Mechanika i wytrzymałość materiałów

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 10

Skręcanie prętów kołowo-symetrycznych

siły wewnętrzne i naprężenia przy skręcaniu, wykresy momentów skręcających, warunek

bezpieczeństwa na skręcanie, warunek sztywności przy skręcaniu, sprężyny śrubowe,

stan naprężenia w elemencie skręcanym, wałki giętkie

10.1. Skręcanie – siły wewnętrzne i naprężenia

𝑴

𝑴

𝑷 _𝟏

𝑷 _𝒏 𝑴 _𝒊

𝒒 _𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉 _𝒛𝒚

𝑻

𝑵

𝑻

𝝈 _𝒛

𝑴

𝑵 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒙 = 𝝉 _𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒚 = 𝝉 _𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴 _𝒙 = 𝝈 _𝒛

𝑨

𝒚 𝒅𝑨

𝑴 _𝒚 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴 _𝑺 = 𝝉 _𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉 _𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

© T. Machniewicz

Umowa dotycząca znaków

Analogia: rozciąganie 10.2. Wykresy momentów skręcających

x

y O z

𝑴 _𝟐 𝑴 _𝟑

𝑴 _𝑼

M

=20 Nm M

=30 Nm

M

=40 Nm

𝑴 _𝟏

x

y O z

𝑷 _𝟐 𝑷 _𝟑

𝑹

P

=20 N P

=30 N

P

=40 N

𝑷 _𝟏

N

z

𝟐𝟎 𝑵

𝑷

𝟑𝟎 𝑵

𝑷

−𝟏𝟎 𝑵 𝑷

n M

>0

𝑴 _𝑺 ⁿ

M

>0

𝑴 _𝑺

z N

𝟐𝟎 𝐍𝐦

𝑴

−𝟏𝟎 𝐍𝐦 𝟑𝟎 𝐍𝐦

Moment skręcający w danym przekroju poprzecznym pręta, jest algebraiczną sumą wszystkich momentów pochodzących od obciążeń zewnętrznych przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, obliczanych względem normalnej do tego przekroju zaczepionej w jego środku ciężkości.

𝑴

𝑴

© T. Machniewicz

10.3. Moment obrotowy – zależności fizyczne

Zależność pomiędzy mocą (N) a momentem obrotowym (M

): 𝑵 = 𝑴 _𝑶 ∙ 𝝎

𝑴 _𝑶 = 𝑵 𝝎

𝑾 = 𝑵𝒎 ∙ 𝟏 𝒔

𝝎 = 𝝅𝒏 𝟑𝟎 Gdy dane są:

 prędkość obrotowa: n (obr/min)

 moc: N (kW)

Wówczas:

gdzie: 𝑴 _𝑶 - moment obrotowy 𝑵𝒎 ; 𝝎 – prędkość kątowa ^𝟏 _𝒔 ;

𝑴 _𝑶 𝑵𝒎 = 𝟏𝟎 ^𝟑 ∙ 𝑵 𝒌𝑾 𝝅/𝟑𝟎 ∙ 𝒏 𝒐𝒃𝒓/𝒎𝒊𝒏

𝑴 _𝑶 ≅ 𝟗𝟓𝟓𝟎 𝑵 𝒌𝑾

𝒏 𝒐𝒃𝒓/𝒎𝒊𝒏 𝑵𝒎 M

© T. Machniewicz

10.4. Warunek bezpieczeństwa na skręcanie

x l

y

z M

O

B B’

y O x

dA





C

C’

𝜸 _𝝆 = 𝝋 ∙ 𝝆

𝒍 𝝉 ∝ 𝝆

𝝉 _(𝝆=𝒓) = 𝝉 _𝒎𝒂𝒙

𝝉 _(𝝆) = 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 𝝆 𝝆 _𝒎𝒂𝒙 𝝉 = 𝑮 ∙ 𝜸

prawo Hooke’a dla ścinania

𝑴

= 𝝉

∙ 𝝆 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝝉

∙ 𝝆

𝝆

∙ 𝝆 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝝉

𝝆

𝝆

𝒅𝑨

𝑨

𝑴 _𝑺 = 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 𝝆 _𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝑱 _𝑶

𝑱 _𝑶

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑱 _𝑶 𝝆 _𝒎𝒂𝒙 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑾 _𝑶 ≤ 𝒌 _𝑺 gdzie: 𝑾 _𝑶 = 𝑱 _𝑶 𝝆 _𝒎𝒂𝒙

𝑾

- wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie (…, mm

, cm

, m

, …) 𝒌

- dopuszczalne naprężenia skręcające









© T. Machniewicz

10.5. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie

𝒌

- dopuszczalne naprężenia skręcające 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑾 _𝑶 ≤ 𝒌 _𝑺 gdzie: 𝑾 _𝑶 = 𝑱 _𝑶 𝝆 _𝒎𝒂𝒙

𝑱

- biegunowy moment bezwładności ^𝝆

- odległość zewnętrznych warstw przekroju od środka ciężkości

Wskaźniki 𝑾 _𝑶 dla przekrojów kołowo – symetrycznych

Uwaga: Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne (nie można ich dodawać ani odejmować).

𝑾

- wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie

𝑾

= 𝑱

𝝆

𝑱

= 𝑱

= 𝝅 ∙ 𝒅

𝟔𝟒 𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

= 𝝅 ∙ 𝒅

𝟑𝟐 𝝆

= 𝒅

𝟐

𝑾

= 𝝅 ∙ 𝒅

𝟑𝟐 ∙ 𝟐

𝒅 𝑾 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟏𝟔

𝑾

= 𝑱

𝝆

𝑱

= 𝑱

− 𝑱

𝑱

= 𝝅 ∙ 𝑫

− 𝒅

𝟑𝟐 𝝆

= 𝑫

𝟐

𝑾

= 𝝅 ∙ 𝑫

− 𝒅

𝟑𝟐 ∙ 𝟐

𝑫

y

O x

𝑾 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫 ^𝟒 − 𝒅 ^𝟒 𝟏𝟔𝑫 O x

y

© T. Machniewicz

10.6. Warunek sztywności przy skręcaniu

𝜸 _𝝆 = 𝝋 ∙ 𝝆

𝒍 𝜸 _𝒎𝒂𝒙 = 𝝋𝒓 𝒍 𝝉 = 𝑮 ∙ 𝜸

prawo Hooke’a dla ścinania:

𝜸 _𝒎𝒂𝒙 = 𝝉 _𝒎𝒂𝒙

𝑮 = 𝝋𝒓

𝒍 𝝋 = 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝒍 𝒓 ∙ 𝑮 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑱 _𝑶 𝒓

…

𝝋 = 𝑴 _𝑺 ∙ 𝒓 ∙ 𝒍 𝑱 _𝑶 ∙ 𝒓 ∙ 𝑮

… 𝝋 = 𝑴 _𝑺 ∙ 𝒍

𝑱 _𝑶 ∙ 𝑮 ≤ 𝝋 _𝒅𝒐𝒑 𝝋′ = 𝑴 _𝑺

𝑱 _𝑶 ∙ 𝑮 ≤ 𝝋′ _𝒅𝒐𝒑 lub

gdzie:

𝝋 _𝒅𝒐𝒑 - dopuszczalny kąt skręcenia (rad) 𝝋′ _𝒅𝒐𝒑 - dopuszczalny kąt skręcenia na

jednostkę długości (…, rad/mm, rad/m, …)

y O x

dA





x l

y

z M

O

B B’

C C’

© T. Machniewicz

10.7. Rozkłady naprężeń skręcających Przekroje kołowo – symetryczne

pełny drążony

Przekroje niekołowe

y

x O

M

y

O x

M

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺 𝑾 _𝑺

𝝋 = 𝑴 _𝑺 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱 _𝟎

𝝋 = 𝑴 _𝑺 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱 _𝑺

np.:

𝑱 _𝑺 = 𝒋(𝒂, 𝒃) 𝑾 _𝑺 = 𝒘(𝒂, 𝒃)

y

x



a

b

M

y

x

a

b

M



a

y

x

𝟐𝒂 𝟑

M



𝝉 𝒎𝒂 𝒙 𝝉 𝒎𝒂 𝒙

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑾 _𝑶 = 𝑴 _𝑺

𝑱 _𝑶 ∙ 𝝆 _𝒎𝒂𝒙

𝝉 𝒎𝒂 𝒙 𝝉 𝒎𝒂 𝒙

© T. Machniewicz

10.8. Skręcanie – przykłady obliczeniowe

Przykład 10.1:

Dla wałka jak na rysunku sporządzić wykresy: (i) momentu skręcającego (M

), (ii) maksymalnych naprężeń skręcających ( 

) oraz (iii) kąta skręcenia (  ).

Dane: Szukane:

M

=80 Nm, M

=20 Nm, M

=600 Nm, G=810

MPa Wykresy: M

, 

,  d

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm

𝑴 _𝑺𝟏 = −𝑴 _𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎

(i) Wykres momentu skręcającego M

,

𝑴 _𝑺𝟐 = −𝑴 _𝟏 − 𝑴 _𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴 _𝑺𝟑 = −𝑴 _𝟏 − 𝑴 _𝟐 + 𝑴 _𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

l l l

d

d

d

1

1 2

2 3

3 A

B C D

z

𝑴

M

M

M

M

𝑴

𝑴

𝑴

𝑴

𝑴

= −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴

𝑴

𝑴

= −𝟖𝟎 𝑵𝒎

𝑴

𝑴

© T. Machniewicz

10.8. Skręcanie – przykłady obliczeniowe

Przykład 10.1: Dane: M

=80 Nm, M

=20 Nm, M

=600 Nm, G=810

MPa Szukane:

d

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm  Wykresy: M

, 

, 

𝝉

= −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝝉

= −𝟔𝟑. 𝟔𝟔

𝝉

= 𝟗𝟒. 𝟑𝟏

𝑴

= −𝟖𝟎 𝑵𝒎 1-1

d

2−2

d

3−3

d

(ii) Maksymalne naprężenia skręcające 

,

𝑴

= −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎



(MP a)

z

𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝑴 _𝑺𝟏

𝑾 _𝑶𝟏 ; 𝑾 _𝑶𝟏 = 𝝅 ∙ 𝒅 _𝟏 ^𝟒 − 𝒅 _𝟎 ^𝟒 𝟏𝟔 ∙ 𝒅 _𝟏 por. p. 10.4

𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺𝟏 ∙ 𝒅 _𝟏

𝝅 ∙ 𝒅 _𝟏 ^𝟒 − 𝒅 _𝟎 ^𝟒 = 𝟏𝟔 ∙ (−𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟐𝟎 𝝅 ∙ 𝟐𝟎 ^𝟒 − 𝟏𝟎 ^𝟒 𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟏} = −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝐌𝐏𝐚

𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟐} = 𝑴 _𝑺𝟐

𝑾 _𝑶𝟐 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺𝟐

𝝅 ∙ 𝒅 _𝟏 ^𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ (−𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) 𝝅 ∙ 𝟐𝟎 ^𝟑

𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝑴 _𝑺𝟑

𝑾 _𝑶𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺𝟑

𝝅 ∙ 𝒅 _𝟐 ^𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝝅 ∙ 𝟑𝟎 ^𝟑 𝝉 _{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝟗𝟒. 𝟑𝟏 𝐌𝐏𝐚

l l l

d

d

d

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M

M

M

M

𝑴

𝑴

𝑴

𝑴

© T. Machniewicz

10.8. Skręcanie – przykłady obliczeniowe

Przykład 10.1: Dane: M

=6 Nm, M

=94 Nm, M

=600 Nm, G=810

MPa Szukane:

d

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm  Wykresy: M

, 

,  (iii) Kąt skręcenia  ,

 (r ad)

z

𝝉

= 𝟗𝟒. 𝟑𝟏 𝐌𝐏𝐚

𝝉

=

−𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝝉

=

−𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝐌𝐏𝐚

𝝋 _𝑨 = 𝟎

𝝋 _𝑩 = 𝝋 _𝑨 + ∆𝝋 _𝑨𝑩 ∆𝝋 _𝑨𝑩 = 𝑴 _𝑺𝟑 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱 _𝟎𝟑 𝝋 _𝑩 = 𝝋 _𝑩 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴 _𝑺𝟑 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅 _𝟐 ^𝟒

𝝋 _𝑩 = 𝟎 + 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝟖 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟑𝟎 ^𝟒 𝝋 _𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑 𝒓𝒂𝒅

𝝋 _𝑪 = 𝝋 _𝑩 + ∆𝝋 _𝑩𝑪 = 𝝋 _𝑩 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴 _𝑺𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅 _𝟏 ^𝟒 𝝋 _𝑪 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑 + 𝟑𝟐 ∙ (−𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟒𝟎𝟎

𝟖 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝟎 ^𝟒 𝝋 _𝑪 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 𝒓𝒂𝒅

𝝋 _𝑫 = 𝝋 _𝑪 + ∆𝝋 _𝑪𝑫 = 𝝋 _𝑪 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴 _𝑺𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ (𝒅 _𝟏 ^𝟒 − 𝒅 _𝟎 ^𝟒 ) 𝝋 _𝑫 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 + 𝟑𝟐 ∙ (−𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟒𝟎𝟎

𝟖 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ (𝟐𝟎 ^𝟒 − 𝟏𝟎 ^𝟒 ) 𝝋 _𝑪 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟓𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑

−𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑

−𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟓𝟐 𝑴

= −𝟖𝟎 𝑵𝒎

𝑴

= −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

l l l

d

d

d

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M

M

M

M

𝑴

𝑴

𝑴

𝑴

© T. Machniewicz

10.8. Skręcanie – przykłady obliczeniowe Przykład 10.1:

𝑴

= −𝟖𝟎 𝑵𝒎 𝑴

= −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴

z

𝝉

= −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝝉

= −𝟔𝟑. 𝟔𝟔

𝝉

= 𝟗𝟒. 𝟑𝟏



(MP a)

z

 (r ad)

z

𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑

−𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 −𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟓𝟐

Dane:

M

=6 Nm, M

=94 Nm, M

=600 Nm, d

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, G=810

MPa, l= 400 mm

Szukane:

Wykresy: M

, 

, 

l l l

d

d

d

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M

M

M

M

𝑴

𝑴

𝑴

𝑴

© T. Machniewicz

10.8. Skręcanie – przykłady obliczeniowe

Przykład 10.2:

Obliczyć jaka być może maksymalna średnica otworu rury pokazanej na rysunku, obciążonej momentem skręcającym.

Dane: Szukane:

M

=4 kNm, k

=80 MPa, D=80 mm d

=?

x

y O

M

=4 kNm

z x

y

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 _𝑺

𝑾 _𝑶 ≤ 𝒌 _𝑺

𝑾 _𝑶 = 𝑱 _𝑶

𝝆 _𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 ∙ 𝑱 _𝑶 𝑫 𝑱 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫 ^𝟒 − 𝒅 ^𝟒

𝟑𝟐

𝑾 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫 ^𝟒 − 𝒅 ^𝟒 𝟏𝟔𝑫

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝑫 ^𝟒 − 𝒅 ^𝟒 ≤ 𝒌 _𝑺 𝒅 ≤ 𝑫 ^𝟒 − 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺 ∙ 𝑫 𝝅 ∙ 𝒌 _𝑺

𝟒

𝒅 ≤ 𝟖𝟎 ^𝟒 − 𝟏𝟔 ∙ 𝟒 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟔 ∙ 𝟖𝟎 𝝅 ∙ 𝟖𝟎

