Matematyka dla kierunku Finanse i Rachunkowość - ćwiczenia

Matematyka dla kierunku Finanse i Rachunkowość - ćwiczenia

Aktualizacja: 8 stycznia 2008

Spis treści

1 Funkcje 1

2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze 3

3 Elementy logiki i teorii mnogości 6

4 Ciąg i granica ciągu 8

5 Granica i ciągłość funkcji 10

6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala 12

7 Zastosowania pochodnej 14

8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji 15

9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii 16

10 Całki nieoznaczone 18

11 Całki oznaczone 20

12 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta 22

1 Funkcje

Zestaw 1. Funkcje

Zadanie 1.1. Dla funkcji

f (x) = 1 − x 1 + x znaleźć: f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f ¡₁

x

¢, _{f (x)}¹ . Zadanie 1.2. Dana jest funkcja

f (x) =

( 2^x dla |x| ≤ 2 x²− 1 dla |x| > 2 Obliczyć: f (−1), f (0), f (2), f (−8), f (8).

Zadanie 1.3. Dane są funkcje f (x) = x³ − x oraz g (x) = sin 2x. Obliczyć: f¡ g¡_π

12

¢¢, g (f (1)), g (f (2)), f (f (f (1))).

Zadanie 1.4. Znaleźć: f (f (x)), g (g (x)), f (g (x)), g (f (x)), jeżeli f (x) = x² oraz g (x) = 2^x. Zadanie 1.5. Wyznaczyć dziedziny funkcji:

a) f (x) = x²

x + 1 b) f (x) = √⁴

1 − x² c) f (x) = 1

√x²− 4x d) f (x) = (x − 2)

r1 + x 1 − x e) f (x) =√

2 + x − x²+ 1

√x²− 3x f) f (x) = arc sin 2x 1 + x g) f (x) = arc cos 2x

1 + x² h) f (x) = 1 + x

¡_π

6

¢₂

− (arc sin x)² i) f (x) =√

3 − x + arc sin3 − 2x 5

Zadanie 1.6. Czy funkcje f i g określone następująco:

a) f (x) = x²+ 1 i g (z) = z²+ 1 b) f (x) = √

x² i g (z) = z c) f (x) = |x| i g (z) =√

z² d) f (x) = ^x_x i g (z) = 1

e) f (x) = 1 i g (z) = sin²z + cos²z f) f (x) = 1 i g (z) = tg z · ctg z są równe?

Zadanie 1.7. Dane są funkcje:

A) f (x) = x³ B) f (x) = sin x C) f (x) = 1

x dla x 6= 0

1 Funkcje

Zadanie 1.8. Odwołując się do wykresów podać zbiory wartości następujących funkcji:

a) f (x) =¡

x − ¹₂¢₂

+ 3 b) f (x) = ln (2 − x) + 1 dla x < 2 c) f (x) = |1 − |x − 2|| + 3 d) f (x) = 1 − e^2−x

Zadanie 1.9. Na podstawie wykresów podać własności funkcji:

a) f (x) = |x| b) f (x) = |x| + 1 c) f (x) = |x − 2|

d) f (x) = − |x + 1| e) f (x) = 2 − |x + 1| f) f (x) = |4 − x²| g) f (x) = x²− 3x h) f (x) = (x − 1)²− 4 i) f (x) = tg¡

x − ^π₂¢ j) f (x) = −2 sin x k) f (x) = sin 2x l) f (x) = 2 + sin 2x m) f (x) =

( x + 1 dla x < 0 1 − x² dla x ≥ 0

Zadanie 1.10. Wyjaśnić, które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:

a) f (x) = (x − 1)² b) f (x) = x |x| c) f (x) = 2 + x² x² d) f (x) =√

1 + x² e) f (x) = 3^x− 3^−x f) f (x) = x log x² g) f (x) = 1 + cos 2x h) f (x) = sin²x i) f (x) = |sin x|

j) f (x) = sin x

x³ k) f (x) = sin x³

Zadanie 1.11. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, jeżeli:

a) f (x) = x², g (x) = 2^x b) f (x) = 2 + cos x, g (x) =√ x Zadanie 1.12. Z jakich funkcji złożona jest funkcja:

a) f (x) = (1 − 3x²)⁵ b) f (x) = 1

(1 − x²)⁴ c) f (x) = ³ q

(4 + 3x)² d) f (x) = ln x

x² + 1 e) f (x) = sin 2x f) f (x) = sin²x

Zadanie 1.13. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych:

a) f (x) = 3x + 5 b) f (x) = x² dla x ≤ 1 c) f (x) =√ 2x + 3

2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze

Zestaw 2. Funkcje logarytmiczne i wykładnicze

Zadanie 2.1. Sporządzić wykresy następujących funkcji:

a) y = 3^x b) y =¡₁

3

¢_x

c) y = 2^x d) y =¡₁

2

¢_x

Zadanie 2.2. Dokonując odpowiednich przekształceń geometrycznych sporządź wykresy funkcji:

a) y = 2^x+3 b) y = 2^x−2 c) y = 2^x+ 1 d) y = 2^x+ 3 e) y = 3 − 2^x f) y = 2^x+2+ 4 g) y = 2^x−3− 2 h) y = −2^x−3+ 3 i) y = −2^x+2− 1

