MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 41, s. 323-330, Gliwice 2011
MODEL OBLICZENIOWY RUCHU ŁADUNKU PRZENOSZONEGO ZA POMOCĄ DWUCZŁONOWEGO UKŁADU CHWYTAKOWEGO BOGDAN POSIADAŁA, MATEUSZ TOMALA
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: bogdan.p@imipkm.pcz.czest.pl
Streszczenie. Przedmiotem artykułu jest zagadnienie modelowania i analizy zjawisk dynamicznych układu przenoszenia ładunku, w jaki wyposażony jest żuraw leśny. Sformułowano i rozwiązano zagadnienie początkowe ruchu ładunku przenoszonego za pomocą żurawia w określonym cyklu roboczym. Opracowano model obliczeniowy umożliwiający analizę ruchu układu zarówno pod wpływem wymuszenia, jak i drgania swobodne ładunku. W pracy zamieszczono przykładowe wyniki symulacji ruchu ładunku.
1. WSTĘP
Formułowanie i rozwiązywanie problemów dynamiki elementów żurawi bądź całych maszyn było przedmiotem wielu prac, z których, w kontekście niniejszego referatu, można wymienić pozycje [1-7]. W opracowaniach tych autorzy sformułowali i rozwiązali problem dynamiki żurawia oraz przenoszonego przez niego ładunku, reprezentowanego przez punkt materialny. W niniejszej pracy układ z ładunkiem reprezentowanym poprzez punkt materialny zastąpiono układem wielobryłowym, stanowiącym odzwierciedlenie dwuczłonowego układu chwytakowego, w jaki wyposażony jest żuraw leśny. Model kinematyczny zbudowano, dostosowując liczbę członów do konstrukcji wysięgnika, w jaki wyposażony jest rozważany obiekt. Zaproponowany w niniejszej pracy model układu chwytakowego żurawia leśnego może stanowić podstawę do budowy modeli obliczeniowych, służących do badań dynamiki manipulatorów z uwzględnieniem rozmaitych czynników zakłócających ruch swobodny członów, zarówno względem siebie, jak i względem otoczenia.
2. MODEL OBLICZENIOWY
2.1. Model obliczeniowy – kinematyka układu
Schemat modelu kinematycznego przedstawiono na rys. 1. Rozważany układ reprezentuje podstawę oraz dwuczłonowy wysięgnik żurawia. Na rysunku zaznaczono współrzędne, które, w odpowiednich krzywoliniowych układach odniesienia, stanowią podstawę do opisu matematycznego ruchu układu. Wprowadzone współrzędne dają możliwość opisu dowolnej konfiguracji ruchu układu w trójwymiarowej przestrzeni, przy czym, w opisie modeli maszyn o określonej konstrukcji elementów, należy wprowadzić odpowiednie ograniczenia ruchu.
Ograniczenia te wynikają z charakterystyki rozpatrywanej maszyny, czyli, w rozważanym przypadku, charakterystyki żurawia leśnego.
Rys. 1. Model obliczeniowy – kinematyka
W takim przypadku elementy reprezentujące części masztu wysięgnika pozostają w jednej płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny XY układu stałego (płaszczyźnie podnoszenia) oraz obracają się razem z podstawą na podwoziu. Położenie punktu O1, modelującego początek wysięgnika, zależne jest jedynie od ruchu nadwozia wraz z wysięgnikiem w płaszczyźnie obrotu oraz od niezmiennych w czasie współrzędnych R(t) oraz Z(t). Ruch teleskopowania możliwy jest jedynie w części wysięgnika zakończonej punktem Ω (części zewnętrznej). Po wprowadzeniu powyższych ograniczeń do modelu, wszystkie ruchy robocze żurawia mogą zostać opisane poprzez użycie 4 funkcji wymuszeń: r2(t), φ1(t), θ1(t) oraz θ2(t).
