Gedaechtniseffekte in der Turbulenz

WTHD 75

TECHNISCHEDELFT UNIVERSITY OF TECHNOLOGYHOGESCHOOL DELFT

GEDAECHTNISEFFEKTE

IN DER TURBULENZ

von

•

Abteilung fÜT Maschinenbau Technische Hochschule Delft

die Niederlände

GEDAECHTNISEFFEKTE IN DER TURBULENZ

von

J.O. Hinze

WTHD Nr. 75 September 1975

Seite 111, Zeile 6

Seite 1, Zeile 21 Zeile 23

Seite 3, Zeile 1 von unten

Seite 4, Formel (5) Seite 6, Zeile 11 Zeile 16 Seite

7

,

Zeile 9

_.

8

,

Formel

(8)

Se1.te Formel (9) Seite 9, Zeile 3 Seite 10, Formel (13) Seite 11, Zeile ₁₇ von unten

Seite 13, Zeile 6 von unten

• Seite 14, Zeile ₁₇ Seite 15, Zeile 4 Zeile 9 Zeile 10 Seite 16, Zeile ₁₇ Seite 17, Zeile 13

Zeile 4 con unten Seite 18, Zeile 12

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Abb. 3 Berichtigung WTHD

75

.

steht viscosity m materiallen dass ...

so kommt man nach ••.

Reihmentwicklung hat er e1.nen an de Anfangswert D.• J1. (- ~)

.

..

J 1.

-~

=

fd..x

l E- (x') 2 1 1 m dU1 dU2

----s

=

Abl. 3 Streche intermittiertenden in Aussengebiet bequemlichheits-2<x1/D<150, x2/D

=

15. A 1 '" 0,3 x2 lm eines Halbkugels ersetzen durch viscosity E ... m materiellen das ... so kommt, nach ... Reihenentwicklung hat er einen

sta-an dem Anfsta-angswert.

î5 •

•

Jl • .• (- u2u1)··· x1

I~x

I1Em (x I1 )

-

-

__

aU

1 dU2

-

-

--a~

d~ s = -1 Abb. 3 •.. Strecke intermittierenden im Aussengebiet bequemlichkeits-2<x1/D<90, ... x/D

=

1,5. Al '" 0,3 xl In einer Halbkugel

INHALTSVERZEICHNIS. Seite Abstract Uebersicht 1. Allgemeine Betrachtungen 2. Theorie Aehnlichkeitkonservierende Str5mungen 3. Experimentelle Untersuchungen

Wiederherstellung einer gest5rten Grenzschicht Die Zylindernachlaufstr5mung

4.

Nachbetrachtungen Schriftum Formelzeichen I IV 9 12 14 14 17 19 21 22

•

Memoryeffects ln turbulence.

Abstract.

Memoryeffects in the flow of fluids are known long since. One has to reckon_with such effects when studying the flow of non-Newtonian fluids, for instance when they exhibit a visco-elastic behaviour. Certain phenomena in turbulence also seem to point towards a visco-elastic behaviour. If, however, turbulence is considered as a hypothetical non-Newtonian fluid, there are essential differences with actual non-Newtonian fluids. First~ the re~uire-ment of objectivity concerning invariance of any constitutive e~uation against a time-dependent bodily rotation, has to be dropped. Second, in rheology the principle of local action is used. This means that in the case of a simple fluid any deformation-history can be described completely in terms of the local velocity gradient. In turbulence, action is not restricted to small regions, and higher derivatives of the mean velocity are of ten re~uired to describe this action.

In flows with a preferred main-flow direction, a distinction can be made between transport in axial and in transverse direction, when considering a

"memory" behaviour that de t.ermi.nes the degree of localness of action. If, for instance, turbulence shear-stress is expressed in the transverse gradient of the mean velocity with an eddy viscosi ty (Bcuas inesq ), this gradient may veLl. vary ln the transverse direction across "memory" distances, where the contribu

-tion to the total transport of momentum lS still of importance. In some cases negative values may be obtained in a small region around a maxlmum of the mean velocity with an asymmetric distribution (wall jet) if the variation

.- of this gradient is neglected. This would result ln a "negative turhulence

-energy production ." These "memory" distances are of the order of the Lag;ran

-gian integral length-scale or of the size of the bigger eddies. The action can then no longer be considered as being local in the rheological sense.

In the axial, main flow direction, the situation may be different. Because of the relatively large convection velocity in this direction~ the memory distance lS much larger than in transverse direction, i.e. many times the size of the bigger eddies. Though often the action may be described satisfactorily as if it were local, because of the size of the eddies in

-volved the action lS not strictly local. If we consider in those flows the effect of a non-constant mean-velocity gradient on the turbulence shear

-stress by extending the simple Boussinesq relation wibh a term giving the change ln axial direction of this velocity gradient, the relation given by

Eq. (11) lS obtained.

=

€ m

(11)

A more general relation describing this effect lS given by Eq. (13), where G lS a memory function.

U2U, (x,) = (' (13)

_00

-The physical meanlng of these equations lS that the turbulence shear-stress may be considered to contain two parts. The main part is the shear stress that would occur if it were determined by the "local" condition of the flow as expressed by the local mean-velocity gradient. Along the memory distance it lS as if this gradient were constant. The second part is an additional contri-but ion because a fluid particle extra remembers the effect of a

non-constant behaviour of this gradient in axial direction along the memory distance.

If a simple exponential function is assumed for the memory function G, Eq. (13) may be considered as a solution of an inhomogeneous differential equation of the first order for the turbulence shear-stress, when the eddy viscosity Em and the memory length-scale 1\1are constant.

( 16 )

This differential equation (16) has the Boussinesq expreSSlon for the shear -stress as the forcing function. An extension can be given to this Eq. (16) by taking into account possible variations of Em and 1\1with axial distance.

The extra memoryeffects are negligibly small when the following condi -tions are satisfied.

(22a) and

(22b)

However, in the case of self-preserving flows these conditions may not be satisfied while yet the extra-memory effects are not directly observable. At least when also the relaxation equation (16) satisfies self-preserving conditions, resulting in the requirement of a linear increase of 1\1with distance.

The Eqs. (11) and (13) have been applied to the wake flow generated by a hemi-spherical cap on the wallof a constant-pressure turbulent boundary-layer, and the wake-flow of a circular cylinder in a uniform free stream. The result is that the extra-memory effects are important in both the disturbed boundary-layer and the developing part of the wake at short

distances from the cylinder. In the first case the eddy viscosity when

m corrected for the extra-memory effect and rendered dimensionless with the

local wall-friction velocity and boundary-layer thickness, still follows the same distribution as for the undisturbed boundary-layer (Figures

4

, 5

and

6)

.

For the undisturbed boundary-layer the conditions (22) are satisfied,

and consequently the extra-memory effects are negligible.

In the second case the corrected eddy viscosity also~comes quantitatively

equal to the constant value of the fully-developed self-preserving wake flow. It further turns out that the conditions (22) are not satisfied in the self

-preservlng wake flow, but that-the extra-memory effects there remain hidden because Al does vary linearly with distance. It is conjectured that in

self-:opreservingfree turbulent flows the extra-memory effects are not negli

-gible but are not di:rectlyobservable because of this self-preservation.

When applying Eqs. (11) and (13) to actual flows, an uncertainity :s presented concerning the quantitative evaluation of the length Al and of the function G, because of lack of knowledge of the Lagrangian autocorrela

-tion and the relaxation time or memory function. In the present paper the function G has been approximated by an exponential function, and the follo

-wing relation has been used for Al

•

(25)

As an estimate it has proven to be useful, at least for the time being.

Uebersicht.

Es wird gezeigt, dass die Wirkungen in elner turbulent en Strömung nicht

strikt lokal sind und dass Gedächtniseffekte eine wesentliche Rolle spielen.

Austausch-Prozesse von Impuls sind dann im Wesen nicht bestimmt durch den

örtlichen Gradient der mittlern Geschwindigkeit allein.

Man kann sich die Reynolds'sche Spannungen aus zwei Teile aufgebaut

denken. Der eine Teil ist die Spannung die auftreten würde,wenn sie ganz

durch den lokalen Zustand der Strömung, ausgedrückt in dem lokalen Gradient der mi ttlern Geschwindigkeit, bestimmt sein wiir-de, Der andere Teil ist ein

Extra-Beitrag wegen einer Extra-Erinnerung von dem Einfluss einer

Veränderung dieses lokalen Gradients im betrachteten Gedächtnisgebiet.

In vollentwickelten Strömungen kann man in vielen Fällen mit einem

Austausch des Gradienttypus rechnen, weil entweder die

Extra-Gedächtnis-effekte relativ klein sind, oder die Strömung ähnlichkeitkonservierend ist.

