Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej III Marek Jarnicki

(1)

Uniwersytet Jagielloński

Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki

Wykłady

z Analizy Matematycznej III

Marek Jarnicki

(Wersja z 5 września 2010)

(2)

(3)

(4)

Rozdział 1. Wstęp . . . 1

1.1. Przestrzenie topologiczne . . . 1

1.2. Przestrzenie metryczne . . . 5

1.3. Funkcje półciągłe . . . 12

1.4. Przestrzenie unormowane I . . . 14

1.5. Rodziny sumowalne . . . 23

1.6. * Twierdzenie Lévy’ego–Steinitza . . . 29

1.7. Szeregi potęgowe . . . 33

1.8. Operator odwracania w algebrach Banacha . . . 33

1.9. Twierdzenie aproksymacyjne Stone’a–Weierstrassa . . . 35

Rozdział 2. Różniczkowanie odwzorowań . . . 41

2.1. Różniczkowanie odwzorowań zmiennej rzeczywistej o wartościach w przestrzeni unormowanej . . . 41

2.2. Wzór Taylora . . . 50

2.3. Szereg Taylora . . . 53

2.4. Funkcje analityczne . . . 54

2.5. Pochodne kierunkowe . . . 56

2.6. Różniczkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni unormowanej . . . 60

2.7. Druga pochodna . . . 68

2.8. Przestrzenie unormowane II . . . 73

2.9. Pochodne wyższych rzędów . . . 77

2.10. Wzór Taylora . . . 81

2.11. Szereg Taylora . . . 83

2.12. Ekstrema lokalne . . . 85

2.13. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym . . . . 87

2.14. Odwzorowania analityczne . . . 95

2.15. Twierdzenie o rzędzie . . . 98

2.16. Podrozmaitości . . . 100

2.17. Ekstrema warunkowe . . . 106

Rozdział 3. Całka Riemanna . . . 111

3.1. Całka Riemanna na kostce . . . 111

3.2. Całka Riemanna na zbiorze regularnym . . . 120

3.3. Własności całki Riemanna . . . 121

3.4. Całki krzywoliniowe. Wzór Greena . . . 124

Rozdział 4. Całka Lebesgue’a . . . 133

4.1. Repetytorium z teorii miary i całki . . . 133

4.2. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a . . . 144

4.3. Zasada Cavalieriego . . . 145

4.4. Twierdzenie Tonellego . . . 147

4.5. Twierdzenie Fubiniego . . . 148

4.6. Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Lebesgue’a . . . 149

4.7. Funkcje dane całką . . . 152

4.8. Splot . . . 154

iii

(5)

Spis treści

4.9. Regularyzacja . . . 157

4.10. Rozkład jedności . . . 158

4.11. Miara i całka Lebesgue’a na podrozmaitościach w Rⁿ . . . 160

Rozdział 5. Twierdzenie Stokesa . . . 163

5.1. Orientacja . . . 163

5.2. Formy różniczkowe . . . 168

5.3. Twierdzenie Stokesa . . . 180

Rozdział 6. Wybrane rozdziały analizy matematycznej . . . 189

6.1. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa . . . 189

6.2. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta . . . 192

6.3. Szeregi Fouriera. Kryteria zbieżności. Twierdzenie Fejéra . . . 193

6.4. Równość miary Hausdorffa i Lebesgue’a w Rⁿ . . . 200

6.5. Transformacja Fouriera . . . 205

Rozdział Oznaczenia . . . 211

Rozdział Literatura cytowana . . . 219

Rozdział Indeks nazwisk . . . 221

Rozdział Indeks . . . 223

(6)

Wstęp

Streszczenie. Pierwsze dwa podrozdziały będą poświęcone przypomnieniu podstawowych pojęć dotyczących przestrzeni topologicznych i metrycznych. Nie będzie to systematyczny wykład, ale raczej spis najważniejszych definicji, ozna- czeń i twierdzeń. Wszystkie cytowane wyniki można znaleźć np. w monografii [Eng 1968]. Odnotujmy, że prawie cały dalszy wykład można ograniczyć do przestrzeni unormowanych (czy też nawet przestrzeni Banacha). Z tego punktu widzenia nie ma potrzeby specjalnego koncentrowania się na ogólnych przestrzeniach metrycznych, czy też topologicznych. Z drugiej jednak strony Czytelnik powinien wyrabiać sobie od samego początku umiejętność dostrzegania istotnych elementów poznawa- nych twierdzeń, np. istotnych założeń. W szczególności, powinien rozróżniać własności topologiczne, metryczne, własności typowe dla przestrzeni unormowanych, czy też wreszcie własności typowe dla Rⁿ. W Podrozdziale 1.3 przedstawimy krótko najważniejsze własności funkcji półciągłych. Podrozdział ten ma dać Czytelnikowi pewien dystans w spojrzeniu na funkcje ciągłe — dystans pozwalający na rozróżnienie, które własności funkcji ciągłych są konsekwencjami ich półciągłości (z góry lub z dołu), a które wymagają istotnie ciągłości. Podrozdział 1.4 zawiera przypomnienie podstawowych własności ciągłych odwzorowań liniowych i dwuliniowych w przestrzeniach unormowanych. W szczególności, w podrozdziale tym usta- limy wiele oznaczeń istotnych dla zrozumienia dalszej części wykładu. Kolejny Podrozdział 1.5 jest poświęcony krótkiemu wprowadzeniu do teorii rodzin sumowalnych, będących naturalnym uogólnieniem pojęcia szeregu. Rozdział kończą: krót- kie Podrozdziały 1.7 i 1.8 przedstawiające odpowiednio szeregi potęgowe w przestrzeniach Banacha i własności operatora odwracania w algebrach Banacha (wyniki te zostaną wykorzystane w Podrozdziale 2.13) oraz Podrozdział 1.9, w których dowodzimy ważnego twierdzenia aproksymacyjnego Stone’a–Weierstrassa.

1.1. Przestrzenie topologiczne

Definicja 1.1.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X, T ), gdzie T ⊂ P (X) ¹ , nazywamy przestrzenią topologiczną, jeżeli:

• ∅, X ∈ T ,

• ∀_{N ∈N}: U1, . . . , UN ∈ T =⇒ U1∩ · · · ∩ UN ∈ T ² ₃

,

• ∀I : (Ui)i∈I⊂ T =⇒ S

i∈I

Ui∈ T .

Rodzinę T nazywamy topologią na X. Elementy rodziny T nazywamy zbiorami otwartymi.

Topologię T := {∅, X} nazywamy antydyskretną.

Topologię T := P (X) nazywamy dyskretną; w topologii dyskretnej każdy zbiór jest otwarty.

Z reguły będziemy pisać X zamiast (X, T ), o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką topologię chodzi;

w tej też sytuacji topologię przestrzeni X będziemy oznaczać top X.

Przykład 1.1.2. (a) Zbiór liczb rzeczywistych R, jako przestrzeń topologiczną, będziemy zawsze roz- ważać z topologią euklidesową

top R := {U ⊂ R : ∀^a∈U ∃r>0: (a − r, a + r) ⊂ U }.

(b) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R := {−∞} ∪ R ∪ {+∞} rozważamy z topologią

top R :=







U ⊂ R : ∀^a∈U







a = −∞ =⇒ ∃_r∈R : [−∞, r) ⊂ U a ∈ R =⇒ ∃_r>0: (a − r, a + r) ⊂ U a = +∞ =⇒ ∃_r∈R : (r, +∞] ⊂ U





 .

1.1.3 (Domkniętość). Mówimy, że zbiór F ⊂ X jest domknięty, jeżeli X \ F ∈ T . Rodzina F wszystkich zbiorów domkniętych ma następujące własności:

1 P (X) oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X.

2

N = zbiór liczb naturalnych, 0 6∈ N, N0:= N ∪ {0}, Nk:= {n ∈ N : n > k}.

