Równoliczno zbiorów
Definicja 3.1
Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne je eli istnieje f:A→wj B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ∅~∅.
Twierdzenie 3.1 (podstawowa własno równoliczno ci zbiorów) Dla dowolnych zbiorów A,B,C mamy
(1) A~A
(2) A~B B~A
(3) A~B ∧ B~C A~C.
Dowód
Ad (1). Je eli A=∅, to wobec definicji mamy A~A. Je eli A≠∅, to oczywi cie idA :A→wj A, wi c A~A.
Ad (2). Zakładamy, e A~B . Oznacza to, e albo A= ∅ = B i wówczas oczywi cie B~A, albo e istnieje f:A→wj B.
Istnieje wówczas f−1:B→wj A(patrz wiczenia z algebry). Mamy wi c B~A.
Ad (3). Je eli który ze zbiorów A,B,C jest pusty, to (3) jest oczywiste. Przyjmijmy wi c, e s to zbiory niepuste.
Zakładamy, e A~B i B~C. Istniej wi c funkcje f:A→wj B ; g:B→wj C. Z wicze z algebry wiadomo, e wówczas f g:A→wj C, czyli A~C.
Definicja 3.2
Zbiór D nazywamy sko czonym je eli ∃n∈N P(n)~D.
W tym przypadku mówimy, e zbiór D jest n-elementowy ( ma n- elementów).
Niepusty zbiór D nazywamy niesko czonym je eli nie jest on sko czony, czyli ∀n∈N ~(P(n)~D).
Definicja 3.3
Funkcj a:N→P nazywamy ci giem. Dokładniej ci giem elementów zbioru P (niekoniecznie wszystkich) .
Ci g jest to wi c dowolna funkcja, której dziedzin jest zbiór N. W przypadku funkcji a:N→P dla n∈N zamiast pisa a(n) b dziemy pisali an. Zamiast pisa a(N) b dziemy pisali {an}n∈N i tym symbolem b. cz sto oznaczali ci g jako funkcj a:N→P. Nie prowadzi to z reguły do dwuznaczno ci.
Ci gi s wi c specyficznymi funkcjami. Nie zapominajmy jednak, e ci g to funkcja i w szczególno ci mówi mo emy o ci gach ró nowarto ciowych, monotonicznych itd.
Je eli dla pewnego ci gu {an}n∈N ma miejsce równo {an}n∈N = A, to mówimy, e A jest zbiorem wyrazów ci gu {an}n∈N, lub e elementy zbioru A ustawili my w ci g.
Sposoby definiowania (okre lania) ci gów:
1) poprzez podanie ogólnego wzoru. (Np. ∀n∈N an ≡ n+1 )n . Tu jeste my w stanie poda natychmiast poda warto dowolnego wyrazu ci gu. ( Np. a77 = 7778 ).
2) rekurencyjnie. (Np. a1 ≡ 3, a2 ≡ 4, ∀n∈N n>2 an ≡ an-1 –2an-2). Tu aby poda warto kolejnego wyrazu ci gu nale y zna warto ci wyrazów poprzednich.
3) poprzez podanie „opisu słownego”. (Np. rosn cy ci g liczb pierwszych).
Definicja 3.4
Niech {an}n∈N b dzie pewnym ci giem ( a:N→P ) i {nk}k∈N rosn cym ci giem liczb naturalnych (n:N→N i
∀k,s∈N k<s nk < ns). Superpozycj a n nazywamy podci giem ci gu {an}n∈N. Dla k∈N zgodnie z wcze niej przyj tymi
umowami i definicj superpozycji mamy (a n)(k) = a(n(k)) = a(nk) = ank . Tak wi c podci gi ci gu {an} n∈N oznacza b dziemy przez {ank}k∈N.
Obrazowo mówi c podci g danego ci gu to ci g z niego powstały przez opuszczenie pewnej ilo ci wyrazów z zachowaniem kolejno ci niesko czonej ilo ci pozostałych.
Np. Podci giem ci gu {n}n∈N s : {2n}n∈N , {n+1}n∈N , {2n+7}n∈N. Ci g {n-1}n∈N nie jest podci giem tego ci gu, podobnie jak ci g (1,3,2,4,5,6,...).
Definicja 3.5
Zbiór A nazywamy przeliczalnym je eli jest on: pusty, sko czony lub równoliczny ze zbiorem N.
Uwagi
1) Ka dy zbiór równoliczny ze zbiorem przeliczalnym jest przeliczalny Dowód
Niech A b dzie zbiorem przeliczalnym i A~B. Je eli A = ∅, to B = ∅, je eli A jest sko czony, czyli ∃n∈N P(n)~A.