Alt

Die Extra-Gedächtniseffekte werden sicher direkt spürbar in Entwicklungs

-gebieten turbulenter Strömungen, wo die Turbulenz wegen der schnellen

Aenderung in der Hauptströmungsrichtung noch keine Gelegenheit hat sich an -zupassen an neuen lokalen Strömungszustände.

Der Gedächtniseffekt kann beschrieben werden mit einer geeigneten

Gedächtnisfunktion. Annäherend wird hierfür eine einfache ~xponentialfunktion angenommen. In diesem Fall gilt für die Reynolds'sche Spannung eine Relaxa -tionsgleichung, deren Lösung die axiale Verteilung,der Spannung gibt.

An Hand von experimentellen Untersuchungen der Nachlaufströmung einer Halbkugel in einer turbulenten Grenzschicht, und einer Zylindernachlauf -strömung,wird gezeigt, dass solche Extra-Gedächtniseffekte wesentlich sein können. In beiden Fällen handelt es sieh urn eine in der Hauptströmungsrichtung

sich schnell ändernden Strömung des Entwicklungsgebietes. Wenn die betrachtete

•

Schubspannung ausgedrückt wird in dem Geschwindigkeitsgradient mit elner

Wirbelviskosität, ist diese Wirbelviskosität nach Korrektur für den Extra -Gedächtniseffekt gleich dem Wert der vollentwickelten Strömung.

•

1. Allgemeine Betrachtungen.

Gedächtnisbehaftete Strömungen sind schon längst bekannt, namentlich in der Strömung Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten. Die Flüssigkeit solI dann wenigstens visko-elastische Eigenschaften haben, bestimmt durch die Molekularstruktur, wie betrachtet in der Rheologie.

Auch in der turbulent en Strömungen Newtonscher Flüssigkeiten hat man tatsächlich mit Gedächtniseffekten zu tun. Die phänomenologische Theorien von Prandtl und Taylor über den Austausch von Impuls, zusammenhängend mit der turbulent en oder Reynoldsschen Schubspannung, enthalten im Wesen einen Gedächtniseffekt, bestimmt durch die Lagrangesche Autokorrelation der Flüssigkeitsteilchen während deren turbulenten Bewegungen.Spätere Unter

-suchungen haben ergeben, dass verschiedene Phänomerie in der Turbulenz im Prinzip erklärt werden können durch die Annahme eines visko-elastisches

Verhaltens des Turbulenz. Zum Beispiel, die Entstehung von Sekundärströmungen an der turbulenten Strömung dureh ein Rohr mi t nicht-rundem Querschnitt.

Es liegt deshalb auf der Hand,die Turbulenz als eine, hypothetische, Nicht -Newtonsche Flüssigkeit zu betrachten. Es gibt aber einen wesentlichen

.

-

~

-

.

.

Unterschied mit der Rheologle. Erst¬ ns wlrd ln der Rheologie noch immer das Prinzip der lokalen Wirkung betrachtet. Nach diesem Prinzip werden die Spannungen ln elnem Teilchen nicht bestimmt oder beeinflusst durch Bewe -gungen des Stoffes aussenhalb einer bestimmten, sehr kleinen materiallen Umgebung des Teilchens. Unter Teilchen verstehen wir hier eine kleine Menge der Materie mit bestimmter Identität, und ein Volumen dass sehr

klein ist mit Beziehung zu dem makroskopischen Längenmassstab der Bewegungen.

Der Spannungszustand zu einem Zeitpunkt wird vollkommen bestimmt durch die Geschichte der Bewegung in der kleinen Umgebung des Teilchens bis zu diesem Zeitpunkt.

Für sogenannte rheologisch einfache Flüssigkeiten wird die Deformations -geschichte VÖllig beschrieben durch den lokalen Deformationsgradient (Gra

-dient der Geschwindigkeit). Einfache Flüssigkeiten sind isotrop, und Sle erinnern die Vergangenheit nur über dem Deformationstensor bis zu dem be

-trachteten Zeitpunkt.

Zweitens muss elne Konstitutionsgleichung, also elne Relation zwischen Deformation und Spannung, verschiedene Bedingungen erfüllen. Die Gleichu~g solI invariant sein gegen eine Transformation des Koordinatensystems. Sie solI auch invariant,sein gegen zeitabhängige starre Bewegungen, wie

Trans~ation und Rotátion, also objektiv sein.

hypothetische Flüssigkeit, und zwar als e1ne Newtonsche Flüssigkeit, be

-trachtet. Er setzte eine lineare Beziehung zwischen Spannungstensor und derr

Deformationstensor mittels e1ner effektiven, sogenannten Wirbelviskosität

als skalare Grösse voraus. Mit einer kleinen Erweiterung lässt sich die

Boussinesqsche Beziehung schreiben

a

ü

.

8Ü.

u.u.

=

-

p .0 .. + € (_._1+ _~) ( 1 )

J 1 P t, J1 m

ax

.

_{J_ 1_}

Hier ist Ft

=

1 p u.u. , der mechanische Druck, und tm die kinematische 3 1 1.

Wirbelviskosität.

Weil die turbulenten Geschwindigkeitschwankungen u. als Differenzgeschwin -1

digkeiten objektiv sind, wie auch der Deformationstensor, ist die Beziehung (1) objektiv.

Wenn man die Turbulenz als e1ne rheologisch einfache Flüssigkeit betrach -tet mit nicht-Newtonscher Eigenschaften, lässtsich die Beziehung (1) noch ergänzen. Närnlich

(2)

Es lässt sich zeigen,dass, falls die Objektivitätbedingungen erfüllt werden 1

sollen, hieraus folgende Beziehung folgt

(3)

mit D ••

=

2,1

(a

ü.

/ax

.

+

a

ü

.

/a

x.

)

.

J1 J 1 1 J

Die Grössen G , 6 und 6 sind noch Funktionen der Hauptinvarianten von

o m c

B

.. ,

und möglichm skalarm Invarianten wie der Turbulenz-Druck. Diese nicht-J1

lineare Beziehung ist anaiog mit der rheologischenZustandsgleichung der

zähen Flüssigkeit von Stokes und von Reiner-Ri vIi.n, Diese Beziehung

er-ru

i

it die Bedingung der lokalen Wirkung, aber ent.hä'Lt. kein "Gedächtnis".

Für eine lokale Wirkung solI man auch in der Turbulenz sehr kleine Teilchen betrachten, höchstens von der Grössenordnung des Kolmogorov'schen Mikrolängenmassstabes. Es stellt sich nun heraus, dass solche kleine

Teilchen zu schnell ihre Identität (Impuls) verlieren urneinen wesentlichen Beitrag in den turbulenten Transport zu geben.

Urn

in dieser Hinsicht

effektiv zu sein, muss man roit zierolichgrosse Flüssigkeitballen rechnen, von der Grössenordnung der energie-reichen Wirbeln, dass heisst, von dem

Integrallängenmassstab. Die Wirkung ist grundsätzlich nicht mehr lokal,

und höhere Ableitungen der mittleren Geschwindigkeit müssen mitbetrachtet werden. Die Wirkungsradius ist proportional der betrachteten Wirbelgrösse zu nehmen. Die Grösse einer Einheitsfläche für den Impulstransport (u.u.) kann

J 1

dann auch nicht mehr klein gewählt werden, sondern so.ll. von der Grössen

-ordnung dieser Flüssigkeitsballen sein.

Gedächtniseffekte in der Turbulenz, ausgedrückt ln elnem Gedächtnis

-oder Relaxationsabstand werden mitbestimmt durch die Grösse der Wirbel.

Ein klassisches Beispiel für die Abhängigkeit des Relaxations- oder

Gedächtnisabstandes von der Wirbelgrösse findet man in den Untersuchungen von Clauser 2. Abbildung 1 zeigt das Ergebnis dieser Untersuchungen. In einer turbulent en Grenzschicht von der Dicke 8

=

235 mm wird ein Stab

(d

=

12,5 mm) quer zur Hauptströmung gestellt, womit eine Strömung, ange

-geben durch das lokale Geschwindigkeitdefekt bUl' introduziert wird. Das Abklingen dieses Defekts geschieht viel schneller in der Wandnähe

(x2!8

=

o~16

;

kleinere Wirbeln) als an der wandentfernten Stelle (x2!8

=

rr

,

5

9

;

grössere Wirbeln).