3 Oczywiście, warunek ten wystarczy sprawdzić dla N = 2.

1

(7)

1. Wstęp

• ∅, X ∈ F ,

• ∀_{N ∈N}: F₁, . . . , F_N ∈ F =⇒ F1∪ · · · ∪ FN ∈ F ,

• ∀_I : (F_i)_i∈I ⊂ F =⇒ T

i∈I

F_i ∈ F .

1.1.4 (Wnętrze, domknięcie, brzeg). Dla A ⊂ X definiujemy:

◦

A = int A = int_XA := S

U ∈T , U ⊂A

U = wnętrze zbioru A;

A = cl A = clXA := T

F ∈F , A⊂F

F = domknięcie zbioru A;

∂A = ∂XA := A \

◦

A = brzeg zbioru A ⁴.

Odnotujmy, że:

• A ∈ T ⇐⇒ A = int A,

• A ∈ F ⇐⇒ A = A.

1.1.5 (Gęstość). JeżeliA = X, to mówimy, że A jest gęsty w X.

1.1.6 (Otoczenie punktu). Jeżeli a ∈ int A, to A nazywamy otoczeniem punktu a ⁵ . Zbiór wszystkich otoczeń punktu a będziemy czasem oznaczać przez U (a) = U_X(a).

1.1.7 (Aksjomaty oddzielania). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest:

T⁰, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieje zbiór otwarty, do którego należy tylko jeden z nich.

T1, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieje zbiór otwarty U taki, że a ∈ U , b /∈ U . T2(Hausdorffa ⁶), jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a ∈ U , b ∈ V .

T2¹₂ (Urysohna ⁷), jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieją rozłączne zbiory do- mknięte U, V takie, że a ∈ int U , b ∈ int V .

T3 (regularna), jeżeli X ∈ T¹ oraz dla dowolnego punktu a ∈ X i zbioru domkniętego B takiego, że a /∈ B, istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a ∈ U , B ⊂ V .

T3¹₂ (Tichonowa ⁸), jeżeli X ∈ T1 oraz dla dowolnego punktu a ∈ X i zbioru domkniętego B takiego, że a /∈ B, istnieje funkcja ciągła f : X −→ [0, 1] (zob. (1.1.13)) taka, że f (a) = 0 oraz f = 1 na B.

T4 (normalna), jeżeli X ∈ T¹ oraz dla dowolnych rozłącznych zbiorów domkniętych A, B istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że A ⊂ U , B ⊂ V .

Wiadomo, że T^j Ti dla i < j.

1.1.8 (Ciąg zbieżny). Mówiąc o ciągu elementów zbioru X będziemy pisać (x_ν)^∞_ν=1⊂ X lub (x_ν)_ν∈N⊂ X.

W przestrzeni topologicznej możemy zdefiniować pojęcie ciągu zbieżnego. Powiemy, że ciąg (x_ν)^∞_ν=1⊂ X jest zbieżny do elementu x0∈ X (w topologii T ) (krótko: xν

−→ xT 0), jeżeli:

∀_{U ∈U (x}₀₎∃ν₀∈N∀_ν>ν₀: xν ∈ U.

Odnotujmy, że jeżeli X ∈ T², to ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę. ⁹

1.1.9 (Punkt skupienia). Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli dla dowolnego U ∈ U (a) mamy (U \ {a}) ∩ A 6= ∅, tzn. istnieje punkt b ∈ U ∩ A, b 6= a. Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A⁰. Punkty zbioru A \ A⁰= nazywamy punktami izolowanymi zbioru A. Zauważmy, że A = A ∪ A⁰.

4 Można też spotkać oznaczenia bA, czy też FrA.

5 Uwaga: Otoczenie punktu nie musi być otwarte.

6 Felix Hausdorff (1868–1942) — matematyk niemiecki.

7 Paweł Samujłowicz Urysohn (1898–1924) — matematyk rosyjski.

8 Andrej Nikołajewicz Tichonow (1906–1993) — matematyk rosyjski.

9 Pojęciem ciągu zbieżnego będziemy się posługiwać wyłącznie w przestrzeniach Hausdorffa.

(8)

1.1. Przestrzenie topologiczne

1.1.10 (Topologia indukowana). Jeżeli Y ⊂ X, to rodzina T |_Y := {U ∩ Y : U ∈ T } jest topologią na Y ; nazywamy ją topologią indukowaną, zaś (Y, T |_Y) nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni (X, T ). Odnotujmy, że:

• X ∈ T2=⇒ Y ∈ T2,

• top R|R= top R,

• zbiór A ⊂ Y jest domknięty w Y wtedy i tylko wtedy, gdy A = F ∩ Y , gdzie F jest domknięty w X.

1.1.11 (Topologia iloczynu kartezjańskiego). Jeżeli (X1, T1), . . . , (XN, TN) są przestrzeniami topologicznymi, to na X := X1× · · · × XN definiujemy topologię iloczynu kartezjańskiego

T := {U ⊂ X : ∀a∈U ∃U1∈T1,...,UN∈TN : a ∈ U₁× · · · × UN ⊂ U }.

W ten sposób definiujemy np. top Rⁿ.

1.1.12 (Ciągłość w punkcie). Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y . Mówimy, że odwzorowanie f jest ciągłe w punkcie a ∈ X (f ∈ C(X, Y ; a)), jeżeli f⁻¹(V ) ∈ U (a) dla dowolnego V ∈ U (f (a)).

Odnotujmy, że:

• f ∈ C(X, Y ; a), a ∈ Z ⊂ X =⇒ f |Z ∈ C(Z, Y ; a).

• Dla f : X −→ Z ⊂ Y mamy: f ∈ C(X, Y ; a) ⇐⇒ f ∈ C(X, Z; a).

• f ∈ C(X, Y ; a), g ∈ C(Y, Z; f (a)) =⇒ g ◦ f ∈ C(X, Z; a).

• Dla f = (f₁, . . . , f_N) : X −→ Y₁× · · · × YN, przy czym Y₁, . . . , Y_N 6= ∅, mamy:

f ∈ C(X, Y1× · · · × YN; a) ⇐⇒ fj ∈ C(X, Yj; a), j = 1, . . . , N.

1.1.13 (Ciągłość). Odwzorowanie f : X −→ Y nazywamy ciągłym (f ∈ C(X, Y )), jeżeli f ∈ C(X, Y ; a) dla dowolnego a ∈ X. Niech C(X) := C(X, R).

Następujące warunki są równoważne:

• f ∈ C(X, Y );

• f⁻¹(V ) ∈ top X dla dowolnego V ∈ top Y ;

• f⁻¹(L) jest domknięty w X dla dowolnego L ⊂ Y domkniętego w Y . Odnotujmy następujące własności:

• f ∈ C(X, Y ), Z ⊂ X =⇒ f |_Z∈ C(Z, Y ).

• Dla f : X −→ Z ⊂ Y mamy: f ∈ C(X, Y ) ⇐⇒ f ∈ C(X, Z).

• f ∈ C(X, Y ), g ∈ C(Y, Z) =⇒ g ◦ f ∈ C(X, Z).

Dla f = (f₁, . . . , f_N) : X −→ Y₁× · · · × Y_N, przy czym Y₁, . . . , Y_N 6= ∅, mamy:

f ∈ C(X, Y1× · · · × YN) ⇐⇒ fj ∈ C(X, Yj), j = 1, . . . , N,

• projekcje X1× · · · × XN −→ Xj, j = 1, . . . , N , są ciągłe.

1.1.14. Odwzorowanie f : X −→ Y nazywamy homeomorfizmem, jeżeli jest bijektywne, ciągłe i f⁻¹ jest ciągłe ¹⁰ .

1.1.15 (Zwartość). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest zwarta (X jest kompaktem), jeżeli X ∈ T² oraz dla dowolnego pokrycia otwartego zbioru X istnieje podpokrycie skończone, tzn. dla dowolnej rodziny (Ui)i∈I⊂ top X takiej, że S

i∈I

Ui= X, istnieje N ∈ N oraz i¹, . . . , iN ∈ I, dla których Ui₁∪ · · · ∪ Ui_N = X.

