Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki

(1)

Uniwersytet Jagielloński

Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki

Wykłady

z Analizy Matematycznej I, II, III, IV

Marek Jarnicki

(Wersja z 13 czerwca 2015)

(2)

(3)

Spis treści

Część I. Analiza Matematyczna I . . . 1

Rozdział 1. Wstęp . . . 3

1.1. Logika . . . 3

1.2. Zbiory . . . 4

1.3. Relacje . . . 4

1.4. Odwzorowania . . . 5

1.5. Zbiory przeliczalne . . . 6

1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane . . . 7

1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych . . . 8

1.8. Kresy . . . 10

1.9. Nieprzeliczalność R . . . 11

1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe . . . 11

1.11. Uzupełniony (rozszerzony) zbiór liczb rzeczywistych . . . 12

1.12. Liczby zespolone . . . 12

Rozdział 2. Ciągi liczbowe . . . 15

2.1. Ciągi liczbowe . . . 15

2.2. Pierwiastkowanie i potęgowanie . . . 16

2.3. Liczba e . . . . 19

2.4. Granice górne i dolne . . . 20

Rozdział 3. Przestrzenie metryczne . . . 23

3.1. Przestrzenie metryczne . . . 23

3.2. Przestrzenie zwarte . . . 25

3.3. Przestrzenie spójne . . . 26

3.4. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych . . . 27

3.5. Przestrzenie unormowane . . . 27

Rozdział 4. Ciągłość . . . 29

4.1. Funkcje ciągłe . . . 29

4.2. Granica w punkcie . . . 30

4.3. Własności funkcji ciągłych . . . 31

4.4. Krzywe . . . 34

Rozdział 5. Pochodna . . . 35

5.1. Podstawowe pojęcia . . . 35

5.2. Twierdzenia o wartościach średnich . . . 37

5.3. Reguła de L’Hôpitala . . . 39

5.4. Pochodne wyższych rzędów . . . 40

5.5. Wzór Taylora . . . 42

5.6. Funkcje wypukłe . . . 45

Część II. Analiza Matematyczna II . . . 49

Rozdział 6. Szeregi . . . 51

6.1. Szeregi liczbowe . . . 51

3

(4)

4 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści

6.2. Iloczyny szeregów . . . 55

6.3. Ciągi i szeregi funkcyjne . . . 57

6.4. Szeregi potęgowe . . . 62

6.5. Szeregi potęgowe rzeczywiste . . . 65

6.6. Szereg Taylora . . . 66

6.7. Funkcje analityczne . . . 67

Rozdział 7. Całka . . . 71

7.1. Całka Riemanna . . . 71

7.2. Długość krzywej . . . 78

7.3. Przykłady zastosowania całek . . . 80

7.4. Całka niewłaściwa . . . 83

Rozdział 8. Szeregi Fouriera . . . 87

8.1. Szeregi Fouriera . . . 87

Część III. Analiza Matematyczna III . . . 95

Rozdział 9. Elementy topologii . . . 97

9.1. Przestrzenie metryczne II . . . 97

9.2. Funkcje półciągłe . . . 100

9.3. Funkcje wypukłe II . . . 102

9.4. Przestrzenie unormowane II . . . 104

9.5. Rodziny sumowalne . . . 112

9.6. Szeregi potęgowe . . . 118

9.7. Operator odwracania w algebrach Banacha . . . 119

9.8. Twierdzenie aproksymacyjne Stone’a–Weierstrassa . . . 120

9.9. Wielomiany Bernsteina . . . 123

Rozdział 10. Różniczkowanie odwzorowań . . . 125

10.1. Różniczkowanie odwzorowań zmiennej rzeczywistej . . . 125

10.2. Wzór Taylora . . . 133

10.4. Funkcje analityczne . . . 136

10.5. Pochodne kierunkowe . . . 138

10.6. Różniczkowanie odwzorowań określonych w przestrzeni unormowanej . . . 141

10.7. Druga pochodna . . . 149

10.8. Przestrzenie unormowane III . . . 152

10.9. Pochodne wyższych rzędów . . . 155

10.10. Wzór Taylora . . . 159

10.12. Ekstrema lokalne . . . 163

10.13. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym . . . . 165

10.14. Odwzorowania analityczne . . . 172

10.15. Twierdzenie o rzędzie . . . 175

10.16. Podrozmaitości . . . 177

10.17. Ekstrema warunkowe . . . 185

Część IV. Analiza Matematyczna IV . . . 189

Rozdział 11. Całka Riemanna . . . 191

11.1. Całka Riemanna na kostce . . . 191

11.2. Całka Riemanna na zbiorze regularnym . . . 197

11.3. Własności całki Riemanna . . . 199

11.4. Całki krzywoliniowe. Wzór Greena . . . 201

Rozdział 12. Teoria miary i całki . . . 207

(5)

