ − x₃ + 2x₄ = 0 x₁ + 2x₂ + x₄ = 0

b)















− x1 + 2x3 + x4 = 0 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0 x₁ + 2x₂ − x₃ = 0 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 0

c)







x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0 2x₁ − 3x₂ + 4x₃ + x₄ = 0 4x₁ − x₂ + 8x₃ + 7x₄ = 0

d)







x₁ − x₂ + 2x₃ = −3 x₂ + x₃ = −2 x₁ − 2x₂ + x₃ = −1

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 16. Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elemen- tarnych, rozwi¡zania bazowe

Zadanie 16.1. Rozwi¡za¢ metod¡ operacji elementarnych nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)







x₁ − 2x₂ = −2 2x₂ + x₃ = 1

x₁ − x₃ = 1

b)







x₁ + 3x₂ − x₃ = 8 x₁ + x₂ − 3x₃ = 2 2x₂ + x₃ = 5

c)







x₁ − 2x₂ = 2

− 2x₁ + 4x₂ + x₃ = 3

− x₁ + 2x₂ + x₃ = 1 d)







x₁ + x₂ + x₃ = 0 2x₁ − x₂ − x₃ = −3 x₁ − x₂ + x₃ = 0 Zadanie 16.2. Znale¹¢ dowolne rozwi¡zanie bazowe ukªadu równa« liniowych:

a)

( x₁ − x₂ + x₃ − x₄ = −1

2x₁ + x₂ − 3x₃ + x₄ = 5 b)







x₁ − x₂ + x₃ + 2x₄ = 0

− x₁ + 2x₂ + x₃ = 1

− 2x₂ + 3x₄ = −2

c)







− 2x₁ + x₃ + x₄ = 5

x₁ + x₂ − x₃ = −2

3x1 + 2x3 + x5 = −2

d)







x₁ − 2x₂ = 1

2x₂ + x₃ = −1

x1 + x3 = 0

Zadanie 16.3. Znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania bazowe nast¦puj¡cych ukªadów równa« liniowych:

a)

( x₁ − 2x₂ + 3x₄ = 2

−2x₁ + 4x₂ + x₃ + x₄ = 3 b)







x₁ + x₂ + x₃ = 1

−2x₁ + 2x₂ + 3x₃ = −1

−x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 0

c)















− 5x2 + x5 = 3

+ 6x2 + x4 = 3

x₁ − 7x₂ = 2

8x₂ + x₃ = 1

d)







x₁ + x₂ + x₃ = 3

− 2x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 3

− x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 6