• Nie Znaleziono Wyników

Pokaż, że jeśli dystrybucje S, T są splatalne, to Dα(S ? T

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pokaż, że jeśli dystrybucje S, T są splatalne, to Dα(S ? T"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania z teorii dystrybucji #6 20/11/2017 1. Dana jest rodzina F ciągłych i nieujemnych funkcjonałów spełniających warunki a) f (x + y) ≤ f (x) + f (y), b) f (λx) ≤ |λ|f (x) na przestrzeni Fr´echeta X. Udowodnij, że jeśli

sup{f (x) : f ∈ F } < ∞

dla każdego x ∈ X z osobna, to rodzina F jest jednakowo ciągła.

2. Pokaż, że jeśli dystrybucje S, T są splatalne, to

Dα(S ? T ) = (−1)|α|δ(α)? (S ? T ) = (DαS ? T ).

3. Dane są miary Radona µ i ν na RN, takie że

ZZ

|ϕ(x + y)||µ|(dx)|ν|(dy) < ∞

dla każdej funkcji ϕ ∈ Cc(RN). Pokaż, że µ, ν są splatalne jako dystrybucje, ich splot jest miarą Radona µ ? ν, oraz

µ ? ν(K) =

Z

µ(K−x)ν(dx) dla każdego zbioru zwartego K ⊂ RN.

4. Funkcję lokalnie całkowalną F zadaną na R2\ {(x, y) : x = 0} wzorem F (x, y) = y

x(x2+ y2)

przedłuż do dystrybucji K na R2. Następnie sprawdź, że dla dowolnej funkcji ϕ ∈ D(R), takiej że RR 1+yϕ(y)2 dy = 1, funkcjonał

hKϕ, f i = hK, f ⊗ ϕi, f ∈ D(R), jest dystrybucją Hilberta.

5. Niech L będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni D(RN) w przestrzeń funkcji cią- głych z topologią zbieżności punktowej i takim, że DαL(f ) = L(Dαf ) dla każdego α i każdego f ∈ D(RN). Wykaż, że istnieje dystrybucja λ, taka, że Lf = λ ? f . Wskazówka. Rozważ funkcję F (x, y) =L(f−x



x(y).

6. Korzystając z przedstawienia delty Diraca δ0 =PαDαuα, udowodnij nierówność kf kL< X

α

kDαf kL1

dla f ∈ D(RN). Posłuż się wyprowadzoną nierównością i pokaż, że dystrybucja λ, taka że Dαλ ∈ L1loc(RN) dla każdego α jest funkcją klasy C(RN).

7. Dystrybucja Hilberta jest splatalna z każdą funkcją f ∈ Lp(R), gdzie 1 ≤ p < ∞.

8. Sprawdź, że funkcja f (x) = excos ex jest dystrybucją temperowaną.

(pg)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Troczka-Pawelec, Continuity of superquadrqtic set-valued functions, Scientific Issues Jan Długosz University in Cz¸estochowa, Mathematics XVII, 2012.

[r]

[r]

1. Dyrektor Szkoły jest powoływany przez Zarząd Szkoły, Radę Pedagogiczną oraz reprezentantów Rady Rodziców na drodze glosowania co 3 lata. Dyrektor powołuje

Funkcje analityczne #1 Funkcje analityczne #1 Funkcje analityczne

Pokaż, że prosty spacer losowy na grafie jest odwracalny4. Definiujemy w następujący sposób

ro cz na ci gła sto pa ”fo rw ard ”w ok re sies,tjestwartocirednirocznejchwilowejstopyprocentowejwtymokresie .Przykład. 0,

Jeżeli będziesz ją kochała, przyjmiesz wszystko jako pochodzące ode Mnie i wszędzie będziesz działała dla Mnie.. Jeżeli będziesz ufać mojej miłości, nie będziesz już