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015

Spis treści ⁵

12.1. Miara i całka — repetytorium . . . 207

12.2. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a . . . 215

12.3. Zasada Cavalieriego. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego . . . 216

12.4. Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Lebesgue’a . . . 220

12.5. Funkcje dane całką . . . 223

12.6. GęstośćC0(Ω, C) w L^p(Ω, C, Lⁿ) . . . 224

12.7. Splot . . . 224

12.8. Regularyzacja . . . 226

12.9. Rozkład jedności . . . 228

12.10. Miara i całka Lebesgue’a na podrozmaitościach w Rⁿ . . . 230

Rozdział 13. Twierdzenie Stokesa . . . 233

13.1. Orientacja . . . 233

13.2. Formy różniczkowe . . . 238

13.3. Twierdzenie Stokesa . . . 247

Rozdział 14. Wybrane rozdziały analizy matematycznej . . . 255

14.1. Szeregi Fouriera II . . . 255

14.2. Odwzorowania o wahaniu ograniczonym . . . 259

14.3. Kryterium Jordana II . . . 261

14.4. Transformacja Fouriera . . . 262

Rozdział Literatura . . . 267

Rozdział Indeks nazwisk . . . 269

Rozdział Indeks . . . 271

(6)

Część I

Analiza Matematyczna I

(7)

(8)

ROZDZIAŁ 1

Wstęp

1.1. Logika

Będziemy rozważać zdania, o których możemy zawsze stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe.

Z punktu widzenia logiki istotne jest wyłącznie to, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Fakt, iż zdanie p jest prawdziwe zapisujemy p = 1, zaś, gdy jest fałszywe piszemy p = 0. Jeżeli p = 1, to mówimy, że p ma wartość logiczną 1, jeżeli p = 0, to p ma wartość logiczną 0.

Zaprzeczenie (negację) zdania p oznaczamy ∼ p. Oczywiście, p = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ p = 1.

Parom zdań (p, q) możemy przy pomocy pewnych reguł (funktorów ) • przyporządkowywać nowe zdania p•q. W tym celu wystarczy podać wartość logiczną zdania p•q w zależności od wartości logicznych zdań p i q. Trzeba więc wypełnić tabelkę:

p q p • q

0 0 ?

0 1 ?

1 0 ?

1 1 ?

gdzie w miejscach pytajników należy wpisać 1 lub 0 (ich układ wyznacza jednoznacznie funktor •). Łatwo widać, że mamy 2⁴= 16 możliwości. Podstawowe funktory to:

(1) Alternatywa (suma logiczna) p ∨ q, inaczej oznaczana „lub”.

(2) Koniunkcja (iloczyn logiczny) p ∧ q, inaczej oznaczana „i”, lub samym przecinkiem.

(3) Implikacja (wynikanie) p =⇒ q (p nazywamy poprzednikiem, q nazywamy następnikiem).

(4) Równoważność (wtedy i tylko wtedy) p ⇐⇒ q.

p q p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p ∧ q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

p q p =⇒ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p ⇐⇒ q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Przy pomocy funktorów ∼, ∨, ∧, =⇒ i ⇐⇒ możemy tworzyć bardziej skomplikowane zdania, np. (∼ p) ∧ q, czy też (p ∧ q) ∨ r.

Prawa de Morgana ¹ :

∼ (p ∨ q) ⇐⇒ (∼ p) ∧ (∼ q),

∼ (p ∧ q) ⇐⇒ (∼ p) ∨ (∼ q).

Kwantyfikatory:

Kwantyfikator (duży) „dla każdego” ∀, np. ∀_x∈R : x²> 0.

Kwantyfikator (mały) „istnieje” ∃, np. ∃_x∈R: x²= 2.

Istnieje dokładnie jeden ∃!, np. ∃!_x∈R : x> 0, x²= 2.

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:

1

Augustus De Morgan (1806–1871).

3

(9)

4 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1. Wstęp

∼ (∀x∈A: W (x)) ⇐⇒ ∃_x∈A:∼ W (x),

∼ (∃x∈A: W (x)) ⇐⇒ ∀_x∈A:∼ W (x).