Wówczas P(n)~A ∧ A~B wi c P(n)~B, je eli N~A ∧A~B, to N~B. W ka dym wi c przypadku B okazał si by zbiorem przeliczalnym.
2) Równoliczno zbioru N z A oznacza oczywi cie, e A jest zbiorem wyrazów pewnego ci gu ró nowarto ciowego.
Przykłady
Oczywi cie N jest zbiorem przeliczalnym. Zbiory liczb parzystych i nieparzystych jako z nim równoliczne ( f(n) ≡ 2n, g(n) ≡ 2n-1 ) te s przeliczalne. Oka e si w dalszej cz ci wykładu, e R jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Definicja 3.6
Zbiór, który nie jest przeliczalny nazywany nieprzeliczalnym.
Uwaga
Ka dy zbiór równoliczny ze zbiorem nieprzeliczalnym jest nieprzeliczalny.
Twierdzenie 3.2
Na to, by niepusty zbiór A był przeliczalny potrzeba i wystarcza, aby był on zbiorem wyrzzów pewnego ci gu.
Czyli niepusty zbiór A jest przeliczalny ⇔ gdy istnieje ci g {an}n∈N (niekoniecznie ró nowarto ciowy) taki, e A = {an}n∈N. Dowód (warunek konieczny)
Zakładamy, e A jest zbiorem przeliczalnym. Rozwa my przypadki:
(i) A jest równoliczny z N (ii) A jest sko czony.
Ad (i)
Istnieje wówczas funkcja a:N→wj A, czyli ci g {an}n∈N. Poniewa a jest surjekcj , to A = {an}n∈N. Ad. (ii)
Dla pewnego k∈N mamy P(k)~A. Istnieje wi c bijekcja a:P(k)→A. Oczywi cie a(P(k)) = A. Definiujemy ci g b:N→A nast puj co: ∀n∈N
>
≡ ≤
k n dla ) k ( a
k n dla ) n (
bn a . Łatwo zauwa y , e {bn}n∈N = A.
(warunek wystarczaj cy)
Zakładamy, e A jest zbiorem wyrazów pewnego ci gu. Istnieje wi c ci g {bn}n∈N taki, e {bn}n∈N = A.
Je eli A jest sko czony, to jest oczywi cie przeliczalny. Przyjmijmy wi c, e A nie jest sko czony. Wówczas (*) ∀n∈N ~(P(n)~A)
Poni ej zdefiniujemy ró nowarto ciowy ci g {an}n∈N taki, e {an}n∈N = A. Definiujemy ( 1) a1 ≡ b1
Gdyby zbiór M1 ≡ {n∈N: bn ≠ a1 = b1} = ∅, to A~P(1) wbrew (*). Zatem M1 ≠ ∅. Istnieje wi c k2 ≡ minM1. Definiujemy (2) a2 ≡ bk2 ( a2 jest wi c najwcze niejszym wyrazem ci gu {bn}n∈N , który jest ró ny od b1 = a1. Wszczególno ci a1≠a2) Gdyby zbiór M2 ≡ {n∈N: bn∉{a1, a2}} = ∅, to A~P(2) wbrew (*). Zatem M2 ≠ ∅. Istnieje wi c k3 ≡ minM2. Definiujemy (3) a3 ≡ bk3 . ( a3 jest wi c najwcze niejszym wyrazem ci gu {bn}n∈N , który jest ró ny od wszystkich wcze niej od
niego okre lonych elementów: a1 i a2) Przyjmijmy, e okre lili my ju wyraz
(4) (n) an ≡ bkn b d cy najwcze niejszym wyrazem ci gu {bn}n∈N , który jest ró ny od wszystkich wcze niej od niego okre lonych elementów: a1, a2, ... , an-1.
Gdyby zbiór Mn ≡ {n∈N: bn∉{a1, ..., an}} = ∅, to A~P(n) wbrew (*). Zatem Mn ≠ ∅. Istnieje wi c kn+1 ≡ minMn. Definiujemy
(5) (n+1) an+1 ≡ bkn+1 ( an+1 jest wi c najwcze niejszym wyrazem ci gu {bn}n∈N , który jest ró ny od wszystkich wcze niej od niego okre lonych elementów: a1, ..., an.
