Wstęp do statystycznej analizy danych 5. Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego
Ćw. 5.1 Rzucamy dwiema kostkami. Oznaczmy zdarzenia:
A1 ={na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A2 ={na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek},
A3 ={suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczbą nieparzystą}.
Czy zdarzenia te są niezależne parami? Czy zdarzenia A1, A2, A3 są niezależne zespołowo?
Ćw. 5.2 Chcemy rozpalić ognisko mając dwie zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi 0, 7, a złączonymi 0, 95. Która metoda rozpalania ogniska jest pewniejsza:
1. używamy po kolei dwóch zapałek, 2. używamy złączonych zapałek.
Ćw. 5.3 Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A co najmniej raz przy wykonaniu czte- rech niezależnych doświadczeń jest równe 12. Obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A przy wykonaniu pojedynczego doświadczenia, jeśli prawdopodobieństwo to jest takie samo dla każdego doświadczenia.
Ćw. 5.4 Pani A rozmawia przedpołudniami z paniami B i C, z pierwsza średnio co 2 dni (tzn. z prawdopodobieństwem 0,5 każdego dnia), z drugą co 3 dni, natomiast zasadniczo nie rozmawia z panią D. Dodatkowo wieczorami panie B i C rozmawiają z panią D co 4 i co 5 dni odpowiednio. Wszystkie rozmowy odbywaja się niezależnie, o różnych godzinach i z zastosowaniem pełnej dyskrecji. Wczesnym rankiem do pani A doszła pewna plotka. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wieczorem o plotce dowie się pani D?
Ćw. 5.5 Strzelec, który trafia jednym strzałem z prawdopodobieństwem 0, 2 oddaje 10 niezależnych strzałów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
1. trafi nie mniej niż 2 razy,
2. trafi przynajmniej 2 razy, jeżeli trafił przynajmniej raz.
Ćw. 5.6 Windą 10-piętrowego domu jedzie 20 mieszkańców. Obliczyć prawdopodobień- stwo tego, że dokładnie 7 osób wysiądzie na piętrach II-III, a osób 13 na piętrach IV-X przy założeniu, że osoby mieszkające na I piętrze nie korzystają z windy.
Ćw. 5.7 Z talii 52 kart losujemy 13 kart. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 kart czerwonych w losowaniu
1. ze zwracaniem, 2. bez zwracania.
Ćw. 5.8 W bibliotece znajdują się książki z zakresu matematyki i informatyki. Dowolny czytelnik wybiera książkę matematyczną z prawdopodobieństwem 0, 3, a informa- tyczną z prawdopodobieństwem 0, 7. Zakładając, że każdy czytelnik wybiera po jed- nej książce, obliczyć prawdopodobieństwo, że pięciu kolejnych czytelników wybierze książki z tej samej dziedziny.
1
Ćw. 5.9 Prawdopodobieństwo zawiedzenia dowolnego urządzenia przy sprawdzaniu jego niezawodności wynosi 0, 2. Ile urządzeń trzeba sprawdzić, aby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej trzech urządzeń niesprawnych było nie mniejsze niż 0, 9?
Ćw. 5.10 Każda z pięciu jednakowych urn zawiera 15 kul, z których dokładnie n jest czarnych. Z każdej urny losujemy kulę. Dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowa- nia 4 kul czarnych jest największe?
Ćw. 5.11 Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę błędów ujemnych i dodatnich przy czterech pomiarach i wyznaczyć odpowiednie prawdopodobieństwa, jeśli przy dowol- nym pomiarze prawdopodobieństwo błędu ujemnego wynosi 13, a prawdopodobień- stwo błędu dodatniego wynosi 23.
Ćw. 5.12 Ile doświadczeń wg schematu Bernoulliego musimy przeprowadzić, aby najbar- dziej prawdopodobna liczba sukcesów była równa 51, jeśli prawdopodobieństwo suk- cesu w pojedynczym doświadczeniu wynosi 0, 64?
2