In seiner Wellentheorie der Turbulenz hat Landahl 3 gezeigt,dass der

elnzlge geeignete Längenmassstab für das räumliche Verhalten eines Wirbels seine eigene Grösse ist. Eine Wellenkomponente verliert ihrer

Identität in einem Abstand ungefähr sechs Mal ihrerWellenlänge. Messungen in einer Grenzschicht haben gezeigt, dass ln x2!8 ~ 0,5 der Lagrangesche

Integrallängenmassstab ungefähr

48

ist. Also darf man ein völliges Ab

-klingen der Störung erst nach etwa 24 8 erwarten. Eine schöne Bestätigung der Abhängigkeit des Abklingens von Störungen der Geschwindigkeit von der

Wirbelgrösse wird gezeigt durch die Ergebnisse von Messungen durch

Lissenburg 4. Die turbulente Strömung von Luft ln einem geraden Rohr von

~ rundem Querschnitt (D

=

20 mm) wird gestört durch eine örtliche Verengung des Querschnittes. Stromabwärts der Verengung sind in verschiedenen

Abständen Messungen der Verteilungen der mittleren Geschwindigkeit, der Intensität der turbulenten Geschwindigkeitschwankungen gemacht worden,

sowie der spektralen Energieverteilung der axialen turbulent en Geschwin

-digkeit, in der Achse und in der Wandnähe des Rohres. Die Reynoldsche Zahl

bezogen auf Durchmesser und mittlere Geschwindigkeit war rund 5000.Abbil

-dung 2 zeigt die Ergebnisse. Nach x

=

20 D stromabwärts von der Verengung ist die spektrale Energieverteilung schon gleich der ungestörten Stromung fur" Frequenzen hoher als.. 100-1 s _{Für niedrigere Frequenzen istsogar nach} 40 D die spektrale Verteilung noch nicht gleich der der ungestörten Strömung.

Nimmt man annähered die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Störungen gleich der mittleren Geschwindigkeit, so kommt man nach der Landahlschen

Abschätzung,20 D (= 0,4 m) überein mit einer Frequenz von

-1

von derselben Grössenordnung als 100 s

Aus Landahl's Betrachtungen darf man folgern, dass die Wirkung mehr -1

70 s ,das ist

lokal wird,je mehr der Austausch einer Grösse durch die Feinstruktur der Turbulenz beherrscht wird. Das gibt dann eine Rechtfertigung für die ln manchen neueren Theorien der Turbulenz gemachte Annahme eines Austausches

des Gradienttypus zur Bestimmung des Einflüsses der Geschwindigkeitkorre

-lationen dritter und höherer Ordnung.

Weil für den Austausch von Impuls die grösseren Wirbeln effektiv sind, also die Wirkung nichtauf kleine Gebiete beschränkt bleibt, darf man fragen, ob die Forderungen der Objektivität noch erfUIlt werden sollen. Insbesondere die Bedingung_der Invarianz bezüglich der Rotation, weil Zentrifugal- und

1

Coriolis-Sffekte nïcht mehr zu vernachlässigen sind. Lumley hat deshalb vorgeschlagen eine Konstitutionsgleichung fUr Turbulenz als hypothetische Flilssigkeitnicht mehr dieser letzten Bedingung zu unterziehen.

Für den Austausch von Impuls u1 kann man folgenden allgemeinen Ausdruck für den Zeitmittelwert des Transportes durch eine Einheitsfläche quer zur x2-Richtung schreiben

T

u2u1

=

~

J

dt0 u2 (t0) U1(t0)

(4

)

o

Der Wert U1(to) wird bestimmt durch die Vorgeschichte des Teilchens filr alle t - t

< 0 . Diese Vorgeschichte wird mitbestimmt durch die Verteilung

der mittlern Geschwindigkeit in dem ganzen Gebiet,das mitbezogen werden solI, und durch das Mass der Interaktion zwischen Umgebung und Teilchen während ihren Bewegungen. Im Mittel filrviele Teilchen hangt das zusammen mi t der Lagrangeschen Autokorrelation. Im Prinzip kann die se Nachwi.kungr ausgedrückt werden mittels einer geeigneten Gedächtnisfunktion oder Relaxationsfunktion. Aber die Ermittlung einer solchen geeigneten Funktion bietet im allgemeinen eine bisher noch nicht überwundene Schwierigkeit.

Für ein Teilchen,das elne Zeit t unterweg ist und elne Distanz Yk zurilckgelegthat, gibt eine Reihenentwicklung von U1(to;t)

•

Wenn nur die erste Ableitung der mittlern Geschwindigkeit genügt, ergibt die

Beziehung

(4)

mit

(6)

[Q2kJL= u2(to)~(to-t) ist die Lagrangesche Autokorrelation. E2k ist elne Wirbelviskosität, welche noch verschiedene Werte haben kann für die verschie -denen Richtungen xk'

Für t+oo,erhält man die Beziehung von Boussinesq, nur.mit verschiedenen, möglichen Werten der Wirbelviskosität Ë2k. Die Beziehung ist nicht objektiv. Da die Beziehung nur die erste Geschwindigkeitsableitung enthält, scheint es, alsob die Wirkung lokaler Art sei. Aber man hat zu beachten, dass die Er -scheinung der Lagrangeschen Autokorrelation auf einen Einfluss der Vorge -schichte deutet. Dieser Einfluss ist schön illustriert worden von Philip 5 Er denkt sich die Geschwindigkeit eines Teilchens in jedem Zeitpunkt aus zwel Teilen zu bestehen. Der erste Teil ist das, was das Teilchen sich noch erin -nert von seiner Geschwindigkeit u(o) im Zeitpunkt t

=

0,der zweite Teil be

-steht aus den Impulsbeitrag durch Austausch mit seinermomentanen Umgebung

u(t) = u(o) RL(t) + u~(t).

4i'

RL(t) ist der Lagrangesche Autokorrelationskoeffizient, und beschreibt den

Einfluss der Vergangenheit.

Für eine stationäre, homogene Turbulenz soll ~(t)

=

~(o)

=

konstant seln. Philip nennt den ersten Teil ut(t) = u(o) RL(t) die Triebgeschwindigkeit. Für sehr grosse Zeiten wird die Erinnerung der ursprünglichen Geschwindigkeit verschwindend klein.

In den einfachen Beziehung

(6)

wird angenommen, dass der Geschwindigkeits -gradient genügend konstant ist ln dem Gebiet das durch ein Teilchen während der Gedächtniszeit durchlaufen wird. In den meisten turbulenten Strömungen

von Interesse ist das jedoch nicht der Fall. Kürzlich hat Corrsin

6

eine

kritische Untersuchung gemacht von den Bedingungen, welche erfüllt sein Rüssen, damit die Annahme einer turbulenten Diffusion des Gradienttypus gemacht werden

darf. Es stellt sich heraus, dass von den verschiedenen Bedingungen die

wichtigste ist: der Längenrnassstab des Transportmechanismuses soll klein seln

gegenüber den Abstand worüber die KrÜIDmung von 3Ü1/3x2, das ist

a

3

u

1/ax23

sich erheblich ändert. Corrsin betrachtete dabei einen eindimensionalen

Diffusionsprozess in der x2-RichtungundeinenMechanismus des Transportes welcher

symmetrisch im Raum ist,so dass in einer Reihenentwicklung wie Gl. (5) das

Glied mit der zweiten Ableitung fehlt. Erfahrungsgemäss ist der Fehler mit der Annahme elner Diffusion des Gradienttypus nicht grosso Das kommt, weil in den meisten Fällen man wesentlich mit einer eindimensionalen Diffusion zu tun hat.

In den hier betrachteten Fällen des dreidimensionalen Transportes soll man beim Fehlen der Annahme einer Diffusion des Gradienttypus als zweiter Näherung

in der Reihmentwicklung

(

6

)

die Glieder mit der zweiten Ableitung mitbetrachten.

Wenn man das nicht tut, kann man örtlich in der Verteilung der mittlern Ge

-schwindigkeiteinen nichtrvernachlässigbarenFehler machen. Schon Prandtl 7 hat

darauf hingewiesenfn ei'ne.rModifikation seiner Mischungsweg-theorie in der

Umgebung der maximalen Geschwindigkeit eines Freistrahles, wo die erste Ge -schwind.igkeitableitung verschwindet. In dieser Modifikation hat er einen tistischen Mittelwert der ersten und zweiten Ableitung v orgeschLagen.

Aus Messungen i-neïner Zylindernachlaufströmung von der turbulent en

Diffusion der kinetischen Energie der drei turbulenten Geschwindigkeitkompo

-8

nenten, hat Townsend erschlossen, dass es Stellenin der Nachlaufströmung gibt, wo die Diffusion entgegen dem Gradienten stattfindet und Zwar in der

Nähe des Maximums der Energieverteilung der Turbulenz in einem Querschnitt der Nachlaufströmung.

Bekannt ist auch, dass ln der Umgebung elnes Maximums der mittlern Ge -schwindigkeit in Fällen nicht-symmetrischerStrömungen, die turbulente

Schubspannung und der Gradient der mittlern Geschwindigkeit entgegengesetzte Vorzeichen haben können, was als eine "negative Energieprocluktion"der

.. 9 10 11 12 13

Turbulenz lnterpretlert werden kann ' , , , .