Zadanie 2.3. Rozwiąż równania:

a) 2^x = 8 b) 3^x−2 = 9 c) 2^x+3 = 16^x−1 d)¡₂

3

¢_2x+3

=¡₃

2

¢_−x+2 e) 4^x+5 = 8^7−2x f) 4^x+2 = 2^5−3x g) (0.5)^2x−3 = 8^2−x h) 3^5x−2 = 9^x2

i) 2^x2+5 = 8^2x j) 5^x2−4x+72 =√

5 k) 10^2x2−5x+4= 100 l) 2^x2+6x = 32 Zadanie 2.4. Rozwiąż równania:

a) 2^x+2+ 2^x= 20 b) 3^x+1− 3^x−2 = ²⁶₉ c) 7^x+1+ 2 · 7^x−2 = 345 d) 2^x+2+ 3 · 2^x− 5 · 2^x+1− 6 = 0 e) 3 · 9^x+ 9^x−1− 9^x−2 = 251

Zadanie 2.5. Rozwiąż równania:

a) 2^2x+1− 33 · 2^x−1+ 4 = 0 b) 4^2x+1− 65 · 4^x−1 + 1 = 0 c) 5^2x−1+ 5^x+1− 250 = 0 d) 7^2x+ 3 · 7^x− 689 = 38 · 7^x e) 5 · 2^x+1− 4x − 16 = 0 f) 4^x− 10 · 2^x−1− 24 = 0

Odp.: a) x = −2, x = 3, b) x = −1, x = 2, c) x = 2, d) x = 2, e) x = 1, x = 3, f) x = 3.

Zadanie 2.6. Rozwiąż nierówności:

a) 3^x+3x−1 < 9 b) 3^3x+22−x ≥ ¹₃ c) 2^2x−1x−2 ≥ 0.25 d) ¡₄

5

¢^2x−3

x+2 <¡ 1¹₄¢₂ e) 7^3x−5x+2 ≥√

7 f) ¡₂₅

64

¢^3−x

2x+5 ≥ 1.6 g) (0.25)^x+3x−2 < 2 h) 4√

2 ≤ (0.5)^1−3x2x+3 Odp.: a) x ∈ (−∞, 1) ∪ (5, ∞) , b) x ∈ (−∞, −2i ∪¡

−²₃, ∞¢

, c) x ∈ ¡

−∞,¹₂¢

∪­₄

5, ∞¢

, d) x ∈ (−∞, −2) ∪¡

−¹₄, ∞¢

, e) x ∈ (−∞, −2) ∪­

2²₅, ∞¢

, f) x ∈¡

−∞, −2¹₂¢

, g) x ∈ ¡

−∞, −⁴₃¢

∪ (2, ∞) , h) x ∈ ­

−4¹₂, −1¹₂¢ .

Zadanie 2.7. Rozwiąż nierówności:

a) 2^x+1+ 2^x−1 ≤ 20 b) 2^x+2− 2^x < 24 c) 5 · 2^x+1− 3 · 2^x> 28

2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze

Zadanie 2.8. Rozwiąż nierówności:

a) −2^x+ 4^x ≤ 12 b) 2^x+1+ 2^2x< 80 c) 4^x > 9 · 2^x− 8 d) 2^x+3+ 4 · 4^x ≥ 2⁵ e) 4 ·¡₁

2

¢_2x

− 5 ·¡₁

2

¢_x

+ 1 ≤ 0 f) ¡₁

4

¢_x

> 80 ·¡₁

2

¢_x

− 1024 Zadanie 2.9. Oblicz: a) log₁₀1000, b) log_{2 64}¹, c) log₃₆6, d) log¹

2 32, e) log¹

8 64, f) log¹

3 81, g) log³

5

5 3, h) log³

5 2⁷₉.

Odp.: a) 3, b) −6, c) 0.5, d) −5, e) −2, f) −4, g) −1, h) −2.

Zadanie 2.10. Naszkicuj wykresy funkcji:

a) y = log₂x b) y = log₂x + 3 c) y = log₂(x + 2) d) y = log₂(x + 2) + 3 e) y = log¹

2 x f) y = log¹

2 x − 2 g) y = log¹

2 (x + 4) h) y = log¹

2 (x + 4) − 2 Zadanie 2.11. Rozwiąż równania:

a) log₃x = 2 b) log₂x = −3 c) log₂(2x − 3) = 3 d) log¹

2 (5 − 2x) = −1 e) log_0.5(3 − 3x²) = 1 f) log₃(x²+ 2) = 3 g) log₈ ^3x−5_3x+1 = 1 h) log_0.6 ^2x−1_x−1 = −1

Odp.: a) x = 9, b) x = ¹₈, c) x = 5¹₂, d) 1¹₂, e) x = − q5

6, x = q5

6, f) x = −5, x = 5, g) x = −¹³₂₁, h) x = −2.

Zadanie 2.12. Rozwiąż równania:

a) log₄(2x − 6) + log₄(3x − 11) = 2 b) log (x + 3) − log (x − 1) = log 5 c) log¹

2 (x + 7) − log¹

2 (x − 5) = log¹

2 3 d) log₂₅(x + 2) − log₂₅(x − 2) = ¹₂ e) 2 log (x + 1) − log (x + 7) = log (x − 2) f) 2 log²1

2 x − 9 log¹

2 x + 4 = 0 g) log¹

2 x − log¹

2 (x + 1) − log¹

2 (x + 2) + log¹

2 (x + 4) = 0 h) log²₂x − 2 log₂x³+ 5 = 0 i) ₁₂¹ log²x = ¹₃ − ¹₄log x

Odp.: a) x = 5, b) x = 2, c) x = 11, d) x = 3, e) x = 5, f) x = ^√₂², x = ₁₆¹, g) x = 2, h) x = 2, x = 32, i) x = 0.0001, x = 10.

