Kod Hamminga

(1)

Kod Hamminga

Podstawy Telekomunikacji

Autor: Paweł Zajdel

Damian Sitarek

Kamil Cisek

(2)

Zadanie 1

Proszę zakodować następujące ciągi 5-cio bitowe:

a) 11010 b) 01011 c) 10001 d) 11110 e) 10101

a)

Bity nadmiarowe występują na pozycjach będących potęgami liczby 2 tj. 1,2,4,8,16 … Pozycje numerujemy od lewej do prawej.

Dany ciąg uzupełniamy o miejsca na których wystąpią bity nadmiarowe __1_101_0

Przykładowe numerowanie pozycji: pozycja 1 pozycja 7 Algorytm sprawdzania bitów:

Obliczając bit na i-tej pozycji sprawdzamy i-1 bitów (następujących po bicie na i-tej pozycji), następnie opuszczamy i bitów, sprawdzamy i bitów, opuszczamy i bitów itd.

(3)

Zadanie 1 c.d.

a) Obliczamy kod nadmiarowy dla wiadomości x=11010. Zapisujemy najpierw to słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_101_0.

Obliczamy x1: __1_101_0  x1=1 Obliczamy x2: 1_1_101_0  x2=0 Obliczamy x4: 101_101_0  x4=0 Obliczamy x8: 1010101_0  x8=0 Odpowiedź: 101010100

b) x=01011. Zapisujemy najpierw to słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __0_101_1.

(4)

Zadanie 1 c.d.

c) x=10001. Zapisujemy to słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_000_1.

d) x=11110. Zapisujemy to słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_111_0.

e) x=10101. Zapisujemy to słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_010_1.

(5)

Zadanie 2

Proszę zakodować następujące ciągi 8-bitowe:

a) 10110100 b) 11010001 c) 11101011 d) 00110111 e) 01101100

a) x=10110100. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_011_0100 Obliczamy x1: __1_011_0100  x1=0

Obliczamy x2: 0_1_011_0100  x2=0 Obliczamy x4: 001_011_0100  x4=0 Obliczamy x8: 0010011_0100 x8=1 Odpowiedź: 001001110100

b) x=11010001. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_101_0001 Obliczamy x1: __1_101_0001  x1=1

(6)

Zadanie 2 c.d.

c) x=11101011. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __1_110_1011 Obliczamy x1: __1_110_1011  x1=0

e) x=00110111. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __0_011_0111 Obliczamy x1: __0_011_0111  x1=0

f) x=01101100. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe: __0_110_1100 Obliczamy x1: __0_110_1100  x1=0

(7)

Zadanie 3

Proszę zakodować następujące ciągi informacyjne w optymalnym kodzie Hamminga:

a) 0110101101101011 b) 1110110110010111 c) 0001000101110101 d) 1111111111111111 e) 0000000000000001 f) 0110110110110110

a) x=0110101101101011. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__0_110_1011011_01011

Obliczamy x1: __0_110_1011011_01011  x1=1 Obliczamy x2: 1_0_110_1011011_01011  x2=1 Obliczamy x4: 110_110_1011011_01011  x4=1 Obliczamy x8: 1101110_1011011_01011  x8=1 Obliczamy x16: 110111011011011_01011  x16=1 Odpowiedź: 110111011011011101011

b) x=1110110110010111. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__1_110_1101100_10111

Obliczamy x1: __1_110_1101100_10111  x1=1 Obliczamy x2: 1_1_110_1101100_10111  x2= 0 Obliczamy x4: 101_110_1101100_10111  x4=0 Obliczamy x8: 1010110_1101100_10111  x8=0 Obliczamy x16: 101011001101100_10111  x16=0

(8)

Zadanie 3 c.d.

