Pokaż, że dla wielomianów Bernoulliego prawdziwe są następujące stwierdzenia • Jeśli m jest parzyste, to Bm(1/2 − x

6 listopada 2020

Zadania z kombinatoryki, lista nr 5

1. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję x/ sin x.

2. Napisz wzory na

n−1

X

k=1

k⁸ i

∞

X

k=1

1 k⁸. 3. Pokaż, że

n−1

X

k=0

k^m= X

k,j≥0

m j

j + 1 k

 (−1)^j+1−k j + 1 n^k.

Jaka z powyższej równości wynika zależność między liczbami Bernoulliego i Stirlinga?

4. Wykaż, że

B_n =

n

X

k=0

(−1)^kk!

k + 1

n k

 .

5. Udowodnij wzory

(a)

n

X

k=0

(−1)^kn k

= 2ⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹− 1)B_n+1 n + 1, (b)

n

X

k=0

(−1)^kn k

n k

−1

= (n + 1)Bn.

6. Pokaż, że dla wielomianów Bernoulliego prawdziwe są następujące stwierdzenia

• Jeśli m jest parzyste, to Bm(1/2 − x) = Bm(1/2 + x).

• Jeśli m jest nieparzyste, to Bm(1/2 − x) = −Bm(1/2 + x)i jedynym miejscem zerowym Bm(x) w przedziale (0, 1) jest x = 1/2.

Wywnioskuj z tego, że dla parzystego m wielomian Bm(x)przyjmuje w przedziale [0,1] wartości największe co do modułu albo na jego końcach, albo dla x = 1/2. Pokaż też, że Bm(1/2) = (2^1−m− 1)Bm dla wszystkich m ≥ 0. Udowodnij, że jeśli m jest parzyste, to

max

x∈[0,1]|Bm(x)| = |Bm|.

7. Jakie oszacowania na B2n wynikają ze wzoru

∞

X

k=1

1

k²ⁿ =(−1)ⁿ⁺¹(2π)²ⁿB2n

2(2n)! ?

8. W jaki sposób można zastosować wzór Eulera-Maclaurina do przyspieszenia zbieżności wolno zbieżnego ciągu xn=Pn

k=11/k − ln n?