Empiryczne rozkªady prawdopodobie«stwa
Rozkªad empiryczny to uzyskany na podstawie badania statystycznego opis warto±ci przyj- mowanych przez cech¦ statystyczn¡ przy pomocy cz¦sto±ci ich wyst¦powania. Rozkªad empiryczny z reguªy jest prezentowany jako szereg rozdzielczy (punktowy lub prze- dziaªowy). Informacje o próbce daje nam równie» histogram, wykres koªowy, sªupkowy, pudeªkowy itp.
Def. Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ z rozkªadu o dystrybuancie F . Wówczas dy- strybuant¡ empiryczn¡ nazywamy funkcj¦
Fˆn(x) = 1 n
n
X
i=1
1[Xi,∞)(x).
Tw. Gliwienki-Cantellego (Podstawowe Twierdzenie Statystyki Matematycznej) Niech
Dn= sup
−∞<x<∞
| ˆFn(x) − F (x)|.
Je»eli próba X1, . . . , Xn pochodzi z rozkªadu o dystrybuancie F , to Dnn→∞−→ 0
z prawdopodobie«stwem 1.
Def. Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ z nieznanego rozkªadu zmiennej X, za± A ⊂ R.
Wówczas przybli»eniem nieznanej liczby pA = P (X ∈ A) jest prawdopodobie«stwo empiryczne
ˆ pA=
n
P
i=1
1A(Xi)
n .
Def. Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡. Niech X1:n ≤ X2:n ≤ . . . ≤ Xn:n b¦dzie ci¡giem liczb X1(ω), . . . , Xn(ω) uporz¡dkowanym w kolejno±ci niemalej¡cej. Wówczas Xi:n, i = 1, . . . , n, nazywamy i-t¡ statystyk¡ pozycyjn¡ (porz¡dkow¡).
Próbkowe odpowiedniki wielko±ci populacyjnych Oznaczenia:
x1, . . . , xn warto±ci obserwacji (realizacje próby X1(ω), . . . , Xn(ω)), n liczba obserwacji (wielko±¢ próby),
x1:1, . . . , xn:n statystyki pozycyjne z próby.
rednia arytmetyczna z próbki:
¯ x = 1
n
n
X
i=1
xi,
1
jest warto±ci¡ oczekiwan¡ rozkªadu empirycznego.
Wariancja próbkowa dana jest wzorem:
ˆ s2 = 1
n
n
X
i=1
(xi− ¯x)2 = 1 n
n
X
i=1
x2i − ¯x2, jest wariancj¡ rozkªadu empirycznego.
Odchylenie standardowe z próbki (ˆs) to pierwiastek z wariancji próbkowej, jest ono odchyleniem standardowym rozkªadu empirycznego.
Ogólnie, wyró»niamy nast¦puj¡ce typy momentów z próbki:
• zwykªe ˆak = 1 n
n
P
i=1
xki, s¡ odpowiednikiem momentów ak= EXk,
• centralne ˆmk = 1 n
n
P
i=1
(xi− ¯x)k,s¡ odpowiednikiem momentów mk= E(X − EX)k,
• absolutne ˆAk= 1 n
n
P
i=1
|xi|k, s¡ odpowiednikiem momentów Ak = E|X|k,
• centralne momenty absolutne ˆMk = 1 n
n
P
i=1
|xi− ¯x|k, s¡ odpowiednikiem momentów Mk = E|X − EX|k.
Kwantylem rz¦du p, gdzie 0 ≤ p ≤ 1, rozkªadu zmiennej losowej X nazywamy warto±¢ xp, dla której speªnione s¡ nierówno±ci
P (X ≤ xp) ≥ p i P (X ≥ xp) ≥ 1 − p, lub równowa»nie:
P (X < xp) = F (xp−) ≤ p ≤ F (xp) = P (X ≤ xp).
Taka liczba xp zawsze istnieje, ale nie musi by¢ wyznaczona jednoznacznie. Je»eli istnieje dokªadnie jedna liczba xp taka, »e P (X ≤ xp) = F (xp) = p, to xp jest p-tym kwantylem.
Podobnie jest w przypadku, gdy F (xp−) < p < F (xp). Je»eli jednak F (a) = F (b) = p, to ka»da z liczb z przedziaªu [a, b] jest p-tym kwantylem. W przypadku rozkªadów absolutnie ci¡gªych (gdzie F (xp−) = F (xp)) de nicja kwantyla si¦ upraszcza:
P (X ≤ xp) = F (xp) = p, czyli xp = F−1(p).
Liczb¦ ˆxp nazywamy kwantylem empirycznym rz¦du p, je»eli Fˆn(ˆxp−) ≤ p ≤ ˆFn(ˆxp)
W przypadku rozkªadów dyskretnych sytuacja nie jest jednoznaczna, a rozkªad empi- ryczny zawsze jest dyskretny. Oczywi±cie, statystyka pozycyjna Xdnpe:n jest kwantylem
2
empirycznym rz¦du p, ale nie jedynym. Najlepiej wida¢ to na przykªadzie mediany próbkowej (kwantyla rz¦du 1/2), któr¡ przyj¦ªo si¦ de niowa¢ nast¦puj¡co:
med =ˆ
xn+1
2 :n, n − nieparzyste,
1 2 xn
2:n+ xn
2+1:n , n − parzyste.
Formalnie, je±li rozmiar próbki n jest liczb¡ nieparzyst¡, to median¡ z próbki jest staty- styka pozycyjna o numerze (n + 1)/2. Je»eli jednak rozmiar próbki n jest liczb¡ parzyst¡, to median¡ próbkow¡ jest ka»da z liczb z przedziaªu [Xn2:n, Xn
2+1:n]. rodek przedziaªu podaje si¦ po to, aby unikn¡¢ niejednoznaczno±ci.
Kwantyle rz¦du 1/4, 1/2, 3/4 s¡ inaczej nazywane kwartylami. Przy pewnym uprosz- czeniu mo»na powiedzie¢, »e kwartyle dziel¡ uporz¡dkowane dane statystyczne na cztery równe cz¦±ci. Drugi kwartyl pokrywa si¦ z median¡. Mediana dzieli uporz¡dkowane dane na dwie cz¦±ci. Mediana pierwszej z nich to dolny kwartyl (pierwszy kwartyl), a dru- giej to górny kwartyl (trzeci kwartyl). Ró»nica mi¦dzy górnym i dolnym kwartylem to rozst¦p mi¦dzykwartylowy.
Kwantyle rz¦du 1/10, 2/10,..., 9/10 to inaczej decyle. Kwantyle rz¦du 1/100, 2/100,..., 99/100 to inaczej percentyle.
Dominanta (moda) to warto±¢, która w danych wyst¦puje najcz¦±ciej i nie jest war- to±ci¡ skrajn¡ (tzn. minimaln¡ lub maksymaln¡). Je»eli w zestawie danych wyst¦puje kilka warto±ci z t¡ sam¡, najwy»sz¡ cz¦stotliwo±ci¡, to ka»da z tych warto±ci jest mod¡;
w zestawie danych mo»e równie» moda nie wyst¦powa¢.
3
