Wytrzymało ść Materiałów I kierunek Budownictwo, sem. III
materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr hab. inŜ. Marcin Kamiński
TREŚĆ WYKŁADU
Rola, podstawowe pojęcia i załoŜenia oraz zakres wytrzymałości materiałów. Rozciąganie - ściskanie. Podstawowe doświadczenia. NapręŜenia, odkształcenia i przemieszczenia.
Wymiarowanie. Statycznie niewyznaczalne przypadki rozciągania - ściskania. Warunki zgodności wydłuŜeń. NapręŜenia termiczne i montaŜowe. Nośność graniczna. Charakterystyki geometryczne figur płaskich. Główne osie i momenty bezwładności. Koło bezwładności Mohra. Zginanie czyste, proste i ukośne. Stan napręŜenia i odkształcenia. Oś obojętna.
Wymiarowanie. Mimośrodowe rozciąganie-ściskanie. Stan napręŜenia i odkształcenia. Oś obojętna. Rdzeń przekroju. Wymiarowanie. Zginanie nierównomierne – napręŜenia styczne.
Siła rozwarstwiająca. Zagadnienie środka ścinania. Przypadek prętów cienkościennych otwartych. Zginanie belek złoŜonych i zespolonych. Linia ugięcia belki. Analityczne metody wyznaczania ugięć. Belka na podłoŜu spręŜystym. Zginanie spręŜysto - plastyczne. Nośność graniczna belek zginanych. Ogólny stan napręŜenia. Prawa Cauchy'ego. Analiza stanu napręŜenia w punkcie. NapręŜenia główne. Płaski stan napręŜenia. Koło napręŜeń Mohra.
Ogólny stan odkształcenia. Równania Cauchy'ego. Analiza stanu odkształcenia w punkcie.
Równania konstytutywne materiału liniowo spręŜystego, stałe spręŜystości, energia spręŜystości. Zagadnienia brzegowe liniowej teorii spręŜystości - metody rozwiązywania.
Metody wytrzymałości materiałów.
LITERATURA:
1. Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów, t. I, II, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
2. A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów. Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, Warszawa 1984.
3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN, Warszawa 1980.
4. P. Jastrzębski, J. Muttermilch, W. Orłowski, Wytrzymałość materiałów. Warszawa, Arkady, 1986.
5. M. Banasiak, K. Grossman, M. Trombski, Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów.
PWN, Warszawa 1992.
6. J. Grabowski, A. Iwanczewska, Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1998.
Łódź, wrzesień 2008
2
Program ćwiczeń audytoryjnych
1 Ściskanie i rozciąganie.
2 Nośność graniczna układów prętowych ściskanych i rozciąganych.
3 Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
4 Zginanie proste i ukośne, wyznaczanie napręŜeń, wymiarowanie.
5 Ściskanie i rozciąganie mimośrodowe.
6 Rdzeń przekroju.
7 NapręŜenia styczne przy zginaniu.
8 Linia ugięcia belki, belki na spręŜystym podłoŜu.
9 Nośność graniczna belek zginanych.
10 NapręŜenia główne, koło Mohra.
Program zajęć projektowych
1 Ściskanie i rozciąganie.
2 Wyznaczanie nośności granicznej układów prętowych ściskanych i rozciąganych.
3 Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
4 Ściskanie i rozciąganie mimośrodowe.
5 Wyznaczanie rdzenia przekroju.
6 Linia ugięcia belki.
7 Belka na spręŜystym podłoŜu.
8 Nośność graniczna belek zginanych.
3
Zadania przykładowe w semestrze III
Ściskanie i rozciąganie
znajdowanie wykresów sił normalnych, napręŜeń, odkształceń i przemieszczeń dla następujących konstrukcji prętowych
γ
γ γ
∆
γ
∆
4
Ściskanie i rozciąganie
znajdowanie sił wewnętrznych w układach statycznie niewyznaczalnych
δ
5
Ściskanie i rozciąganie
problemy wymiarowania
• Projektowanie przekroju
Zaprojektować przekrój pręta kołowego tak, aby przeniósł on siłę 1 MN, jeśli σnieb=230 MPa, a współczynnik bezpieczeństwa przyjmujemy n=1,5.
• Znajdywanie maksymalnego obciąŜenia
Znaleźć siłę, jaką moŜna obciąŜyć pręt o przekroju 1cm2, jeśli jest on wykonany z materiału, dla którego σdop=290 MPa.
• Dobieranie materiału
Z jakiego materiału musi być wykonany pręt o przekroju kwadratowym równym 1,2 cm2, aby przeniósł on siłę przynajmniej 100 kN. Przedyskutuj wynik dla róŜnych współczynników bezpieczeństwa.
Stany graniczne nośności
wyznaczanie obciąŜenia granicznego
Dla podanego schematu statycznego znaleźć wartość Pgr metodą napręŜeń dopuszczalnych oraz metodą stanów granicznych dla danego σpl.
Dla danych schematów statycznych znaleźć wartości Pgr zakładając takie samo σpl we wszystkich prętach; pręty, których parametry nie są zdefiniowane naleŜy traktować jako nieskończenie sztywne. W dalszym ciągu naleŜy wykorzystać schematy statycznie niewyznaczalne z poprzednich zadań do znalezienia Pgr.