Dle von· B·eguler12,Hlnze. 14,Esklnazl. .15 und welt. eren Forschern vorgeschlagene Erklärungen beruhen alle auf einem nicht-vernachlässigbaren Einfluss von grossen Wirbeln, mit einem Gedächtniseffekt der mindestens die Berücksich -tigung der zweiten Ableitung der mittlern Geschwindigkeit fordert.

Offenbar darf man die turbulente Schubspannung, oder mehr allgemein, die

Reynoldssche S~annungen nicht als eine örtliche Eigenschaft der Strömung be

-. . 16 . .

trachten. PhiL'Ii.ps hat deshalb vorgeschlagen, nich'tdie ReynoldsIsche

Spannung, sondern der Gradient dieser Spannung als örtliche Eigenschaft zu

betrachten.

•

quer zur Hauptströmung. Aber es gibt auch Fälle,wo die Aenderung dieses

Gradienten in der Hauptströmungsrichtung relativ sehr schnell ändert, mit einem Zeit- oder Längenmassstab nicht mehr gross relativ ZUID Massstab der grossen, energiereichen, Wirbeln. Die Turbulenz ist dann in dieser Hinsicht

nicht "angepasst" zu, oder "im Gleichgewicht" mit den lokalen Umstände der Strömung.

DeissIer '7 hat, in einer Untersuchung von Grenzschichten die sich in der Hauptströmungsrichtung räumlich schnell ändern, gezeigt, dass die Reynolds'sche Spannung annäherend konstant bleibt auf einer Stromlinie, und gleichgestellt werden darf an de Anfangswert. In diesen,notwendigerweise, kurzen Grenz

-schichten streckt sich der Gedächtnisabstand über die ganze betrachtete Länge der Grenzschicht aus.

Andere Beispiele wo Gedächtniseffekte derselben Art als gerade erwähnt festgestellt sind, sind die Nachlaufströmung einer Halbkugel in einer

turbulenten Grenzschicht, und die Nachlaufströmung auf kurzen Abstand hinter einem Zylinder. Diese zwei Fälle werden hier weiter unten im Einzelnen näher besprochen.

Die Gedächtniseffekte können in Rechnung gebracht werden, wenn man in der Beziehung

(4)

die Reihenentwicklung von

U

1 gemäss Gl.(5) weiter fortsetzt, und erste und höhere Ableitungen von

a

u

1/axk mit betrachtet. Die Beziehung

(4)

ergibt dann

t_-u2u,

=

f

dt'[u2(to)~(to-t') o

In den meisten Fällen genügt es, als zweite· Näherung ln einer Reihenentwick

-lung,nur auch die Glieder mit der zweiten Ableitung zu berücksichtigen. In analoger Weise wie für die Beziehung (6) finden wir aus Gl.(7)

au,

=

é2k(t)

aX

k

a

u

,

=

e

2k(t)

a~

1 - 2 t

f

dt' o 1 - 2

Das letzte Glied ist elne Näherung auf Grund der Annahme, dass das Integral einer Tripel Korrelation geschrieben werden kann als das Produkt einer geeignete Länge L~(t) und eine Wirbelviskosität. Eine weitere gemachte Annäherung ist, dass elne skalare Wirbelviskosität für E2k und E~k genügen solI, weil ausserdem t+oo angenommen wird.

( 8)

Diese Gleichung lässt sich verallgemeinen zu elner Beziehung für -u.u. ,

J l

und zwar einer Beziehung welche symmetrisch ist ln J und i. Weil für eln ln -kompressibles Medium

a

u.

/a

x.

= 0, schreiben Wlr, damit die Beziehung für U.u.

l l J l kein Widerspruch in sich schliesst u.u. -J l

î

\

6.. P Jl + 2[fm DJl.. 1 - 2 (9 )

Die zweite Geschwindigkeitsableitung ln Gl.

(8)

und Gl.(9) kann elne nich

t-lokale Wirkung bedeuten, abhängig davon wodurch der Längenmassstab Lt bestimmt wird. Quer zu einer Hauptströmungsrichtung bedeutet das Mitbetrachten dieses

Glied elne nicht-lokale Wirkung. In der Hauptströmungsrichtung aber, kann Lt

durch die grosse Konvektionsgeschwindigkeit ziemlich gross werden, weil doch die Wirkung mehr lokal sein kann.

Man kann auch den Einfluss elner räumlichenAenderung von D .. auf den Impuls

-Jl austausch in Rechnung bringen mit einer Gedächtnisfunktion.

Statt Gl.(9) betrachten Wlr dann u.u. J l

Ï

\

- 6.. + P Jl co (10)

Die, normiert gedachte, Gedächtnisfunktion G(t) klingt bis Null ab für grosse

Zeiten. Sie ist karakteristisch für die betrachtete turbulente Strömung. Die

Gl. (10) deutet im Wesen auf eine lokale Wirkung. Wir haben aber schon darauf hingewiesen,dass für den Impulsaustausch relativ grosse Flüssigkeitballen eine Rolle spielen. Wenn

D

.

.

im Gebiet der Grössenordnung dieser Ballen merkbar

Jl

variiert, ist die Wirkung nicht lokaler Art. Eine Beschreibung nach Gl.(10)

kann doch möglich sein, wenn der Austausch statt findet alsob die Wirkung

lokal ist.

Die Beziehung (10) ist ähnlich der einer visko-elastischen Flüssigkeit.

Crow18 hat eine solche Beziehung vorgeschlagen für die Beschreibung der Eigenschaften des Feinstrukturs einer turbulent en Strömung.

2. Theorie.

Hier wollen Wlr die Beziehungen

(

9

)

und (10) nàner betrachten. Von Interesse für die, auch experimentell, untersuchten Fälle ist die Schub

-spannung pro Masseneinheit (-~), weil diese Fälle fast-eindimensionalen J l

Strömungen mit ausgeprägter Hauptströmungsriehtung sind. Die mittlere

Strömung ist zwei-aimensional mit dem Geschwindigkeitkomponenten Ü1 in der

Hauptströmungsrichtung xl' und Ü2 in der Richtung x2 quer darauf. Dabei ist

U1 » Ü2. Die Strömung ist im Mittel unabhängig von der x3-Richtung. Als zweite Näherung wiYd angenommen, dass der Gedächtniseffekt von

aü1/ax2, das heisst der Einfluss von einer ~elativ schnellen Aenderung von aü1/ax2, in der Hauptströmungsrichtung genügt. Gemäss Gl.(9) ist

( 1 1) wo Al

=

~

11, Analog ergibt Gl.(10): - u2u1 (t)

=

r

o

dt' fm(t' ) o élÜ1 (t-t '). G (t') élx2 ( 12)

Der letzte Ausdruck ist allgemeiner als Gl.( 11). Die Bedeutung dieser

Beziehungen ist, dass man sieh die Schubspannung aus zwei Teile aufgebaut

denken darf, nämlich

Der erste Teil (-u u1) ist die Schubspannung welche auftreten würde, wenn 2 g

sie ganz durch den "lokalen" Zustand der Strömung bestimmt sein würde.

Hier braucht "lokal" nicht notwendig auf ein kleines Gebiet zu deuten.

Dieser Teil ist sozusagen in Gleichgewicht mit dem lokalen Zustand. Sie

darf z.B. gleich der Schubspannung nach der Boussinesq'schen Beziehung

~m élÜ1/ax2 gesetzt werden, wenn das Gedächtnis beschränkt bleibt auf einem

Gebiet worin aÜ1/élx2 praktisch konstant ist.

Der zweite Teil (- u2ul)eist ein Extra-Beitrag, was eln Flüssigkeits

-ballen beim Austauschprozess sich extra erinnert von dem Einfluss elnes

nicht-konstant sein von élÜ1/ax2 im betrachteten Gedächtnisgebiet.

Meistens ist die relative Intensität der Turbulenz nicht gross, so dass

annäherend die von Taylor gemachte Hypothese einer eingefrorenen Turbulenz

angenommen werden darf: xl ~ Ü1t. Die Gl.(12) kann dann auch in einer

Eulerschen Beschreibung gegeben werden

aÜ1

dx1' f!:m(x')

_a

_X

(x1') G(x1-x1')

2 (13)

00

Dîeser Ausdruck errt.hä.l t die Beiträge (-u2u1)g und (-u2u1)e. Wenn

E

aü fax ~ konstant lSt im Gebiet wo G(x1-x1') > 0 ist, bekommt man mit

m 1 2

(X1

I

dx' G(x -x ')

=

1 die Bousslnesq'sche Beziehung, und ist (-~)

=

0

) 1 11 21e

_

00'-Wie erwähnt, impliziert GI.(13) lm Wesen eine lokale Wirkung. Diese Beziehung wird im Folgenden mit Erfolg angewendet auf einige turbulente Strömungen. In diesen Fällen ist es offenbar erlaubt anzunehmen, alsob der Austausch von Impuls lokaler Art lSt, aber mït einem Gedächtnis.

