Ćwiczenia nr 9
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Wzór Bayesa, niezależność zdarzeń, 17.12.2018
Rozbiciem zbioru zdarzeń elementarnych Ω nazywamy rodzinę zdarzeń (hipotez) {H1, H2, . . . , Hn}, które wzajemnie się wykluczają, zaś ich suma jest równa Ω.
Twierdzenie. (wzór Bayesa) Jeśli {H1, H2, . . . , Hn} jest rozbiciem zbioru Ω i zdarzenia H1, H2, . . . , Hn maja dodatnie prawdopodobieństwa, to zachodzi wzór
P (H1|A) = P (A|H1)P (H1) Pn
i=1P (A|Hi)P (Hi).
Jest rzeczą naturalną powiedzieć, że zdarzenie A nie zależy od zdarzenia B, jeśli informacja o zajściu zdarze- nia B nie ma wpływu na szanse zajścia zdarzenia A, czyli P (A|B) = P (A) (tutaj musimy założyć, że P (B) 6= 0).
Co więcej, warunek ten jest symetryczny (P (A|B) = P (A) wtedy i tylko wtedy, gdy P (B|A) = P (B) przy za- łożeniu, że P (A), P (B) > 0), co uzasadnia wprowadzenie następującej definicji.
Definicja. Parę zdarzeń A, B nazywamy parą zdarzeń niezależnych, jeśli P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Definicja. Zdarzenia A, B, C nazywamy trójką zdarzeń niezależnych, jeśli każda z par A, B i A, C i B, C jest parą zdarzeń niezależnych, a dodatkowo zachodzi
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)
Definicja ta ma jasne uogólnienia na przypadek n zdarzeń.
Zadanie 1. Na początku w urnie jest 7 kul białych i 13 czarnych. Losujemy kolejno kule z urny. Za każdym ra- zem, gdy wylosujemy kulę, zwracamy ją i dokładamy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziesiąta wylosowana kula jest czarna?
Zadanie 2. Ktoś rzucił 3 razy monetą i poinformował nas, że wypadła nieparzysta liczba orłów. Jaka jest szansa, że wypadły 3 orły?
Zadanie 3. W zbiorze 3 monet jedna ma po obu stronach orły. Losujemy jedną z tych monet. Wypadł orzeł. Jakie są szanse, że jest to moneta z orłami po obu stronach?
Lekarze używają dwóch wskaźników jakości testu. Czułość (sensitivity) testu to odsetek chorych, u których test daje wynik dodatni. Swoistość (specificity) testu to odsetek zdrowych, u których test daje wynik ujemny.
Zadanie 4. Próba wysiłkowa, której czułość wynosi 65%, a swoistość 85% jest powszechnie używana w celu wykrycia choroby wieńcowej. Załóżmy, że 10% populacji jest chorych na chorobę wieńcową.
(a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że próba wysiłkowa u losowo wybranej osoby prowadzi do prawidłowej diagnozy.
(b) Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem dodatnim jest faktycznie chora.
Zadanie 5. W komodach A, B i C są po dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta, przy czym w komodzie A są złote monety, w B srebrne, a w C po jednej złotej i srebrnej. Wylosowano komodę, następnie szufladę i znaleziona tam złotą monetę. Jaka jest szansa, że w drugiej szufladzie z tej komody jest złota moneta?
Zadanie 6. Które z poniższych zdań są prawdziwe:
(a) W pewnych dwóch szkołach na Mazowszu przeprowadzono testy dotyczące umiejętności czytania ze zrozumieniem. Zarówno chłopcy ze szkoły pierwszej mieli lepszy średni wynik niż chłopcy z drugiej, jak i dziewczęta ze szkoły pierwszej miały lepszy wynik niż dziewczęta z drugiej. Czy z tego wynika, że średni wynik pierwszej szkoły był lepszy, niż średni wynik drugiej?
(b) Bolek i Lolek chodzą do tego samego liceum, Bolek w klasie o profilu matematycznym, Lolek — humanistycznym. W każdym z trzech lat uczęszczania do szkoły średnia ocen Bolka była wyższa niż Lolka. Czy średnia ocen z całego okresu nauki w liceum musi być wyższa u Bolka?
(c) Czy jest możliwe, aby w wyniku przeprowadzenia się części mieszkańców miasta A do miasta B średni iloraz inteligencji w obu miastach wzrósł?
Zadanie 7. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy:
(a) Wylosowanie asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi?
(b) Wylosowanie pika i wylosowanie czarnego asa są zdarzeniami niezależnymi?
(c) Wylosowanie pika i wylosowanie czerwonego asa są zdarzeniami niezależnymi?
Zadanie 8. Kierowcy dzielą się na ostrożnych (jest ich 95% i taki kierowca powoduje w ciągu roku wypadek z praw- dopodobieństwem 0.01%) i piratów (jest ich 5% i taki kierowca powoduje w ciągu roku wypadek z praw- dopodobieństwem 0.5%). Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w 2010, ani 2011. Jakie jest szansa, że spowoduje wypadek w 2012?
Zadanie 9. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać (a) z mistrzem, kolegą klubowym i znów z mistrzem, lub (a) z kolegą, z mistrzem i znów z kolegą.
Który wariant daje większe szanse, jeśli wyniki kolejnych meczów są niezależne.
Zadanie 10. Oblicz prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez układ pokazany na rysunku, składający się z czte- rech przekaźników A, B, C, D, działających niezależnie od siebie, jeśli prawdopodobieństwa działania każdego z przekaźników wynoszą 0.7, 0.8, 0.9 i 0.6.
A
B
C D
Zadanie 11. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzania: A = { w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek}, B = {w drugim rzucie wypadła parzysta liczba oczek}, C = { w sumie w obu rzutach wypadłą parzysta liczba oczek}. Czy trójka zdarzeń A, B, C jest niezależna?
Zadanie 12. Rzucamy trzy razy monetą. Rozważmy zdarzania: A = {w pierwszym i drugim rzucie wypadło to samo}, B = {wypadła co najmniej jedna reszka}, C = {w rzutach drugim i trzecim wypadło to samo}. Czy trójka zdarzeń A, B, C jest niezależna?
Zadanie 13. Rzucono 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli (a) wypadły 3 szóstki,
(b) w następnych 9 rzutach otrzymano same szóstki.
Zadanie 14. Dane są liczby całkowite dodatnie m, n oraz liczby p, q ∈ (0, 1) spełniające p + q = 1. Dowieść, że (1 − pn)m+ (1 − qm)n 1.
2