Jeżeli X ∈ T2, to mówimy, że zbiór K ⊂ X jest zwarty (jest kompaktem), jeżeli K z topologią indu- kowaną jest przestrzenią zwartą, tzn. dla dowolnego pokrycia otwartego K ⊂ S

i∈I

U_iistnieje podpokrycie skończone takie, że K ⊂ Ui₁∪ · · · ∪ Ui_N. Zbiór A ⊂ X nazywamy relatywnie zwartym (krótko: A ⊂⊂ X), jeżeli A jest zbiorem zwartym. Odnotujmy, że:

• Jeżeli X ∈ T² i K ⊂ X jest zwarty, to K jest domknięty.

• Jeżeli X jest przestrzenią zwartą i K ⊂ X jest domknięty, to K jest zwarty.

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ), X jest zwarta, Y ∈ T², to f (X) jest zbiorem zwartym (twierdzenie o zachowaniu zwartości ).

10 Bijektywność i ciągłość f nie implikują ciągłości f⁻¹ — Ćwiczenie; tu i dalej Ćwiczenie oznacza element (np. dowód/przykład) pozostawiony do samodzielnego wykonania/znalezienia i stanowiący „niezbywalny” element wykładu.

(9)

1. Wstęp

• Jeżeli f : X −→ Y jest ciągłą bijekcją pomiędzy przestrzeniami zwartymi, to f jest homeomorfizmem.

• Dla X₁6= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X₁, . . . , X_N są przestrzeniami zwartymi ⇐⇒ X1× · · · × XN jest przestrzenią zwartą.

1.1.16. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej Hausdorffa X niech C0(X) oznacza zbiór tych wszystkich funkcji f ∈ C(X), dla których istnieje zbiór zwarty K = K(f ) ⊂ X taki, że f = 0 poza K ¹¹; C0(X) jest podprzestrzenią C(X).

1.1.17 (Przestrzenie lokalnie zwarte. Rozkład jedności). Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, tzn. każdy punkt x ∈ X ma otoczenie U takie, że U jest przestrzenią zwartą. Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest T3¹₂.

(a) Dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X i dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ X takiego, że K ⊂ U istnieje f ∈ C0(U, [0, 1]) taka, że f = 1 na K.

(b) Twierdzenie o rozkładzie jedności: Dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X i dla dowolnego jego pokrycia otwartego U1, . . . , UN istnieją funkcje fj ∈ C0(Uj, [0, 1]), j = 1, . . . , N , takie, że f1+ · · · + fN 6 1 na X oraz f¹+ · · · + fN = 1 na K.

Dowód . Dla dowolnego x ∈ K ustalmy j(x) ∈ {1, . . . , N } tak, że x ∈ Uj(x)i niech Vxbędzie relatywnie zwartym otoczeniem punktu x takim, że Vx⊂ U_j(x) ¹². Wobec zwartości K istnieje skończona liczba punktów x1, . . . , xk ∈ K takich, że K ⊂ Vx₁∪ · · · ∪ Vx_k. Niech

Lj:= [

i∈{1,...,k}: j(xi)=j

Vx_i, j = 1, . . . , N.

Na podstawie (a) istnieją funkcje gj ∈ C0(Uj, [0, 1]), gj= 1 na Lj. j = 1, . . . , N . Zdefiniujmy f1:= g1, f2:= (1 − g1)g2, . . . , fN := (1 − g1) . . . (1 − gN −1)gN.

Oczywiście fj ∈ C0(Uj, [0, 1]), j = 1, . . . , N . Ponadto, f1+ · · · + fN = 1 − (1 − g1) . . . (1 − gN). Ponieważ

K ⊂ L1∪ · · · ∪ LN, zatem f1+ · · · + fN = 1 na K.

1.1.18 (Spójność). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest spójna, jeżeli nie istnieją zbiory otwarte U, V ⊂ X takie, że

U 6= ∅, V 6= ∅, X = U ∪ V, U ∩ V = ∅. ¹³

Mówimy, że zbiór A ⊂ X jest spójny, jeżeli jest spójny w topologii indukowanej, tzn. nie istnieją zbiory otwarte U, V ⊂ X takie, że

U ∩ A 6= ∅, V ∩ A 6= ∅, A ⊂ U ∪ V, U ∩ V ∩ A = ∅.

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ) i X jest przestrzenią spójną, to f (X) jest zbiorem spójnym (twierdzenie o zachowaniu spójności ).

• Zbiór A ⊂ R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.

• Jeżeli f ∈ C(X, R) i X jest przestrzenią spójną, to f (X) jest przedziałem (własność Darboux

14 ).

• Dla X16= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X1, . . . , XN są przestrzeniami spójnymi ⇐⇒ X1× · · · × XN jest przestrzenią spójną.

1.1.19 (Przestrzenie Lindelöfa ¹⁵ ). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Linde- löfa, jeżeli X ∈ T³ oraz z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie przeliczalne.

Dla nas będzie wyłącznie istotny fakt, iż każdy podzbiór Rⁿ jest przestrzenią Lindelöfa.

11 Czasami używa się też symbolu Cc(X).

12 Ponieważ X ∈ T3, zatem istnieją rozłączne zbiory otwarte Vx, Q takie, że x ∈ Vx, X \ Uj(x)⊂ Q. Wobec lokalnej zwartości, możemy założyć, że Vx jest zbiorem zwartym. Oczywiście, Vx⊂ X \ Q = X \ Q ⊂ U_j(x).

13 Takie zbiory, o ile istnieją, nazywamy rozspojeniem X. Odnotujmy, że są one równocześnie otwarte i domknięte w X.

14 Jean Darboux (1842–1917) — matematyk francuski.

15 Ernst Lindelöf (1870–1946) — matematyk fiński.

(10)

1.2. Przestrzenie metryczne

1.1.20 (Krzywe). Każde odwzorowanie ciągłe γ : [a, b] −→ X nazywamy krzywą. Zbiór γ^∗ := γ([a, b]) nazywamy obrazem geometrycznym krzywej γ.

• γ^∗ jest zbiorem spójnym.

• Jeżeli X ∈ T2, to γ^∗jest zbiorem zwartym.

W przyszłości będziemy zawsze utożsamiać krzywą γ : [a, b] −→ X z dowolną krzywą γ ◦ σ : [c, d] −→ X,

gdzie σ : [c, d] −→ [a, b] jest bijekcją rosnącą (zwaną zmianą parametryzacji ). Oczywiście, zmiana parametryzacji nie zmienia obrazu geometrycznego krzywej. W szczególności, można się zawsze ograniczyć do krzywych sparametryzowanych w przedziale [0, 1].

Jeżeli γ : [a, b] −→ X jest krzywą, to:

• γ(a) nazywamy początkiem krzywej,

• γ(b) nazywamy końcem krzywej,

• jeżeli γ(a) = γ(b), to mówimy, że γ jest zamknięta,

• jeżeli γ jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest łukiem Jordana ¹⁶

(wtedy, jeżeli X ∈ T², to γ : [a, b] −→ γ^∗ jest homeomorfizmem),

• jeżeli γ jest zamknięta oraz γ|_[a,b) jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest krzywą Jordana,

• jeżeli γ : [0, 1] −→ X jest krzywą Jordana, to funkcja σ : T −→ X, gdzie T oznacza okrąg jednostkowy na płaszczyżnie, dana wzorem σ(cos 2πt, sin 2πt) := γ(t), t ∈ [0, 1], jest ciągłą bijekcją T na γ^∗(jeżeli ponadto X ∈ T², to σ : T −→ γ^∗ jest homeomorfizmem).

Dla krzywej γ : [a, b] −→ X definiujemy krzywą przeciwną

γ : [a, b] −→ X, γ(t) := γ(a + b − t).

Widać, że ( γ)^∗= γ^∗.