Es liegt auf der Hand die Gedächtnisfunktion mit elner Lagrangesenen Autokorrelation zu verknüpfen. ObvohI grundsätzlich eine Langrangesene Autokorrelation nicht gleich eïner elnfachen Exponentialfunktion lst,_wird manchmal der einfachen Berechnungsmöglichkeit wegen, eine solche Annahme gemacht, und dann mit befriedigendem Erfolg. Wir werden auch hier für die Gedächtnisfunktion dieselbe Annahme machen. Also in der normierten Form

G(x1-x1 ,)

=

T expo(_ ]\1

,

-x -x· 1 1) ]\1 ( 14)

]\1ist dann elne effektive Gedächtnislänge. Mit diesem Ausdruck für G wird GI.(13)

(x, ) I x -1

f

1

au

1 = - dx' E (x ') --]\1 1 m 1 dx2 _00 x1-x1 ' (x 1') exp.(- ]\ ) 1 (15)

Man darf nun, wegen der Exponentialfunktion, der Ausdruck (15) als elne Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung auffassen, verträglich mit dem oben betrachteten Relaxationsprozess19.

Diese Differentialgleichung lautet

f

m (16)

Bisher haben Wlr die Länge

A

1 als unabhängig von x1 angenommen. Die experl -mentelle Untersuchungen aber haben erwiesen, dass

A1

über Abstände gleich

ihrer Länge noch merkbar ändert. Die GI. (16) lässt sich in dem Sinne er -weiteren, dass

A

1 noch eine Funktion von x1 sein kann. Die Lösung ist dann

Xl d '

-

r

xl (Xl)

= -

u2u1 (x10) expo[-) Al(xl')] + ( X1

a

Ü1 -. 0 1

IX

1

=

.

'

E (xl') -~- (xl')~( ') exp,[ -) m OX2 Hl Xl x10 -.'

Die Integrale in den Exponentialausdrücken lassen sich noch ausarbeiten, dx "

1 ]

fl.1(x1") ( 17)

wenn wir fÜY Al eine Potenz-Funktion annehmen

(18)

Die Lösung (17) fÜY n

=

wird dann

a T a xl

I

=.

'

X10 aÜ1 Em(Xî')

a

X

2 (x1,)·x1,a (19) FÜY n

#

1 bekommt man

Xl

f

=.

'

x10

Eine Gleichung fÜY das Gli~d a~l (- u2u1) welche in Gl.(16) auftritt, findet man auch aus der dynamlschen Gleichung fÜY die Reynolds'sche Spannung,

.. Li h20 nam lC l-n T xl exp.[- ---;-..----;-)] a a(l-n' (20) +

Das zweite Glied auf der rechten Seite ist meistens vernachlässigbar klein. Wenn man von Zähigkeitseinflüssen absieht, reduziert sich die Gleichung auf

a aijl

U1 (- u2U'I)~ ~ -

-aX1 2 aX2

FÜY das Druckglied hat Rotta 21 folgende Verbindung mit der Schubspannung vorgeschlagen n

aU

2

aU

1 .t:. (_ +_) P ax ax 1 2 1 1

~

'/2

--

)'/2

worin :

s

'

= (q) = (u.u. ; L ein Längenmassstab der Grösse eines

l l

Integrallängenmassstabes; und A eine numerische Konstante ist.

Also

a~1 (

-

u2u,)

~

-u2

au,

_.

-

---

_{(2' )}

List, Wle gesagt, von der Grösse des Integrallängenmassstabes. Wählen Wlr dafür Alf' der axiale Integrallängenmassstab und setzen L

=

konst. Alf'

U

U

_ - "1.' __ ,_. _ _,_ - ,_ (-2\,

/2

.

-U.-.I'L- ,H.L-konst. ,A'fmltu - u J ,

I

u

,

I

u,

Weiter stellen Wlr

A,

j'L lst der Lagrangesche Integralzeitmassstab,

A

der Lagrangesche

A

'

,

'L

,

Integrallängenmassstab. Wenn nun - ~ = konst. ~ erhält man aus GI.(2')

LÜ u,' A,' die Gl.

('6)

,

wenn konst.

q

'/

U,

'

=

,~

Weiter solI dann geIten u22 A,/Ü,

=

u22

0

'

L

=

&m

j

'L/j

2L' die Lagrangesche

Lnt.egr-e.Lze.i tmaesst.êbe

J'L

oe :::J2L, was nur r.ne.in em isotropen Zustand der

Turbulenz der Fall ist, und nur in grober Annäherung in elner nicht-isotropen Turbulenz. Jedènfalls ist die Relaxationsgleichung

(

'6)

nicht unverträglich mit der dynamischen Gleichung für die Schubspannung.

Wir haben hier die Absieht, Gedächtniseffekte in sich .in der Hauptströ

-mungsrichtung schn~ll ändernden Strömungen zu zeigen. Man darf nun djp Frage stellen, ob in Strömungen die sieh in dieser Weise nicht schnell ändern doch ein Gedächtniseffekt anwesend sein kann. Naeh den Beziehungen

(,,) und

(

'6

)

sind die Gedäehtniseffekte zu vernachlüssigen, wenn

(22a)

oder,wenn

« - (22b)

Es gibt nun elne Klasse von Strömungen, wo diese Bedingungen nicht er

-füllt sind, und doch kein spürbarer Gedächtniseffekt zu zeigen ist. Das sind Strömungen,die eine sogenannte ähnlichkeitkonservierende Eigenschaft haben.

Aehnlichkeitkonservierende Strömungen. Hierunter verstehen Wlr Strömungen mit

---einer ausgespr-ochenen Hauptströmungsriehtung,deren Struktur vähr end der

Entwicklung oder des Abklingens in dieser Richtung ähnlich bleibt. Viele freie turbulente Strömungen, wie Freistrahlen und Nachlaufströmungen, zeigen in dem vollentwickelten Zustand eine solehe Aehnlichkeit. Es kann bequem seln,

einen Unterschied zu machen zwischen voLl.kommenel'und unvollkommener Aehnlich

-keit. Bei vollkommener Aehnlichkeit genügt ein Längenmassstab und ein Ge

-sChwindigkeitmassstab, um die damit reduzierte Geschwindigkeitsverteilungen ganz zUr Deckung zu bringen. Bei unvollkommener Aehnlichkeit braucht man mehr als einen Geschwindigkeitmassstab und/oder mehr als einen Längenmassstab.

Zur Feststellung der Möglichkeit einer ähnlichkeitkonservierenden Strömung set zen Wlr x U1

=

U(t)p f(n) o x U2

=

U(t)r g(n) o n - (23) x U2(_1 )s h(n) - u2_u1

=

L o x

E"~ = U LO(Ll)n k(n) mit n = q-p+s

o

Hier ist L elne charakterische Länge, U solch elne Geschwindigkeit.

o

Durch EinfÜhrung in den Reynolds'schen Gleichungen lässt sich zelgen, dass

vollkommene Aehnlichkeit nur besteht, wenn q = 1; P

=

r

=

s/2.

Mit den Beziehungen (23) folgt aus den dynamischen Gleichungen, dass eln ebener Freistrahl und ein rund er Freistrahl vollkownen ähnlich sein können,

wobei n

=

~

für den ebenen Fall, und n

=

0 für den runden Fall. Dagegen können

die ebene und die runde Nachlaufströmungen nur unvollkommen ähnlich sein, aber

ln beiden Fällenist n

=

0, also Gm unabhängig von Xl.

Wir müssen zum Studium eines Gedächtniseffektes in ähnlichkeitko:lservierende Strömungen auch für die Relaxationsgleichung (16) die Möglichkeit der Aehnlich

-keit feststellen. Dazu setzen wir noch

X

Al

=

L (_l)t ~(n)

o L

o

(24)

EinfÜhrung der Beziehungen (23) und (24) in Gl.(16) ergibt, dass für

Aehnlichkeit t

=

1 sein solI. Also der Gedächtnislängenmassstab soll sich

linear mit Xl ändern.

Für elne vollentwickelte ebene Nachlaufströmung ist s

=

_{1, q} i

=

2 und p = -~,

also n

=

o.

Hithin, wenn auch noch A1 0:: x1 seln würde, und die Bedingungen (22) nicht

erfüllt sind, lässt sich der anwesende Gedächtniseffekt nicht mehr in direkter

Weise zeigen. Das folgt aus Gl. (16) wobei man für diese ähnliche Strömung den

Einfluss des ersten Gliedes, durch eine scheinbar grössere ~ in Rechnung

m

bringen kann.