Definiowanie:

Oznaczenie „:=” oznacza równość z definicji i stosujemy je następująco:

obiekt definiowany := obiekt definiujący, np. f (x) := x², ale też x²=: f (x).

Podobnie, oznaczenie „:⇐⇒” oznacza równoważny z definicji, np.

A ⊂ B :⇐⇒ ∀x∈A: x ∈ B.

1.2. Zbiory

Pojęcia zbioru oraz należenia do zbioru są pierwotne i nie są definiowane. Zbiór pusty, tzn. zbiór, do którego nie należy żaden element, oznaczamy przez ∅.

Zawieranie (inkluzja) zbiorów: A ⊂ B :⇐⇒ ∀x∈A: x ∈ B. Będziemy też pisać A ⊃ B, jeżeli B ⊂ A.

Równość zbiorów: A = B :⇐⇒ A ⊂ B, B ⊂ A. Będziemy pisać A B, jeżeli A ⊂ B i A 6= B.

Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru (potęga zbioru) X: P(X) := {A : A ⊂ X}.

P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

P(∅) = {∅}, P(P(∅)) = {∅, {∅}}, . . . .

Jeżeli zbiór X ma N elementów, X = {x1, . . . , xN}, to zbiórP(X) ma 2^N elementów.

Suma zbiorów: Jeżeli (Ai)i∈I⊂P(X), to S

i∈I

Ai:= {x ∈ X : ∃i∈I: x ∈ Ai}.

Jeżeli I = {k, k + 1, . . . , N }, to piszemy

N

S

j=k

Aj. Jeżeli I = {k, k + 1, . . . }, to piszemy

∞

S

j=k

Aj. Iloczyn (przecięcie) zbiorów: T

i∈I

A_i := {x ∈ X : ∀i∈I : x ∈ Ai}; podobnie jak dla sumy zbiorów definiujemy

N

T

j=k

A_j i

∞

T

j=k

A_j.

Różnica zbiorów: Jeżeli A, B ⊂ X, to A \ B := {x ∈ A : x /∈ B}; A^c:= X \ A dopełnienie zbioru A.

Prawa de Morgana dla zbiorów: (S

i∈I

Ai)^c= T

i∈I

A^c_i, (T

i∈I

Ai)^c= S

i∈I

A^c_i.

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów: A × B := {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}, gdzie (x, y) := {{x}, {x, y}}.

Jeżeli A = B, to zamiast A × A, piszemy często A². Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów:

A1× · · · × An := {(x1, . . . , xn) : x1∈ A1, . . . , xn ∈ An}, gdzie (x1, . . . , xn) := {{x1}, {x1, x2}, . . . , {x1, . . . , xn}}; A × · · · × A

| {z }

n razy

=: Aⁿ.

Ćwiczenie 1.2.1. Udowodnić, że (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) ⇐⇒ x1= y1, . . . , xn= yn.

Zbiory liczbowe:

N — zbiór liczb naturalnych 1, 2, . . . , N0:= N ∪ {0}, N^k := {n ∈ N : n > k} (k ∈ N), Z — zbiór liczb całkowitych,

Q — zbiór liczb wymiernych, R — zbiór liczb rzeczywistych, C — zbiór liczb zespolonych.

Oczywiście N ⊂ N0⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

A_∗ := A \ {0}, np. Q∗. A₊ := {x ∈ A : x> 0}, np. Z+(= N0). A_>0 := {x ∈ A : x > 0}, np. R>0. Podobnie definiujemy A₋, A_<0.

1.3. Relacje

Definicja 1.3.1. Relacją w zbiorze X nazywamy dowolny zbiór R ⊂ X × X. Zamiast pisać (x, y) ∈ R piszemy zwykle xRy. Relację R nazywamy równoważnościową, jeżeli:

(i) (zwrotność) ∀x∈X : xRx,

(ii) (symetryczność) ∀x,y∈X: (xRy =⇒ yRx),

(iii) (przechodniość) ∀x,y,z∈X : ((xRy, yRz) =⇒ xRz).

(10)

1.4. Odwzorowania ⁵

Jeżeli R ⊂ X × X jest relacją równoważnościową, to dla dowolnego x ∈ X definiujemy klasę równo- ważności (abstrakcji) x względem R

[x]R:= {y ∈ X : xRy}.

Rodzinę X/R := {[x]R: x ∈ X} ⊂P(X) nazywamy przestrzenią ilorazową.

Oczywiście, x ∈ [x]_R oraz [x]_R= [y]_R⇐⇒ xRy (Ćwiczenie).

