Mechanika i wytrzymałość materiałów

(1)

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz E-mail: machniew<at>agh.edu.pl

IB - Wykład Nr 1

Pojęcia podstawowe, Statyka

Znaczenie mechaniki i wytrzymałości materiałów w Inżynierii Biomedycznej, literatura, pojęcia podstawowe, wielkości fizyczne, działania na wektorach, rodzaje obciążeń, stopnie swobody, więzy, reakcje.

(2)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

© T. Machniewicz

(3)

Badania naturalnych zębów¹⁾

3

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

1) T. Topoliński, Problemy wytrzymałości i trwałości zmęczeniowej w materiałach i konstrukcjach inżynierii biomedycznej.

© T. Machniewicz

(4)

Badania implantów zębów

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

1) Halachmi et al. Splints and stress transmission to teeth: an in vitro experiment. Journal of Dentistry, Vol. 28, 2000

© T. Machniewicz

(5)

Badania mostków zębowych

5

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

www.umich.edu

http://www.ikts.fraunhofer.de

© T. Machniewicz

(6)

Badania implantów zębów

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

http://www.lasak.cz

www.ousborneandkeller.com

www.belleforestdental.com

© T. Machniewicz

(7)

7

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Stenty

T. Topoliński,

Problemy wytrzymałości i trwałości zmęczeniowej w materiałach i konstrukcjach inżynierii biomedycznej.

Zastawki serca

Sztuczne serce

© T. Machniewicz

(8)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Badania sztucznego serca

© T. Machniewicz

(9)

9

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

© T. Machniewicz

(10)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Stabilizatory

T. Topoliński, Problemy wytrzymałości i trwałości zmęczeniowej w materiałach i konstrukcjach inżynierii biomedycznej.

© T. Machniewicz

(11)

11

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Próba zginania płytki kostnej

© T. Machniewicz

(12)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

© T. Machniewicz

(13)

13

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

© T. Machniewicz

(14)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Endoprotezy stawu biodrowego

Marciniak W.

Ćwiczenia laboratoryjne z biomateriałów. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999.

© T. Machniewicz

(15)

15

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

© T. Machniewicz

(16)

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Narzędzia i materiały chirurgiczne

© T. Machniewicz

(17)

17

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów w służbie Inżynierii Biomedycznej

Stomatologia Układ krążenia Ortopedia

Chirurgia

Narzędzia i materiały chirurgiczne

Marciniak W. Ćwiczenia laboratoryjne z biomateriałów.

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999

© T. Machniewicz

(18)

1.1 Polecana literatura:

Mechanika (statyka):

[1] Misiak J.: Statyka.

[2] Engel Z., Giergiel J.: Statyka. AGH (lub Statyka, kinematyka)

[3] Giergiel J.,Głuch L., Łopata A.: Zbiór zadań z mechaniki – metodyka rozwiązań.

[4] Mieszczerski I.W.: Zbiór zadań z mechaniki.

[5] Romicki R.: Rozwiązania zadań z mechaniki Zbioru I. W. Mieszczerskiego.

[6] Rżysko J.: Statyka i Wytrzymałość Materiałów.

© T. Machniewicz

(19)

19

1.1 Polecana literatura:

Wytrzymałość Materiałów:

[7] Skorupa A., Skorupa M.: Wytrzymałość materiałów: skrypt dla studentów wydziałów niemechanicznych. AGH Uczelniane Wydaw. Naukowo-Dydaktyczne, 2000.

[8] Wolny S., Siemieniec A.: Wytrzymałość materiałów. Cz. 1, Teoria, zastosowanie.

AGH Uczelniane Wydaw. Naukowo-Dydaktyczne.

[9] Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wytrzymałość Materiałów. Warszawa, PWN 1981.

Laboratorium:

[10] Wolny S. i in.: Wytrzymałość Materiałów – cz. IV. Ćwiczenia laboratoryjne.

Wyd. AGH. Kraków 2007.

[11] Wolny S. i in. Wytrzymałość Materiałów – cz. IV. Eksperyment w Wytrzymałości Materiałów.

© T. Machniewicz

(20)

1.2. Pojęcia podstawowe:

Mechanika: nauka (dział fizyki) zajmująca się badaniem ruchu mechanicznego ciał, tj. przemieszczeniami jednych ciał względem drugich oraz wzajemnymi przemieszczeniami pewnych cząstek danego ciała, w zakresie przyczyn ich powstania oraz zjawisk im towarzyszących.