Dla krzywych γj : [0, 1] −→ X, j = 1, 2, takich, że γ₁(1) = γ₂(0) definiujemy ich sumę γ1⊕ γ2: [0, 1] −→ X, (γ1⊕ γ2)(t) :=

(γ₁(2t) dla 06 t 6 ¹₂ γ2(2t − 1) dla ¹₂ 6 t 6 1; jest to oczywiście krzywa i (γ1⊕ γ2)^∗= γ₁^∗∪ γ₂^∗. ¹⁷

1.1.21 (Łukowa spójność). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeżeli dla dowolnych x, y ∈ X istnieje krzywa γ : [a, b] −→ X taka, że γ(a) = x, γ(b) = y. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna (ale nie odwrotnie — Ćwiczenie).

Dla X16= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X₁, . . . , X_N są przestrzeniami łukowo spójnymi ⇐⇒ X₁× · · · × XN jest przestrzenią łukowo spójną.

Definicja 1.2.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X, ρ), gdzie ρ jest funkcją X × X −→ R⁺

18 , nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli spełnione są następujące trzy warunki:

• ∀x,y∈X: ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

• ∀x,y∈X: ρ(x, y) = ρ(y, x) (symetria),

• ∀x,y,z∈X : ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) (nierówność trójkąta).

Funkcję ρ nazywamy metryką.

Zwykle będziemy pisać X zamiast (X, ρ) (o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką metrykę chodzi).

Przykład 1.2.2. (a) X = R, ρ(x, y) := |x − y|.

(b) X = R, ρ(x, y) := | arctg x − arctg y| ¹⁹ . (c) X — dowolny zbiór, ρ(x, y) :=

(1 gdy x 6= y

0 gdy x = y = metryka dyskretna.

16 Camille Jordan (1838–1922) — matematyk francuski.

17 Oznaczenia i ⊕ mają charakter roboczy i nie musimy się do nich zbyt przywiązywać.

18 Dla A ⊂ R definiujemy A+:= {x ∈ A : x > 0}, A>0:= {x ∈ A : x > 0}, np. R+= [0, +∞).

19 arctg(±∞) = ±^π₂.

(11)

1. Wstęp

1.2.3 (Kule). W przestrzeniach metrycznych możemy zdefiniować pojęcia kuli otwartej i kuli domkniętej:

B(a, r) = B_ρ(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) < r} = kula otwarta o środku w punkcie a ∈ X i promieniu r ∈ (0, +∞] ²⁰.

B(a, r) = Bρ(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) 6 r} = kula domknięta o środku w punkcie a ∈ X i promieniu r > 0 ²¹ .

1.2.4 (Topologia generowana przez metrykę). Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Topologia generowana przez metrykę ρ, to topologia dana przepisem:

top ρ := {U ⊂ X : ∀a∈U ∃r>0: B(a, r) ⊂ U }.

Odnotujmy, że:

• Metryka dyskretna generuje topologię dyskretną.

• Topologia generowana przez metrykę jest Hausdorffa.

• Kule otwarte są otwarte.

• Kule domknięte są domknięte.

• Na ogół mamy B(a, r) B(a, r) — Ćwiczenie.

• Kule nie muszą być spójne — Ćwiczenie.

1.2.5. Jeżeli X 3 xν top ρ

−→ x0 ∈ X, to dla uproszczenia będziemy pisać xν

−→ xρ 0 lub jeszcze krócej xν−→ x0. Zauważmy, że xν

top ρ

−→ x0⇐⇒ ρ(xν, x0) −→ 0.

Zbiór F ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=1 ⊂ F , jeżeli x_ν−→ x0, to x₀∈ F .

Jeżeli (X, ρ) jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru Y ⊂ X, para (Y, ρ|_{Y ×Y}) jest przestrzenią metryczną (ρ|_{Y ×Y} nazywamy metryką indukowaną) oraz top(ρ|_{Y ×Y}) = (top ρ)|_Y.

1.2.6. Jeżeli ϕ : R⁺−→ R+ jest funkcją niemalejącą, wklęsłą (zob. Ćwiczenie 2.1.15) i taką, że ϕ(ξ) = 0 ⇐⇒ ξ = 0, to ϕ ◦ ρ jest metryką dla dowolnej metryki ρ — Ćwiczenie ²². Dla przykładu, jeżeli ρ jest metryką, to min{ρ, 1} jest metryką.

1.2.7 (Równoważność metryk). Mówimy, że dwie metryki ρ1, ρ2 : X × X −→ R⁺ są równoważne (ρ1∼ ρ2), jeżeli top ρ1= top ρ2. Jest to relacja równoważności. ²³

Łatwo widać, że:

ρ1∼ ρ2⇐⇒ ∀_(x_ν₎^∞

ν=0⊂X : (xν ρ1

−→ x0⇐⇒ xν ρ2

−→ x0).

Własności niezmiennicze względem metryk równoważnych (np. zbieżność, ciągłość) nazywamy wła- snościami topologicznymi przestrzeni metrycznej (X, ρ).

1.2.8 (Porównywalność metryk). Mówimy, że dwie metryki ρ₁, ρ₂: X × X −→ R+

są porównywalne, jeżeli ρ16 c¹ρ^α₂¹ i ρ26 c²ρ^α₁² dla pewnych stałych c1, c2, α1, α2> 0. Porównywalność metryk jest również relacją równoważnościową. Metryki porównywalne są równoważne (ale nie odwrotnie

— np. ρ ∼ min{ρ, 1}, ale metryki te nie muszą być porównywalne — Ćwiczenie).

Własności niezmiennicze względem metryk porównywalnych nazywamy własnościami metrycznymi przestrzeni (X, ρ).

1.2.9 (Ograniczoność). Zbiór A ⊂ X jest ograniczony, jeżeli sup ρ(A × A) < +∞. Jest to własność metryczna, ale nie topologiczna ²⁴ . Łatwo widać, że:

A jest ograniczony ⇐⇒ ∀a∈X ∃r>0 : A ⊂ B(a, r) ⇐⇒ ∃a∈X ∃r>0: A ⊂ B(a, r).

Liczbę diam A := sup ρ(A × A) nazywamy średnicą zbioru A (w metryce ρ).

1.2.10 (Ciągłość). Jeżeli (X, ρ), (Y, d) są przestrzeniami metrycznymi, to dla f : X −→ Y i a ∈ X następujące warunki są równoważne:

(i) f ∈ C(X, Y ; a);

20 B(a, +∞) = X.

21 B(a, 0) = {a}.

22 Cała trudność leży w zauważeniu, że ϕ(ξ + η) 6 ϕ(ξ) + ϕ(η) dla dowolnych ξ, η ∈ R+.

23 Czy metryki ρ i ϕ ◦ ρ z punktu 1.2.6 muszą być równoważne? — Ćwiczenie.

24 Przypomnijmy sobie, że metryka min{ρ, 1} jest globalnie ograniczona.

(12)

1.2. Przestrzenie metryczne (ii) (Definicja „ciągowa” Heinego ²⁵ )

∀(x_ν)^∞_ν=1⊂X : (xν

−→ a) =⇒ (f (xρ ν)−→ f (a));^d (iii) (Definicja „ε − δ” Cauchy’ego ²⁶ )

∀_ε>0∃_δ>0: f (B_ρ(a, δ)) ⊂ B_d(f (a), ε). ²⁷

1.2.11 (Jednostajna ciągłość). Mówimy, że odwzorowanie f : X −→ Y jest jednostajnie ciągłe, jeżeli

∀ε>0∃δ>0∀a∈X : f (Bρ(a, δ)) ⊂ Bd(f (a), ε). ²⁸

Jednostajna ciągłość jest własnością metryczną ²⁹. Odwzorowania jednostajnie ciągłe są ciągłe, ale nie odwrotnie — Ćwiczenie. Złożenie odwzorowań jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągłe.