3. Experimentelle Untersuchungen.

Zwei verschiedene Strömungen mit ausgesprochenen Gedächtniseffekten werden betrachtet. Nämlich, Wle erwähnt, die Wiederherstellung einer stark gestörten Grenzschicht, und das Entwicklungsgebietder Nachlaufströmung

eines Zylinders.

~~~~~~~~

~

~!~~

~

~~~

-

~~~~~-~~~!~~!~~-~~~~~~~~~~~!

.

Die betrachtete Grenzschicht ist die entlang einer geraden Glasnlatte,

aufgestellt in der Symmetrie-Ebene eines Windkanals. Der Arbeitsteil des Windkanals hat eine Länge von 4,5 m und ein Querschnitt von 0,8xO,7 m2. Bei den Untersuchungen ist die Aussengeschwindigkeit der Grenzschicht konstant auf U

=

10,5 m/s gehalten. Eine Halbkugel von 40 mm Durchmesser

o

Ïst mit der flachen Unterseite festgeklebt auf der Glasplatte mit dem Mittelpunkt der Grundfläche auf 3,65 m Abstand von der Vorderseite der Glasplatte. In der Stelle der Halbkugel ist die Dicke der turbulenten Grenzschicht ungefähr 50 mmo Die Halbkugel ist also ganz untergetaucht ln der Grenzschicht. Die drei-dimensionaleNach.Laufstr êmung der Halbkugel gibt eine erhebliche Störung der Grenzschichtströmung, wie Abl. 3 zeigt.

Die Geschwindigkeitsmessungen sind ausgeÏührt worden mit einem Hitz

-drahtanemometer nach der Konstante-Temperatur Methode. Als Hitzdraht wurde Wolfram Draht von 5 urn Durchmesser benutzt, überdeckt mit einem dünnen Schicht von Platin. Die Länge des sensitiven Teiles war in den meisten Fällen 2 mm, gelegentlich 1 mmo Der Abstand zwischen den Stützen war 10 mm ,

Gemessen sind: die drei Komponenten der mittlern Geschwindigkeit und der turbulenten Geschwindigkeit, die turbulente Schubspannungen, räumliche Geschwindigkeitskorrelationen und eindimensionale spektrale 'Jerteilungen der Energie der axialen Komponente der Turbulenz. Wandschubspannungen sind dort, wo es möglich war, gemessen mit einem Prestonrohr.

22 Ergebnisse dieser Untersuchungen sind schon eher veröffentlicht worden .

Hier werden einige der wichtigsten Ergebnisse wieder präsentiert, zusammen mit Ergebnissen der fortgesetzten Untersuchungen. Ausgangspunkt für die

Interpretation der Ergebnisse sind die Gleichungen (11) und (16). Hier ist angenommen, dass als zweiter Näherung nur die Aenderung von

aü

1

/a

x

2 in der Hauptströmungsrichtung (dass ist Al

a

2

ü

1

/a

x

1dx2 in Gl.(11)) betrachtet werden kann. Das ist also gemäss dem Gedanken, dass Flüssigkeitsteilchen, welche Beiträge liefern ZUID Impulsaustausch nur relativ kleine Querabstände

in der x2-,und x3-Richtung durchlaufen. Eine nähere Untersuchung hat aber ergeben, dass die vernachlässigten Glieder ln Gl.

(

8

)

eigentlich nicht ver-nachlässigbar klein sind. Jedoch, weil die einzelne Beiträge positive und

negative Werte haben, ergibt sich der Gesamtheitrag doch als klein.

Eine wesentliche Annahme hinsichtlich GI. (11) wird nun gemacht, nämlich dass die Wirbelviskositäten ~m und

Ern°

gleich sind und in der wichtigen

xl-Streche einen konstanten Wert haben.

Abbildung 4 zeigt Em als Funktion von x2/099, für xl

=

0,5 m und x3

=

0,02 m, erstens: berechnet nach der Boussinesq'schen Beziehung (erster

Näherung)

zweitens diesen Wert korrigiert für den Einfluss der intermittiertenden

Turbulenz in Aussengebiet der Grenzsch.icht.~(Em)B' mit Si als Intermittierun

gs-faktor, und drittens berechnet nach GI.(ll), auch korrigiert für Intermi

t-tierungseinflüsse. Weil keine eigene Messungen von Si vorhanden waren, lst

23.. ..

angenommen, dass Werte nach Messungen von Klebanoff ln elner ungestorten

Grenzschicht annäherend auch für die gestörte Grenzschicht geIten. Es ergibt sich, dass die Verteilung von

Em

'

berechnet nach GI.(11), im Gegensatz zu (~m)B' der Verteilung einer ungestörten Grenzschicht ähnlich ist. Das wird gezeigt in Abb. 5, wo ausserdem die Verteilungen der dimensionlosen Grösse

ém/u~:o99gegeben sind f'ür Xl

=

0,25 m , x3

=

0,02 m; Xl

=

0,50 ID, x3

=

0,02 m der gestörten Grenzschicht und für dieselbe xl-Abstände, aber x3

= -

0,15 m

der ungestörten Grenzschicht; u::ist die Wandschubspannungsgeschwindigkeit.

Alle Werte sind korrigiert worden mit dem Intermittierungsfaktor Si. Das heisst, an GI.(11) ist gerechnet mit (-u2ul}/rt.. Die Länge Al ist berechnet nach

(25)

Der Wert 0,4 der Konstante ist ein Mittelwert von gemessenen S = AlL/Alf'

. .. . . 24 .. 25 f d· .

und stlmmt ubereln mlt von Saffman und Phlllp ge Uh ene theoretlsche

26 Werte. Weiter ist in Abb. 4 und Abb. 5 noch Alf ~ 0,4 099 gestellt .

Nach eigenmMessungen der eindimensionalen speldralen Energieverteilung von ul' das ist El(kl) (kl ist die Wellenzahl in der X1-Richtung), scheint ein Wert von 0,6 statt 0,4 eine bessere Abschätzung zu sein. Für u::ist der örtlich gemessene Wert der gestörten Grenzschicht genommen. Weil

ó2

U

l/óxlóx2 sich nicht konstant zeigte entlang einer Stecke gleich Al' ist ein gewogener Mittelwert vorausgesetzt.

Auch steIlte sich heraus, dass Al nicht konstant ist entlang elner

Strecke gleich Al' was laut GI.(25) zu erwarten war. Deshalb ist die GI.(16)

[oder Gl.(20)Jmehr geeignet, wenn man eln variabeles 11.1 in Rechnung bringen will. Aus Messungen von Ul, U1I und Alf folgt die Beziehung

K 0,1

"r =-

0,21 xl (26)

(Al und x1 rn m).

Weil das Ergebnis der Berechnungen mit verschiedenen Beziehungen für /1.1 s ich als wenig empfindlich für Aenderungen dieser Beziehung gezeigt hat, kann man

mit obiger Näherungsbeziehung rechnen.

Die Lösung von Gl.(16) mït Al gemäss Gl.(26) ist gegeben durch Gl.(20)

-- 2 2

mit a = 0,21 und n = 0,1. Weiter ist ln Gl.(20) x10=0 und -u2u1(0)= 0,101m

I

s

.

Die Berechnung ïst ausgeführt worden entlang einer Linie x2 = 0,02 m, x3 = 0

(Symmetrie-Ebene). Eigentlich sollte die Berechnung ausgeführt werden entlang einer St.rora'Liniec. Weil aber der Unterschied zwischen einerStromlinie und einer

Linie x2 = konstant nur klein lst wurde doch,_bequemlichkei tshalber, die Rechnung mit x2 = konstant durchgeführt. Nach Abb, 5 ist t:m/u::ó99 unabhäng ig

von x1. In Gl.(20) sollte man für Em den variabelen Wert von u::Ó99einsetzen.

Es stellte sich aber heraus, dass für 0,1 m < x1 < 0,6 m, u::ó

99

und demnach

é~ sich nur wenig ändert, ungefähr gemäss t=mex xl0,15 Wieder bequemlichhei ts

-halber, ist für die Berechnungnach Gl.(20) ein konstanter Mittelwert

L

4

-

4

2

ç = 1 2 x 10 m

Is

eingesetzt worden. Abbildung 6 zeigt das Ergebnis der

m '

Berechnung von (- u2u1) zusammen mit den gemessenen Werten. Auch ist (- u2u1) berechnet nach Boussinesq, mit den lokalen Wert (Em)B

=

0

,

065

u::ó

9

9

.

Obwohl die berechnete Schubspannung (- u2u1) nach Gl.(20) noch etwas kleiner ist als die gemessene Schubspannung, ist doch die Verbesserung im Vergleich mit der Berechnung nach Boussinesq erheblich; Die mit dem lokalen Geschwindigkeitsgradient

aÜ1/

a

x2

berechnete Schubspannung ist viel zu klein,

besonders im ersten Gebiet der Nachlaufströmung der Halbkugel. Für groS'se xl'

wo die gestörte Grenzschicht sich fast wiederhergestellt hat, näheren sich die beide berechneten Schubspannungen dem gemessenen Wert.

Man darf die Frage stellen, ob in der ungestörten Grenzschicht nicht doch Gedächtniseffekte im hier betrachteten Sinne anwesend sind. Die Beziehung

(26) genÜgt nicht die Bedingung (24) mit t=1 fÜT die Aehnlichkeit.Gedächtnis -effekte müssen deshalb vernachlässigbar klein sein urn nicht spürbar zu sein.

Das heisst, die Bedingungen (22) sollen erfüllt sein. Mit 11.1' errechnet nach Gl.(25), findet man für die ungestörte Grenzschicht

so dass die Bedingung (22b) sicher erfüllt ist.

~i~

_

~~~i~~~~~~~~~~~~~!