2.2. Model obliczeniowy – dynamika
Na rys. 2 i 3 przedstawiono schematycznie elementy rozważanego układu do opisu jego dynamiki. Układ składa się z trzech brył sztywnych, z których pierwsze dwie połączone są w punkcie P1, natomiast punkt P2 stanowi połączenie pomiędzy bryłą drugą a trzecią. Pierwsza z brył połączona jest z wysięgnikiem żurawia w punkcie Ω.
Do opisu orientacji każdej z brył względem stałego układu współrzędnych użyto quasi- eulerowskich kątów Bryanta, zwanych także samolotowymi lub lotniczymi. Procedura orientowania bryły za pomocą tych współrzędnych opisana jest między innymi w pracy [4].
W opracowaniu tym podano także związki pomiędzy współrzędnymi wektora prędkości kątowej a współrzędnymi Bryanta i ich pochodnymi czasowymi.
MODEL OBLICZENIOWY RUCHU ŁADUNKU PRZENOSZONEGO ZA POMOCĄ… 325
Rys. 2. Model obliczeniowy – dynamika
Rys. 3. Model obliczeniowy – dynamika – podstawowe wielkości
Ruch ogólny bryły sztywnej stanowi złożenie ruchu postępowego środka masy oraz ruchu kulistego wokół środka masy. W rozpatrywanym przypadku łatwo stwierdzić, iż ruchy te dla poszczególnych brył są ze sobą ściśle sprzężone. Do opisu ruchu ogólnego całego układu wystarczy znajomość ruchów kulistych każdej bryły względem jej własnego środka masy oraz określenie zależności pomiędzy tymi ruchami a ruchami postępowymi poszczególnych środków mas. Ruch kulisty i-tej bryły wokół jej środka masy Ci można opisać równaniem wektorowym [4,8]:
3 , 2 ,
) 1
( )
( = i=
dt d i
C i
Ci K i
M (1)
Rozpisanie równania (1) dla poszczególnych brył w ich ruchomych układach współrzędnych, przy uwzględnieniu pochodnej w układzie stałym, prowadzi do równań ruchu układu.
Korzystając z konwencji sumacyjnej, można je zapisać w następujący sposób:
3 , 2 ,
) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( =J + J j=
Mji jmiεmi εjknωki nsiωsi (2)
Występujące w układzie (2) składowe wektorów prędkości i przyśpieszeń kątowych należy podać jako funkcje wprowadzonych w podrozdziale poprzednim kątów Bryanta i ich odpowiednich pochodnych czasowych. Operator εjkn oznacza symbol permutacyjny Ricciego.
Współrzędne wektorów momentów, występujące po lewej stronie układu równań (2), są funkcjami sił interakcji pomiędzy bryłami: R, F1 i F2. Współrzędne wektorów tych sił można wyprowadzić poprzez rozpisanie II prawa dynamiki Newtona dla wszystkich trzech brył, zgodnie z rys.3. Po takiej operacji składowe te okażą się być funkcjami sił ciężkości oraz przyśpieszeń absolutnych środków mas poszczególnych brył, które mogą zostać wyrażone jako:
3 , 2 ,
) 1
( ) ( )
(i = Ciw+ ui i=
Ci a i a
a (3)
Analogicznie do przyśpieszeń absolutnych środków mas wyznaczyć można przyśpieszenia absolutne punktów modelujących połączenia pomiędzy bryłami, tj. P1 oraz P2. Odpowiednie przyśpieszenia unoszenia występujące w równaniach (3) wynoszą:
. ,
, (2) 1 (3) 2
) 1 (
P u P u
u a a a a a
a = Ω = = (4)
Zważając na fakt, iż prędkość i przyśpieszenie kątowe bryły dookoła dowolnego punktu nie zależą od wyboru tego punktu, przyśpieszenie względne środka masy i-tej bryły może być wyrażone za pomocą wielkości związanych z jej rotacją:
(
() ())
1,2,3) ( ) ( ) ( )
(iw = i × i + i × i × i i=
Ci ε r ω ω r
a (5)
W ten sam sposób określić można przyśpieszenia względne punktów połączenia pomiędzy bryłami, określając w odpowiedni sposób wektory r(i) jako sumy wektorów, zgodnie z rys. 3.