1.2.12 (Warunki Höldera i Lipschitza). Mówimy, że f : X −→ Y spełnia warunek Höldera z wykładni- kiem α > 0 ³⁰ , jeżeli istnieje stała C > 0 (stała Höldera) taka, że

d(f (x⁰), f (x⁰⁰)) 6 Cρ^α(x⁰, x⁰⁰), x⁰, x⁰⁰∈ X.

Dla α = 1 warunek Höldera nosi nazwę warunku Lipschitza ³¹ , a stała — stałej Lipschitza.

Odwzorowania spełniające warunek Höldera są jednostajnie ciągłe, ale nie odwrotnie — Ćwiczenie.

Złożenie odwzorowań spełniających warunek Höldera (Lipschitza) spełnia warunek Höldera (Lipschitza).

Czy jeżeli f : X −→ Y jest homeomorfizmem spełniającym warunek Höldera, to f⁻¹ spełnia również warunek Höldera (być może z innym wykładnikiem) ? — Ćwiczenie.

1.2.13. Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=1⊂ X można wybrać podciąg zbieżny.

• Podzbiór K przestrzeń metrycznej X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (x_ν)^∞_ν=1⊂ K można wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu zbioru K.

• Zbiór K ⊂ Rⁿ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

• R jest przestrzenią zwartą.

• Jeżeli f ∈ C(X, R) i X jest przestrzenią topologiczną zwartą, to f osiąga kresy na X (twierdzenie Weierstrassa ³² ).

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ), gdzie (Y, d) jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X spełniony jest następujący warunek:

∀_ε>0∃_δ>0∀_a∈K: f (B_ρ(a, δ)) ⊂ B_d(f (a), ε).

W szczególności, jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to f jest jednostajnie ciągłe.

Dowód . Ponieważ f jest ciągła, zatem dla dowolnego a ∈ K istnieje r(a) > 0 takie, że f (Bρ(a, r(a))) ⊂ B_d(f (a),¹₂ε). Wobec zwartości zbioru K, istnieje skończona liczba punktów a₁, . . . , a_N ∈ K takich, że K ⊂ SN

i=1Bρ(ai,¹₂r(ai)). Niech δ := ¹₂min{r(a1), . . . , r(aN)}. Weźmy dowolny punkt a ∈ K, a ∈ Bρ(ai0,¹₂r(ai0)), i niech x ∈ Bρ(a, δ). Mamy ρ(x, ai0) 6 ρ(x, a) + ρ(a, aⁱ0) 6 δ +¹2r(ai0) 6 r(aⁱ0). Wynika stąd, że d(f (x), f (ai₀)) 6 ¹2ε i ostatecznie d(f (x), f (a)) 6 d(f (x), f (aⁱ0)) + d(f (a), f (ai₀)) 6 ε. 1.2.14. Niech (X1, ρ1), . . . , (XN, ρN) będą przestrzeniami metrycznymi i niech funkcja ϕ : R^N+ −→ R+

33

będzie taka, że:

ϕ(ξ) = 0 ⇐⇒ ξ = 0,

ξ 6 η =⇒ ϕ(ξ) 6 ϕ(η), ³⁴

25 Eduard Heine (1821–1881) — matematyk niemiecki.

26 Augustin Cauchy (1789–1857) — matematyk i fizyk francuski.

27 Czyli: ∀_x∈X: ρ(x, a) 6 δ =⇒ d(f (x), f (a)) 6 ε.

28 Czyli: ∀_x0,x⁰⁰∈X : ρ(x⁰, x⁰⁰) 6 δ =⇒ d(f (x⁰), f (x⁰⁰)) 6 ε.

29 Czy jest to własność topologiczna — Ćwiczenie.

30 Otto Hölder (1859–1937) — matematyk niemiecki.

31 Rudolf Lipschitz (1832–1903) — matematyk niemiecki.

32 Karl Weierstrass (1815–1897) — matematyk niemiecki.

33

R^N+ := (R+)^N.

34 (ξ1, . . . , ξN) 6 (η1, . . . , ηN) :⇐⇒ ξj6 ηj, j = 1, . . . , N .

(13)

1. Wstęp ϕ(ξ + η) 6 ϕ(ξ) + ϕ(η), ξ, η ∈ R^N+.

Zdefiniujmy

d(x, y) := ϕ(ρ1(x1, y1), . . . , ρN(xN, yN)), x = (x1, . . . , xN), y = (y1, . . . , yN) ∈ X1× · · · × XN. Wtedy d jest metryką — Ćwiczenie (por. (1.2.6)).

W szczególności, jeżeli (X1, ρ1), . . . , (XN, ρN) są przestrzeniami metrycznymi, to każda z poniższych funkcji (X1× · · · × XN)²−→ R+ jest metryką (Ćwiczenie):

dp(x, y) : =X^N

j=1

ρ^p_j(xj, yj)1/p

= metryka l^p, p > 1, ³⁵ d_∞(x, y) : = max{ρ₁(x₁, y₁), . . . , ρ_N(x_N, y_N)} = metryka maksimum.

W szczególności, metrykami są funkcje:

d1(x, y) =

N

X

j=1

ρj(xj, yj) = metryka suma,

d2(x, y) =X^N

j=1

ρ²_j(xj, yj)^1/2

= metryka euklidesowa.

Są to metryki porównywalne zadające topologię iloczynu kartezjańskiego ³⁶; dla dowolnego ciągu (x_ν)^∞_ν=0⊂ X₁× · · · × X_N, x_ν= (x_ν,1, . . . , x_ν,N), ν ∈ Z+,

mamy: xν−→ x0⇐⇒ xν,j−→ x0,j, j = 1, . . . , N .

1.2.15. Dla dowolnej metryki ρ : X × X −→ R⁺ zachodzi:

|ρ(x⁰, y⁰) − ρ(x⁰⁰, y⁰⁰)| 6 ρ(x⁰, x⁰⁰) + ρ(y⁰, y⁰⁰) = d₁((x⁰, y⁰), (x⁰⁰, y⁰⁰)), (x⁰, y⁰), (x⁰⁰, y⁰⁰) ∈ X × X.

W szczególności, ρ : X × X −→ R⁺ jest funkcją ciągłą.

Dla dowolnego zbioru ∅ 6= A ⊂ X definiujemy

ρ(x, A) := inf{ρ(x, a) : a ∈ A}, x ∈ X.

Wtedy

|ρ(x, A) − ρ(y, A)| 6 ρ(x, y), x, y ∈ X.

Ponadto, x ∈ A ⇐⇒ ρ(x, A) = 0.

1.2.16 (Ciągi Cauchy’ego). Ciąg (x_ν)^∞_ν=1⊂ X nazywamy ciągiem Cauchy’ego w X, jeżeli

∀ε>0∃ν₀∈N∀_ν,µ>ν₀ : ρ(xν, xµ) 6 ε.

• To, że dany ciąg jest ciągiem Cauchy’ego jest własnością metryczną, ale nie topologiczną.

• Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego. Jeżeli ciąg Cauchy’ego zawiera podciąg zbieżny, to cały jest zbieżny.

• Ciąg (xν)^∞_ν=1⊂ X1× · · · × XN jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy (xν,j)^∞_ν=1 jest ciągiem Cauchy’ego w Xj, j = 1, . . . , N .

35 Cała trudność w sprawdzeniu, że dpjest metryką leży w wykazaniu nierówności ϕ(ξ + η)6 ϕ(ξ) + ϕ(η), gdzie ϕ(ξ) := (|ξ1|^p+ · · · + |ξN|^p)^1/p, ξ = (ξ1, . . . , ξN) ∈ R^N₊, tzn. w wykazaniu nierówności Minkowskiego

X^N

j=1

(ξj+ ηj)^p1/p

6X^N

j=1

ξ_j^p1/p

+X^N

j=1

η_j^p1/p

, ξ, η ∈ R^N+, p > 1.

Dowód tej nierówności opiera się na nierówności Höldera

N

X

j=1

ξjηj6X^N

j=1

ξ_j^p1/pX^N

j=1

η^q_j1/q

, ξ, η ∈ R^N+, p, q > 1, 1 p+1

q = 1.

