Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymało ść Materiałów

kierunek In Ŝ ynieria Ś rodowiska, sem. III

materiały pomocnicze do ć wicze ń

opracowanie: dr in Ŝ . Wiesław Kali ń ski, dr in Ŝ . Marcin Pawlik

Łód ź , lipiec 2008

TREŚĆ WYKŁADU

Podstawowe załoŜenia wytrzymałości materiałów, zadania i zakres przedmiotu.

Siły przekrojowe w układach prętowych statycznie wyznaczalnych: belki i ramy.

Charakterystyki geometryczne figur płaskich: wzory Steinera; kierunki główne i główne momenty bezwładności.

NapręŜenie, odkształcenie, przemieszczenie. Prawo Hooke’a; prawa Cauchy’ego.

Rozciąganie i ściskanie: napręŜenia, odkształcenia i przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych.

Skręcanie prętów o przekrojach kołowych: napręŜenia i przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych.

Zginanie czyste proste i ukośne: napręŜenia normalne.

Zginanie nierównomierne: napręŜenia styczne.

Linia ugięcia belki: równania róŜniczkowe, warunki brzegowe, metoda Mohra.

Mimośrodowe ściskanie: rdzeń przekroju.

Wyboczenie spręŜyste i spręŜysto - plastyczne prętów ściskanych.

Hipotezy wytęŜenia materiału; projektowanie w złoŜonym stanie napręŜenia.

LABORATORIUM

Wykresy sił przekrojowych w belkach i ramach.

Główne kierunki i główne momenty bezwładności figur płaskich.

Statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne układy prętowe rozciągane i ściskane.

Skręcanie pręta, wykresy momentów i kątów skręcenia, napręŜenia styczne, projektowanie.

NapręŜenia normalne i styczne w belce zginanej.

Projektowanie belki zginanej ukośnie.

Linia ugięcia belki; całkowanie równań róŜniczkowych; metoda Mohra.

NapręŜenia przy ściskaniu mimośrodowym. Znajdowanie rdzenia przekroju.

Wyboczenie spręŜyste i spręŜysto – plastyczne. Obliczanie siły krytycznej.

Projektowanie z uwzględnieniem hipotez wytrzymałościowych.

Przyrządy pomiarowe. Technika pomiarów napręŜeń i odkształceń. Metody opracowania wyników pomiarów.

Próba zwykła rozciągania metali.

Wyznaczanie modułu Younga i współczynnika Poissona metodą tensometrii elektrooporowej.

Wyznaczanie modułu Kirchhoffa metodą mechaniczną i metodą tensometrii elektrooporowej.

Wyznaczanie siły krytycznej metodą Southwella.

LITERATURA

1. Z. Dyląg , A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów, tom 1 i 2, WNT 1996 2. A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów, PWN 1984

3. J. Misiak, Mechanika techniczna. Statyka i wytrzymałość materiałów, tom1, WNT 1996

4. P. Jastrzębski, J. Mutermilch, W. Orłowski, Wytrzymałość materiałów, t. 1 i 2, Arkady 1986

5. W. Orłowski, L. Słowiański, Wytrzymałość materiałów. Przykłady obliczeń, Arkady 1978

6. J. Grabowski, A. Iwanczewska, Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, PW 1994

Przykładowe zadania i ć wiczenia

Wykresy sił przekrojowych w belkach i ramach

Sporządzić wykresy sił przekrojowych; dla belek - znaleźć funkcje sił przekrojowych.

P M q

M q

M

P

q q

P

q P

Główne kierunki i momenty bezwładno ś ci figur płaskich

Wyznaczyć główne momenty bezwładności i odpowiadające im kierunki metodą analityczną

i graficzną.

Statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne układy pr ę towe rozci ą gane i ś ciskane

Dla słupa, sporządzić wykresy: siły normalnej, napręŜeń, odkształceń i przemieszczeń.

Obliczyć siły w prętach kratownicy, znaleźć przemieszczenie węzła swobodnego.