𝟒

𝒅 _𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟕. 𝟑𝟔 𝒎𝒎

© T. Machniewicz

10.9. Sprężyny śrubowe o małym skoku

– naprężenia, warunek bezpieczeństwa

𝑴

= 𝑷 𝑫 𝟐

𝝉 _𝑺 = 𝑴 _𝑺 𝑾 _𝑶 𝝉 _𝒕 = 𝑷

𝑨 𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝝉 _𝑺 + 𝝉 _𝒕

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟏 + 𝒅

𝟐𝑫 ≤ 𝒌 _𝑺 d

𝑷

D

h

𝑷

d

D/2 𝑷

y

x O

𝝉 _𝑺

𝝉 _𝑺 𝑷

𝝉 _𝒕 𝝉 _𝒕

𝝉 _𝒎𝒂𝒙 = 𝝉 _𝑺 + 𝝉 _𝒕

= 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑

= 𝑷 ∙ 𝑫 𝟐 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟏𝟔

𝑾 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟏𝟔 𝑨 = 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟐

𝟒

= 𝑷

𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟐 𝟒 = 𝟒 ∙ 𝑷 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟐

= 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 + 𝟒 ∙ 𝑷

𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟐 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟏 + 𝒅 𝟐𝑫

k

– dopuszczalne naprężenia styczne

© T. Machniewicz

Praca wykonana nad sprężyną (L) Energia zmagazynowana w sprężynie (E)

10.10. Sprężyny śrubowe o małym skoku – ugięcie ()

𝑳 = 𝟏

𝟐 ∙ 𝑷 ∙ 𝝀 𝑬 = 𝟏

𝟐 ∙ 𝑴 _𝑺 ∙ 𝝋

𝑴 _𝑺 = 𝑷 𝑫 𝟐 𝝋 = 𝑴 _𝑺 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝑱 _𝟎 𝑱 _𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟑𝟐

𝒍 = 𝝅 ∙ 𝑫 ∙ 𝒏 𝑬 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴 _𝑺 ^𝟐 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟒

𝑬 = 𝑴 _𝑺 ^𝟐 ∙ 𝒍 𝟐 ∙ 𝑮 ∙ 𝑱 _𝟎

𝑬 = 𝟒 ∙ 𝑷 ^𝟐 ∙ 𝑫 ^𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟒

𝑬 = 𝟒 ∙ 𝑷 ^𝟐 ∙ 𝑫 ^𝟑 ∙ 𝒏 𝑮 ∙ 𝒅 ^𝟒

𝝀 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫 ^𝟑 ∙ 𝒏 𝑮 ∙ 𝒅 ^𝟒

𝑷 𝑷

 P

 L

≡

𝑷 ^{𝟏 𝟐 𝟑 𝒏} 𝑷

…

D

l – długość drutu sprężyny (po rozwinięciu) n – liczba zwoi,

M

𝒍 = 𝝅𝑫𝒏

M

…

𝟏

𝟐 ∙ 𝑷 ∙ 𝝀 = 𝑳

© T. Machniewicz =

10.11. Stan naprężenia w elemencie skręcanym









𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

𝟐 + 𝝈

− 𝝈

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

𝟐 − 𝝈

− 𝝈

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉

= −𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

gdy: ^𝝈

= 𝝈, 𝝈

= −𝝈, 𝜶 = 𝝅 𝟒 : 𝝈

= 𝝈

= 𝟎, 𝝉

= −𝝉

= 𝝈







=-  

= 

𝝉

= −𝝈 𝝉

= 𝝈

y

x

© T. Machniewicz 

10.12. Wałki giętkie

Działanie i zastosowanie

www.sswt.com

machinedesign.com

www.oii.com

© T. Machniewicz

10.12. Wałki giętkie

Kierunek obrotu wałów giętkich musi być przeciwny do kierunku nawinięcia drutu w jego zewnętrznej warstwie, tak by nie powodować jej rozluźniania.

n M

M

n

© T. Machniewicz