Zadanie 2.13. Rozwiąż nierówności:

a) log₂x > 4 b) log²

3 (x − 2) < 2 c) log_0.5(2x − 3) ≤ −2 d) log_{2 2x+1}^7−x < 2 e) log¹

2

2+x

1−x ≥ 0 f) log (x²+ 7x + 20) > 1 g) log²

3 (x²− 2x + 1) ≥ 0 Odp.: a) x > 16, b) x ∈ ¡

2⁴₉, ∞¢

, c) x ∈ ­

3¹₂, ∞¢

, d) x ∈ ¡₁

3, 7¢

, e) x ∈ ¡

−2, −¹₂®

, f) x ∈ (−∞, −5) ∪ (−2, ∞) , g) x ∈ h0, 1) ∪ (1, 2i .

Zadanie 2.14. Rozwiąż nierówności:

2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze

a) log₃(x²+ 2) − log₃(x + 1) < 1 b) log¹

3 (x − 1) + log¹

3 (5x + 3) ≤ 2 c) log²1

2 (x + 2) + log¹

2 (x + 2) − 2 ≥ 0 d) 2 log²₄ ^x+4_x−5 + log₄^x−5_x+4 ≤ 1 Odp.: a) x ∈

³−3−√ 13

2 ,^3+√₂¹³

´

, b) x ∈

³1+√ 16

5 , ∞

´

, c) x ∈¡

−2, −1¹₂¢

∪ (2, ∞) , d) x ∈ (−∞, −13i ∪ h8, ∞) .

Zadanie 2.15. Wyznaczyć dziedziny funkcji:

a) f (x) = e^x2−x−21 b) f (x) = 1

log (1 − x) +√ x + 2 c) f (x) = log |x| d) f (x) = log (sin x)

e) f (x) = ln (e^x− e) f) f (x) = log_x2 g) f (x) = arc sin (1 − x) + log (log x)

Zadanie 2.16. Na podstawie wykresów podać własności funkcji:

a) f (x) = 2^x+1 b) f (x) = 2^x− 2 c) f (x) = 3^x−2− 1 d) f (x) = 1 −¡₂

3

¢_x

e) f (x) = log₃(x + 2) f) f (x) = log¹

2 (−x) + 1

Zadanie 2.17. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych:

a) f (x) = 3^x+2− 1 b) f (x) = log₂(x + 3) c) f (x) = 1 + log¹

2 x

3 Elementy logiki i teorii mnogości

Zestaw 3. Elementy logiki i teorii mnogości

Zadanie 3.1. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Wyniki zaznaczyć na osi liczbowej.

a) A =

½

x ∈ R : 3x³

x²− 1 −4x + 16 x + 1 = 0

¾

B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 5| > 8}

b) A = (

x ∈ R : 3√

log x + 2 log r1

x = 2 )

B =©

x ∈ R : log²(x − 1) − 2 log (x − 1) > 0ª

c) A = {x ∈ R : ||x + 1| + 2| = 2} B =©

x ∈ R :√

x + 1 −√

x − 1 = 1ª d) A = {x ∈ R : |x − 3| + |x + 4| = 9} B =

n

x ∈ R :¡₁

2

¢^1−x

|x| ≤ 1 o

e) A = {x ∈ R : cos 3x = cos x} B = {x ∈ R : cos²2x = 1}

f) A = {x ∈ R : 3 sin x = 2 cos²x} B = {x ∈ R : sin x − cos 2x = 0}

g) A =

½

x ∈ R : x < 1 x

¾

B =

½

x ∈ R : 1 + x 1 − x > 1

¾

h) A =

½

x ∈ R : x²+ 1

x > x² x + 1

¾

B = {x ∈ R : |x + 2| > 3}

i) A = (

x ∈ R : (x + 3)²(x²+ x + 1) (4 − x) x ≥ 0

)

B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 5}

j) A =©

x ∈ R : log_x−2(x − 1) > 1ª

B = {x ∈ R : |2x − 1| < |x + 3|}

Zadanie 3.2. Ocenić wartość logiczną każdego ze zdań, a następnie napisać jego negację:

a) ^

x∈R

x = 2x b) ^

x∈N

x²

x + 1 ≥ x + 2

x + 1 c) _

x∈N

1

x + 1 ≥ 1 x + 2

d) ^

x∈N

3x + 1

2x + 1 ≥ 0 e) _

x∈R

−2x²+ x − 4

−3x²− 2 ≤ 0 f) _

x∈C

2x²− 4x + 2

−2x²− 3 ≤ 0

g) ^

x∈R

|x + 1|

x²+ 1 ≥ 0 h) _

m∈N

_

n∈N

m²+ n² = 10 i) ^

x∈R

_

y∈R⁺

y = x²− 4

j) ^

x∈C⁻

_

y∈N

x ≤ y k) _

y∈N

^

x∈C⁻

x ≤ y

Zadanie 3.3. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory A × B oraz B × A, jeśli:

a) A = {x ∈ R : x = 1, 2, . . .} B = {y ∈ R : y = 0}

3 Elementy logiki i teorii mnogości

b) A = {y ∈ R : y ≤ 2} B = {x ∈ R : x > 2}

c) A = {x ∈ R : |x − 2| > 3} B = {y ∈ R : |y + 2| ≤ 3}

d) A =

½

x ∈ R : x²− 2x + 1 4x − x² ≥ 0

¾

B = {y ∈ R : 0 < |y| < 3}

e) A = {y ∈ R : 1 < |y| < 5} B =

½

x ∈ R : 16 − x² x³ + 27

¾

f) A = {x ∈ C : log₂(x²− 1) < 3} B =

½

y ∈ R : 2y − 1 y + 1 < 1

¾

g) A = {x ∈ C : log₂(x + 1) + log₂(x − 1) < 3} B = (−1, 2) h) A =

n

t ∈ R : log¹

3 (− |1 − t| + 4) < −1 o

B =

½

x ∈ R : x³− x²− 4x + 4

x − 1 ≤ 0

¾

Zadanie 3.4. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory punktów:

A = {(x, y) : 2x − y − 2 > 0} B = {(x, y) : x + 3y + 6 ≤ 0}

C = {(x, y) : x − 2y < 0} D = {(x, y) : x − y ≥ 4 ∧ 2x − y < 6}

E = {(x, y) : 2x + y ≥ 2 ∧ 4x + 2y ≤ 12} F = {(x, y) : x + 2y > 0 ∧ x < −2}

G = {(x, y) : |x| − 1 < y} H = {(x, y) : |y − 1| + x > 3}

I = {(x, y) : y ≤ 3 − |x − 2|} J =©

(x, y) : ¹₂x + |y − 2| ≤ 2ª K = {(x, y) : |y − 1| − 2 < 3x} L = {(x, y) : |x − 1| < y}

M = {(x, y) : |x| − |y − 2| ≤ 2} N = {(x, y) : |2x + 4| − |y| = 4}

O = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 4} P = {(x, y) : |y − 3| < 2}

Q = {(x, y) : |1 − x| ≥ 3} R = {(x, y) : |x − 3| ≥ 2}

S = {(x, y) : |y + 1| < 3} T = {(x, y) : x²− y² ≤ 0}

Zadanie 3.5. Zaznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnych sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A i B:

a) A = {(x, y) : |x + 2| < 4} B = {(x, y) : |x − 1| + y ≥ 3}

b) A = {(x, y) : x²+ y²− 2x − 4y ≤ 0} B = {(x, y) : x − 4y ≥ 0}

c) A = {(x, y) : |x| + x = y + |y|} B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} .

4 Ciąg i granica ciągu

Zestaw 4. Ciąg i granica ciągu

Zadanie 4.1. Napisać pięć pierwszych wyrazów ciągu (an) określonego następująco:

a) a_n = 2 b) a_n= n⁽⁻¹⁾ⁿ c) a_n= (−1)ⁿ

n + 1 + (−1)ⁿ 2 d) a_n = (−1)ⁿ⁺¹· 3

n + 1 e) a_n= −n (2 + (−1)ⁿ) f) a_n = sin^nπ₂ g) a_n = (−1)ⁿ+ sin^nπ₂ h) a_n= 1 + n sin^nπ₂ i) a_n= 1 + n

n + 1cos^nπ₂ Zadanie 4.2. Podaj wzór na n − ty wyraz ciągu (a_n) , jeśli:

a) (an) = (4, 1, −2, −5, −8, . . .) b) (an) = (180, 90, 45, 22.5, 11.25, . . .) c) (an) = (10, −17, 24, −31, 38, . . .) d) a1 = 100, an = an−1− 10 dla n > 1 e) a1 = 10, an= 2an−1 dla n > 1 f) a1 = 1, an = an−1+ 3ⁿ⁻¹ dla n > 1

Odp.: a) a_n = 7 − 3n, b) a_n = ³⁶⁰₂n, c) a_n = (−1)ⁿ(3 + 7n) , d) a_n = 110 − 10n, e) a_n = 5 · 2ⁿ, f) a_n = ¹₂(3ⁿ− 1) .

Zadanie 4.3. Obliczyć piąty wyraz ciągu (a_n) , jeśli suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n²−3n.

Odp.: a₅ = s₅− s₄ = 33.

Zadanie 4.4. Zbadać monotoniczność ciągów:

a) a_n = 1

n + 1 b) a_n= n − 1

3n + 1 c) a_n = n²− 8n + 15 d) a_n = n²

n + 2 e) a_n= −n²+ 3n − 2 f) a_n = n + 1 n²+ 3

Odp.: a) malejący, b) rosnący, c) brak monotoniczności, d) rosnący, e) nierosnący, f) malejący.

Zadanie 4.5. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):