P

2EA, γγγγ

EA ^P

∆ t

Skr ę canie pr ę ta; wykresy momentów i k ą tów skr ę cenia, napr ęŜ enia styczne

Sporządzić wykresy M

_s

i ϕ

s

Napr ęŜ enia normalne i styczne w belce zginanej

Sprawdzić napręŜenia normalne. Zaprojektować wymiary poprzeczne przekroju belki

Sporządzić wykresy napręŜeń stycznych

Projektowanie belki zginanej uko ś nie

Sprawdzić napręŜenia normalne

Linia ugi ę cia belki; całkowanie równa ń ró Ŝ niczkowych; metoda Mohra

Znaleźć linię ugięcia belki metodą całkowania równania róŜniczkowego Eulera.

EJ

q

ll ll

Wyznaczyć linię ugięcia belki metodą Mohra

l l l

l l l l l l l l l

q

l l l l

Napr ęŜ enia przy ś ciskaniu mimo ś rodowym. Znajdowanie rdzenia przekroju

Narysować wykres napręŜeń normalnych. Znaleźć połoŜenie osi obojętnej i rdzeń przekroju

Wyznaczyć rdzeń przekroju

Wyboczenie spr ęŜ yste; obliczanie siły krytycznej

Znaleźć siłę krytyczną

Projektowanie z uwzgl ę dnieniem hipotez wytrzymało ś ciowych

P

¼P

- wykresy napręŜeń w zamocowaniu - maksymalne

σ

red wg Hubera

- wykresy napręŜeń w zamocowaniu - maksymalne

σ

red wg Treski

P

P 10a

10a 10a

przekrój:

a

a

Próba zwykła rozci ą gania metali.

1.Schemat układu pomiarowego

2. Kolejność czynności

2.1. Na próbkach naleŜy oznaczyć długość pomiarową l₀ oraz dokonać równego podziału tej długości na odcinki 10 mm z dokładnością do 0.1mm.

2.2. Zmierzyć suwmiarką z dokładnością 0.05mm średnicę pierwotną próbki d₀ w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach, w trzech dowolnych przekrojach próbki (6 pomiarów) i wpisać do protokółu.

2.3. Zamocować próbkę w uchwytach maszyny tak, aby szczęki maszyny były poza zakresem pomiarowym, a oś próbki pokrywała się z kierunkiem rozciągania.

2.4. Ustalić i nastawić zakres pracy maszyny (taki, aby przewidywana siła zrywająca była w zakresie 40-90% zakresu pracy maszyny).

2.5. Uruchomić urządzenie samopiszące oraz przystąpić do równomiernego obciąŜenia próbki z prędkością mniejszą niŜ 30 MPa/s (wg instrukcji obsługi maszyny wytrzymałościowej).

2.6. Zanotować w protokole siłę, przy której wystąpiła granica plastyczności oraz siłę maksymalną.

2.7. Po zerwaniu próbkę wyjąć z uchwytów tak, aby nie zetrzeć rysek słuŜących do obliczenia wydłuŜenia.

• w przypadku zerwania w środkowej części (1/2 długości pomiarowej) - całą długość próbki;

• w przypadku zerwania poza częścią środkową naleŜy zmierzyć odległość między n działkami obejmującymi symetrycznie miejsce zerwania oraz odległość odpowiadającą połowie pozostałej liczby działek.

2.9. Zmierzyć średnicę próbki w miejscu zerwania w 2 wzajemnie prostopadłych kierunkach z dokładnością 0.05 mm.

3. Opracowanie wyników badań Celem próby jest wyznaczenie:

• wyraźnej granicy plastyczności

• wytrzymałości na rozciąganie

• wydłuŜenia, przewęŜenia względnego

Wyraźna granica plastyczności Re jest to napręŜenie, po osiągnięciu którego następuje wyraźny wzrost wydłuŜenia rozciąganej próbki bez wzrostu, lub spadku obciąŜenia

R F N

S m

e

=

⁰

Pa

0 2

[ ] [ ]

[ ]