36 d∞6 dp6 N^1/pd∞— Ćwiczenie.

(14)

1.2.17 (Zupełność). Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny nazywamy przestrzenią zupełną.

Zbiór F ⊂ X nazywamy zupełnym, jeżeli jest przestrzenią zupełną w metryce indukowanej.

• Rⁿ jest przestrzenią zupełną.

• Jeżeli X jest przestrzenią metryczną i F ⊂ X jest zbiorem zupełnym, to F jest domknięty.

• Jeżeli X jest przestrzenią zupełną i F ⊂ X jest zbiorem domkniętym, to F jest zbiorem zupełnym.

• Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna.

• Jeżeli f : X −→ Y jest homeomorfizmem dwóch przestrzeni metrycznych (X, ρ) i (Y, d), który spełnia warunek Höldera, to z zupełności przestrzeni (Y, d) wynika zupełność przestrzeni (X, ρ) (Ćwi- czenie). W szczególności, wynika stąd, że zupełność jest własnością metryczną.

• Dla X16= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X1, . . . , XN są przestrzeniami zupełnymi ⇐⇒ X1× · · · × XN jest przestrzenią zupełną.

1.2.18 (Twierdzenie Baire’a). Zbiór A ⊂ X nazywamy nigdziegęstym, jeżeli int A = ∅ (równoważnie:

zbiór X \ A jest gęsty). Zbiory postaci

∞

S

n=1

A_n, gdzie każdy zbiór A_njest nigdziegęsty, nazywamy zbiorami I kategorii Baire’a ³⁷ . Zbiory nie będące zbiorami I kategorii Baire’a noszą nazwę zbiorów II kategorii Baire’a.

(Twierdzenie Baire’a) Niech X 6= ∅ będzie przestrzenią zupełną i niech Ωⁿ ⊂ X będzie zbiorem otwartym i gęstym, n ∈ N. Wtedy zbiór B := T

n∈N

Ωnjest gęsty. Równoważnie: jeżeli A ⊂ X jest zbiorem I kategorii Baire’a, to int A = ∅, w szczególności, A X (niepusta przestrzeń zupełna nie jest I kategorii Baire’a).

1.2.19 (Granica w punkcie). Niech (X, ρ), (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi, A ⊂ X, a ∈ A⁰, f : A \ {a} −→ Y , b ∈ Y .

Powiemy, że lim

x→a x6=a

f (x) = b (granica odwzorowania w punkcie), jeżeli odwzorowanie

f : A ∪ {a} −→ Y,e f (x) :=e

(f (x) gdy x ∈ A \ {a}

b gdy x = a ,

jest ciągłe w punkcie a, tzn., jeżeli A \ {a} 3 x_ν −→ a, to f (xν) −→ b. W przyszłości dla uproszczenia zapisu, będziemy pisać lim

x→af (x) zamiast lim

x→a x6=a

f (x); będziemy również pisać lim

A3x→af (x) dla podkreślenia roli zbioru A.

• Jeżeli a ∈ A, to: f ∈ C(A, Y ; a) ⇐⇒ lim

x→a x6=a

f (x) = f (a).

• Jeżeli lim

x→a x6=a

f (x) = b i g ∈ C(Y, Z; b) (Z jest przestrzenią metryczną), to lim

x→a x6=a

g ◦ f (x) = g(b).

• Uwaga: Nie jest prawdą, że jeżeli ϕ ∈ C(Z, X; t0) (Z jest przestrzenią metryczną), ϕ(t0) = a, t0

jest punktem skupienia zbioru ϕ⁻¹(A) oraz lim

x→a x6=a

f (x) = b, to lim

t→t0

t6=t₀

f ◦ ϕ(t) = b — Ćwiczenie.

1.2.20 (Granice górne i dolne). Dla A ⊂ X, a ∈ A⁰, f : A −→ R, przyjmujemy:

lim sup

x→a

f (x) := sup{lim sup

ν→+∞

f (xν) : (xν)^∞_ν=1⊂ A, xν−→ a} ∈ R,

lim inf

x→a f (x) := inf{lim inf

ν→+∞f (xν) : (xν)^∞_ν=1⊂ A, xν −→ a} ∈ R.

Oczywiście lim inf

x→a f (x) = − lim sup

x→a

(−f )(x). Mamy:

lim sup

x→a

f (x) = infr>0sup{f (x) : x ∈ B(a, r)}, lim inf

x→a f (x) = sup_r>0inf{f (x) : x ∈ B(a, r)}.

37 René-Louis Baire (1874–1932) — matematyk francuski.

(15)

1. Wstęp Jeżeli a /∈ A, to granica lim

x→af (x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf

x→a f (x) = lim sup

x→a

f (x) (i wtedy, lim inf

x→a f (x) = lim sup

x→a

f (x) = lim

x→af (x)).

1.2.21. Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d) — przestrzenią metryczną. Dla ciągu odwzo- rowań f_ν : X −→ Y (ν ∈ Z+) i zbioru A ⊂ X wprowadzamy pojęcia:

• zbieżności punktowej na A: f_ν−→ f₀punktowo na A, jeżeli dla dowolnego x ∈ A mamy f_ν(x) −→

f₀(x),

• zbieżności jednostajnej na A: fν−→ f0 jednostajnie na A, jeżeli

∀_ε>0∃_ν₀ ∀_ν>ν₀ ∀_x∈A: d(f_ν(x), f₀(x)) 6 ε.

Jeżeli Y jest przestrzenią zupełną, to f_ν−→ f₀jednostajnie na A wtedy i tylko wtedy, gdy (f_ν)^∞_ν=1 spełnia na A jednostajny warunek Cauchy’ego:

∀_ε>0∃_ν₀ ∀_ν,µ>ν₀∀_x∈A: d(f_ν(x), f_µ(x)) 6 ε.

Jeżeli X ma strukturę przestrzeni topologicznej to wprowadzamy dodatkowo pojęcia:

• zbieżności lokalnie jednostajnej na X: fν−→ f0lokalnie jednostajnie na X, jeżeli dowolny punkt a ∈ X ma otoczenie U takie, że f_ν −→ f0 jednostajnie na U ,

• zbieżności niemal jednostajnej na X: f_ν −→ f₀ niemal jednostajnie na X, jeżeli dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X, f_ν −→ f₀ jednostajnie na K.

Pojęcia zbieżności „lokalnie jednostajnej na X” i „niemal jednostajnej na X” są równoważne w przestrzeniach lokalnie zwartych (np. gdy X jest podprzestrzenią Rⁿ).

• Jeżeli fν−→ f0lokalnie jednostajnie na X oraz fν∈ C(X, Y ; a), ν ∈ N, to f0∈ C(X, Y ; a).

• W szczególności,

— jeżeli X jest przestrzenią metryczną,

— fν −→ f0 jednostajnie na A,

— a ∈ A⁰\ A,

— lim

A3x→af_ν(x) = b_ν, ν ∈ N,

— oraz b_ν−→ b₀, to lim

A3x→af0(x) = b0; innymi słowy:

lim

A3x→a( lim

ν→+∞fν(x)) = lim

ν→+∞( lim

A3x→afν(x)).

• Jeżeli fν −→ f0 jednostajnie na X oraz każde odwzorowanie fν jest jednostajnie ciągłe, to f0

jest jednostajnie ciągłe.

1.2.22. Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d) — przestrzenią metryczną. Zdefiniujmy B(X, Y ) := {f : X −→ Y : zbiór f (X) jest ograniczony}.

W zbiorze B(X, Y ) wprowadzamy metrykę Czebyszewa ³⁸ δ(f, g) := sup{d(f (x), g(x)) : x ∈ X}.

Zauważmy, że:

• fν

−→ fδ 0⇐⇒ fν −→ f0jednostajnie na X.

• Przestrzeń B(X, Y ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Y jest zupełna.

