Uwaga o strategiach odnowy

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XV (1979)

BOLESŁAW KOPOCIŃSKI i HALINA PRzYBYSZ (Wrocław)

Uwaga o strategiach odnowy uprzedzającej (Praca ^przyjętado druku 18.ll.1977)

1. Wprowadzenie. Przerwa spowodowana usuwaniem awarii jest czasem kosztow- niejsza od wymiany sprawnego elementu. W praktyce, dla zmniejszenia liczby awarii, zazwyczaj rozważa się dwie strategie odnowy uprzedzającej awarie pra-

cujących elementów: ^cyklicznąalbo ^opartąna wieku elementu. Znane ^sąklasy funkcji

niezawodności, w których te strategie ^sąskuteczne albo w których skuteczne nie

są (zob. [1]-[3]). Przedmiotem tej noty jest porównanie wymienionych strategii.

2. Podstawowe ^pojęcia.Przy odnowie cyklicznej odnowa następuje tylekroć, ilekroć zdarzy ^sięawaria i, dodatkowo, w określonych z góry chwilach T, 2T, 3T, ...

Przy odnowie opartej na wieku element jest odnawiany, gdy zdarzy ^sięawaria lub element ^osiągniewiek T. ^{Są różne}intuicje i kryteria pozwalające wybrać strategię

odnowy uprzedzającej. Porównując te strategie możemy zauważyć, że przy odnowie cyklicznej ^możliwajest odnowa bardzo ^młodychelementów, przy odnowie opartej na wieku chwile odnowy uprzedzającej są planowane dla ^każdegoelementu osobno.

Niech P oznacza funkcję niezawodności odnawianego elementu. W dalszym

ciągu będziemy zakładali, że P należy od pewnej klasy funkcji niezawodności.

Przypomnimy definicje tych klas.

Mówimy, ^żePE IFR (tzn. lncreasing Failure Rate (1)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ^każdegox ^E[O, oo) funkcja P(x +u)/ P( u) jest nierosnącą funkcją u ^E[O, oo), tzn.

(I) P(a)P(x-a)-P(b)P(x-b) ^~O dla ^{O~ a~}b, b ^~x ^~a+b.

Mówimy, ^żeP E NBU (tzn. New Better than Used) wtedy i tylko wtedy, gdy (2) P(a)P(b)-P(a+b) ^~O dla ^a~O, b ^~O.

Klasom tym odpowiadają nowe klasy zdefiniowane przez odwrócenie nierówności.

W ten sposób z klasy IFR powstaje klasa DFR (tzn. Decreasing Failure Rate), a z klasy NBU powstaje klasa NWU (tzn. New Worse than Used). Odwracając nierówności, często uzyskuje się równoległe rezultaty dla wymienionych par klas;

te rezultaty podajemy w nawiasach [ ].

(1) ~dziemy używali ogólnie ^przyjętejanglosaskiej symboliki dla oznaczania rozważanych

klas, w nawiasach podajemy rozwiniętą treść symbolu.

[75)

(2)

Weźmy pod uwagę stumień awarii odnawianego elementu. Gdy awaria zbieg- nie ^sięz planowaną odnową, umawiamy się nie zaliczać awarii, lecz tylko planowaną odnowę. Niech YnA(T) oznacza czas między awarią n-1 a awarią n, gdy planuje ^się

odnowę elementu w wieku T oraz niech Yn8 (

o,

^T)oznacza czas między awarią

n- 1 a ^awariąn, gdy planuje się odnowę elementu cyklicznie w chwilach o, o+ T, o+ 2T, ... (tutaj n jest liczbą naturalną, n e N).

W dalszym ^ciąguzajmiemy ^sięstochastycznymi nierównościami między zmien- nymi losowymi YnA(T) i Yn8 ( o, T). Przypomnijmy, ^żedla zmiennych losowych X i Y zachodzi nierówność X~ Y wtedy i tylko wtedy, gdy Pr(X > t) ^~Pr(Y > t) dla ^każdegot.

Wymienione strategie odnowy uprzedzającej nie ^eliminująawarii elementu w chwili jego instalowania. Wobec tego bez straty ogólności możemy przyjąć

P(O) = 1. Pomijamy również przypadki takich

o

ⁱ ^T,że rozkład F = 1-P jest skupiony w punktach o, o+ T, o+ 2T, ... , gdyż wówczas nie ma awarii przy cyklicznej odnowie uprzedzającej.

3. Porównanie strategii w klasie IFR [DFR]. Przy mocnym warunku narzuconym na odstępy między awariami odnawianego elementu zachodzi następujące

TWIERDZENIE 1. Dla ^każdegoT > 0, O ^~

o

^<^{T, n}^E^N, zachodzi YnA(T) ^~

~ YnB( l'.5, T) [YnA(T) ~ YnB( l'.5, T)] wtedy i tylko wtedy, gdy PE IFR [PE DFR].

