Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 2: Prawdopodobieństwo warunkowe.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń.
Definicja.
Niech (Ω, F , P ) będzie pewna przestrzenią probabilistyczną.
Prawdopodobieństwo warunkowe
zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, gdzie A, B ∈ F , P (B) > 0, zdefiniowane jest wzoremP (A|B) = P (A ∩ B) P (B) . Dla B takiego, że P (B) = 0, można przyjąć P (A|B) = 0.
Własności prawdopodobieństwa warunkowego:
1. Jeśli A ⊂ B, A, B ∈ F , P (B) > 0, to P (A|B) = P (A) P (B).
2. Jeśli B ⊂ A, A, B ∈ F , P (B) > 0, to P (A|B) = 1. W szczególności, P (B|B) = 1.
3. Jeśli A ∩ B = ∅, A, B ∈ F , P (B) > 0, to P (A|B) = 0.
4. Jeśli A, B ∈ F , P (B) = 1, to P (A|B) = P (A).
Definicja.
Rozbiciem zbioru Ω
nazywamy rodzinę {Bn, n ∈ T ⊂ N} zdarzeń losowych parami rozłącznych (tzn. Bi∩ Bj = ∅ dla i 6= j) taką, że Sn∈T
Bn= Ω.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Niech {Bn, n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy P (A) = X
n∈T
P (A|Bn)P (Bn).
Wzór Bayesa:
Dla dowolnych zdarzeń losowych A i B takich, że P (A) > 0, P (B) > 0, mamy P (B|A) = P (A|B)P (B)
P (A) .
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Definicja.
Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P ) nazywamy niezależnymi, gdy P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Własności zdarzeń niezależnych.
1. Jeśli A i B są niezależne i P (B) > 0, to P (A|B) = P (A).
2. Jeśli A ∩ B = ∅, P (A) > 0, P (B) > 0, to A i B nie są niezależne.
3. Jeśli A ⊂ B, P (A) > 0, P (B) < 1, to A i B nie są niezależne.
4. Jeśli A i B są niezależne, to niezależne są także zbiory
• A i Bc,
• Ac i B,
• Ac i Bc.
5. Jeżeli P (A) = 1, tzn. A jest zdarzeniem prawie pewnym, to A i dowolne zda- rzenie B są niezależne. W szczególności, Ω i dowolne zdarzenie B są niezależne.
6. Jeżeli P (A) = 0, to A i dowolne zdarzenie B są niezależne. W szczególności,
∅ i dowolne zdarzenie B są niezależne.
Definicja.
Zdarzenia A, B i C z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P ) nazywamy niezależnymi (wzajemnie niezależnymi), gdy
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), P (A ∩ B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C), P (B ∩ C) = P (B)P (C).
Definicja.
Zdarzenia z rodziny A = {At, t ∈ T} z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy niezależnymi (wzajemnie niezależnymi), gdy dla dowolnego n ∈ N i dla dowolnych różnych t1, t2, . . . , tn∈ T zachodzi
P (At1 ∩ At2 ∩ . . . ∩ Atn) = P (At1)P (At2) . . . P (Atn).
A to rodzina zdarzeń niezależnych.
Uwaga.
Jeżeli dla dowolnych różnych t1, t2 ∈ T zachodzi P (At1∩At2) = P (At1)P (At2), to mówimy, że A jest rodziną zdarzeń parami niezależnych.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
2
Lemat Borela-Cantelliego:
Niech {Ai, i ∈ N} będzie będzie ciągiem zdarzeń losowych w (Ω, F, P ). Definiujemy zda- rzenie A jako
A =
∞
\
n=1
∞
[
i=n
Ai.
Wtedy:
1. Jeżeli szereg P∞
i=1
P (Ai) jest zbieżny, to P (A) = 0.
2. Jeżeli szereg P∞
i=1
P (Ai) jest rozbieżny i zdarzenia Ai, i ∈ N są niezależne, to P (A) = 1.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
3