F₀- siła odpowiadająca wyraźnej granicy plastyczności S₀- pierwotne pole przekroju próbki

Przez wytrzymałość na rozciąganie rozumiemy napręŜenie odpowiadające największej sile uzyskanej w czasie próby rozciągania, odniesione do przekroju początkowego

R F N

S m

m

=

m

[ ] Pa [ ]

[ ]

0 2 F_m- maksymalna siła

WydłuŜenie Ap próbki jest to stosunek trwałego wydłuŜenia bezwzględnego próbki po zerwaniu do długości pierwotnej wyraŜony w procentach

A L L

p

=

u

L −

₀

0

100%

L_u- długość po zerwaniu wyznacza się zgodnie z normą PN-91/H-04310- Próba statyczna rozciągania metali L₀- pierwotna długość próbki

PrzewęŜenie względne jest to zmniejszenie powierzchni przekroju poprzecznego próbki w miejscu zerwania w odniesieniu do powierzchni pierwotnego przekroju próbki

Z S S

S

=

₀

−

u 0

100%

S_u- pole powierzchni po zerwaniu S₀- pierwotne pole przekroju próbki

W przypadku kilku próbek naleŜy obliczyć wartości średnie podanych wielkości i ich rozrzut.

Wartość średnia

∑

=

=

^m

i i

o

x

x m

1

1

Rozrzut wielkości poszczególnych wartości wyznaczamy ze wzoru

( )

∑

=

− −

=

^m

i

o

i

x

m

1

x

2 2

1 σ 1

4. Sprawozdanie winno zawierać 4.1. Protokół z ćwiczenia

4.2. Obliczenia średnich wartości i rozrzutów wielkości:

• wyraźnej granicy plastyczności

• wytrzymałości na rozciąganie

• wydłuŜenia

• przewęŜenia

4.3. Wykresy z próby rozciągania 5. Literatura

Norma PN-91/H-04310- Próba statyczna rozciągania metali

M. Banasiak - „Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów”

Próba statyczna zwykła rozciągania metali

Wyznaczanie modułu Younga i współczynnika Poissona metod ą tensometrii elektrooporowej.

1. Schemat układu pomiarowego

T₁,T₂ - tensometry elektrooporowe podłuŜne połączone mostkiem w układzie samokompensacyjnym na drugim kanale

T₃ - tensometr elektrooporowy poprzeczny połączony z mostkiem na trzecim kanale. Tensometry T₁ , T₂ są ze sobą połączone w układzie róŜnicowym poprzez zwarcie gniazd A i B

MT - mostek tensometryczny.

2. Kolejność czynności

2.1. Zmontować układ pomiarowy

2.2. ObciąŜniki siły P ustawić w odległości C od podpór badanej belki zgodnie z poleceniem prowadzącego ćwiczenia.

2.3. Pomierzyć: wysokość h belki śrubą mikrometryczną, a szerokość belki b suwmiarką w pięciu losowo wybranych punktach.

2.4. Uruchomić mostek tensometryczny TT3B wg odpowiedniej instrukcji oraz przeprowadzić jego równowaŜenie.

2.5. Ustawić stałą mostka KM w przybliŜeniu równą stałej tensometrów Kt oraz wykonać odczyty

A

₀^{( )1} ,

A

₀^{( )2} z mostka tensometrycznego przy zerowym obciąŜeniu.

2.6. KaŜdy wspornik belki obciąŜyć siłą równą 50 N pokręcając pokrętło obciąŜnika umieszczone poniŜej belki oporowej stanowiska badawczego. Wartość siły odczytujemy z siłomierza pałąkowego wykorzystując czujnik zegarowy

2.7. ZrównowaŜyć mostek pokrętłami oporników oraz wykonać odczyty wskazań mostka

A

₀^{( )1} ,

A

₀^{( )2} . 2.8. Zwiększając obciąŜenie co 50 N czynności 2.6. oraz 2.7. powtórzyć 10 razy (do obciąŜenia 500 N).