a) lim

n→∞(n²+ 5n − 6) b) lim

n→∞(−2n⁷ + 3n² − 4) c) lim

n→∞

n²+ 3n n²− 1 d) lim

n→∞

6n³− 1

3n³+ 2n − 4 e) lim

n→∞

n²− 2

n f) lim

n→∞

−3n³+ 1 n²+ 4 g) lim

n→∞

n − 1

n²+ 2n − 1 h) lim

n→∞

n³+ 2n − 1

n⁴ + n i) lim

n→∞

(1 − 2n)³ (2n + 3)²(1 − 7n) j) lim

n→∞

µ2n + 3 n + 1

¶₃

k) lim

n→∞

1 + 2 + 3 + . . . + n

(3n − 1)² l) lim

n→∞

2 + 4 + 6 + . . . + 2n (1 − 9n²) m) lim

n→∞

1 − 2n 2 +√

n n) lim

n→∞

2 +√ n

1 − 2n o) lim

n→∞

(3 −√ n)² 5 + 4n p) lim

n→∞

r9n²+ 4n

n²+ 3 q) lim

n→∞

¡√2n − 1 −√ n − 7¢

r) lim

n→∞

¡3n −√

9n² + 1¢ s) lim

n→∞

¡√4n²+ 9n − 2 − 2n¢

t) lim

n→∞

¡√₃

n³+ 5 − n¢

u) lim

n→∞eⁿ⁺¹ⁿ v) lim

n→∞2ⁿ¹ w) lim

n→∞

4ⁿ⁻¹− 5

2²ⁿ− 7 x) lim

n→∞

2ⁿ⁺¹− 3ⁿ⁺² 3ⁿ⁺²

4 Ciąg i granica ciągu

y) lim

n→∞

√n

2ⁿ+ 3ⁿ z) lim

n→∞

√n

4n²+ n + 5 aa) lim

n→∞

q¡n ₁

2

¢_n +¡₂

3

¢_n +¡₃

5

¢_n

ab) lim

n→∞

sin n

n + 1 ac) lim

n→∞

n

n²+ 1 sin (3n + 1) ad) lim

n→∞

√3

n²sin n n + 1 ae) lim

n→∞

µn − 1 n + 2

¶_n

af) lim

n→∞

µ

1 + 2 n + 1

¶_n+1

ag) lim

n→∞

µn + 4 n

¶_2n

ah) lim

n→∞

µn²+ 9 n²

¶_n²

ai) lim

n→∞

µ 1

√n²+ 1 + 1

√n²+ 2 + . . . + 1

√n²+ n

¶

Odp.: a) ∞, b) −∞, c) 1, d) 2, e) ∞, f) −∞, g) 0, h) 0, i) ²₇, j) 8, k) 0, l) 0, m) −∞, n) 0, o) ¹₄, p) 3, q) ∞, r) 0, s) ⁹₄, t) 0, u) e, v) 1, w) ¹₄, x) −₂¹, y) 3, z) 1, aa) ²₃, ab) 0, ac) 0, ad) 0, ae) e⁻³, af) e², ag) e⁸, ah) e⁹, ai) 1.

Zadanie 4.6. Zbadaj ograniczoność ciągów z zadania 4.4.

Zadanie 4.7. Podać wzór na procent składany. W którym banku należy złożyć roczną lokatę ter- minową, jeśli w Banku I dopisuje się 21% co pół roku, natomiast w Banku II dopisuje się 10% co kwartał?

Zadanie 4.8. Załóżmy, że fundusz wyjściowy 40 000 zł podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitału można się spodziewać po upływie tego okresu?

Jaki byłby kapitał w przypadku oprocentowania składanego?

Zadanie 4.9. Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitału wyjścio- wego 4000 zł w oprocentowaniu prostym wyniosą 1000 zł?

Zadanie 4.10. Odsetki od kapitału wyjściowego 5400 zł oprocentowanego w systemie prostym przez 9 miesięcy wynoszą 360 zł. Wyznaczyć roczną stopę procentową.

Zadanie 4.11. Niech roczna stopa procentowa wynosi 10%. Po ilu latach kapitał początkowy potroi się, jeśli oprocentowanie jest:

a) proste, b) składane?

Zadanie 4.12. (¹) Do pewnego banku wpłacono 12 000 zł na 3 lata. Jak duże odsetki wypłaci bank po tym okresie, jeśli stopa procentowa w pierwszym roku wynosiła 18%, natomiast w latach następnych została zmniejszona do 15%?

Zadanie 4.13. Pewien starszy pan otrzymał spadek w wysokości 20 000 zł i zdeponował go w banku.

Po 12 latach zgromadzony w banku kapitał, ów pan podarował wnuczce. Jaki duży posag otrzymała wnuczka, jeśli stopa procentowa w banku była zmienna i wynosiła w pierwszych czterech latach 18%, w następnych pięciu latach 15%, a przez ostatnie trzy lata była na poziomie 10%?

5 Granica i ciągłość funkcji

Zestaw 5. Granica i ciągłość funkcji

Zadanie 5.1. Oblicz granice:

a) lim

x→1(x²+ 5x − 6) b) lim

x→3

x²+ 1

x²− 1 c) lim

x→2x√

x²+ 5 d) lim

x→0

x²cos x 3^x Odp.: a) 0, b) ⁵₄, c) 6, d) 0.

Zadanie 5.2. Oblicz granice:

a) lim

x→−∞

x²+ 1

x⁵ + x b) lim

x→∞

2x²+ 3x − 7

x²+ 4x − 2 c) lim

x→−∞

x³− 2x² 5x³+ x²− x + 2 d) lim

x→∞

x + 1

x²− 1 e) lim

x→∞

x³+ 5x

x − 1 f) lim

x→−∞

x²− 1 x + 1 g) lim

x→∞(x⁴+ 2x²+ 3) h) lim

x→∞(−2x³+ 5x − 7) i) lim

x→−∞(x⁴+ 5x − 6) j) lim

x→−∞(−2x⁶+ 5x − 4) k) lim

x→−∞(x³+ 2x − 7) l) lim

x→−∞(−2x⁵+ 6x⁴− 3x + 7) Odp.: a) 0, b) 2, c) ¹₅, d) 0, e) ∞, f) −∞, g) ∞, h) −∞, i) ∞, j) −∞, k) −∞, l) ∞.

Zadanie 5.3. Oblicz granice:

a) lim

x→2

x²+ 3x − 16

x − 2 b) lim

x→−1

x²− x − 2

x + 1 c) lim

x→3

x²− 2x − 3

3 − x d) lim

x→−4

x² + 3x − 4 x²+ 5x + 4 Odp.: a) ∞, −∞, b) −3, −3, c) −4, −4, d) ⁵₃.