Jeżeli X ma ponadto strukturę przestrzeni topologicznej, to definiujemy CB(X, Y ) := C(X, Y ) ∩ B(X, Y ).

Zauważmy, że:

• CB(X, Y ) = C(X, Y ), gdy X jest przestrzenią zwartą.

• CB(X, Y ) jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni B(X, Y ).

• Przestrzeń CB(X, Y ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zupełna.

∗1.2.23 (Funkcje oddzielnie ciągłe). Niech (X, ρ) będzie przestrzenią zupełną.

• Niech (fν)^∞_ν=1⊂ C(X) i niech fν −→ f (punktowo), tzn. f jest funkcją I klasy Baire’a. Oznaczmy przez N (f ) zbiór punktów nieciągłości f . Wtedy N (f ) jest zbiorem I kategorii Baire’a.

38 Pafnutij Czebyszew (1821–1894) — matematyk i mechanik rosyjski.

(16)

1.2. Przestrzenie metryczne Dowód . Niech

A_k,`:= {x ∈ X : ∀_n>`: |f_n(x) − f_`(x)| 6 1/k}, k, ` ∈ N.

Zbiór Ak,` jest domknięty, zbiór Fk,` := Ak,`\ int Ak,` jest domknięty i nigdziegęsty. Wystarczy więc pokazać, że N (f ) ⊂ S

k,`∈N

Fk,`. Ustalmy punkt x0∈ N (f ). Ponieważ (fν(x0))^∞_ν=1jest ciągiem Cauchy’ego, zatem dla dowolnego k ∈ N istnieje `(k) takie, że x⁰ ∈ A_k,`(k). Gdyby x0 ∈ int A_k,`(k) dla dowolnego k ∈ N, wtedy, dla dowolnego k ∈ N, istniałoby r^k > 0 takie, że B(x0, rk) ⊂ A_k,`(k). Oznacza to, że

|fn(x) − f_`(k)(x)| 6 1/k dla x ∈ B(x⁰, rk) i n > `(k). W szczególności, |f (x) − f`(k)(x)| 6 1/k dla x ∈ B(x0, rk). Dla x ∈ B(x0, rk) mamy więc

|f (x) − f (x₀)| 6 |f (x) − f`(k)(x)| + |f_`(k)(x) − f_`(k)(x₀)| + |f_`(k)(x₀) − f (x₀)|

6 2/k + |f^`(k)(x) − f`(k)(x0)|, co, wobec ciągłości f_`(k), dawałoby ciągłość funkcji f w punkcie x0. Tak więc x0∈ F_k,`(k) dla pewnego

k ∈ N.

• Dla dowolnej oddzielnie ciągłej funkcji f : R×Rⁿ⁻¹−→ R (tzn. f(x, ·) ∈ C(Rⁿ⁻¹) i f (·, y) ∈ C(R) dla dowolnego (x, y) ∈ R × Rⁿ⁻¹) istnieje ciąg (fν)^∞_ν=1⊂ C(Rⁿ) taki, że fν−→ f ³⁹ .

Dowód .

f_ν(x, y) :=^k+1

ν − x

1 ν

f (^k_ν, y) +x −_ν^k

1 ν

f (^k+1_ν , y), ^k_ν 6 x 6 ^k+1_ν , y ∈ Rⁿ⁻¹, k ∈ Z (1.2.1) (dla dowolnego y ∈ Rⁿ⁻¹, fν(·, y) jest funkcją afiniczną na każdym przedziale [^k_ν,^k+1_ν ]). Jest rzeczą widoczną, że funkcja fν jest ciągła (bo jest ciągła na każdym „pasie” [^k_ν,^k+1_ν ] × Rⁿ⁻¹). Ponadto,

|f_ν(x, y) − f (x, y)| =

^k+1

ν − x

1 ν

f (^k_ν, y) − f (x, y)

+x − ^k_ν

1 ν

f (^k+1_ν , y) − f (x, y)

6 max{|f (^kν, y) − f (x, y)|, |f (^k+1_ν , y) − f (x, y)|}, ^k_ν 6 x 6 ^k+1ν , y ∈ Rⁿ⁻¹, k ∈ Z.

Jako natychmiastowy wniosek, dostajemy stąd:

• Jeżeli f : R × Rⁿ⁻¹−→ R jest oddzielnie ciągła, to N(f) jest zbiorem I kategorii Baire’a.

• Pojawia się naturalne pytanie czy dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : Rⁿ¹× · · · × Rⁿ^k −→ R

(tzn. f (x₁, . . . , x_j−1, ·, x_j+1, . . . , x_k) ∈ C(Rⁿ^j) dla dowolnych x₁ ∈ Rⁿ¹, . . . , x_k ∈ Rⁿ^k i j ∈ {1, . . . , k}) jest I klasy Baire’a ?

Prawdziwy jest następujący wynik:

Niech f : R × · · · × R

| {z }

`×

× R^n−` −→ R będzie funkcją oddzielnie ciągłą (` > 2). Wtedy f jest `–tej klasy Baire’a, tzn. istnieje ciąg funkcji (` − 1)–szej klasy Baire’a (f_ν)^∞_ν=1 taki, że f_ν−→ f punktowo.

Dowód . Dla dowolnej funkcji g : R×Rⁿ⁻¹−→ R, zdefiniujmy ciąg (gν)^∞_ν=1tak, jak w (1.2.1) i zauważmy, że:

(a) jeżeli funkcja g(·, y) jest ciągła dla dowolnego y ∈ Rⁿ⁻¹, to gν −→ g punktowo,

(b) jeżeli Rⁿ⁻¹= R^p× R^q× R^r (p, q, r ∈ Z⁺), y = (u, v, w), oraz funkcja g(x, u, ·, w) jest ciągła dla dowolnych (x, u, w) ∈ R × R^p× R^r, to każda z funkcji gν(·, u, ·, w) jest ciągła dla dowolnych (u, w) ∈ R^p× R^r.

Teraz postępujemy następująco:

39 Tzn. dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : R × Rⁿ⁻¹−→ R jest I klasy Baire’a.

(17)

1. Wstęp

— Stosujemy powyższą konstrukcję do g := f . Wobec (a), do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że każda z funkcji f_ν¹:= g_ν jest (` − 1)–szej klasy Baire’a. Na podstawie (b), wiemy, że każda funkcja

f_ν¹(·, x2, . . . , xj−1, ·, xj+1, . . . , x`, x`+1) jest ciągła dla dowolnych (x₂, . . . , x_`, x_`+1) ∈ R × · · · × R

| {z }

(`−1)×

× R^n−`, j = 2, . . . , ` + 1.

— Powtarzamy konstrukcję dla g := f_ν¹ względem zmiennej x₂. Dostajemy kolejny ciąg aproksy- mujący (f_ν²)^∞_ν=1taki, że każda funkcja f_ν²(·, ·, x₃, . . . , x_j−1, ·, x_j+1, . . . , x_`, x_`+1) jest ciągła dla dowolnych (x3, . . . , x`, x`+1) ∈ R × · · · × R

| {z }

(`−2)×

× R^n−`, j = 3, . . . , ` + 1.

— Powtarzamy powyższe rozumowanie ` razy.

Okazuje się, że dla ` > 2 wynik ten nie może być poprawiony, tzn. istnieją przykłady oddzielnie ciągłych funkcji f , które nie są (` − 1)–szej klasy Baire’a — zob. np. Henri Lebesque, Sur les fonctions représentables analytiquement, J. math. pures appliquées (1905), 139–215.

1.2.24 (Metryka Hausdorffa). Dla przestrzeni metrycznej X, niech K(X) oznacza rodzinę wszystkich niepustych zwartych podzbiorów X. Dla dowolnego zbioru A ∈K(X), niech

K(A) := {K ∈K(X) : K ⊂ A}.

Zdefiniujmy

h(A, B) := maxn

sup{dist(x, B) : x ∈ A}, sup{dist(y, A) : y ∈ B}o

, A, B ∈K(X).