3. Opracowanie wyników.

3.1. Na podstawie wskazań z kanału pomiarowego, do którego przyłączone są tensometry T₁, T₂ moŜna określić róŜnicę odkształceń na górnej i dolnej powierzchni belki

ε

i

ε

g i

d M

t i

K

K A A

− =

^{( )1}

−

₀^{( )1 ,}

gdzie: K_M - stała ustawiona na mostku

Kt - wartość stałych uŜytych tensometrów

A

_i^{( )1}

, A

₀^{( )1} - wskazanie mostka dla i-tego i zerowego pomiaru

3.2. Na podstawie wskazań z kanału pomiarowego , do którego przyłączone są tensometry T₂ i T₉ moŜna określić zmianę odkształceń podłuŜnych i poprzecznych górnej powierzchni belki

ε

i

ε

g i

g M

t i

K

K A A

−

^''

=

^{( )2}

−

₀^{( )2}

Z teorii czystego zginania wiemy , Ŝe

ε

i

ε

g i

= −

d

σ

i

P c

i

= ± 6 bh

2

Stąd stałe materiałowe (moduł Younga i liczbę Poissona) obliczamy ze wzorów

) 1 ( 0 ) 1 ( 2

12

A A

P bh

K c E K

i i

M t

i

= −

^/1/

1

2

₍₁₎

0 ) 1 (

) 2 ( 0 ) 2 (

− −

= −

A A

A A

i i

ν

i ^/2/

Najlepsze przybliŜenie stałych spręŜystości przy wielu pomiarach otrzymujemy zgodnie z instrukcją „Aproksymacja liniowa” z metody najmniejszych kwadratów

( ) ( ) ( ) 



 



 − + −

= ∑

⁻

= + − −

1

1

) 1 (

1 )

1 ( ) 1 ( ) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 1 ( ) 3

1 ( 2

18

^N

i

N N N N i

i i i N

M

t

R P R R R P R R

R bh K

c E K

( ) ( ) ( ) 



 



 − + −

+

−

= ∑

⁻

= + − −

1

1

) 1 (

1 )

1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 2 ( ) 1 ( ) 3

1 (

1 3

N

i

N N N N i

i i i N

R R R R R R R R R

ν

gdzie:

R

_i^{( )1}

= A

_i^{( )1}

− A

₀^{( )1 oraz}

R

_i^{( )2}

= A

_i^{( )2}

− A

₀^{( )2}

Wartość modułu Younga (wzór /1/) wyznaczamy pośrednio przez pomiar wielkości (Kt , c , K_M , b , h , Pi ,

A

_i^{( )1} ,

A

₀^{( )1} ) , a wartości liczby Poissona (wzór /2/) wyznaczamy przez pomiar wielkości (

A

_i^{( )1}

, A

_i^{( )2}

, A

₀^{( )1}

, A

₀^{( )2} ).

Błąd względny i bezwzględny modułu Younga i stałej Poissona obliczamy zgodnie z instrukcją rachunku błędów. Dla wielu pomiarów błąd badanej wielkości wyznaczony jako maksymalny błąd z błędów wszystkich pomiarów.

4. Sprawozdanie powinno zawierać 4.1. Protokół z ćwiczenia

4.2. Obliczenie rachunkowe modułu Younga i liczby Poissona

4.3. Ilustrację graficzną otrzymanych wyników pomiarów dla E oraz ν 4.4. Rachunek błędów

5. Literatura

A. Jakubowicz , Z. Orłoś - „Wytrzymałość Materiałow”

NapręŜenia i odkształcenia w pręcie zginanym Płaski stan napręŜenia, Uogólnione prawo Hooke’a

M. Banasiak - „Ćwiczenia laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów”

Budowa tensometrycznego czujnika oporowego i istota pomiaru odkształceń Zasady pomiaru odkształceń za pomocą tensometrii oporowej

Instrukcje: 1. Rachunek błędów

2. Aproksymacja liniowa

Wyznaczanie modułu Kirchhoffa (moduł odkształcenia postaciowego) metod ą mechaniczn ą i metod ą tensometrii elektrooporowej.