Przykład 1.3.2. X = Z, xRy :⇐⇒ 2|(x − y). Wtedy Z/R = {[0]^R, [1]R}.

1.4. Odwzorowania

Definicja 1.4.1. Dane niech będą zbiory X oraz Y . Zbiór f ⊂ X × Y nazywamy odwzorowaniem (funkcją), jeżeli

∀x∈X∃!y∈Y : (x, y) ∈ f.

Jeżeli f ⊂ X × Y jest odwzorowaniem, to piszemy f : X −→ Y . Zamiast pisać (x, y) ∈ f , piszemy y = f (x). Jest to zgodne z tradycyjną definicją odwzorowania f : X −→ Y jako przyporządkowania każdemu elementowi x ∈ X pewnego elementu y = f (x) ∈ Y .

Dla A ⊂ X definiujemy obraz A poprzez f jako zbiór f (A) := {f (x) : x ∈ A}. Dla B ⊂ Y definiujemy przeciwobraz B poprzez f jako zbiór f⁻¹(B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B}. Zamiast pisać f⁻¹({b}) piszemy f⁻¹(b).

Odwzorowanie f : X −→ Y nazywamy:

• surjekcją, jeżeli Y = f (X);

• injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), jeżeli dowolnych x₁, x₂ ∈ X z tego, że f (x₁) = f (x₂) wynika, że x₁= x₂(równoważnie: jeżeli x₁6= x₂, to f (x₁) 6= f (x₂));

• bijekcją, jeżeli jest równocześnie injekcją i surjekcją.

Dla bijekcji f : X −→ Y definiujemy odwzorowanie odwrotne (funkcję odwrotną) f⁻¹ : Y −→ X przy pomocy przepisu f⁻¹(y) = x :⇐⇒ y = f (x).

Jeżeli f : X −→ Y , to dla A ⊂ X określamy zacieśnienie (zawężenie, restrykcję) odwzorowania f do A jako odwzorowanie f |A: A −→ Y dane wzorem f |A(x) := f (x), x ∈ A.

Jeżeli fj : Xj −→ Y , j = 1, 2, oraz f1|X₁∩X2 = f2|X₁∩X2, to odwzorowanie f1∪ f2: X1∪ X2−→ Y dane wzorem (f1∪ f2)(x) :=

(f1(x), gdy x ∈ X1

f2(x), gdy x ∈ X2

nazywamy sklejeniem odwzorowań f1 i f2. Jeżeli f : X −→ Y oraz g : Y −→ Z, to odwzorowanie g ◦ f : X −→ Z dane wzorem

(g ◦ f )(x) := g(f (x)), x ∈ X, nazywamy złożeniem odwzorowań f oraz g.

Jeżeli f_j: X −→ Y_j, j = 1, . . . , N , to odwzorowanie (f₁, . . . , f_N) : X −→ Y₁× · · · × Y_N dane wzorem (f1, . . . , fN)(x) := (f1(x) . . . , fN(x)) nazywamy zestawieniem odwzorowań f1, . . . , fN.

Jeżeli fj: Xj −→ Yj, j = 1, . . . , N , to odwzorowanie (f1× · · · × fN) : X1× · · · × XN −→ Y1× · · · × YN dane wzorem (f1, . . . , fN)(x1, . . . , xN) := (f1(x1) . . . , fN(xN)) nazywamy iloczynem kartezjańskim odwzorowań f1, . . . , fN.

Jeżeli zbiór f (X) jest jednopunktowy, to mówimy, że f jest odwzorowaniem stałym.

Odwzorowanie X 3 x7−→ x ∈ X nazywamy odwzorowaniem identycznościowym.^id^X

Każde odwzorowanie f : N −→ X nazywamy ciągiem w X. Zwykle kładziemy fⁿ := f (n), n ∈ N, i piszemy (f_n)^∞_n=1 ⊂ X lub (fn)_n∈N ⊂ X, np. (1/n)^∞_n=1 ⊂ Q. Podciągiem ciągu f : N −→ X jest nazywamy dowolny ciąg postaci f ◦ ϕ : N −→ X, gdzie ϕ : N −→ N jest odwzorowaniem takim, że ϕ(1) < ϕ(2) < . . . (zauważmy, że ϕ musi być injekcją). Kładąc n_k := ϕ(k), k ∈ N, piszemy wtedy, że (f_n_k)^∞_k=1jest podciągiem ciągu (f_n)^∞_n=1.

