Pokaż, że hn 3 X → ∂X ∈ X (Hn) jest izomorfizmem algebr Liego

Grupa Heisenberga – zadania #3 2009/10

Grupa Heisenberga – zadania #3 2009/10

Grupa Heisenberga – zadania #3 2009/10

1. Pokaż, że reprezentacja unitarna nieprzywiedlna grupy zwartej jest skończonego wymiaru.

2. Opisz unitarne reprezentacje nieprzywiedlne grup koła i liczb całkowitych.

3. Oblicz transformaty Fouriera funkcji a) f (x) = e^−πkxk2 , b) g(x) = _π(1+||xk¹ 2)^n/2

określonych na Rⁿ.

4. Niech X (H_n) oznacza algebrę Liego lewostronnie niezmienniczych pól wektoro- wych na grupie Heisenberga. Pokaż, że h_n 3 X → ∂_X ∈ X (H_n) jest izomorfizmem algebr Liego.

5. Niech G będzie grupą lca. Pokaż, że charaktery unitarne G tworzą grupę lca z^b topologią zbieżności niemal jednostajnej na G.

6. Niech G ∈ lca. Pokaż, że jeśli G jest zwarta, to G jest dyskretna, a jeśli G jest^b dyskretna, toG jest zwarta.^b

7. Udowodnij, że grupa topologiczna^cR jest izomorficzna z R.

(pg) (pg) (pg)