Zadanie 5.4. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x0, jeśli:

a) f (x) = 1

x − 3, x₀ = 3 b) f (x) = 1

3 − x, x₀ = 3 c) f (x) = 1

(3 − x)², x₀ = 3 d) f (x) = x + 1

x − 1, x₀ = 1 e) f (x) = 1

x²− 4, x₀ = 2 f) f (x) = 2^x−11 , x₀ = 1 g) f (x) = 4^x2−41 , x0 = 2 h) f (x) = e^4−x21 , x0 = −2 i) f (x) = x

1 + e^x1, x0 = 0 W każdym z przypadków rozstrzygnij, czy istnieje granica jednostronna.

Odp.: a) ∞, −∞, b) ∞, −∞, c) ∞, ∞, d) −∞, ∞, e) −∞, ∞, f) 0, ∞, g) 0, ∞, h) 0, ∞, i) 0, 0.

Zadanie 5.5. Oblicz granice:

a) lim

x→2

x + 1

x − 2 b) lim

x→1

x²+ 4x + 3

x − 1 c) lim

x→−2

x²+ 2x − 3

x + 2 d) lim

x→3

x²− 5x x + 3 e) lim

x→2

x²+ x

2 − x f) lim

x→4

x² − 1

4 − x g) lim

x→1

x²− x − 6

1 − x h) lim

x→¹₂

x²− x − 2 1 − 2x i) lim

x→1

x + 1

x²+ 2x − 3 j) lim

x→−2

x²− 2x − 3

x²+ 2x k) lim

x→3

x + 3

−x²+ 2x + 3 l) lim

x→−1

x²+ 3x − 10

−x²− 5x − 4

Odp.: a) ∞, b) −∞, ∞, c) ∞, −∞, d) −1, e) ∞, −∞, f) ∞, −∞, g) −∞, ∞, h) −∞, ∞, i) −∞,

∞, j) ∞, −∞, k) ∞, −∞, l) −∞, ∞.

5 Granica i ciągłość funkcji

Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):

a) lim

x→1

(x − 1)√ 2 − x

x²− 1 b) lim

x→¹₂

8x³− 1

6x²− 5x + 1 c) lim

x→1

µ 1

1 − x − 3 1 − x³

¶

d) lim

x→4

√1 + 2x − 3

√x − 2 e) lim

x→3

√x + 13 − 2√ x + 1

x²− 9 f) lim

x→0

sin 5x sin 3x g) lim

x→^π₂

cos x

π − 2x h) lim

x→0

1 − cos x

x² i) lim

x→∞

µx²+ 1 x²− 2

¶_x²

j) lim

x→∞

¡√1 + x + x²−√

1 − x + x²¢

k) lim

x→∞

¡√x + 3 −√ x + 1¢

l) lim

x→∞x sin¹_x m) lim

x→0x ctg 3x, n) lim

x→∞

µ2x + 3 2x + 1

¶_x+1

o) lim

x→∞

µ3x − 1 2x + 1

¶_2x−5

p) lim

x→0

√cos x − 1

x² q) lim

x→^π₄

cos x − sin x

cos 2x r) lim

x→0

sin 5x − sin 3x sin x

Odp.: a) ¹₂, b) 6, c) −1, d) ⁴₃, e) −₁₆¹ , f) ⁵₃, g) ¹₂, h) ¹₂, i) e³, j) 1, k) 0, l) 1, m) ¹₃, n) e, o) ∞, p) −¹₄, q) ^√₂² r) 2.

Zadanie 5.7. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice:

a) lim

x→1

x + 1

x − 1 b) lim

x→0x [x] c) lim

x→1

|x − 1|³

x³− x² d) lim

x→1e^1−x21

Zadanie 5.8. Zbadać ciągłość funkcji f i podać rodzaje nieciągłości, jeżeli:

a) f (x) =

( 2^x+ 3 dla x ≤ 0

(x − 2)² dla x > 0 b) f (x) =

( x − 1 dla x < 0

3^x dla x ≥ 0 c) f (x) =

( e^1−xx dla x 6= 1 0 dla x = 1

d) f (x) =

( sin x

x dla x 6= 0

0 dla x = 0 e) f (x) =

( cos¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0 f) f (x) =

( arc tg¹_x dla x 6= 0 0 dla x = 0

Zadanie 5.9. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R była ciągła, jeżeli:

a) f (x) =

( 2^x+ 8 dla x ≤ 0

(x − a)² dla x > 0 b) f (x) =

( cos^πx₂ dla x ≤ 1 a |x − 1| dla x > 1

 ^−a dla x ≤ −1 

 2 + e¹ dla x < 0

6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala

Zestaw 6. Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala

Zadanie 6.1. Obliczyć pochodne następujących funkcji:

1) f (x) = 3 2) f (x) = x⁴+ 3x²− _x¹ +√

x 3) f (x) = 2x³− x² 4) f (x) = 2√

x − 3 ln x + 1 5) f (x) = 10^x 6) f (x) = log₃x 7) f (x) = sin x + cos x 8) f (x) = arc sin x + arc cos x 9) f (x) = x + arc tg x 10) f (x) = x²e^x 11) f (x) =√

x cos x 12) f (x) = x³sin x 13) f (x) = (√

x + 1)( 1

√x − 1) 14) f (x) = µ

x³+ 1 x²

¶

e^x 15) f (x) = x ln x 16) f (x) = x arc sin x 17) f (x) = 5x − 1

3 − 2x 18) f (x) = x²− 1 x²+ 1 19) f (x) = 2

x³− 1 20) f (x) = x

4^x 21) f (x) = ln x

1 + x² 22) f (x) = sin x − cos x

sin x + cos x 23) f (x) = sin x

x⁴ + 4 24) f (x) = (2x³− 1)⁵ 25) f (x) =

µ1 + x² 1 + x

¶₅

26) f (x) = e^{(x2−3x−4)} 27) f (x) =q

1−x 1+x

28) f (x) =

µ sin x 1 + cos x

¶₃

29) f (x) = arc sin^x₂ 30) f (x) = arc tg 2x 1 − x² 31) f (x) = cos1 −√

x 1 +√

x 32) f (x) = cos³4x 33) f (x) = ln(e^x+√

1 + e^x) 34) f (x) = sin 2x cos²x 35) f (x) = x√

1 + x² 36) f (x) = (2x + 1) 2^2x+1 37) f (x) =

√4x²+ 2

3x⁴ 38) f (x) = (1 +√⁴

x) tg (√

x) 39) f (x) = arc sin√⁴ 1 − 5x Odp.: 1) f⁰(x) = 0, 2) f⁰(x) = 4x³ + 6x + ₂^√1_x + _x¹2, 3) f⁰(x) = 6x² − 2x, 4) f⁰(x) = ^√1_x − ³_x, 5) f⁰(x) = 10^xln 10, 6) f⁰(x) = _{x ln 3}¹ , 7) f⁰(x) = cos x − sin x, 8) f⁰(x) = 0, 9) f⁰(x) = ^2+x_1+x²2, 10) f⁰(x) = 2xe^x+ x²e^x, 11) f⁰(x) = ₂^√1_xcos x −√

x sin x, 12) f⁰(x) = 3x²sin x + x³cos x, 13) f⁰(x) =

−₂^√1_x − ¹

2x³², 14) f⁰(x) =¡

x³+ 3x²+ _x¹2 − _x²3

¢e^x, 15) f⁰(x) = ln x + 1, 16) f⁰(x) = arc sin x + ^√_1−x^x ₂, 17) f⁰(x) = _(2x−3)¹³ 2, 18) f⁰(x) = _(x2^4x₊₁₎2, 19) f⁰(x) = _(x^−6x₃₋₁₎²2, 20) f⁰(x) = ₄¹x − x^{ln 4}₄x , 21) f⁰(x) =

1

x+x−2x ln x

(1+x²)² , 22) f⁰(x) = 2 sin x cos x+1² , 23) f⁰(x) = ^{cos x}(^x2+4)^{−2x sin x}

(x²+4)² , 24) f⁰(x) = 30 (2x³− 1)⁴x², 25) f⁰(x) = 5 (1 + x²)^{4 x}_(x+1)^2+2x−16 , 26) f⁰(x) = (2x − 3) exp ((x + 1) (x − 4)) , 27) f⁰(x) = −^{q 1}

−^x−1_x+1(x+1)², 28) f⁰(x) = −3_{(cos x+1)}^{cos x−1}2, 29) f⁰(x) = ^√_4−x¹ ₂, 30) f⁰(x) = _1+x² 2, 31) f⁰(x) = sin ¹⁻₁₊^√√x_x ¹

(^1+√x)^2√x, 32) f⁰(x) = −12 cos²4x sin 4x, 33) f⁰(x) = _ex+√¹

1+e^x

³

e^x+¹₂^√_1+e^ex x

´

, 34) f⁰(x) = 8 cos⁴x − 6 cos²x, 35) f⁰(x) = √

x²+ 1 + ^√_x^x₂²₊₁, 36) f⁰(x) = 4^x+1(1 + 2x ln 2 + ln 2) , 37) f⁰(x) = −⁴₃^√_4x^3x₂²_+2x⁺² ₅, 38) f⁰(x) = ¹₄ ^√4_x^xtg√

x + (1 +√⁴

x)¹₂^1+tg√2_x^√x, 39) f⁰(x) = −⁵₄√ ¹

1−√ 1−5x

√4

1−5x 1−5x . Zadanie 6.2. Obliczyć pochodne f⁰, f⁰⁰, f⁰⁰⁰ dla podanych funkcji:

6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala a) f (x) = x ln x b) f (x) = (x²+ x + 1) cos x c) f (x) = √

x²+ 1

Odp.: a) ln x + 1, _x¹, −_x¹2, b) 2 (cos x) x + cos x − (sin x) x² − (sin x) x − sin x, cos x − 4 (sin x) x − 2 sin x − (cos x) x²− (cos x) x, −5 sin x − 6 (cos x) x − 3 cos x + (sin x) x²+ (sin x) x c) ^√_1+x¹ ₂x, ¹

(1+x²)³²,

−3 ^x

(1+x²)⁵².

Zadanie 6.3. Sprawdzić, że funkcja y spełnia warunek:

a) y = e^xsin x, y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 0 b) y = ln²x − 2 ln x, y⁰⁰+ 1

xy⁰− 2 x² = 0 Odp.: a) tak, b) nie.