Do wód. Konieczność: Niech PE IFR; dla ^każdegot istniejej = O, 1, ... ,takie,

żejT~ t < (j+l)T; dalej wystarczy rozpatrywać t > t'.5. Dla c5+(j-l)T~ t <o+

+jT mamy

Pr(YlB(t'.5, T) > t) = P(c5)Pi-¹(T)P(t- o-(j- l)T) =

= pl-¹(T)[P(l'.5)P(t- o-(j-1) T)] ~

~ pi-¹(T) [P(T)P(t-jT)] ^~

~ Pi(T)P(t-jT) = Pr(YIA(T) > t).

Dla ^o+jT~t < o+(j+l)T mamy

Pr(YIB(l'.5, T) > t) = P(ó)Pi(T)P(t- ó-jT) ~ Pi(T)P(t-jT) =

= Pr(YIA(T) > t).

Udowodnimy teraz nierówność dla n > I. Niech i będzie najmniejszą liczbą całkowitą, dla której o+ iT ~ Sn-^{i ,}8 = Y18( l'.5, T) + ... + Yn-1,B( t'.5, T). Oznaczmy przez YfB = Yn8(o, T)ISn-i,B czas do pierwszej awarii, gdy planowane odnowy

uprzedzające są robione w chwilach (Jn = o+ iT- Sn-^l,B, c5n + T, on+ 2T, ... Wówczas On < T, Pr(YnB( t'.5, T) > tJSn-1 , 8 ) = Pr(Yt8 > t), i dowód nierówności przebiega tak, jak w przypadku n = 1.

Dostateczność: Dla T ^~t < 2T, ^O~o ^<^T, ^O~^t-o^<^{T mamy}

P(c5)P(t-ó) = Pr(Y18(o, T) > t) ~ Pr(Yu(T) > t) = P(T)P(t-T), co jest równoważne warunk~wi (1).

(3)

Strategie odnowy uprzedzającej 77

4. Klasa CBA [CW A]. ^Założymyteraz, ^{że ~}= O i przyjmiemy krótsze ozna- czenie Yn₈(T) = ^Yn8(0, T). Wykażemy, że przy tym ^założeniutwierdzenie 1 nie zachodzi. Zanim sformułujemy odpowiednie twierdzenie wprowadzimy nową klasę

funkcji niezawodności.

Mówimy, ^żePe CBA (tzn. Cyc/ie replacement Better than based on Age) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego T > O, O < a < T, n e N, spełnione są warunki:

(3) ~ [P(u)P(a-u)-P(a)] dDn(u) ~O,

(O,a)

(4) P(T) ~ {P(u)P(a-u)-P(a)]dD„(u)+

(O,a)

+ ^~ [P(u) P(a+ T-u)-P(T)P(a)]dDn(u) ~ O,

(a, T)

gdzie, dla O < ^u< T,

(5) dD1(u) = l-P(T) d„P(T-u), 1

(6) dDn(u) = l-!(T)d"P(T-u) ~ P(x)dDn-i(x)+ ~ duP(x-u)dDn-i(X}.

(~T) (~T)

Przez odwrócenie nierówności w (3) i ( 4) definiujemy klasę CW A (tzn. Cyc/ie replacement Worse than based on Age).

Łatwo zauważyć, że IFR c: CBA [DFR c: CW A], ^gdyżwarunek (3) jest ^speł

niony oraz pierwszy ^członsumy w nierówności (4) jest nieujemny w klasie NBU =>

=> IFR, natomiast drugi ^członsumy w nierówności ( 4) jest nieujemny w klasie IFR.

Podamy dwa przykłady. Pierwszy dowodzi, ^żeCBA:/:. IFR, natomiast drugi dowodzi, ^żeklasa CBA nie jest ^zamkniętaze ^względuna iloczyn funkcji. ^Zauważmy,

że własność tę mają klasy IFR, NBU, DFR i NWU.

LEMAT 1. Dla ^każdegoi e N mamy

i

(7) dD,(u) = -

,L

a,kduF*k(T-u),

k=l

gdzie F = l-P oraz

a11 = l/F(T),

i-1

ail =

:z=

_i= ^F(~)^a,_i.¹^P*F*i(T),

1

a,k =

a,_

1 ,k_ 1 , k = 2, 3, ... ,i, i= 2, 3, „.,

natomiast * jest symbolem splotu (potęgi splotowej):

P*F(x) = ~ P(x-u)dF(u).