Określone w ten sposób przyśpieszenia absolutne środków mas brył pozwalają wyznaczyć nieznane siły interakcji, a co za tym idzie także momenty tych sił występujące w równaniach
MODEL OBLICZENIOWY RUCHU ŁADUNKU PRZENOSZONEGO ZA POMOCĄ… 327 (2), jako funkcje wielkości opisujących rotację brył – współrzędnych uogólnionych Bryanta i ich pochodnych czasowych.
Po wykorzystaniu zależności (3), (4) i (5) w układzie równań (2)otrzymuje się układ dziewięciu równań różniczkowych zwyczajnych II stopnia z dziewięcioma niewiadomymi funkcjami opisującymi orientację każdej z brył w trójwymiarowej przestrzeni. Wszystkie operacje symboliczne konieczne do sformułowania układu równań (2) zostały wykonane przy pomocy pakietu obliczeń symbolicznych Mathematica. Zagadnienie początkowe ruchu układu, z wykorzystaniem wyprowadzonych równań, zostało rozwiązane metodą Rungego- Kutty IV rzędu ze zmiennym krokiem całkowania. Program do obliczeń numerycznych został napisany w języku Turbo Pascal.
3. PRZYKŁADOWE WYNIKI OBLICZEŃ
W pracy zamieszczono wyniki symulacji ruchu żurawia leśnego z dwuczłonowym układem przenoszenia ładunku. Zbadano ruch układu w płaszczyźnie podnoszenia żurawia, uwzględniając zarówno ruch wymuszony, jak i ruch swobodny, który ma miejsce po ustaniu działania wymuszeń.
Tabela 1. Dane do obliczeń Parametry geometryczne żurawia
i wartości początkowe wymuszeń:
Parametry geometryczne i masowe układu chwytakowego i ładunku:
R [m] 1.2 m1 [kg] 23.29
Z [m] 1.2 m2 [kg] 32.03
α [deg] 180 m3 [kg] 1728
r1 [m] 3 a1 × b1 × c1 [m] 0.12 × 0.06 × 0.42 θ1 [deg] 30 a2 × b2 × c2 [m] 0.1 × 0.08 × 0.52 φ1 [deg] 0 a3 × b3 × c3 [m] 0.8 × 2.4 × 1
r2 [m] 3
θ2 [deg] 60 φ2 [deg] 0
Rys. 4. Prędkości zmian współrzędnych krzywoliniowych reprezentujących sterowania elementami żurawia
trajektorię punktów charakterystycznych układu (środków mas i końca wysięgnika żurawia – rys. 8) oraz zmienności parametrów ruchu rotacyjnego brył w funkcji czasu (rys. 5-7).
Przeprowadzono obliczenia dla danych wymiarowych żurawia i parametrów masowych układu przenoszenia ładunku zawartych w tabeli 1. Zbadano ruch roboczy żurawia stanowiący złożenie ruchu opuszczania i teleskopowania zewnętrznej części wysięgnika.
Ruch ten sformułowano za pomocą funkcji r2(t) oraz θ2(t). Postacie pierwszych pochodnych czasowych przyjętych sterowań zaprezentowano na rys. 4. Położenia punktów połączenia pomiędzy bryłami oraz punktu połączenia układu bryłowego z wysięgnikiem dobrano w taki sposób, aby zerowe warunki początkowe zapewniały, przy braku aktywnego wymuszenia, stan równowagi układu. Dodatkowo dobrano położenia początkowe brył w taki sposób, aby ruch wymuszony w płaszczyźnie podnoszenia powodował zmianę tylko 1 współrzędnej kątowej, odpowiedzialnej za ruch każdej z brył.