1. Schemat układu pomiarowego

2. Kolejność czynności

2.1.Pomierzyć wielkości a, b, l przymiarem z dokładnością do 1mm i średnice wewnętrzne d₁ , d₂ oraz zewnętrzne D₁, D2 suwmiarką w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Określić dokładność pomiaru (∆a, ∆b, ∆l, ∆d, ∆D).

Wyniki pomiarów wpisać do protokołu.

2.2.Ustawić czujnik mechaniczny C wg schematu pomiarowego 2.3.Podłączyć tensometry do mostka wg schematu pomiarowego 2.4.Uruchomić mostek wg instrukcji obsługi mostka TT3B.

2.5.Ustawić stałą mostka K_M zbliŜoną do wartości stałe tensometru.

2.6.Przeprowadzić równowaŜenie mostka tensometrycznego.

2.7.Wykonać odczyt A₀ z mostka tensometrycznego i zerowy odczyt C₀

z czujnika mechanicznego.

2.8. PrzyłoŜyć obciąŜenie 50 N pokręcając pokrętło obciąŜnika umieszczone poniŜej belki oporowej. Wartości siły odczytujemy z siłomierza pałąkowego wykorzystując czujnik zegarowy i odpowiedni nomogram.

2.9. ZrównowaŜyć mostek pokrętłami oporników oraz wykonać odczyty wskazań mostka A_i i czujnika mechanicznego C_i.

2.10. Zwiększając obciąŜenie co 50 N czynności 2.8. i 2.9. powtórzyć 5 razy do obciąŜenia 250 N.

3. Opracowanie wyników badań 3.a. Metoda mechaniczna

ϕ

i

C

i

= a

^/1/

Z teorii skręcania swobodnego wynika , Ŝe przesunięcie przy powierzchni zewnętrznej pręta wynosi:

l

i

D

i

2

γ = ϕ

^/2/

a napręŜenia styczne na powierzchni zewnętrznej wynoszą:

( )

τ

i

P Db

i

D d

= −

16

4 4

Π

^{, /3/}

a stąd moduł Kirchhoffa dla i-tego pomiaru wynosi

( )

G P abl

C D d

i

i

i

= −

32

4 4

Π

^{. /4/}

Dla wielu pomiarów najlepsze przybliŜenie liniowe moŜna znaleźć z metody najmniejszych kwadratów. Na podstawie instrukcji „Aproksymacja liniowa” jego wartość wynosi:

( ⁻ ) ^{   ( − ) + ( − )   }

= Π ∑

⁻

= + − −

1

1

1 1

3 1 4 4

48

^N

i

N N N N i

i i i N

C C C P C C C C P

d D

G abl

/5/

Wartość modułu Kirchhoffa (wzór /4/) wyznaczamy pośrednio przez pomiar wielkości (a, b, D, C_i, P_i). Błąd względny i bezwzględny modułu Kirchhoffa obliczamy zgodnie z instrukcją rachunku błędów. Dla wielu pomiarów błąd badanej wielkości wyznaczamy jako maksymalny błąd z błędów wszystkich pomiarów.

3.b. Metoda elektrooporowa

Dla poszczególnych pomiarów wartości posunięcia obliczamy ze wzoru:

( )

γ

i M

t i

K

K A A

= −

0 /6/

gdzie: K_t - stała tensometrów

K_M - stała mostka tensometrycznego

A₀ - odczyt z mostka dla zerowego obciąŜenia A_i - odczyt z mostka dla i-tego obciąŜenia NapręŜenia styczne wynoszą jak w pkt. 3.a.

Moduł Kirchhoffa naleŜy wyznaczyć ze wzoru:

( ^{A 6 A}

⁰

) ( ^D

⁴

^d

⁴

)

K

b DK G P

i M

t i

i

= Π − −

^/7/

Dla wielu pomiarów /N/ najlepsze przybliŜenie liniowe moŜna znaleźć z metody najmniejszych kwadratów (jak w pkt.

