Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15
Sprawdzian nr 3: 17.11.2014 (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad. 1-239) Ćwiczenia 3.11.2014 (poniedziałek): zad. 211-230
Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami. Na ćwiczeniach wyjaśnimy sobie trudności związane z tymi zadaniami.
Zbadać zbieżność ciągu (an) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbieżnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą
211. 1
(2 + (−1)n)n 212. an=
(−1)n· n! dla n ¬ 100
2n
2n+n dla n > 100 213. n√2
n 214. √n n2 215. √n
n + 17 216. n7
7n 217. 10n
n! 218. n!
n22 219.
√3n+ n2
√3n+ 2n+ 1
220. n3+ 1
n5+ 1+n3+ 2
n5+ 2+n3+ 3
n5+ 3+ ... +n3+ n2
n5+ n2 221. 1
n2+ 1
n2+ 1+ 1
n2+ 2+ ... + 1 (n + 1)2 222. 3n
√9n+ n2014 223.
n
X
k=1
n3+ k
n4+ (−1)k· k2 224. 2n+2+ n22
√4n+4+ n4444 225.
3n
n
7n 226. n3·√
n2+ 1 − n4−n2
2 227.
√8n2+ 1
√2n4+ 1+
√8n2+ 2
√2n4+ 2+
√8n2+ 3
√2n4+ 3+ ... +
√8n2+ 3n
√2n4+ 3n 228.
n
X
k=1
k
n2+ k 229. 1
5n+ 1+ 5
5n+ 2+ 25
5n+ 4+ 125
5n+ 8+ 625
5n+ 16+ ... + 5n 5n+ 2n 230. Obliczyć wartość granicy
n→∞lim
n
0
√4n+ 1+
n
1
√4n+ 3+
n
2
√4n+ 9+
n
3
√4n+ 27+ ... +
n
n−1
√4n+ 3n−1+
n
n
√4n+ 3n
.
Ćwiczenia 7.11.2014 (piątek): zad. 231-239
Osoby, które uzyskują z kartkówek z analizy poniżej 50% punktów, powinny przyjść na ćwiczenia. Pozostali mogą ograniczyć się do rozwiązania tych zadań we własnym zakresie.
231. Obliczyć granicę
n→∞lim
3n4− n2+ 1
5n5− n3+ 1+3n4− 2n2+ 4
5n5− 2n3+ 8+ 3n4− 3n2+ 9 5n5− 3n3+ 27+ ...
... +3n4− kn2+ k2
5n5− kn3+ k3+ ... +3n4− 2n3+ 4n2 5n5− 2n4+ 8n3
!
.
232. Obliczyć granicę
n→∞lim
5n3+ 3
√n10+ 3+ 5n3+ 6
√n10+ 6+ 5n3+ 9
√n10+ 9+ 5n3+ 12
√n10+ 12+ ... + 5n3+ 6n2
√n10+ 6n2
!
.
Lista 5 - 35 - Strony 35-36
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15
233. Obliczyć granicę
n→∞lim
4n2+ 1 n3+√
n6+ 1+ 4n2+ 2 n3+√
n6+ 2+ 4n2+ 3 n3+√
n6+ 3+ 4n2+ 4 n3+√
n6+ 4+ ... + 4n2+ 6n n3+√
n6+ 6n
!
.
234. Obliczyć granicę
n→∞lim n
n3+ n
n3+ 1+ n
n3+ 2+ n
n3+ 3+ n
n3+ 4+ n
n3+ 5+ n
n3+ 6+ ... + n (n + 1)3
!
.
235. Obliczyć granicę
n→∞lim
√k · nk+ 1 n7+ 1 +
√k · nk+ 2 n7+ 4 +
√k · nk+ 3 n7+ 9 +
√k · nk+ 4
n7+ 16 + ... +
√k · nk+ n3 n7+ n6
!
dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.
236. Obliczyć wartość granicy
n→∞lim
n3
X
k=n2
√np+ k
n7+ k2
dobierając tak wartość parametru p, aby granica ta była dodatnia i skończona.
237. Obliczyć granicę
n→∞lim
np+ 1
√900n900+ 1+ np+ 8
√900n900+ 32+ ... + np+ k3
√900n900+ k5+ ... + np+ 8n18
√900n900+ 32n30
!
dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru p, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.
238. Obliczyć wartość granicy
n→∞lim
√ n
n4+ n+ n + 1
√n4+ n + 1+ n + 2
√n4+ n + 2+ n + 3
√n4+ n + 3+ ... + 9n
√n4+ 9n
!
.
239. Obliczyć wartość granicy
n→∞lim 4n2
n3 +4n2+ n
n3+ 1 +4n2+ 2n
n3+ 2 +4n2+ 3n
n3+ 3 +4n2+ 4n
n3+ 4 + ... + 9n2− n
n3+ 5n − 1+ 9n2 n3+ 5n
!
.
Lista 5 - 36 - Strony 35-36