Rys. 5. Zmienność współrzędnej odpowiedzialnej za ruch pierwszej bryły układu i jej pierwszej pochodnej czasowej (prędkości uogólnionej) w funkcji czasu
Rys. 6. Zmienność współrzędnej odpowiedzialnej za ruch drugiej bryły układu i jej pierwszej pochodnej czasowej (prędkości uogólnionej) w funkcji czasu
MODEL OBLICZENIOWY RUCHU ŁADUNKU PRZENOSZONEGO ZA POMOCĄ… 329
Rys. 7. Zmienność współrzędnej odpowiedzialnej za ruch trzeciej bryły układu i jej pierwszej pochodnej czasowej (prędkości uogólnionej) w funkcji czasu
Rys. 8. Trajektoria końca wysięgnika i środków mas wszystkich trzech brył wchodzących w skład rozpatrywanego układu
4. PODSUMOWANIE
W niniejszej pracy przedstawiono sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia początkowego ruchu żurawia wyposażonego w dwuczłonowy układ chwytakowy, odpowiadający, w pewnym stopniu, układowi, w jaki wyposażony jest żuraw leśny. Na podstawie zaproponowanego modelu opracowano program obliczeniowy, który umożliwia analizę ruchu
wyniki symulacji numerycznej.
Zamieszczony opis może zostać użyty do badania dowolnych wielobryłowych układów zbliżonych swoją charakterystyką do wysięgników maszyn dźwigowych lub manipulatorów.
Poprzez wprowadzenie sił interakcji w sposób bezpośredni możliwe jest wprowadzenie sił tarcia w przegubach. Fakt wykorzystania drugiej zasady dynamiki Newtona, także w sposób bezpośredni, umożliwia wprowadzenie oddziaływań zewnętrznych do układu. Oddziaływania te mogą być wielkościami niezależnymi bądź funkcjami istniejących w układzie wielkości, w tym sił bezwładności.
LITERATURA
1. Posiadała B., Skalmierski B., Tomski L.: Model teoretyczny i obliczeniowy mechanizmów teleskopowania żurawi. Prace Naukowe CPBP 02.05. Warszawa: Wyd.
Pol. Warsz., 1990.
2. Posiadała B., Skalmierski B., Tomski L.: Motion of lifted load brought by kinematic forcing of the crane telescopic bom “Mechanism and Machine Theory” 1990, Vol.25, No.
5, p.547-556.
3. Posiadała B.: Influence of crane support system on motion of the lifted load. “Mechanism and Machine Theory” 1997, Vol.32, No. 1, p.9-20.
4. Posiadała B.: Modelowanie i analiza zjawisk dynamicznych maszyn roboczych i ich elementów jako dyskretno-ciągłych układów mechanicznych. Częstochowa: Wyd. Pol.
Częst., 1999.
5. Posiadała B., Waryś P.: Drgania swobodne wysięgnika teleskopowego żurawia leśnego.
„Transport Przemysłowy” 2008, nr 2(32), 127-129.
6. Kłosiński J.: Badania symulacyjne wybranych modeli żurawia samojezdnego. ZN Pol.
Opolskiej, „Mechanika”64, 2001, s. 193-200.
7. Maczyński A.: Load positioning and minimization of load oscillations in rotary cranes.
“Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2003, 41(4), p. 873-885.
8. Skalmierski B.: Mechanika: podstawy mechaniki ośrodków ciągłych. Częstochowa: Wyd.
Pol. Częst., 1999.
COMPUTATIONAL MODEL OF THE MOTION OF THE LOAD CARRIED BY THE BINOMIAL GRAB SYSTEM
Summary. In this work the problem of modelling and analyzing of the dynamic effects of the load carrying system of the forest crane is considered. The initial problem of the load motion carried by the forest crane during the working cycle has been formulated and solved. The workout calculation model enable one to analyse the motion of the load under influence of kinematic forcing and the free vibration of the load as the result of the previous forced motion. In the work the exemplary results of the numerical simulation are presented.