Jeżeli A ⊂ X, to przez χA,X : X −→ {0, 1} oznaczamy funkcję charakterystyczną zbioru A,

χA,X(x) :=

(1, gdy x ∈ A 0, gdy x ∈ X \ A; jeżeli zbiór X nie budzi wątpliwości, to będziemy pisać χA.

(11)

Obserwacja 1.4.2. (a) Jeżeli f : X −→ Y , to f (S

i∈I

A_i) = S

i∈I

f (A_i) oraz f (T

i∈I

A_I) ⊂ T

i∈I

f (A_i) (Ćwi- czenie: znaleźć przykład funkcji f : R −→ R oraz zbiorów A, B ⊂ R takich, że ∅ = f (A ∩ B) f (A) ∩ f (B) 6= ∅).

(b) Jeżeli f : X −→ Y , to f⁻¹(S

j∈J

Bj) = S

j∈J

f⁻¹(Bj) oraz f⁻¹(T

j∈J

Bj) = T

j∈J

f⁻¹(Bj).

(c) Składanie odwzorowań jest łączne, tzn. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .

(d) Odwzorowanie f : X −→ Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie g : Y −→ X takie, że g ◦ f = idX oraz f ◦ g = idY.

(e) Jeżeli f : X −→ Y i g : Y −→ Z są injekcjami (odp. surjekcjami, bijekcjami), to g ◦ f jest injekcją (odp. surjekcją, bijekcją). Ponadto, jeżeli f i g są bijekcjami, to (g ◦ f )⁻¹= f⁻¹◦ g⁻¹.

(f) Jeżeli f : X −→ Y jest bijekcją, to f⁻¹: Y −→ X jest również bijekcją, (f⁻¹)⁻¹= f oraz f⁻¹(B)(przeciwobraz poprzez f ) = f⁻¹(B)(obraz poprzez f⁻¹).

1.5. Zbiory przeliczalne

Twierdzenie 1.5.1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech A ⊂ Z. Jeżeli k⁰∈ A oraz

∀_k∈Z(k ∈ A =⇒ k + 1 ∈ A), to {k ∈ Z : k > k⁰} ⊂ A.

Twierdzenie 1.5.2 (Zasada minimum). Niech ∅ 6= A ⊂ N. Wtedy

∃k0∈A∀k∈A: k06 k, tzn. k0= min A.

Definicja 1.5.3. Dwa zbiory X oraz Y nazywamy równolicznymi, jeżeli istnieje bijekcja ϕ : X −→ Y . Zbiór A nazywamy skończonym, jeżeli A = ∅ lub A jest równoliczny ze zbiorem {1, . . . , n} dla pewnego n ∈ N (wtedy mówimy, że A jest n-elementowy). Zbiory nieskończone to takie, które nie są skończone.

Mówimy, że A jest przeliczalny, jeżeli A jest równoliczny z N; zapisujemy to jako #A = ℵ⁰. Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub przeliczalny; zapisujemy to jako #A6 ℵ⁰. Zbiór A nazywamy nieprzeliczalnym, jeżeli nie jest co najwyżej przeliczalny.

Obserwacja 1.5.4. (a) Relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważnościową.

(b) Zbiór jest przeliczalny, jeżeli wszystkie wyrazy tego zbioru można ustawić w ciąg różnowartościowy.

(c) N⁰, Z są przeliczalne.

(d) Każdy nieskończony zbiór C ⊂ N można ustawić w ciąg ściśle rosnący a : N −→ C, tzn. a(n) <

a(n + 1), n ∈ N.

Istotnie, korzystając z zasady minimum definiujemy a(1) : = min C,

a(n) : = min(C \ {a(1), . . . , a(n − 1)}), n > 2.

Trzeba tylko pokazać, że a jest odwzorowaniem surjektywnym. Przypuśćmy, że c₀∈ C \ a(N). Wtedy n 6 a(n) 6 c0 dla dowolnego n ∈ N, co daje sprzeczność.

(e) Dowolny nieskończony podzbiór B zbioru przeliczalnego A jest przeliczalny.

Istotnie, ponieważ A jest przeliczalny, istnieje bijekcja ϕ : N −→ A. Niech C := ϕ⁻¹(B); jest to zbiór nieskończony oraz ϕ|C : C −→ B jest bijekcją. Wiemy, że C można ustawić w ciąg ściśle rosnący a : N −→ C. Teraz ψ := ϕ ◦ a jest bijekcją N −→ B.

