MDM 7 - Spójność, grafy dwudzielne
7.1 Pokazać, że jeśli graf G jest k-regularny (k 2) i dwudzielny to G nie ma krawędzi rozcinających.
7.2 Pokazać, że jeśli graf G jest 3-regularny to κ(G) = κ0(G).
7.3 Pokazać, że dla dowolnych liczb natural- nych a ¬ b ¬ c istnieje graf G taki, że κ(G) = a, κ0(G) = b, δ(G) = c.
7.4 Pokazać, że jeśli δ(G) n − 2 to κ(G) = δ(G). Znaleźć taki graf G, dla którego δ(G) = n − 3 oraz κ(G) < δ(G).
7.5 Pokazać, że jeśli δ(G) bn2c to κ0(G) = δ(G). Znaleźć taki graf G, dla którego δ(G) = bn2c − 1 oraz κ0(G) < δ(G).
7.6 Pokazać, że jeśli δ(G) n+k−22 to κ(G) k.
7.7 Niech d1 ¬ d2 ¬ . . . ¬ dn będzie ciągiem stopni wierzchołków w grafie G. Pokazać, że jeśli dk k dla każdego k ¬ n − dn− 1 to G jest spójny.
7.8* Niech U ⊂ V (G) oraz x ∈ V (G)−U . x−U wachlarzem nazywamy |U | niezależnych x − U dróg (tj. dróg łączących wierzchołek x z wierz- chołkami zbioru U , których jedynym punktem wspólnym jest wierzchołek x). Pokazać, że G jest k-spójny wtedy i tylko wtedy gdy |G| k + 1 oraz dla każdego U ⊂ V (G) mocy k i dla każdego x ∈ V (G) − U istnieje x − U wachlarz.
7.9* Pokazać, że jeśli G jest k-spójny (k 2) to dla każdych k wierzchołków istnieje cykl za- wierający te wierzchołki.
7.10* Pokazać, że jeśli G jest grafem dwudziel- nym o klasach X i Y , to maksymalna liczba
krawędzi skojarzenia wynosi
A ⊂ Xmin (|X − A| + |N (A)|).
gdzie N (A) oznacza zbiór sąsiadów w G wierz- chołków należących do A.
7.11 Problem haremu: Niech B będzie zbio- rem kawalerów i przypuśćmy, że każdy kawa- ler ze zbioru B chce poślubić więcej niż jedną ze swoich ukochanych, ale nie więcej niż czte- ry. Sformułuj warunek konieczny i wystarcza- jący na to by problem haremu miał rozwiąza- nie. Wsk: każdego kawalera zastąpić wieloma kopiami (klonami) i skorzystać z twierdzenia Halla.
7.12 Udowodnić, że graf dwudzielny regularny ma skojarzenie doskonałe (tzn pokrywające wszystkie wierzchołki).
7.13 Udowodnić, że każdy prostokąt łaciński można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego (ma- cierz jest prostokątem łacińskim jeśli w żadnej kolumnie ani wierszu nie powtarza się żaden wyraz).
7.14 Wykazać, że prostokąt łaciński m×n moż- na rozszerzyć na co najmniej (n − m)! sposo- bów. Znaleźć dolne ograniczenie na liczbę kwa- dratów łacińskich n × n.
7.15 Przypuśćmy, że warunek Halla jest speł- niony i że każda z m dziewcząt akceptuje przy- najmniej t kawalerów. Udowodnić przez induk- cję po m, że że małżeństwa mogą być skojarzo- ne na t! sposobów gdy t ¬ m i na t!//(t − m)!
sposobów gdy t > m.
7.16 Pokazać, że w dowolnej grupie m panien i n kawalerów istnieje k panien, którym można znaleźć mężów wtedy i tylko wtedy, gdy dowol- ny podzbiór S panien akceptuje łącznie przy- najmniej |S| + k − m kawalerów.