Mechanika klasyczna

Mechanika ciała stałego

Mechanika ciała sztywnego

Mechanika ciała odkształcalnego (wytrzymałość materiałów, teoria

sprężystości, teoria plastyczności) Mechanika

cieczy i gazów

© T. Machniewicz

(21)

21

1.2. Pojęcia podstawowe:

Statyka dział mechaniki zajmujący się badaniem równowagi ciał materialnych.

Kinematyka dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu mechanicznego ciał bez uwzględnienia ich cech fizycznych i działających na nie sił..

Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił (określa związki między siłami a ruchem jako ich skutkiem.

Mechanika ciała sztywnego

© T. Machniewicz

(22)

1.2. Wielkości stosowane w mechanice:

a) skalary wielkości określone wartością liczbową i jednostką mianowaną (masa, czas, długość, pole).

b) wektory wielkości do określenia których niezbędne jest podanie oprócz wartości (modułu) także kierunku (prostej działania) oraz zwrotu wzdłuż tego kierunku

Wektor można zdefiniować poprzez podanie trzech liczb algebraicznych przedstawiających jego trzy rzuty prostokątne P

_x

, P

_y

, P

_z

(składowe wektora) na osie układu współrzędnych.

k

A

𝑷 B

𝑃 = 𝑃

_𝑥

+ 𝑃

_𝑦

+ 𝑃

_𝑧

𝑃 = 𝑃

_𝑥

, 𝑃

_𝑦

, 𝑃

_𝑧 _wówczas:

𝑃 = 𝑃

_𝑥²

+ 𝑃

_𝑦²

+ 𝑃

_𝑧²

© T. Machniewicz

(23)

23

1.2. Wielkości stosowane w mechanice:

Wersory – wektory jednostkowe: 𝒊, 𝒋, 𝒌

y

x

z

𝑊 = 𝑊

_𝑥

+ 𝑊

_𝑦

+ 𝑊

_𝑧

𝑾

_𝒙𝒚

𝑾

_𝒙

𝑾

_𝒚

𝑾

_𝒛

𝒊 𝒌 𝒋

𝑊

= 𝑊_𝑥, 𝑊_𝑦, 𝑊_𝑧

𝑊 = 𝑊

_𝑥

∙ 𝑖 + 𝑊

_𝑦

∙ 𝑗 + 𝑊

_𝑧

∙ 𝑘

© T. Machniewicz

(24)

1.2.1. Dziesiętne krotności jednostek

Mnożnik Przedrostek Skrót Przykłady

10¹⁸ eksa - E

10¹⁵ peta - P

10¹² tera - T

10⁹ giga - G GPa

10⁶ mega - M MN, MPa

10³ kilo - k kg, kW

10² hekto - h hPa, hl

10¹ deka - da dag,

1 ––––– –––– N, m, g, Pa, W

10^-1 decy - d dm

10^-2 centy - c cm

10^-3 mili - m mm, mg

10^-6 mikro -  m

10^-9 nano - n nA

10^-12 piko - p

10^-15 femto - f

10^-18 atto - a

© T. Machniewicz

(25)

25

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

a) Dodawanie wektorów:

𝑃

₁

𝑃

₂

𝑃

₃

𝑃

₄

𝑾

𝑃

₁

𝑃

₂

𝑃

₃

𝑃

₄

𝑊 = 𝑃

₁

+ 𝑃

₂

+ ⋯ + 𝑃

_𝑛

jeżeli:

𝑃

₁

= 𝑃

_1𝑥

, 𝑃

_1𝑦

, 𝑃

_1𝑧

𝑃

₂

= 𝑃

_2𝑥

, 𝑃

_2𝑦

, 𝑃

_2𝑧

𝑊 = 𝑃

_𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑃

_𝑛

= 𝑃

_𝑛𝑥

, 𝑃

_𝑛𝑦

, 𝑃

_𝑛𝑧

… … …

wówczas:

𝑊

= 𝑊_𝑥, 𝑊_𝑦, 𝑊_𝑧

𝑊

_𝑥

=

^𝑛

𝑃

_𝑖𝑥

𝑖=1

𝑊

_𝑦

=

^𝑛

𝑃

_𝑖𝑦

𝑖=1

𝑊

_𝑧

=

^𝑛

𝑃

_𝑖𝑧

𝑖=1

𝑊 = 𝑊

_𝑥

+ 𝑊

_𝑦

+ 𝑊

_𝑧

𝑊 = 𝑊

_𝑥²

+ 𝑊

_𝑦²

+ 𝑊

_𝑧²

© T. Machniewicz

(26)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

a) Dodawanie wektorów:

Wzór Carnota (twierdzenie cosinusów)

𝑾 = 𝑷

_𝟏^𝟐

+ 𝑷

_𝟐^𝟐

+ 𝟐𝑷

_𝟏

𝑷

_𝟐

𝐜𝐨𝐬𝛂 𝑃

₁

𝑃

₂

𝑾

𝛂 (𝝅 − 𝛂) ^{𝑊 = 𝑃}

¹²

^{+ 𝑃}

^𝑧²

^{− 2𝑃}

¹

^𝑃

²

cos 𝜋 − α

𝑾 = 𝑷

_𝟏

+ 𝑷

_𝟐



© T. Machniewicz

(27)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

b) Odejmowanie wektorów:

𝑷

𝑾 𝑅 = 𝑊 − 𝑃 = 𝑊 + (−𝑃)

Odejmowanie wektora 𝑷 od wektora 𝑾 odpowiada dodaniu do wektora 𝑾 wektora przeciwnego do 𝑷 .

𝑾 −𝑷 𝑹

𝑊

= 𝑊_𝑥, 𝑊_𝑦, 𝑊_𝑧 jeżeli:

𝑃

= 𝑃_𝑥, 𝑃_𝑦, 𝑃_𝑧

𝑅 = 𝑊 − 𝑃 = 𝑅

_𝑥

, 𝑅

_𝑦

, 𝑅

_𝑧

, gdzie:

wówczas:

𝑅

_𝑥

= 𝑊

_𝑥

− 𝑃

_𝑥

𝑅

_𝑦

= 𝑊

_𝑦

− 𝑃

_𝑦

𝑅

_𝑧

= 𝑊

_𝑧

− 𝑃

_𝑧

27

© T. Machniewicz

(28)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

c) Mnożenie wektorów przez liczbę (skalar):

𝑃 = |𝐴𝐵|

jeżeli:

𝑃 = 𝑃

_𝑥

, 𝑃

_𝑦

, 𝑃

_𝑧

𝑊 = 𝑛𝑃 = 𝑊

_𝑥

, 𝑊

_𝑦

, 𝑊

_𝑧

, gdzie:

wówczas:

𝑊

_𝑥

= 𝑛 ∙ 𝑃

_𝑥

𝑷

𝑾

A

B

C

𝑊 = 𝑛𝑃

𝑊 = |𝐴𝐶|

^𝑊

𝑃 = |𝐴𝐶|

|𝐴𝐵| = 𝑛

𝑊

_𝑦

= 𝑛 ∙ 𝑃

_𝑦

𝑊

_𝑧

= 𝑛 ∙ 𝑃

_𝑧

Wynikiem iloczynu wektora 𝑃 przez skalar n jest wektor 𝑊 o kierunku zgodnym z wektorem 𝑃 i module n razy większym od modułu wektora 𝑃 .

Zwrot wektora 𝑊 jest zgodny z wektorem 𝑃 gdy n>0, lub przeciwny gdy n<0.

© T. Machniewicz

(29)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

d) Iloczyn skalarny dwóch wektorów:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektora 𝑃 i wektora 𝑆 jest skalar równy iloczynowi modułów wektorów 𝑃 i 𝑆 oraz cosinusa kąta zawartego między nimi.

𝑺 𝑷

𝛂

𝑾 = 𝑷 ∘ 𝑺 = 𝑷 ∙ 𝑺 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶)

Np.

Praca jest iloczynem skalarnym siły i przemieszczenia.