Twierdzenie 1.5.5. Załóżmy, że rodzina (Ai)i∈I ⊂P(X) jest taka, że #I 6 ℵ0 oraz #Ai 6 ℵ⁰, i ∈ I.

Wtedy zbiór A := S

i∈I

Ai jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód . Wystarczy pokazać, że w przypadku gdy #I = ℵ⁰oraz #Ai= ℵ0, i ∈ I, zbiór A jest przeliczalny.

Możemy założyć, że I = N oraz, że każdy zbiór Aⁱ jest ustawiony w ciąg (ai,n)^∞_n=1. Elementy wszystkich

(12)

1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane ⁷

zbiorów ustawiamy w nieskończoną tablicę

a_1,1 −→ a_1,2 a_1,3 −→ a_1,4 . . .

↓ ↑ ↓ . . .

a_2,1 ←− a_2,2 a_2,3 a_2,4 . . .

↓ ↑ ↓ . . .

a_3,1 −→ a_3,1 −→ a_3,3 a_3,4 . . .

↓ . . . a4,1 ←− a4,2 ←− a4,3 ← a4,4 . . .

↓ . . .

· · · · · · · · ·

i teraz wszystkie elementy zbioru A ustawimy w ciąg zgodnie ze strzałkami. Wniosek 1.5.6. Jeżeli X1, . . . , Xn są co najwyżej przeliczalne, to X1× · · · × Xn jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód . Indukcja względem n. Przypadek n = 1 jest oczywisty. Przechodzimy do kroku indukcyjnego n n + 1. Wtedy

X₁× · · · × Xn+1= [

x_n+1∈Xn+1

X₁× · · · × Xn× {xn+1}

i możemy zastosować Twierdzenie 1.5.5.

Wniosek 1.5.7. Zbiór Q jest przeliczalny.

Dowód . Q możemy utożsamiać z pewnym nieskończonym podzbiorem Z². Twierdzenie 1.5.8 (Cantor ² ). Zbiór X wszystkich ciągów N −→ {0, 1} jest nieprzeliczalny.

Dowód . Oczywiście X jest nieskończony. Przypuśćmy, że ustawiliśmy go w ciąg a : N −→ X. Teraz zdefiniujemy pewien element x ∈X:

x(n) := 1 − a(n)(n), n ∈ N.

Ponieważ, x /∈ a(N) dostajemy sprzeczność.

Powyższa metoda dowodu nosi nazwę metody przekątniowej.

1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane

Definicja 1.6.1. Grupą przemienną (abelową) nazywamy dowolną parę (G, •), gdzie G jest zbiorem niepustym, zaś • : G × G −→ G jest działaniem spełniającymi następujące warunki:

(a) ∀a,b,c∈G: (a • b) • c = a • (b • c) (łączność), (b) ∃_e∈G∀a∈G: a • e = e • a = a (element neutralny),

(c) ∀a∈G ∃a⁰∈G : a • a⁰ = a⁰• a = 0 (element odwrotny; jeżeli spełnione są warunki (a), (b) i (c), to mówimy, że (G, •) jest grupą),

(d) ∀_a,b∈G: a • b = b • a (przemienność).

Ciałem nazywamy dowolną trójkę (F, +, ·), gdzie F jest niepustym zbiorem, zaś + : F × F −→ F, · : F × F −→ F

są działaniami spełniającymi następujące warunki:

(a) (F, +) jest grupą przemienną (element neutralny względem + oznaczamy przez 0, zaś element od- wrotny przez −a),

(b) (F∗, ·) jest grupą przemienną (element neutralny względem · oznaczamy przez 1, zaś element od- wrotny przez a⁻¹),

(c) ∀a,b,c∈F : a · (b + c) = a · b + a · c (rozdzielność mnożenia względem dodawania).

2

Georg Cantor (1845–1918).

(13)

Mówimy, że czwórka (F, +, ·, <) jest ciałem uporządkowanym jeżeli (F, +, ·) jest ciałem, zaś < jest relacją w F taką, że:

(P1) ∀_a,b∈F : zachodzi dokładnie jedna z możliwości: a < b, a = b, b < a (spójność), (P2) ∀_a,b,c∈F : ((a < b, b < c) =⇒ a < c) (przechodniość).

(P3) ∀a,b,c∈F : (b < c =⇒ a + b < a + c) (zgodność relacji z dodawaniem), (P4) ∀a,b,c∈F : (0 < a, b < c) =⇒ a · b < a · c (zgodność relacji z mnożeniem).