• h jest metryką w zbiorzeK(X) (Ćwiczenie). Jest to tzw. metryka Hausdorffa.

• (K(A), h) jest przestrzenią zwartą dla dowolnego A ∈K(X) (Ćwiczenie).

• Jeżeli K(A) 3 Kν

−→ Kh 0, zaś Φ : A^m −→ R+ jest dowolną funkcją ciągłą, to sup Φ(K_ν^m) −→

sup Φ(K₀^m) (Ćwiczenie). W szczególności, jeżeli K(A) 3 Kν

−→ Kh 0, to diam(Kν) −→ diam(K₀).

1.3. Funkcje półciągłe Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.3.1. Powiemy, że funkcja u : X −→ R jest półciągła z góry na X, jeżeli dla dowolnego t ∈ R zbiór {x ∈ X : u(x) < t} jest otwarty. Zbiór wszystkich funkcji półciągłych z góry na X będziemy oznaczać przez C^↑(X, R).

Powiemy, że u jest półciągła z dołu na X (u ∈ C^↓(X, R)), jeżeli −u ∈ C^↑(X, R).

Dla dowolnego przedziału ∆ ⊂ R niech

C^↑(X, ∆) := {u ∈ C^↑(X, R) : u(X) ⊂ ∆}.

Podobnie definiujemy C^↓(X, ∆).

Obserwacja 1.3.2. Jeżeli A ⊂ X jest zbiorem domkniętym, to jego funkcja charakterystyczna χA,X(x) = χA(x) :=

(1 gdy x ∈ A 0 gdy x ∈ X \ A jest półciągła z góry. Jeżeli A ⊂ X jest zbiorem otwartym, to χA∈ C^↓(X).

Obserwacja 1.3.3. (a) Funkcja u : X −→ R jest półciągła z dołu na X, jeżeli dla dowolnego t ∈ R zbiór {x ∈ X : u(x) > t} jest otwarty.

(b) Dla dowolnych przedziałów ∆, ∆⁰ ⊂ R, dla dowolnej ściśle rosnącej bijekcji ϕ : ∆ −→ ∆⁰ i dla dowolnej funkcji u : X −→ R mamy:

u ∈ C^↑(X, ∆) ⇐⇒ ϕ ◦ u ∈ C^↑(X, ∆⁰).

W szczególności, u ∈ C^↑(X, R) ⇐⇒ arctg u ∈ C^↑(X, [−^π₂,^π₂]).

Istotnie, zapiszmy R w postaci sumy trzech rozłącznych przedziałów R = L ∪ ∆⁰∪ R,

(18)

1.3. Funkcje półciągłe

gdzie L jest przedziałem „na lewo” od ∆⁰, zaś R — przedziałem „na prawo” od ∆⁰; nie wykluczamy przypadków gdy L lub R jest pusty. Dla t ∈ R mamy

{x ∈ X : (ϕ ◦ u)(x) < t} =







{x ∈ X : u(x) < ϕ⁻¹(t)}, jeżeli t ∈ ∆⁰

∅, jeżeli t ∈ L

X, jeżeli t ∈ R

.

(c) C(X, R) = C^↑(X, R) ∩ C^↓(X, R).

Inkluzja ⊂ jest oczywista. Dla dowodu inkluzji ⊃ ustalmy u ∈ C^↑(X, R)∩C^↓(X, R). Na podstawie (b) możemy założyć, że u(X) ⊂ R. Weźmy a ∈ X. Korzystając z Definicji 1.3.1 oraz (a), wnioskujemy bez trudu, że dla dowolnego ε > 0 istnieje otoczenie otwarte U punktu a takie, że u(U ) ⊂ (u(a) − ε, u(a) + ε).

(d) Jeżeli f : Y −→ X jest odwzorowaniem ciągłym, to u◦f ∈ C^↑(Y, R) dla dowolnej funkcji u ∈ C^↑(X, R).

Istotnie, {y ∈ Y : (u ◦ f )(y) < t} = f⁻¹({x ∈ X : u(x) < t}).

(e) R^>0· C^↑(X, R) = C^↑(X, R).

(f) Dla dowolnych u, v ∈ C^↑(X, R), jeżeli u(x) + v(x) ma sens dla każdego x ∈ X, to u + v ∈ C^↑(X, R).

Istotnie, {u + v < t} = S

θ∈R

{u < θ} ∩ {v < t − θ}.

(g) Jeżeli u, v ∈ C^↑(X, R), to max{u, v} ∈ C^↑(X, R).

Istotnie, {max{u, v} < t} = {u < t} ∩ {v < t}.

(h) Jeżeli (u_α)_α∈A⊂ C^↑(X, R), to u := inf{uα: α ∈ A} ∈ C^↑(X, R).

W szczególności, jeżeli C^↑(X, R) 3 u^ν& u punktowo na X, to u ∈ C^↑(X, R).

Istotnie, {u < t} = S

α∈A

{uα< t}.

(i) Jeżeli C^↑(X, R) 3 uν−→ u jednostajnie na X, to u ∈ C^↑(X, R).

Istotnie, niech u(a) < t−2ε < t i niech N ∈ N będzie takie, że |u^N−u| < ε na X. W szczególności, uN(a) < t − ε. Ponieważ funkcja uN jest półciągła z góry, zatem istnieje otoczenie U punktu a takie, że uN < t − ε na U . W konsekwencji, u < t na U .

Propozycja 1.3.4. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną i niech u : X −→ R. Wtedy u ∈ C^↑(X, R) ⇐⇒ ∀a∈X : lim sup

x→a

u(x) = u(a).

Dowód . (=⇒): Weźmy a ∈ X. Jeżeli u(a) = +∞, to prawa strona jest oczywista. Niech więc u(a) < +∞.

Weźmy t > u(a) i niech U będzie takim otoczeniem punktu a, że u < t w U . Niech teraz x_ν −→ a. Wtedy u(x_ν) < t dla ν 1 ⁴⁰. Stąd lim sup

ν→+∞

u(x_ν) 6 t, co wobec dowolności t, daje żądaną nierówność.

(⇐=): Niech u(a) < t i przypuśćmy, że w dowolnym otoczeniu U punktu a istnieje punkt x taki, że u(x)> t. Wtedy, bez trudu, konstruujemy ciąg x^ν −→ a taki, że u(xν) > t, ν ∈ N. W takim razie, lim sup

ν→+∞

u(xν) > t > u(a); sprzeczność.

Propozycja 1.3.5 (Twierdzenie Weierstrassa). Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną zwartą i niech f ∈ C^↑(X, R). Wtedy istnieje punkt x⁰∈ X taki, że f (x0) = sup f (X).

Dowód . Niech M := sup f (X) i niech (x^ν)^∞_ν=1 ⊂ X będzie taki, że f (xν) −→ M . Wobec zwartości X możemy założyć, że xν−→ x0 dla pewnego x0∈ X. Wtedy, na podstawie Propozycji 1.3.4, mamy

M > f (x0) > lim sup

ν→+∞

f (x_ν) = M.

Ćwiczenie 1.3.6. Czy Twierdzenie 1.3.5 pozostaje prawdziwe dla dowolnej zwartej przestrzeni topologicznej ?

Propozycja 1.3.7 (Twierdzenie Baire’a). Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy dla dowolnej funkcji u ∈ C^↑(X, R) istnieje ciąg (uν)^∞_ν=1 ⊂ C(X, R) taki, że uν & u punktowo na X (por. Obser- wacja 1.3.3(h)).

Ponadto, jeżeli u ∈ C^↑(X, [−∞, +∞)), to ciąg (u_ν)^∞_ν=1 można wybrać w C(X, R) ⁴¹ .

40 Mówimy, że własność W (ν) zachodzi dla ν 1, jeżeli istnieje ν0takie, że W (ν) zachodzi dla ν> ν0.

41 W szczególności, każda funkcja półciągła z góry (lub z dołu) jest funkcją I klasy Baire’a — Ćwiczenie.