3.a.) jego wartość wynosi:

( ⁻ ) ^{   ( − ) + ( − )   }

= Π ∑

⁻

= + − −

1

1

1 1

3 1 4 4

24

^N

i

N N N N i

i i i N M

t

i

P R R R P R R R

R d D K

b

G DK

/8/

gdzie R_i = A_i - A₀.

Wartości modułu Kirchhoffa (wzór /7/) wyznaczamy pośrednio przez pomiar wielkości (b , K_t , K_M , d, D, P_i , A_i).

Błąd bezwzględny i względny modułu Kirchhoffa obliczamy zgodnie z instrukcją rachunku błędów.

Dla wielu pomiarów błąd badanej wielkości wyznaczamy jako maksymalny błąd z błędów wszystkich pomiarów.

4. Sprawozdanie winno zawierać:

4.1. Protokół z ćwiczenia

4.2. Obliczenie rachunkowe modułu Kirchhoffa (dwie metody) 4.3. Rachunek błędów

4.4. Porównanie obu metod 5. Literatura

A. Jakubowicz , Z. Orłoś - „Wytrzymałość Materiałów”

M. Banasiak - „Ćwiczenia laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów”

Skręcanie prętów

Wyznaczanie siły krytycznej metod ą Southwella

1. Schemat układu pomiarowego.

2. Kolejność czynności.

2.1.Wyznaczyć charakterystyczne wymiary przekrojów poprzecznych próbki z dokładnością do 0.05mm oraz wymiary podłuŜne próbki z dokładnością do 1mm.

2.2.Przygotować maszynę wytrzymałościową do pracy w zakresie do10kN.

2.3.Osadzić próbkę w maszynie ustawiając jej końce w specjalnych przegubowych uchwytach w taki sposób, aby unieruchomić pręt.

2.4.Ustawić czujnik zegarowy w płaszczyźnie wyboczenia pręta.

2.5.Przystąpić do obciąŜenia próbki. Proces winien składać się z 5-10 cykli.

2.6.Po kaŜdym obciąŜeniu dokonać odczytu wskazań czujników zegarowych. Wyniki wpisać do protokołu.

3. Opracowanie wyników badań.

3.1. Przemieszczenia y belki zginanej wskazuje czujnik zegarowy.

3.2. Korzystając z metody Southwella wartość siły krytycznej moŜna wyznaczyć jako odwrotność współczynnika kierunkowego prostej w układzie współrzędnych (y, y/P).

3.3. Mając pomierzone siły Pi i odpowiadające im przemieszczenia yi najlepsze przybliŜenie liniowe siły krytycznej otrzymamy posługując się metodą aproksymacji liniowej.

3.4. Analityczne określenie wartości siły krytycznej metodą energetyczną ze wzoru:

P

EJ x w dx

w dx

KR

L

= ∫

L

∫

min

( )( ' ' )

( ' )

2 0

2 0

wymaga pomierzenia tylko wymiarów geometrycznych próbki dla ustalenia funkcji momentu bezwładności J(x).

Pozostałe wielkości to:

E - moduł Younga materiału badanej próbki (przyjęty wg tablic)

w(x) - przybliŜone funkcje ugięcia belki, przyjęte w taki sposób, aby spełniały warunki brzegowe co najmniej klasy C₄ (np. wielomian czwartego rzędu , funkcja sinus).

4. Sprawozdanie winno zawierać.

4.1. Protokół z ćwiczenia.

4.2. Doświadczalne określenie siły krytycznej.

4.3. Analityczne określenie siły krytycznej.

4.4. Ilustrację graficzną otrzymanych wyników pomiarów przedstawiającą punkty w prostokątnym układzie współrzędnych (y, y/P),oraz przebieg funkcji aproksymującej.

4.5. Porównanie wyników.

5. Literatura:

A. Jakubowicz , Z. Orłoś - „Wytrzymałość Materiałów”

SpręŜyste wyboczenia pręta

Energetyczna metoda wyznaczania siły krytycznej dla wyboczenia spręŜystego M. Banasiak - „Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów”

Instrukcja „Aproksymacja liniowa”