Mówimy, że ciało uporządkowane (F, +, ·, <) spełnia aksjomat ciągłości (aksjomat Dedekinda ³ ), jeżeli niemożliwe jest przedstawienie F = A ∪ B, gdzie

(C1) A, B 6= ∅, (C2) ∀_{a∈A, b∈B}: a < b, (C3) ∀_a∈A∃_a⁰_∈A: a < a⁰, (C4) ∀_b∈B ∃_b⁰_∈B : b⁰< b.

Obserwacja 1.6.2. (Q, +, ·, <) jest ciałem uporządkowanym, które nie spełnia aksjomatu Dedekinda.

Istotnie, Q = {x ∈ Q : (x 6 0) ∨ (x > 0, x²< 2)} ∪ {x ∈ Q : x²> 2}.

1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

Zakładamy, że znamy ciało uporządkowane (Q, +, ·, <) wraz ze standardową wartością bezwzględną

| | : Q −→ Q+.

Definicja 1.7.1. Mówimy, że ciąg a = (an)^∞_n=1⊂ Q jest ciągiem Cauchy’ego ⁴ , jeżeli

∀_ε∈Q_>0 ∃_{N ∈N}∀_m,n>N : |a_n− a_m| 6 ε.

Dla ciągów a = (an)^∞_n=1, b = (bn)^∞_n=1⊂ Q definiujemy

a ∼ b :⇐⇒ ∀_ε∈Q_>0 ∃_{N ∈N}∀_n>N : |an− bn| 6 ε.

Niech

C = {a = (an)^∞_n=1⊂ Q : a jest ciągiem Cauchy’ego}.

Łatwo widać, że ∼ jest relacją równoważności wC. Definiujemy zbiór liczb rzeczywistych R := C/ ∼ .

Konstrukcja 1.7.2 (Budowa struktury zbioru liczb rzeczywistych). Poniżej a = (an)^∞_n=1, b = (bn)^∞_n=1, c = (cn)^∞_n=1, d = (dn)^∞_n=1∈C.

(a) a + b := (a_n+ b_n)^∞_n=1∈C. Jeżeli a ∼ c oraz b ∼ d, to a + b ∼ c + d.

(b) Istnieje M ∈ Q⁺ takie, że |an| 6 M, n ∈ N.

Istotnie, biorąc w definicji ciągu Cauchy’ego, ε = 1 wnioskujemy, że istnieje N ∈ N takie, że

|an− aN| 6 1 dla n > N. W takim razie wystarczy wziąć M := max{|a1|, . . . , |aN −1|, |aN| + 1}.

(c) a · b := (anbn)^∞_n=1∈C.

Istotnie, niech M ∈ Q⁺ będzie takie, że |an|, |bn| 6 M dla n ∈ N. Wtedy |anbn − ambm| 6 M (|an− am| + |bn− bm|).

(d) Jeżeli a ∼ c oraz b ∼ d, to a · b ∼ c · d.

Istotnie, niech M ∈ Q⁺ będzie takie, że |bn|, |cn| 6 M dla n ∈ N. Wtedy |anbn − cndn| 6 M (|an− cn| + |bn− dn|).

(e) Powyższe własności pozwalają zdefiniować wC/∼ działania dodawania i mnożenia:

[a]∼+ [b]∼:= [a + b]∼, [a]_∼· [b]∼:= [a · b]_∼.

Jest oczywiste, że działania te są łączne i przemienne. Ponadto, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

(f) Dla r ∈ Q przez r rozumiemy ciąg stały rⁿ := r, n ∈ N. Oczywiście r ∈ C. Teraz definiujemy τ : Q −→ R, τ (r) = [r]^∼, r ∈ Q. Zauważmy, że τ jest injektywne oraz τ (r¹+ r2) = τ (r1) + τ (r2), τ (r1· r2) = τ (r1) · τ (r2), czyli τ jest zgodne z działaniami.

3

Julius Dedekind (1831–1916).

4

Augustin Cauchy (1789–1857).

(14)

1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych ⁹

(g) Elementy τ (0) = [0]_∼ oraz τ (1) = [1]_∼ są neutralne odp. względem dodawania i mnożenia. Łatwo też widać, że element [−a]_∼ jest odwrotny do [a]_∼ względem dodawania, gdzie −a := (−a_n)^∞_n=1. Krótko: −[a]_∼= [−a]_∼.

(h) a 6∼ b ⇐⇒ ∃ε₀∈Q>0, N ∈N: (∀_n>N : an> bⁿ+ ε0) ∨ (∀_n>N : bn> aⁿ+ ε0).