W ten sposób okre lili my indukcyjnie ci g {an}n∈N . Jest on oczywi cie ró nowarto ciowy (co wynika z procesu jego tworzenia) i {an}n∈N = A (bo ci g {bn}n∈N wyczerpywał wszystkie wyrazy zbioru A. Ci g {an}n∈N jest podci giem ci gu {bn}n∈N
powstałym przez opuszczenie tylko tych wyrazów które w ci gu {bn}n∈N powtarzały si ).
W zwi zku z powy szym A jest równoliczny z N, a wi c przeliczalny.
Własno ci zbiorów przeliczalnych Twierdzenie 3.3
Ka dy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. Ka dy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny.
Dowód
Niech A b dzie podzbiorem zbioru przeliczalnego B. Je eli B = ∅, to twierdzenie jest oczywiste. W przeciwnym wypadku na mocy poprzedniego twierdzenia B = {bn}n∈N. Je eli A = ∅ lub A jest sko czony, to twierdzenie jest oczywiste.
Przyjmijmy wi c, e A jest niesko czonym podzbiorem zbioru B (sił rzeczy niesko czonego). Niech {an}n∈N b dzie ci giem powstałym z {bn}n∈N poprzez opuszczenie tych i tylko tych jego wyrazów, które nie nale do A z zachowaniem kolejno ci pozostałych. (pozostanie niesko czenie wiele wyrazów). {an}n∈N. jest wi c podci giem {bn}n∈N oraz {an}n∈N = A, zatem A jest przeliczalny.
Niech teraz C b dzie zbiorem nieprzeliczalnym i C⊂D. Gdyby D był przeliczalny, to C jako jego podzbiór na mocy pierwszej cz ci twierdzenia był by przeliczalny.
Wniosek
Ka dy podzbiór zbioru liczb naturalnych jest przeliczalny a wi c i ka dy zbiór równoliczny z którym z tych podzbiorów jest równoliczny.
Uwaga
Okazuje si , e jedynymi zbiorami przeliczalnymi s te które równoliczne s z pewnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych.
Twierdzenie 3.4
Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód
Niech A i B b d zbiorami przeliczalnymi. Je eli który z nich jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest oczywiste.
Przyjmijmy wi c, e oba s niepuste. Przyjmijmy, e A = {an}∈N i B = {bn}n∈N. Definiujemy ci g {cn}n∈N nast puj co: ∀n∈N c2n-1 ≡ an ∧ c2n ≡ bn, czyli {cn}n∈N = {a1, b1, a2, b2, ... }. Oczywi cie {cn}n∈N =A B, co wiadczy o przeliczalno ci zbioru A B.
Wnioski
1) Suma ka dej sko czonej ilo ci zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
(łatwy dowód indukcyjny)
2) Zbiór Z = N {0} N- jest przeliczalny.
Twierdzenie 3.5
Iloczyn kartezja ski zbiorów przeliczalnych ( niepustych) jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód
Niech A ≡ {an}n∈N i B ≡ {bn}n∈Nb d zbiorami przeliczalnymi. Tworzymy „niesko czon tablic ”:
(a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a1,b4) , (a1,b5) , ...
(a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a2,b4) , (a2,b5) , ...
(a3,b1) , (a3,b2) , (a3,b3) , (a3,b4) , (a3,b5) , ...
...
Oczywi cie ka dy element zbioru AxB w powy szej tablicy si znajduje. Element (ak,br) znajduje si w „k-tym wierszu” i
„r-tej kolumnie” powy szej tablicy. Tworzymy teraz ci g:
(a1,b1) , (a1,b2) , (a2,b1) , (a1,b3) , (a2,b2) , (a3,b1) , ...
Z łatwo ci stwierdzamy, e AxB jest zbiorem wyrazów powy szego ci gu, a wi c jest on przeliczalny.
Uwaga
Zaprezentowana w powy szym dowodzie metoda tworzenia ci gu nazywa si „przek tniow metod wyboru”.
Definicja 3.7
Niech n∈N\{1} i A1, ... , An+1 dowolnymi zbiorami niepustymi. Definiujemy:
A1x ... x An+1 ≡ (A1x ... x An )xAn+1. Uwaga
Z samej definicji iloczynu kartezja skiego n-zbiorów wynika, e twierdzenie 3.5 mo na i na ten przypadek uogólni .