Zadanie 6.4. Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć podane granice:

a) lim

x→1

x³− 1

x²− 1 b) lim

x→0⁺x ln x c) lim

x→−∞x

³ e^x1 − 1

´

d) lim

x→0

e^x− x − 1

x² e) lim

x→0

ln (1 + x)

x f) lim

x→e

ln x − 1 x − e g) lim

x→0

1 − cos x

x² h) lim

x→0

sin x

x i) lim

x→0

sin x x cos x j) lim

x→+∞

e^x

x k) lim

x→+∞

ln x

x l) lim

x→+∞

ln x√ x m) lim

x→1⁺

µ x

x − 1 − 1 ln x

¶

n) lim

x→0⁺x^{sin x} o) lim

x→^π₂⁻(sin x)^{tg x}

Odp.: a) ³₂, b) 0, c) 1, d) ¹₂, e) 1, f) ¹_e g) ¹₂, h) 1, i) 1, j) ∞, k) 0, l) 0, m) ¹₂, n) 1, o) 1.

7 Zastosowania pochodnej

Zestaw 7. Zastosowania pochodnej

Zadanie 7.1. Znaleźć asymptoty wykresów następujących funkcji:

a) f (x) = 1

1 − x² b) f (x) = x²

2x + 3 c) f (x) = x x²+ 1 d) f (x) = x³+ x²

x²− 4 e) f (x) = x − 3

√x²− 9 f) f (x) =√

1 + x²+ 2x

g) f (x) =

√1 + x²

x h) f (x) = sin x

x i) f (x) = x²e^−x

Odp.: a) y = 0, x = 1, x = −1, b) x = −³₂, y = ¹₂x − ³₄, c) y = 0, d) x = 2, x = −2, y = x + 1, e) y = 1, y = −1 (w −∞), f) y = 3x, g) x = 0, y = 1 (w ∞), y = −1 (w −∞), h) y = 0, i) y = 0 (w

∞).

Zadanie 7.2. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

a) f (x) = 2x³− 15x²+ 36x − 14 b) f (x) = x⁴+ 4x − 2 c) f (x) = x x²+ 4 d) f (x) = (1 − x)²

2x e) f (x) = x −√

x f) f (x) = e^x+ e^−x

Odp.: a) f_max(2) = 13, f_min(3) = 14, b) f_min(−1) = −5, c) f_min(−2) = −¹₄, f_max(2) = ¹₄, d) f_max(−1) = −2, f_min(1) = 0, e) f_min(¹₄) = ¹₄, f) f_min(0) = 2.

Zadanie 7.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:

a) f (x) = xe^−3x b) f (x) = x − ln(1 + x) c) f (x) = (x²− 3) e^−x Odp.: a) f % dla x ∈ ¡

−∞, −¹₃¢

, f & dla x ∈ ¡

−¹₃, ∞¢

, b) f % dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla x ∈ (0, ∞) , f & dla x ∈ (−1, 0) , c) f % dla x ∈ (−1, 3) , f & dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla x ∈ (3, ∞) .

Zadanie 7.4. Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach:

a) f (x) = x²− 2x + 3, x ∈ [−2, 5] b) f (x) = 2x³− 3x²− 36x − 8, x ∈ [−3, 6]

c) f (x) = x − 2√

x, x ∈ [0, 5] d) f (x) = x²ln x, x ∈ [1, e]

e) f (x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈£ 0,³₂π¤

Odp.: a) f_najw.(5) = 18, f_najmn.(1) = 2, b) f_najmn.(3) = −89, f_najw.(6) = 100, c) f_najmn.(1) = −1, fnajw.(5) = 5 − 2√

5 ≈ 0.52786, d) fnajmn.(1) = 0, fnajw.(e) = e², e) fnajw.

¡_π

3

¢ = ³₂√

3 ≈ 2.598 1, f_najmn.(1) = −2.

Zadanie 7.5. Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

a) f (x) = x⁴− 12x³+ 48x² b) f (x) = x²− 5x + 6

x + 1 c) (x) = x + sin 2x d) f (x) = xe^−x e) f (x) = ln x

x f) f (x) = x⁴

12− x³ 3 + x²

Odp.: a) f wypukła dla x ∈ (−∞, 2) , x ∈ (4, ∞) , f wklęsła dla x ∈ (2, 4) , x = 2, x = 4 punkty przegięcia, a) f wypukła dla x ∈ (−1, ∞) , f wklęsła dla x ∈ (−∞, −1), brak punktów przegięcia, c) f wypukła dla x ∈ ¡

k^π₂, k^π₂ +^π₂¢

: k ∈ Z, f wklęsła dla x ∈ ¡

k^π₂ − ^π₂, k^π₂¢

: k ∈ Z, x = k^π₂ punkt przegięcia, d) f wypukła dla x ∈ (2, ∞) , f wklęsła dla x ∈ (−∞, 2) , x = 2 punkt przegięcia, e) f wypukła dla x ∈

³ e³², ∞

´

, f wklęsła dla x ∈

³ 0, e³²

´

, x = e³² punkt przegięcia, f) f stale wypukła.

8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji

Zestaw 8. Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji

Zadanie 8.1. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres następujących funkcji a) f (x) = a · x

x + b, x > 0, a, b > 0

(funkcja Törnquista I rodzaju - krzywa popytu na dobra podstawowe) b) f (x) = a · x − b

x + c, x > b, a, b, c > 0

(funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra wyższego rzędu) c) f (x) = ax · x − b

x + c, x > b, a, b, c > 0

(funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra luksusowe) d) f (t) = a

1 + be^−ct, t > 0, a, c > 0, b > 1

krzywa logistyczna – krzywa popytu na pewne dobro w zależności od czasu, który upłynął od wprowadzenia go do sprzedaży

e) f (x) = 1

√2πe^−x22 , x ∈ R

krzywa rozkładu normalnego Gaussa.