6
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
wyznaczanie połoŜenia środka cięŜkości, wartości głównych centralnych momentów bezwładności oraz połoŜenia odpowiednich osi
7
Rdzeń przekroju
wyznaczanie połoŜenia rdzenia przekroju (dla przekrojów podanych powyŜej)
8
Zginanie proste i ukośne. Rozciąganie i ściskanie mimośrodowe
wyznaczanie rozkładu napręŜeń normalnych w podanym przekroju
Wyznaczyć rozkład napręŜeń normalnych w podstawie graniastosłupa zgodnie z poniŜszym schematem statycznym.
4b
10b
2b
Znaleźć rozkład napręŜeń normalnych w następującym przekroju wywołany momentem zginającym Mz =−100Pa.
z y
4a 2a
2a 4a 2a 100Pa
Znaleźć rozkład napręŜeń normalnych w podstawie następującego graniastosłupa.
a
a
5a
x
z 50P
5P
y x z a
a P
9
Linia ugięcia
wyznaczanie linii ugięcia oraz wielkości ugięć we wskazanych punktach schematu statycznego
Znaleźć równanie linii ugięcia i strzałkę ugięcia (maksymalne ugięcie) dla poniŜszego schematu statycznego (przyjąć l=100a).
a P α - α
α 3a α
l/2 l/2
Wyznaczyć linię ugięcia dla następującej belki:
EJ 2EJ M0
l l
Wyznaczyć linię ugięcia dla następującej belki przy załoŜeniu stałej sztywności giętnej q
EJ = const.
l
Wyznaczyć linię ugięcia oraz reakcje dla następującej belki statycznie niewyznaczalnej q
EJ = const.
l l
Wyznaczyć wielkość ugięcia yA oraz kąta obrotu przekroju w podanym schemacie statycznym
q P=ql
EJ =∞ EJ 2EJ A l l l
10
Belki na spręŜystym podłoŜu
wyznaczanie linii ugięcia, kąta obrotu przekroju, wykresów momentu zginającego oraz siły poprzecznej w belkach na spręŜystym podłoŜu
Sporządzić wykres linii ugięcia, kąta obrotu przekroju oraz siły tnącej i momentu zginającego dla następującej belki:
Sporządzić wykres linii ugięcia, kąta obrotu przekroju oraz siły tnącej i momentu zginającego dla następującej belki:
Sporządzić wykres linii ugięcia, kąta obrotu przekroju oraz siły tnącej i momentu zginającego dla następującej belki:
Sporządzić wykres linii ugięcia, kąta obrotu przekroju oraz siły tnącej i momentu zginającego dla następującej belki:
EJ=const.
l, k=const. l
11
Nośność graniczna przy zginaniu
określanie obciąŜenia granicznego w podanym schemacie statycznym, wyznaczanie wskaźnika plastycznego Wpl dla podanego przekroju
Obliczyć obciąŜenie dopuszczalne dla belki obciąŜonej siłą poprzeczną P oraz podanego przekroju poprzecznego.
23.0 3 cm
kN
pl =
σ P 0.20 m 0.01 m
4.0 m 4.0 m
0.01 m 0.10 m
Mając dane σpl oraz Wpl wyznaczyć obciąŜenie graniczne dla następującej belki.
P..
P. 2P.
l l l l l l
P.
l l
Wyznaczyć obciąŜenie graniczne qgr w następującym przypadku:
q
l
Wyznaczyć wskaźnik Wpl dla następujących przekrojów:
5a 3a a 3a a a
2a a 2a
6a 4a 5a
a a a
a a
2a 2a 2a 3a 2a
12
NapręŜenia główne, koło Mohra
wyznaczanie napręŜeń głównych, rysowanie koła Mohra, zaznaczanie osi głównych
Znaleźć napręŜenia główne oraz narysować koło Mohra dla stanu napręŜenia opisanego następującymi składowymi σx =10kPa, σy =−20kPa oraz τxy =15kPa. Zaznaczyć osie z napręŜeniem maksymalnym i minimalnym.
Znaleźć napręŜenia główne oraz narysować koło Mohra dla stanu napręŜenia opisanego przy pomocy następującego tensora:
ij kPa
=
20 10 10
10 20 10
10 10 20 σ
Znaleźć napręŜenia główne oraz narysować koło Mohra dla stanu napręŜenia opisanego przy pomocy następującego tensora:
ij kPa
=
10 0 0
0 15 5
0 5 15 σ
Narysować koła Mohra dla następujących stanów napręŜenia oraz zaznaczyć je na kostce sześciennej:
−
=
5 0 0
0 10 0
0 0 15
σij ;
=
0 0 0
0 5 0
0 0 10
σij ;
=
0 0 0
0 0 0
0 0 100
σij ;
=
0 10 10
10 0 10
10 10 0
σij ;
=
0 0 10
0 0 10
10 10 0
σij ;
=
0 0 0
0 0 10
0 10 0 σij