Odpowiedź: 101011001101100010111

c) x=0001000101110101. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__0_001_0001011_10101

Obliczamy x1: __0_001_0001011_10101  x1=1 Obliczamy x2: 1_0_001_0001011_10101  x2=0 Obliczamy x4: 100_001_0001011_10101  x4=1 Obliczamy x8: 1001001_0001011_10101  x8=1 Obliczamy x16: 100100110001011_10101  x16=1 Odpowiedź: 100100110001011110101

d) x=1111111111111111. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__1_111_1111111_11111

(9)

Zadanie 3 c.d.

e) x=0000000000000001. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__0_000_0000000_00001

f) x=0110110110110110. Zapisujemy słowo zostawiając miejsce na bity nadmiarowe:

__0_110_1101101_10110

Obliczamy x1: __0_110_1101101_10110  x1=0 Obliczamy x2: 0_0_110_1101101_10110  x2=0 Obliczamy x4: 000_110_1101101_10110  x4= 0 Obliczamy x8: 0000110_1101101_10110  x8=1 Obliczamy x16: 000011011101101_10110  x16=1 Odpowiedź: 000011011101101110110

(10)

Zadanie 4

Odebrano następujące ciągi kodowe. Proszę obliczyć syndrom dekodera, określić czy powstał błąd i określić na której pozycji.

c.x.=1010101 c.x.=0010101 c.x.=1010111 c.x.=0011010 c.x.=1101101

Syndrom równy 0 oznaczą że błąd nie wystąpił. Syndrom różny od 0 oznacza powstanie błędu.

Jeżeli wystąpił błąd to kod nadmiarowy błędnej wiadomości który sami obliczymy będzie inny niż ten który odebraliśmy.

c.x.= 1010101

Kod namiarowy (odebrany) y=100

Obliczamy dla bitów informacyjnych bity nadmiarowe.

Obliczamy x1: __1_101  x1=1 Obliczamy x2: 1_1_101  x2=0 Obliczamy x4: 101_101  x4=0 Kod nadmiarowy (obliczony) y’=100

Syndrom y+y’ (dodajemy poszczególne bity i odwracamy kolejność) =(0+0)(0+0) (1+1)=000  Błąd nie wystąpił

(11)

Zadanie 4. c.d.

c.x.=0010101

Syndrom y+y’=(0+0)(0+0)(0+1)=001  Błąd wystąpił Otrzymujemy numer pozycji na której wystąpił błąd tj.:

p=001  błąd na 1 pozycji

c.x.= 1010111

Syndrom y+y’=(0+1)(0+1)(1+1)=110 Błąd wystąpił p=110  błąd na 6 pozycji

(12)

Zadanie 4 c.d.

c.x.= 0011010

Obliczamy x1: __1_010 x1=1 Obliczamy x2: 1_1_010  x2=0 Obliczamy x4: 101_010  x4=1 Kod nadmiarowy (obliczony) y’=101

c.x.= 1101101

Obliczamy x1: __0_101 x1=0 Obliczamy x2: 0_0_101  x2=1 Obliczamy x4: 010_101  x4=0 Kod nadmiarowy (obliczony) y’=010

(13)

Zadanie 5

Odebrano następujące ciągi kodowe. Proszę obliczyć syndrom dekodera, ustalić czy powstał błąd i określić na której pozycji. Proszę podać prawidłowy ciąg

informacyjny.

c.x.=000001110100 c.x.=001011110100 c.x.=001001100100 c.x.=101001010011 c.x.=110010111011

c.x.= 000001110100

Kod namiarowy (odebrany) y=0001 Kod nadmiarowy (obliczony) y’=1101

Syndrom y+y’=(1+1)(0+0)(0+1)(0+1)=0011 Błąd wystąpił p=0011  błąd na 3 pozycji

Poprawny ciąg informacyjny: c.i.=10110100

c.x.= 001011110100

Syndrom y+y’=(1+1)(0+1)(0+0)(0+1)=0101 Błąd wystąpił p=0101 błąd na 5 pozycji

(14)

Zadanie 5 c.d.

c.x.= 001001100100

Syndrom y+y’=(0+1)(0+0)(0+0)(0+0)=1000 Błąd wystąpił (w kodzie nadmiarowym) p=1000  błąd na 8 pozycji

c.x.= 101001010011

c.x.= 110010111011

(15)

Zadanie 6

Oblicz czy ciąg odbiorczy jest poprawnym ciągiem kodowym kodu Hamminga (optymalnego), czy też jest błędny; na jakiej pozycji jest błąd; jaki jest ciąg informacyjny.