Die Untersuchung ist ausgeführt worden in elnem

~

~~~~~

·

ähnlichen Windkanal wie oben genannt. Messungen sind gemacht worden mit

Zylindern verschiedener Durchmesser. Hier werden nur die Ergebnisse betrachtet, erhalten mit einem Zylinder, mit D

=

0,04 m. Mit der Geschwindigkeit der un

-gestörten Windkanalströmung von U

=

10,5 m/s~ ist die Reynolds'sche Zahl

o

ReD =

UoDlv

=

26000.

Schon die "klassischen"Untersuchungen von Townsend8 in ein er Zylindernach

-laufströmung (mit ReD

=

1360) hatten gezeigt, dass eine Aehnlichkeit-konser -vierung der mittlern Strömungsgeschwindigkeit nicht eher auftritt als

x1/D '" 70 bis 100,weil für die Turbulenz noch viel grössere relative Ab

-stände stromabwärts erforderlich sind. Die hier gemachten Untersuchungen be

-ziehen sich auf dem Gebiet 2 < x,lD < 150, wobei vornehmlich das Gebiet 20 < x1/D_< 50 von Interesse ist für die beabsichteten Gedächtniseffekte.

Für x1/D < 20 sind, abhängig von der Reynolds'sche Zahl~ Einflüsse mehr oder weniger diskreter Kármán-Wirbeln merkbar,

Mit eiriem, oben beschriebenen, Hitzdrahtanemometer sind gemessen die mitt

-leren Geschwindigkeitskomponenten

Ü

1 und

Ü

2, die Turbulenzintensitäten und u2f, die Schubspannung (-u2u1) und spektrale Verteilungen von u1.

u₁'

Mit den gemessenen Werten von

Ü

1' Al(xl,x2) berechnet.

Für x2

=

konstant ergibt es Al

=

komst. xl' also elne lineare Abhängigkeit von xl' Die Wirbelviskosität Em ist für den Querschnitt xl = 22,5 D ausgerech

-net als Funktion von x/(x2)99' Hier ist (x2)99 der laterale Abstand, wo der Geschwindigkeitsunterschied mit der rreien Strömung ein Prozent von dem

u·'

1 und den spektralen Verteilungen ist

• örtlichen maxim alen Geschwindigkeitsunterschied ist. Die Berechnung ist nur für das Innengebiet ausgeführt, wo die Turbulenz noch praktisch keine Inte r-mittierung zeigt. Abbildung 7 zeigt €

Iu

D nach Boussinesq, nach Gl.(11) mit

. m 0

~

=

~

0, und nach Gl. (16). Der Gleichgewichtswert für grössere xl' wo die

m m

~tr~mung vollentwickelt ist, ist gleich 0,018. Deutlich ist ein Gedächtnis

-effekt erkennbar.Die nach Gl. (11) und Gl. (16) errechnete Werte sind fast gleich diesem Gleichgewichtswert. Dieser Wert ist etwas höher als 0,0164,

1h W t f 1t d M T d20. t R _-1360

we c er er 0 g aus em essungen von ownserid ma

"n

.

Der Verlauf von E

Iu

D in axialer Richtung ist berechnet nach Gl.(îl),

m 0

entlang einer Linie x2/D = 15. Diese Linie geht durch den Punkt lm Querschnitt xl

=

18D, wo die Schubspannung ein Maximum hat. In Gl. (î1) ist Al berechnet nach G1. (25), wobei für x2

=

1,5D nach den Spektralmessungen ti.1f = 0,5 bis 0,6

lineare Beziehung. Entlang der Linie x2 = 1,5 D ist der lntermittierungsfaktor

~ ~ 1. Abbildung 8 zeigt 6 /U D berechnet nach Boussinesq, und nach Gl.(ll).

m 0

Nach x1/D ~ 20 ist der nach dieser Gleichung berechnete Wert praktisch kon

-stant, und gleich dem Gleichgewichtswert 0,018.

Entlang derselben Linie x2

=

1,5 D ist noch der Gedächtniseffekt nach Gl.(19) untersucht worden. Hier ist, gemäss Abb. 8, €

=

konstant entlang

m

dieser Linie. lm Punkt x10 =

°

ist - u2u1(0) = 0 angenommen. Das Ergebnis der Berechnung mit é

=

0,018 U D

=

0,0076 m2/s und a

=

0,3 wird g~zeigt in

m 0

Abb. 9, zusammen mit (- u2u1)berechnet nach Boussinesq mit demselben Wert von

ém. Dieser Abbildung zeigt auch (- u2u1) berechnet nach Gl.(11), und den ge

-messenen Verlauf von (- u2u,).

Die lineare ~eziehung Al ~ 0,3 x2 kann nur elne Näherung seln. Tatsächlich

soll Al schwach parabolisch mit x, zunehmen urn erst im vollentwickelten Gleich

-gewichtsgebiet, wo Aehnlichkeit herrscht, linear mit Xl zu ändern. Nach Gl.(25) ist A, cr A'f Uo/u,', weil für sehr grosse xl/D,

Ü, ~

Uo ist. lm

Aehnlichkeitsgebiet ist A'f cr (~,D)1/2und u,'/Uo cr (D/X1)1/2, also A, cr x,.

Aus dem ~\essungen von Townsend ist l\, ~ 0,26 Xl zu berechnen.

Mit einer linearen Beziehung für A, kann die Gl.(16) die Aehnlichkeitsb e-dingungen erfüllen. Für die ähnlichkeitskonservierende Nachlaufströmung hat man

folgende Werte für die Exponenten in der Beziehung (23): p

= -

~

,

q

=

~

und s

= -

"

also n

=

0, weshalb Em nicht von Xl abhängt. Wie eher erwähnt, ist dann ein Gedächtniseffekt nicht direkt spürbar. Man soll dafür die Grösse der Glieder in Gl.(,6) gegen einander abwägen. Eine rohe Abschätzung auf

Grund der Messungen von Townsend ergibt

0,2 bis 0,3 ,

•

also sicher nicht klein. Es ist deshalb möglich, dass der betrachtete Gedächt

-niseffekt anwesend ist in der ganzen Nachlaufströmung, aber wegen der Aehn

-lichkeit der Strömung nicht direkt spürbar ist. Dann kann eine theoretische

Lösung mit der Beziehung von Boussinesq für die Schubspahnung und eln ange

4

.

Nachbetrachtungen.

Die obige theoretische Betrachtungen, unterstützt von experimentellen Ergebnissen,haben deutlich gezeigt, dass die Extra-Gedächtniseffekte eine wesentliche Rolle spielen können ln der Turbulenz. Besonders wenn man zu

tun hat mit Strömungen, die sich ln der Strömungsrichtung relativ schnell ändern, so dass die Turbulenz noch keine Gelegenheit hat sich völlig anzupassen an den lokalen Zustand der mittlern Strömung. Man kann sich dann z.B. die Reynolds'sche Spannungen aus zwei Teilen bestehend denken.

Der eine Teil ist praktisch "lokaler" Art und ist bestimmt durch den

lokalen Strömungszustand, der zweite Teil ist eln Extra-Beitrag von der

Vorgeschichte, ist also ein Extra-Gedächtniseffekt wegen eine relativ

schnelle Aenderung der Strömungszustand. In vollentwickeltenturbulenten

Strömungen, welche praktisch in Gleichgewicht sind, können diese Extra

-Gedächtniseffekte auch noch anwesend sein. Wenn die Strömung ähnlichkeit

-konservierend ist, sind diese Gedächtniseffekte aber nicht direkt spürbar.

Die obige Untersuchungen lassen vermuten, dass in ähnlichkeitkonservjerenden

Nachlaufströmungen die Gedächtniseffekte immer anwesend sind, weil ln elner

vollentwickelten, turbulenten, Wandströmung wie e:Î.neGrenzschicht, diese

Effekte vernachlässigbar klein sind.

Wenn man Beziehungen lokaler Art, wie die Boussinesq'sche Beziehung als eine erste Näherung betrachtet, sind die obige Erweiterungen nicht mehr als eine zweite Näherung. Das solI hier speziell nochmals betont werden.