Twierdzenie 3.6
Suma przeliczalnej ilo ci zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód
Niech {An}n∈N b dzie ci giem zbiorów przeliczalnych. WPU sum ∞
=1
n A . Je eli wszystkie zbiory An n s puste, to i ich suma jest zbiorem pustym a wi c przeliczalnym. Je eli w ród zbiorów An wyst puje zbiór niepusty, to i ich suma jest niepusta. Na zbiór ∞
=1
n A nie maj wpływu ewentualne zbiory puste wyst puj ce w ci gu {An n}n∈N. Mo emy wi c przyj , e {An}n∈N jest ci giem zbiorów przeliczalnych i niepustych i w konsekwencji przyj oznaczenia
(*) ∀n∈N An≡{anm}m∈N.
Tworzymy „niesko czon tablic ” elementów zbioru ∞
=1 n A : n
a11, a12, a13, ...
a21, a22, a23, ...
a31, a32, a33, ...
...
i analogicznie jak w poprzednim twierdzeniu tworzymy ci g, który jak łatwo wida jest ci giem wszystkich elementów zbioru ∞
=1
n A , co wiadczy o jego przeliczalno ci. n
Twierdzenie 3.7
Niech A b dzie niepustym zbiorem przeliczalnym i f: A→B. Wówczas f(A) jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód.
Zbiór A jako niepusty przeliczalny ma posta A = {an}n∈N. Wówczas f(A) = {f(an)}n∈N , czyli jest przeliczalny.
Przykłady zbiorów przeliczalnych.
Oczywi cie zbiór N jest przeliczalny.
Zbiór Z = N {0} N- jako suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.
Przypomnijmy, e zbiór W ≡ {x∈R:∃r∈Z∃m∈N x = m r }. Definiujemy funkcj f:ZxN→R nast puj co:
∀(r,m)∈ZxN f(r,m) ≡ m . r
Łatwo zauwa y , e f(ZxN) = W. Poniewa ZxN jako iloczyn zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny, to na mocy poprzedniego twierdzenia równie zbiór W jest przeliczalny.
Niebawem udowodnimy, e zbiór R jest nieprzeliczalny. Przyjmuj c w tym momencie, e tak jest, wnioskujemy, e równie zbiór IW jest nieprzeliczalny, gdy w przeciwnym wypadku zbiór R = W IW jako suma zbiorów przeliczalnych byłby przeliczalny.
3. Zbiór liczb rzeczywistych
Przyjmujemy, e znane s słuchaczowi (czytelnikowi) własno ci podstawowych działa i nierówno ci w zbiorze liczb rzeczywistych.
Definicja 3.1
Niech ∅ ≠ D ⊂ R. Powiemy, e zbiór D jest ograniczony z góry (z dołu) je eli (1) ∃M∈R ∀x∈D x ≤ M ( (1’) ∃m∈D ∀x∈D m ≤ x ).
Je eli zbiór D ⊂ R ograniczony jest z góry i z dołu, to nazywamy go po prostu ograniczonym. Zauwa my, e warunek ograniczono ci zbioru zapisa mo emy nast puj co:
(2) ∃M∈R ∀x∈D |x|≤ M.
Definicja 2.2
Liczb g nazywamy kresem górnym niepustego zbioru D ⊂ R je eli
∀x∈D x ≤ g ∧ (∀p∈R p < g ∃x∈D p < x).
Liczb d nazywamy kresem dolnym niepustego zbioru D ⊂ R je eli
∀x∈D d ≤ x ∧ (∀p∈R d < p ∃x∈D x < p).
Oczywi cie je eli niepusty podzbiór D ⊂ R ma kres górny (dolny), to jest ograniczony z góry (z dołu).
Kres górny, dolny niepustego zbioru D ⊂ R oznaczamy odpowiednio przez supD i infD.
Przykłady
1=sup( 0,1). Istotnie mamy oczywi cie ∀x∈(0,1) x < 1. Niech p<1. Je eli p≥0, to p+12 ∈( 0,1) i p < p+12
Je eli p < 0, to 12 ∈(0,1) i p < 12 . Zauwa my, e sup( 0,1) ∉ ( 0,1).
Zupełnie analogicznie wykaza mo na, e 1=sup( 0,1>. Tym razem sup( 0,1>∈( 0,1>.
W przypadku, gdy kres górny (dolny) zbioru jest elementem tego zbioru, to nazywamy go maksimum (minimum) i zamiast supD (infD) piszemy wówczas maxD (minD).
Naturalnym jest pytanie: „czy ka dy zbiór ograniczony z góry (z dołu) posiada kres górny (dolny) ?”. Odpowied na to pytanie jest pozytywna, ale dowód stosownego twierdzenia jest b. trudny.