(0,x)

(4)

Do wód i n du kc y j ny. Dla i = 1 mamy (5). Z (6) i ^założeniaindukcji mamy

i-l

dD;(u) = F(lT) duP(T-u) ~ P(x)[ - L>i-l,jd:~f*i(T-x)] ₊

(O,T) i=l

i-1

+ ~ duP(x-u)[ -

L

a;_ 1,jdxF*i(T-x)] =

(u, T) i= 1

i-1

= duP(T-u) ~ FtT) a;_1.i ~ P(T~x)dF*i(x)+

;= 1 (O, T)

' r

i-l

+

L

^a;-1,j ^~ duP(T-u-v)dF*i(v).

i=l (O,T-u)

Całka w ostatnim wyrażeniu równa ^się-duF*<i+l>(T-u), a ^więcdD;(u) jest po- staci (7).

PRZYKŁAD 1. Niech P(x) = ac<x>, O < a. < 1, gdzie c(x) oznacza część całko

witą liczby x. Mamy P ~ IFR oraz P E CBA.

Rzeczywiście, warunek (3) jest spełniony, ponieważ PE NBU. Dla dowodu warunku (4) wobec lematu 1 wystarczy wykazać, że

1 = ~· [P(u)P(a+T-u)-P(T)P(a)]duF*k(T-u) =O.

(a,T)

Ponieważ F*k (T- u) ma skoki co ^najwyżejw punktach T- 1, T- 2, „ „ T-c(T), więc c(T-a)

I=

L

[P(T-j)P(a+j)-P(T)P(a)]dF*k(j) = i= 1

c(T-a)

= ~ [cxc~T>-iac(a)+j _ (Xc(T)(Xc(a)]dF*k(j) = O.

;=1 '

PRZYKŁAD 2. Niech P1(x) = ac<x>,o <a< l,P₂(x) = e-x. Mamy P1 eCBA, P2 E CBA oraz P = ^P1P2 ~CBA.

Rzeczywiście, dla a= 1/4, T = 7/4 mamy P(u)P(a-u)-P(a) = O dla O <

<u~ a, oraz

P(u)P(a+T-u)-P(T)P(a) =

{~(a-J)e_ 2

^{dla 1/4}_dla ₁_<^<u~_u_<_5/4.^1albo5/4^~^u^<⁷^/4~

Wyrażenie znajdujące się po lewej stronie warunku ( 4) jest ^więc równe cx(cx-l)e-² ~ dD;(u) < O.

(l,5j4)

TWIERDZENIE 2. Dla każdego T > 0, n EN, mamy YnA(T) ~ Yn8(T) [YnA(T) ~

~ Yns(T)] wtedy i tylko wtedy, gdy p E CBA [P E ew A].

(5)

Strategie odnowy uprzedzającej 79 D o w ó d. ^PonieważYu (T) = Y18 (O, T), ^więcwystarczy ^rozważyćprzypadek

n > 1. Niech i będzie najmniejszą liczbą całkowitą, dla której iT ^~Sn8(T) =

= YIB(T) + . . . + ^Yn⁸(T) oraz {Jn = iT- Sn8(T). Wówczas ^rozkładyprawdopodo-

bieństwa Pr( {Jn ^~y) = Dn(y), n EN, dane ^sąw (5) i (6). Funkcje prawdopodo- bieństwa przeżycia Gn+t (y) = Pr(Yn+i,B(T) > y), n e N, mają postać

Zauważmy, że

~ P(u)P(y-u)dDn(u) + ^~ P(y)dDn(u), O~ y < T,

(O, Y) (y, T)

~ P(u)Pi(T)P(y-jT-u)dDn(u)+

(O,y-}Tj

+ ^~ P(u)Pi-¹(T)P(y-U- l)T-u)dDn(u),

(y-jT, T)

jT ^~y < (j + ^{1 )T.}

{ P(y),

G(y) = Pr(YnA(T) > y) = Pi(T)P(y-JT), ^O~y < T,

jT~ y < U+l)T.

Łatwo sprawdzić, że warunek Gn(Y) ^~G(y) dla ^O~y < T jest równoważny

warunkowi (3), natomiast dla jT ^~^y< (j+ l)T, j = 1, 2, .„, po podstawieniu a= y-jT jest równoważny warunkowi (4).

Prace cytowane

[1] R. E. Bar I o w, F. Pr os cha n, Comparison of replacement polices and reneva/ theory implications, Ann. Math. Statist. 34 (1963), str. 375-389.

[2] B. Ko p o c i ^ńs k i, Zarys teorii odnowy i niezawodności, PWN, Warszawa 1973.

[3] A. W. Mars ha I I, F. Pr os cha n, Classes of distributions app/icable in rep/acement with reneval theory implications, Sixth Berkeley Syrop. 1 (1970), str. 395-415.