09DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Bolek gra w pewną loterię. Na początku w urnie znajduje się 10 losów wygrywających o wartości 1zł, 10 losów wygrywających o wartości 2zł oraz 10 losów 0zł. Po każdym losowaniu losujący zatrzymuje swój los a organizator loterii dorzuca jeden los 0zł. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Bolek w trzech kolejnych losowaniach
a. wygra w sumie 6 złotych;
b. wygra w sumie 1 złoty.
Zadanie A.2. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P(A) = 25, P(B|A) = 14, P(C|A∩B) = 12, P(A∪B) = 106, P(C|B) =13. Znaleźć P(A|B ∩ C).
Zadanie A.3. W kieszeni mamy dwie monety. Na jednej a nich orzeł wypada z prawdopodobieństwem 3/4 a na drugiej z prawdopodobieństwem 1/4.
(I) 200 razy wykonujemy następującą operację: wyjmujemy z kieszeni losowo monetę i rzucamy nią jeden raz (następnie monetę odkładamy do kieszeni).
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wypadł orzeł?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wypadł orzeł?
(c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 60 razy wypadł orzeł?
(d) Wiadomo, że za pierwszym razem wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wypadł orzeł?
(II) Odpowiedz na pytania (a)–(d) w przypadku, gdy najpierw wyjmujemy losowo wybraną monetę, a następnie rzucamy nią 200 razy.
Zadanie A.4. W urnie znajdują się trzy monety: jedna zwykła, jedna z orłami po obu stronach i jedna z reszkami po obu stronach. Magik wyjmuje losowo jedną monetą i kładzie ją na stole. Widoczny jest orzeł. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że na drugiej stronie też jest orzeł?
Zadanie A.5. Uczciwa kostka sześcienna ma następujące napisy na bokach: wygrana (na 2 bokach), przegrana (na 3 bokach) i graj dalej (na 1 boku). Rzucamy kostką aż do definitywnej przegranej lub wygranej. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwocałkowite, wyznacz szansę wygranej i szansę przegranej. Ile wynosi szansa na nieskończoną grę?
Zadanie A.6. Mamy dwie kostki. Jedna z nich ma 2 ścianki czarne i 4 ścianki białe, a druga ma 4 ścianki czarne i 2 ścianki białe. Najpierw losujemy kostkę (każdą z prawdopodobieństwem 1/2), a następnie rzucamy nią 100 razy. Dokładnie 60 razy wypadła biała ścianka. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wybraliśmy pierwszą z kostek?
B Zadania domowe
Zadanie B.1. W urnie znajdują się 20 losów o wartości 0 zł oraz 10 losów o wartości 1 zł. W każdej rundzie gry losujemy los i zostawiamy go dla siebie a następnie do urny dokładamy po jednym losie o wartościach 0 i 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszych czterech rundach wygramy w sumie 4 zł?
Zadanie B.2 (Zad. 6, §2.2). Wśród 65 monet jest jedna z dwoma orłami. Na wybranej losowo monecie w sześciu rzutach otrzymano same orły. Jaka jest szansa, że to moneta z dwoma orłami.
Zadanie B.3. Każda z N + 1 urn zawiera N kul. Urna o numerze k zawiera k białych i N − k czarnych kul, k = 0, 1, . . . , N . Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli ze zwracaniem.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule są białe?
(b) Jeżeli okazało się, że wszystkie wylosowane kule są białe jakie jest prawdopodobieństwo, że wybraliśmy urnę o numerze t, gdzie t = 0, 1, . . . , N .
Zadanie B.4 (Zad. 13, §2.2). Załóżmy, że prawdopodobieństwo kradzieży w supermarkecie w ciągu jednego dnia wynosi
n
n+k, gdzie k jest liczbą ochroniarzy, zaś n – liczbą złodziei (n + k 1). Kradzież zawsze wychodzi na jaw po podsumowaniu dziennej sprzedaży. Zatrudnia się wtedy dodatkową osobę pilnującą. Po udanej kradzieży liczba złodziei także zwiększa się o 1. Jeśli w poniedziałek jest 1 pilnujący i 1 złodziej, jaka jest szansa, że supermarket będzie okradany codziennie aż do niedzieli?
1
Zadanie B.5. Sebastian ma 6 książek fantastycznych i 5 kryminałów. Co tydzień wybiera losowo jedną książkę do czytania, po czym odkłada ją na półkę, dokupuje jeszcze 3 książki z tego samego gatunku, co przeczytana książka i je również dokłada na półkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a. przez 4 pierwsze tygodnie czytał same kryminały?
b. w ciągu pierwszych czterech tygodni przeczytał dokładnie jeden kryminał?