Twierdzenie 3.1 (zasada ci gło ci)
Ka dy ograniczony z góry (z dołu) niepusty podzbiór zbioru R posiada kres góry (dolny).
Je eli niepusty zbiór D ⊂ R jest nieograniczony z góry (z dołu) to piszemy supD = ∞. (infD = -∞).
Twierdzenie 3.2
Przedział < 0,1> jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Dowód
Przypu my, e < 0,1> jest zbiorem przeliczalnym. Jest on wówczas zbiorem wyrazów pewnego ci gu {an}n∈N. Mamy wi c
(*) < 0,1> = {an}n∈N
Podzielmy przedział < 0,1> na trzy przedziały : < 0, 13 >, < 13 , 23 >, < 23 , 1> i wybierzmy z nich ten do którego nie nale y a1.
(Przedział taki jest dokładnie jeden gdy a1∈{13 , 23 } i s dwa w przeciwnym wypadku, ale jeden z nich np. „wcze niejszy”
wybra zawsze mo na). Wybrany przedział oznaczmy przez I1 a jego kra ce odpowiednio przez d1 oraz g1. Mamy wi c (1) a1∉I1 = <d1,g1> ⊂ < 0,1> ∧ g1 – d1 < 13 .
Przedział I1 dzielimy teraz na trzy równe przedziały i wybieramy z nich ten do którego nie nale y a2. (Nie jest wykluczone, e a2∉ I1 = <d1,g1>, co przecie nie uniemo liwia wyboru). Wybrany przedział oznaczmy przez I2 a jego kra ce odpowiednio przez d2 oraz g2. Mamy wi c
(2) a2∉I2 = <d2,g2> ⊂ <d1,g1> ⊂ < 0,1> ∧ g2 – d2 < 312 .
Z przedziałem I3 post pujemy analogicznie. Załó my, e okre lili my ju przedział In o poni szej własno ci (n) an∉In = <dn,gn> ⊂ <dn-1,gn-1> ⊂ ... ⊂ <d1,g1> ⊂ < 0,1> ∧ gn – dn < 31n .
Przedział In dzielimy teraz na trzy równe przedziały i wybieramy z nich ten do którego nie nale y an+1. (Nie jest wykluczone, e an+1∉ In = <dn,gn>, co przecie nie uniemo liwia wyboru). Wybrany przedział oznaczmy przez In+1 a jego kra ce odpowiednio przez dn+1 oraz gn+1. Mamy wi c
(n+1) an+1∉In+1 = <dn+1,gn+1> ⊂ <dn,gn-> ⊂ ... ⊂ <d1,g1> ⊂ < 0,1> ∧ gn+1 – dn+1 < 31n+1 .
W ten sposób zdefiniowali my dwa ci gi {dn}n∈N i {gn}n∈N elementów przedziału < 0,1> o nast puj cej własno ci (**) ∀n∈N an∉In ∧ 0≤d1≤d2≤ ... ≤dn≤ dn+1≤ ... ≤ gn+1 ≤gn≤ ... ≤ g2≤ g1≤1.
Ci g {dn}n∈N jest ograniczony z góry np. przez 1. Wobec zasady ci gło ci zbiór {dn}n∈N posiada kres górny. Istnieje wi c (c) sup{dn}n∈N.
Zauwa my jednak, e ograniczeniem górnym zbioru {dn}n∈N jest wobec (**) ka dy element zbioru {gn}n∈N. Zatem z (**) i definicji supremum mamy
(d) ∀n∈Ndn≤ c ≤gn . czyli
(e) ∀n∈Nc ∈In⊂< 0,1>.
Poniewa c∈< 0,1> =(1)= {an}n∈N, to (f) ∃k∈N c = ak.
czyli wobec (**) c = ak ∉Ik a to przeczy (e). Uzyskana sprzeczno jest konsekwencj przypuszczenia (1). Tak wi c <
0,1> jest nieprzeliczalny.
Wniosek
Zbiór liczb rzeczywistych jako nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny.
Twierdzenie 3.3
Ka dy niezdegenerowany przedział na prostej jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Dowód
Niech P b dzie przedziałem niezdegenerowanym w R. Istniej wówczas liczby a,b∈R takie, e a < b i oczywi cie <a, b> ⊂ P.
Łatwo sprawdzi , ze funkcja
f: <0, 1> → <a, b> okre lona wzorem ∀x∈<0, 1> f(x) ≡ (b-a)x + a
jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, wi c <a, b> jest nieprzeliczalny i w efekcie P jako nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego te jest nieprzeliczalny.