Iloczyn skalarny jest przemienny, tj.:

𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎

29

© T. Machniewicz

(30)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

e) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów:

Wynikiem wektorowym wektora 𝑎 przez wektor 𝑏 ( 𝑎 × 𝑏 ) jest wektor 𝑐 prostopadły do płaszczyzny wektorów 𝑎 i 𝑏 oraz module równym polu równoległoboku zbudowanego na wektorach 𝑎 i 𝑏 (moduł wektora 𝑐 jest równy iloczynowi modułów wektorów 𝑎 i 𝑏 i sinusa kąta zawartego między nimi).

Zwrot wektora 𝑐 określa się zgodnie z regułą prawej dłoni, stosownie do założenia o prawoskrętności kartezjańskiego układu współrzędnych.

𝒂 𝒃

𝛂

𝒄 = 𝒂 × 𝒃

Np.

Moment siły względem bieguna jest iloczynem

wektorowym promienia wodzącego przez wektor siły.

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne:

𝑎 × 𝑏 = −(𝑏 × 𝑎) 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝒂)

𝒄

𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝜶)

© T. Machniewicz

(31)

1.2.2. Podstawowe działania na wektorach

e) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów:

𝒂 𝒃

𝛂

𝒄 = 𝒂 × 𝒃 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝒂)

𝒄 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝜶)

𝑎 = 𝑎

_𝑥

, 𝑎

_𝑦

, 𝑎

_𝑧

jeżeli:

wówczas:

𝑎 = 𝑎

_𝑥

∙ 𝑖 + 𝑎

_𝑦

∙ 𝑗 + 𝑎

_𝑧

∙ 𝑘 𝑏 = 𝑏

_𝑥

, 𝑏

_𝑦

, 𝑏

_𝑧

𝑏 = 𝑏

_𝑥

∙ 𝑖 + 𝑏

_𝑦

∙ 𝑗 + 𝑏

_𝑧

∙ 𝑘

𝒄 = 𝒂 × 𝒃 =

𝑖 𝑗 𝑘

𝑎

_𝑥

𝑎

_𝑦

𝑎

_𝑧

𝑏

_𝑥

𝑏

_𝑦

𝑏

_𝑧

= 𝑎

_𝑦

𝑏

_𝑧

− 𝑎

_𝑧

𝑏

_𝑦

𝑖 + 𝑎

_𝑧

𝑏

_𝑥

− 𝑎

_𝑥

𝑏

_𝑧

𝑗 + 𝑎

_𝑥

𝑏

_𝑦

− 𝑎

_𝑦

𝑏

_𝑥

𝑘

= 𝑐

_𝑥

∙ 𝑖 + 𝑐

_𝑦

∙ 𝑗 + 𝑐

_𝑧

∙ 𝑘

gdzie:

𝑐

_𝑥

= 𝑎

_𝑦

𝑏

_𝑧

− 𝑎

_𝑧

𝑏

_𝑦

; 𝑐

_𝑦

= 𝑎

_𝑧

𝑏

_𝑥

− 𝑎

_𝑥

𝑏

_𝑧

; 𝑐

_𝑧

= 𝑎

_𝑥

𝑏

_𝑦

− 𝑎

_𝑦

𝑏

_𝑥

𝒄 = 𝒄

_𝒙

, 𝒄

_𝒚

, 𝒄

_𝒛

31

(32)

1.3. Klasyfikacja obciążeń

Siła, moment siły – wynik wzajemnego oddziaływania ciał na siebie.

Rodzaje sił – ze względu na pochodzenie

a) siły zewnętrzne – przyłożone do danego ciała, wywierane przez inne ciało,

 czynne – mogące wywołać ruch, niezależne od warunków w jakich znajduje się dane ciało,

 bierne – stanowią wynik oddziaływania więzów (siły reakcji),

b) siły wewnętrzne – siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi rozpatrywanego układu,

(33)

1.3. Klasyfikacja obciążeń

Rodzaje obciążeń – ze względu na sposób przyłożenia:

a) objętościowe (masowe) – działające na każdą cząstkę ciała (np. siły ciężkości),

b) powierzchniowe – działające na powierzchnię ciała,



siły masowe zwykle zastępowane są działaniem siły skupionej przyłożonej w środku ciężkości bryły

𝒑 (𝑵/𝒎^𝟐)

𝒗 (𝑵/𝒎^𝟑)

𝑮 (𝑵)

𝒑 (𝑵/𝒎^𝟐) 𝒑 (𝑵/𝒎^𝟐)

33

(34)

1.3. Klasyfikacja obciążeń

Rodzaje obciążeń – ze względu na sposób przyłożenia:

c) obciążenia liniowe – przyłożone w sposób ciągły na pewnej długości,

d) obciążenie skupione – siła lub moment siły przyłożone w punkcie,

Zazwyczaj za pomocą obciążenia liniowego odwzorowuje się działanie obciążenia powierzchniowego w przypadku modeli płaskich

𝒒 (𝑵/𝒎)

Dane obciążenie uznać można za skupione, jeżeli powierzchnia jego oddziaływania jest znacznie mniejsza od wymiarów elementu.