•

Wie erwähnt, kann man direkt spürbare Gedächtniseffekte erwarten in dem Entwicklungsgebiet einer turbulenten Strömung. Nicht nur, ,:'iegezeigt, an einer Nachlaufströmung, aber auch in einem Freistrahl. Eine Untersuchung

wird noch gemacht von Gedächtniseffekten im Entwicklungsgebiet einer

Gitterströmung. Wie bekannt ist die Turbulenz der vollständig entvickelten Gitterströmung axial-symmetrisch mit u12 > u22

=

u32. Wenn man diese

Grössenals Normalspannungen interpretiert, ist die Normalspannung ln axialer

Richtung ~ grösser als die Normalspannungen in Querrichtung. In Flächen welche einen Winkel

n/4

aufweisen mit der axialen Richtung solI dann eine

maximale Schubspannung existieren. Das ist nichtverträglich mit einer Absenz _{eines Gradientes der mittlern Geschwindigkeit, wenn man eine}

einfache Schubspannung-Deformationsgeschwindigkeit Beziehung annimmt. Im dem Entwicklungsgebiet ist die mittlere Strömung und die Turbulenz noch nicht homogen. Gedächtniseffekte können dann die obenerwähnte Anomalie hervorrufen, welche unbeschränkt stromabwärts bestehen kann, wenn

auch die Gedächtniseffekte erhalten bleiben.

Eine unsichere Sache zur Bestimmung quantitatiever Gedächtniseffekte bleibt immer noch unsere unvollständige Kenntnis der Relaxationszeit ader der Gedächtnisfunktion, beziehungsweise der Lagrangeschen Autokorrelation.

Die Beziehung (25) ist nicht mehr als eine

Abschätzung. Auch die Bestimmung der axialen Ableitung van dU1/dX2 in Gl.(11), und van __d_ (-u u1)in Gl. (16) kann nur ziemlich ungenau ausge

-dX 2

führt werden. Die giosse Streuung der Punkte, wie z.B. in Abbildungen

5

und 7, ist grössenteils darauf zurückzuführen. In dieser Hinsicht hat elne quantitatieve Bestimmung des Gedächtniseffektes mittels Gl. (17) welche eine Integration statt einer Differentation fordert, wesentliche Vorteile.

Die Betrachtungen sind hier beschränkt gehalten auf den turbulenten Austausch van Impuls. Selbstverständlich spielen auch im Austausch van anderen übertragbaren Grössen, wie Wärme und Stoff, solche Gedächtnis

-effekte eine RolIe.

•

Meinen Mitarbeiteren, Herren P.J.H. Builtjes und J.A. Amini, insbesandere dem erstgenannten, bin ich sehr dankbar, nicht nur für die Ausführung des experimentellen Teils der Untersuchung, sondern auch für die wertvolle Anregungen hinsichtlich der theoretischen Bearbeitungen.

Sehriftum.

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( 17) DeissIer, R.G.: J. Fluid Mech. , 64, 763 ( 1974)

(18) Crow, S.C.: J. Fluid Meeh., 33, 1 ( 1968) (19 ) Amini, J .A.: Persönliehe Mitteilung

•

(20) Hinze, J.O.: "Turbulenee", ch.4, MeGraw-Hill Book Co., New York, 1959 (21) Rotta, J.: Z.f. Physik, 129,547 (1951)

(22) Hinze, J.O., R.E. Sonnenberg u. P.J.H. Builtjes: Appl. Sei. Res. 29, 1 (1974)

(23) Klebanoff, P.S.: N.A.C.A. Teeh. Notes No. 3178, 1954 (24) Saffman, P.G.: Appl. Sei. Res., 11A, 245 (1963)

(25) Philip, J.R.: Phys. Fluids,

IQ

,

Suppl. 9, s.69 (1967)

(26) Antonia, R.A., u. R.E. Luxton: J. Fluid Meeh., 48, 721 (1971)

Formelzeichen.

D..=

~[

a

ü.

/

a

x

.

+

aü

.

/ax

.]

Jl J l l J

E, eindimensionale spektrale Energieverteilung

G Gedächtnisfunktion

k, Wellenzahl in der x,-Richtung

Längenmassstab

charakteristische Länge

T

P

t

=

~

P uiui Turbulenz-Druck

p turbulente Druckschwankung

[Q2k]L Lagrangesche Autokorrelation

I (-:2)'/2 _ (--)'/2

q

=

q - .uiui

Lagrangesche Autokorrelationskoeffizient

t U

ü.

l u. l Zeit

charakteristische Geschwïndïgkeit

x.-Komponente der mittlern Geschwindigkeit l

x.-Komponente der turbulenten Geschwindigkeitsschwankung

l

u,r-

=

(

~

)

'

/2 Intensität von u,

"

U" Wandschubspannungsgeschwindigkeit

Koordinat

zurückgelegte Strecke ln der x.-Richtung

l x. l y. l ó ó .. Jl €m 1\, 1\lf 1\'L \) Grenzschichtdicke Kronecker Delta

kinematische Wirbelviskosität Gedächtnislängenmassstab

axiale Integrallängenmassstab

Lagrangesche Integrallängenmassstab

kinematische Viskosität

Intermittierungsfaktor

Dichte

•

~u,

u*

I.

3

2

1

5(x,=0)= 23Smm

d

=

12"Smm

X

2

0-0

T=

0,,16

~

~=OS9

t..r-u

0

'

2

I.

6

8

10 12

11.

16

-="""""X_,_l ~

5

(x,=

0)

Abb

.

1. Abklingen einer Störung der mittlern

Geschwindigkeit in einer turbulenten Grenzschicht .

~(f)

~ 1

1Ö

2

1Ö

J

1Ö

4

e

e

ReLatieve Verengung

0,25

U1m~

U~/U2

V

I 1 -J

4,77

0 0

ohne Verengung 2,25 10

mit

Verengung

K

=

10

.

D

=

20

=

30

=

40

17,2 1Ö

J

3,0 1Ö

3

2,0 1Ö

3

1,8 1Ö

3

4,22

x x

4,30

0 0

4,54

I:l I:l

4,77 0 0

•

~

f

10

100

1000

f

•

•

Abb.3

NachLaufströmung

emer

HaLbkugeL

In

emer

20

U

o

=10

.

5 mis

0

99

=

61

mm

10

x

2/

0

/ (99

Abb

.

4

VerteiLingen van

(Em)s '

-&

(E

m

}s

und

E

m

nach

Gl.11.

x

,

=0,50 m ;

x,

=0,02m.

U

o

= 10.5 mfi;

• •

x,

=0.50 m'

X

3

=20 mm

Em

,

u·0

99 X X

x

,

=0

.

25

m

'

,

x

3

=20 mm

0 0

x

,

=0.25 m

.

'

,

x

3

=_0.15 m

0.1

_{[) [)}

_x

_,

₌₀

_.

₅₀

_m

_'

_,

_x

_,

_=-0.

₁

_{5 m}

10

X2/099

-~u,

~ S2

1,0

o

u,

=10,5

mis; x

2

= 0,02 m;

x

3

= 0

+ +

Gemessen

o

0

8erechnet

nach Boussinesq

Em

=

0,065

u·

699

0,5

~ fl

Berechnet

nach GL. 20 mit

-4

2

Em=<Em>=

11.,2 x10

m7s

'

o

o

0

0,1

q2

m

x,

Abb.6.

Gemessene und berechnete turbulente

Schubspannung

noch Boussinesq und nach Gl. 20

U

a

=10,5mIs

x

x

(Em}B/UoD

Em

_{0=0,04 m}

0

o

noch GL(11)

UaD

x,=

22,50

~ ~

nach Gl. (16)

0,03

x

x

x

x

x

•

x

Q02 0018

'1________

0

0

0

0

~

0

_fl

(lO1

6

6

o

0,1

q2

0,3

0,4

O,S

xo/{x)

299

Abb.7

Verteilung

in einer Zylindernachlaufströmung

von

Em

u,

=10,5mis

₀

UoO

_{D =(la4 m}

₀

0,03

x

2

₀

-=15

_D

_~

0

0

000

0

0,,02 0018

x x

_x

x

x

x

x

x

~

-

---

x

0,,01

_o

0

noch

Baussinesq

x

x

noch

GL.(11)

o

10

20

30

40

50

xVD

Abb.8

Verteilung van

Em/UoD in einer Zylindernochloufströmung

entlong

X2/0

=

1,,5.

-u

2

u,

Ua =

10,,5mis

mis

S2

D

=

0,04 m

x

2

= 1,,5D

0.,5

•

• Gemessen

0.,4

0

0

.

noch Gl. (19)

+

+ noch Gl. (11)

x

x

x

noch

Boussinesq

x

x

x

x

x

x

o

10

20

30

40

₅₀

~

_D