LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 5 - Algebra Boole’a
Algebrą Boole’a nazywamy strukturę algebraiczną złożoną ze zbioru B, w którym wyróżnione są elementy 0 i 1 oraz określone są trzy działania:
• jednoargumentowa operacja ”-” zwana dopełnieniem logicznym,
• dwuargumentowa operacja ”=” zwana sumą logiczną,
• dwurgumentowa operacja ”· zwana iloczynem logicznym
oraz spełnione są następujące aksjomaty (dla dowlnych elementów a, b, c ∈ B) :
• a + b = b + a, a · b = b · a (prawa przemienności)
• (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c) (prawa łączności)
• a · (b + c) = (a · b) + (a · c), a + (b · c) = (a + b) · (a + c) (prawa rozdzielności)
• a + 0 = a, a · 1 = a (prawa identyczności)
• a + (−a) = 1, a · (−a) = 0 (prawa dopełnień) Własności algebr Boole’a
Dla dowolnych a, b, c ∈ B zachodzą następujące własności:
• a + a = 1, a · a = a (prawa idempotentności)
• a + 1 = 1, a · 0 = 0 (prawa identyczności 2)
• −(a + b) = (−a) · (−b), −(a · b) = (−a) + (−b) (prawa de Morgana)
• a + (a · b) = a, a · (a + b) = a (prawa pochłaniania)
• −(−a) = a (prawo dopełnienia)
Formułą boolowską nazywamy wyrażenie złożone z elementów zbioru B (zwanych stałymi), 0, 1, zmiennych oraz działań −, +, ·.
Uwaga: Jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to domyślna kolejność wykonywania działań jest następująca:
−, ·, +.
Dwuargumentowa Algebra Boole’a to algebra Boole’a, w której zbiór B = {0, 1}, a działania są klasycznymi operatorami logicznymi:
• dopełnieniem logicznym jest operator negacji ¬,
• sumą logiczną jest operator alternatywy ∨,
• iloczynem logicznym jest operator koniunkcji ∧.
Uwaga: Z klasycznych praw rachunku zdań wynika, że tak dobrane operatory logiczne spełniają aksjomaty, a zatem i własności algebr Boole’a.
W elektronice i informatyce często stosuję się oznaczenia NOT, OR, AND zamiast ¬, ∨, ∧. Wyróżnia się również operacje NOR (równoważną ¬(a ∨ b)), NAND (równoważną ¬(a ∧ b) oraz XOR (równoważną (a ∧ (¬b)) ∨ ((¬a) ∧ b)).
Każdą formułę boolowską można zapisać za pomocą następujących zbiorów działań:
• NOT, AND albo
• NOT, OR albo
• NAND albo
• NOR
Zbiór operatorów nazywamy systemem funkcjonalnie pełnym jesli każda formuła boolowska może być przekształcona do postaci wykorzystującej jedynie operatory należące do tego zbioru.
Wniosek praktyczny: Wykorzystując jedynie bramki logiczne odpowiadające operatorom z danego systemu funkcjonalnie pełnego można zaprojektować układ logiczny odpowiadający dowolnej formule boolowskiej.
Zatem przy użyciu tylko bramek typu NAND albo tylko bramek typu NOR można zbudowac układ logiczny realizujący dowolną funkcję logiczną.