𝑹_𝟏 𝑮 𝑹_𝟐 (𝑵)

𝑴 (𝑵𝒎)

(35)

1.3. Klasyfikacja obciążeń

Rodzaje obciążeń – ze względu na zmiany w czasie:

a) statyczne – narastające w sposób powolny od zera do pewnej wartości

b) dynamiczne – przyłożone w sposób nagły, działające impulsowo

c) okresowo-zmienne – zmieniające wielokrotnie wartość w czasie

t F_max

F

t F_max

F

t

35

(36)

1.4. Wyidealizowane modele ciał rzeczywistych:

punkt materialny punkt geometryczny któremu przepisano pewną masę.

układ punktów materialnych (ciało sztywne, bryła) – zbiór punktów materialnych o niezmiennych wzajemnych odległościach

ciało swobodne ciało mogące dowolnie przemieszczać się w przestrzeni.

ciało nieswobodne ciało którego ruch w przestrzeni ograniczony jest określonymi więzami.

(37)

1.5. Stopień swobody

Stopień swobody – minimalna liczba niezależnych współrzędnych niezbędna do jednoznacznego opisu położenia ciała w przestrzeni.

Bryła sztywna, nieograniczona żadnymi węzami, posiada w przestrzeni 6 stopni swobody, związanych z możliwością jej przesunięcia (3 stopnie swobody) i obrotu (3 kolejne stopnie swobody) wokół osi układu współrzędnych.

y

x

z

37

(38)

1.5. Stopień swobody

Stopień swobody – minimalna liczba niezależnych współrzędnych niezbędna do jednoznacznego opisu położenia ciała w przestrzeni.

Ciało materialne (np. człon mechanizmu) w ruchowym połączeniu z innym ciałem tworzy parę kinematyczną tracąc przy tym pewną liczbę stopni swobody, określoną przez tzw. klasę pary kinematycznej, tj. liczbę więzów występujących pomiędzy połączonymi członami.

Przykładowo:

Ludzki szkielet posiada ok. 240 stopni swobody.

Każda z kończyn – górna jak i dolna – mają po około 30.

Ogólnie, jeżeli dwa człony o odpowiednio n₁ i n₂ stopniach swobody połączone są w parę kinematyczną o klasie w, to układ taki ma (n₁ + n₂ – w) stopni swobody.

(39)

a) podpora przegubowa przesuwna

reakcja prostopadła do płaszczyzny przesuwu

b) podpora przegubowa stała siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji)

c) utwierdzenie (wspornik)

siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji) oraz

moment utwierdzenia

1.6. Więzy oraz siły reakcji

Więzy – elementy ograniczające liczbę stopni swobody.

Charakterystyczne rodzaje więzów i związane z nimi siły reakcji.

𝑹_𝒚

𝑴_𝑼 𝑹_𝒙

𝑹_𝒙

𝑹_𝒚 𝑹

𝑹 𝑹

39

(40)

d) gładka powierzchnia oporowa

reakcja prostopadła do gładkiej powierzchni

e) przegub kulisty

siła reakcji o dowolnym kierunku (trzy składowe reakcji)

f) podwieszenie na cięgnach, podparcie przegubowe

siła reakcji działa wzdłuż cięgna lub nieważkiego pręta

1.6. Więzy oraz siły reakcji

Więzy – elementy ograniczające liczbę stopni swobody.

Charakterystyczne rodzaje więzów i związane z nimi siły reakcji.

𝑹 𝑹

𝑅_𝑧 𝑹

𝑅_𝑥 𝑅_𝑦

𝑹_𝟏

𝑹_𝟐 𝑹_𝟑 𝑺

𝑺