Zadanie B.6. W pewnej grze hazardowej można grać za 100 złotych, wtedy szansa wygranej wynosi 4/5 lub za 10 złotych, wtedy szansa wygranej wynosi 1/3. Daria wybiera kwotę którą obstawia: 100 zł z prawdopodobieństwem 1/4 i 10 zł z prawdopodobieństwem 3/4. A następnie gra za tą kwotę 50 razy.
a. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Daria wygrała 20 razy?
b. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Daria wygrała 3 pierwsze gry?
c. Wiemy, że Daria wygrała 10 razy. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że zagrała za 10 złotych?
d. Wiemy, że Daria wygrała za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że wygrała za drugim razem?
e. Wiemy, że Daria wygrała za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że wygrała trzy pierwsze gry?
Zadanie B.7. Przyjmijmy, że szansa, iż mężczyzna jest brunetem wynosi 55%, szansa, że jest on blondynem wynosi 40%; łysi zaś stanowią 5% mężczyzn. Badania wykazały, że uzależnionych od komputera jest 20% spośród blondynów, 5%
spośród brunetów oraz 10% spośród łysych. Przeprowadzono sondę, polegającą na 100-krotnym losowaniu mężczyzny (powtórzeń nie wykluczamy) i sprawdzeniu czy jest uzależniony od komputera. Oblicz prawdopodobieństw, że
a. pierwszy z wybranych mężczyzn jest uzależniony od komputera.
b. dokładnie 20 razy trafiono na mężczyznę uzależnionego od komputera.
c. drugi zapytany mężczyzna jest uzależniony od komputera, jeśli wiemy, że pierwszy wybrany mężczyzna jest uzależniony.
d. trzech pierwszych wybranych mężczyzn jest uzależnionych.
Zadanie B.8. Strzelcy A, B i C trafiają do tarczy niezależnie, z prawdopodobieństwami odpowiednio 35, 12 oraz 25. Wszyscy jednocześnie strzelili do tarczy i okazało się, że dokładnie dwa strzały są celne. Czy bardziej prawdopodobne jest, że C trafił czy chybił?
Zadanie B.9. Damian ma talię 52 kart i talię 24 kart (od 9 do Asa). Damian wybiera losowo (każdą z prawdopodobieństwem 1/2) talię kart i z wybranej talii losuje 30 razy ze zwracaniem po jednej karcie.
a. Damian wylosował 10 razy Króla, ile wynosi prawdopodobieństwo, że wybrał talię 24 kart.
b. Damian wylosowała Asa za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że w kolejnym losowaniu wybrał Damę?
Zadanie B.10. Mamy trzy substancje: A, B i C, które wybuchają z prawdopodobieństwem odpowiednio 14, 101 oraz 1.
Przyjaciel wybiera dla nas losowo, z jednakowym prawdopodobieństwem, jedną z substancji, a następnie przeprowadzamy 10 niezależnych prób sprawdzających, czy ta substancja wybuchnie. Okazało się, że dokładnie 3 próby zakończyły się wybuchem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyjaciel podał nam substancję A? Zakładamy, że wybuchy są niegroźne i nawet po wybuchu jesteśmy w stanie testować substancje dalej.
Zadanie B.11. Zad. 14, §3.1.
Zadanie B.12. Załóżmy, że prawdopodobieństwo, trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi p, a prawdopodobień- stwo zniszczenia celu przy k 1 trafieniach wynosi 1 − qk. Jakie jest prawdopodobieństwo zniszczenia celu, jeśli oddano n strzałów?
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. (bonus) Pat i Mat grają w swoja ulubioną grę. Polega ona na tym, ze rzuca się tak długo sprawiedliwą monetą, aż wypadnie seria dwóch orłów (wtedy wygrywa Pat) lub trzech reszek (wtedy wygrywa Mat). Wyznacz prawdopodobieństwa wygranej Pata.
2
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 30·31·32·33104
B.3 (a) 1 (N + 1)Nn ·
N
X
k=0
kn, (b) tn
N X
k=0
kn
B.5 a) 11·14·17·205·8·11·14 b) 411·14·17·205·6·9·12
B.6 a) 14 5020 4
5
20 1 5
30
+34 5020 1
3
20 2 3
30
b) 14· 453
+34· 133 c) 3(13)10(23)40
3(13)10(23)40+(45)10(15)40 d)
1
4·(45)2+34·(13)2
1 4·45+34·13
e)
1
4·(45)3+34·(13)3
1 4·45+34·13
B.7 a) 809 b) 10020 9
80
20 71 80
80
c) 809 d) 8093
B.8 Bardziej prawdopodobne, że trafił: 1019 >199 B.9 a) (16)10(56)20
(131)10(1213)20+(16)10(56)20 b) 205/1482
B.10
1 210 1 210+37
510
B.12 1 − (1 − p(1 − q))n.
3