1010110111 = 00111001100111 = 11001101011100 = 11100101111100 = 01010101011111 =

c.x.= 1010110111

c.x.= 00111001100111

(16)

Zadanie 6 c.d.

c.x.= 11001101011100

Poprawny ciąg informacyjny: c.i.= 0010011100

c.x.= 11100101111100

c.x.= 01010101011111

(17)

Zadanie 7

Oblicz czy ciąg jest kodem Hamminga; jeżeli tak to sprawdź czy jest poprawny. Jaki jest ciąg informacyjny?

c.x.= 011011001011011 (15 bitów) c.x.=1111000100101111 (16 bitów)

c.x.= 011011001011011

Poprawny ciąg informacyjny: c.i.= 11101011111 c.x.=1111000100101111

Ciąg ten nie jest optymalnym kodem Hamminga.

(18)

Zadanie 8

Zakoduj w kodzie Hamminga następujące ciągi informacyjne:

a) 10 b) 101 c) 1110 d) 001100

e) 110101101001010

a) Słowo 10 zapisujemy pozostawiając miejsce na nadmiarowe bity: __1_0 Obliczamy x1: __1_0  x1=1

Obliczamy x2: 1_1_0  x2= 1 Obliczamy x4: 111_0  x4=0 Odpowiedź: 11100

b) Słowo 101 zapisujemy pozostawiając miejsce na nadmiarowe bity: __1_01 Obliczamy x1: __1_01  x1=1

Obliczamy x2: 1_1_01  x2=0 Obliczamy x4: 101_01  x4 =1 Odpowiedź : 101101

c) Słowo 1110 zapisujemy pozostawiając miejsce na nadmiarowe bity: __1_110 Obliczamy x1: __1_110  x1=0

Obliczamy x2: 0_1_110  x2=0 Obliczamy x4: 001_110  x4 =0 Odpowiedź : 0010110

(19)

Zadanie 8 c.d.

d) Słowo 001100 zapisujemy pozostawiając miejsce na nadmiarowe bity __0_011_00 Obliczamy x1: __0_011_00  x1=1

Obliczamy x2: 1_0_011_00  x2=0 Obliczamy x4: 100_011_00  x4=0 Obliczamy x8: 1000011_00  x8=0 Odpowiedź: 1000011000

e) Słowo 110101101001010 zapisujemy pozostawiając miejsca na nadmiarowe bity __1_101_0110100_1010

Obliczamy x1: __1_101_0110100_1010  x1=1 Obliczamy x2: 1_1_101_0110100_1010  x2= 1 Obliczamy x4: 111_101_0110100_1010  x4=1 Obliczamy x8: 1111101_0110100_1010  x8 =1 Obliczamy x16: 111110110110100_1010  x16=0 Odpowiedź: 11111011011010001010

(20)

Zadanie 9

Zakoduj w kodzie Hamminga słowo „KONIEC” , które zostało przedstawione kodem ASCII (jako kod źródła) jako słowa 7-bitowe, K=75, O=79, N=78, C=67, E=69, I=73.

Poszczególne znaki koduj osobno.

Litera K binarnie: 1001011

Zapisujemy dane słowo pozostawiając miejsce na nadmiarowe bity: __1_001_011 x1: __1_001_011  x1=1

x2: 1_1_001_011  x2=0 x4: 101_001_011  x4=1 x8: 1011001_011  x8=0 Zakodowane K : 10110010011

Postępując podobnie jak dla litery K kodujemy kolejne litery:

Zakodowane O (binarnie 1001111): 00110011111 Zakodowane N (binarnie 1001110): 11110010110 Zakodowane I (binarnie 1001001): 11110011001 Zakodowane E (binarnie 1000101): 10100000101 Zakodowane C (binarnie 1000011): 01100000011