Istotnie, implikacja „⇐=” jest oczywista. Dla dowodu implikacji „=⇒” wprost z definicji relacji ∼ wnioskujemy, że istnieje ε ∈ Q^>0oraz ciąg liczb (nk)^∞_k=1⊂ N takie, że n1< n2< . . . i |an_k−bn_k| > ε.

Niech I+:= {k ∈ N : aⁿk−bn_k > ε}, I₋ := {k ∈ N : bⁿk−an_k> ε}. Co najmniej jeden z tych zbiorów musi być nieskończony. Przyjmijmy, że I+. Zastępując ciąg (nk)^∞_k=1stosownym podciągiem, możemy założyć, że I₊ = N. Wobec definicji ciągu Cauchy’ego istnieje N ∈ N takie, że |an − am| 6 ε/3 i |b_n− b_m| 6 ε/3 dla n, m > N. Ustalmy k ∈ N takie, że nk> N . Wtedy dla n > N mamy

a_n− bn> ank− bnk− |an− ank| − |bn− bnk| > ε/3 =: ε0.

(i) Niech a 6∼ 0 i niech ε0 ∈ Q>0 oraz N ∈ N będą takie, że |aⁿ| > ε0 dla n> N . Zdefiniujmy a^∗ = (c_n)^∞_n=1, c_n:= 0 dla 16 n 6 N − 1 i cn:= 1/a_n dla n> N . Wtedy a^∗∈C oraz [a]∼· [a^∗]_∼= [1]_∼, czyli, że [a^∗]_∼= [a]⁻¹_∼ .

Istotnie, dla m, n> N mamy |1/an− 1/a_m| 6 _ε¹2 0

|a_n− a_m|.

(j) Wykazaliśmy, że (R, +, ·) jest ciałem.

(k) Wprowadzamy porządek: [a]_∼< [b]_∼:⇐⇒ ∃_ε∈Q_>0_{, N ∈N}: ∀_n>N : an+ ε6 bⁿ.

Jest to relacja poprawnie określona, spójna, przechodnia i zgodna z działaniami.

Istotnie, jeżeli a ∼ c, b ∼ d, oraz an+ ε 6 bⁿ dla n > N , to dobieramy N¹ > N takie, że

|an− cn| 6 ε/3, |bn− dn| 6 ε/3 dla n > N1. Wtedy, dla n> N¹ mamy cn+ ε/3 6 aⁿ+ 2ε/36 bn− ε/3 6 dn.

(P1) wynika natychmiast z (h).

(P2): Jeżeli an+ ε16 bⁿ dla n> N¹ i bn+ ε16 cⁿ dla n> N², to biorąc ε := min{ε1, ε2}, dla n > max{N¹, N2}, mamy an+ 2ε6 bⁿ+ ε6 cⁿ.

(P3): Jeżeli bn+ ε6 cⁿ dla n> N , to aⁿ+ bn+ ε6 aⁿ+ cn dla n> N .

(P4): Jeżeli 0 + ε1 6 an dla n > N1 oraz bn + ε2 6 cn dla n > N2, to dla ε := ε1· ε2 i n > max{N1, N₂} mamy an· bn+ ε6 an(b_n+ ε₂)6 an· cn dla n> N .

(l) (R, +, ·, <) jest ciałem uporządkowanym.

(m) Dla r₁, r₂∈ Q mamy r1< r₂⇐⇒ τ (r₁) < τ (r₂), co oznacza, że τ jest zgodnie z relacjami <.

(n) Utożsamiamy Q z τ (Q). W szczególności, piszemy 0, 1 zamiast τ (0), τ (1).

(o) W R wprowadzamy relacje 6, >, > oraz wartość bezwzględną | | : R −→ R:

a 6 b :⇐⇒ (a = b) ∨ (a < b), a > b :⇐⇒ b < a,

a > b :⇐⇒ (a = b) ∨ (a > b),

|a| :=







a, jeżeli a > 0 0, jeżeli a = 0

−a, jeżeli a < 0 ,

(p) Oczywiście powyższa wartość bezwzględna zgadza się na Q z wyjściową wartością bezwzględną dla liczb wymiernych (|τ (r)| = |r| dla r ∈ Q). Łatwo można sprawdzić (Ćwiczenie), że dla a, b ∈ R mamy |a · b| = |a| · |b|, |a + b|6 |a| + |b|.

(q) Wprowadzamy przedziały:

[a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b} dla a 6 b,

[a, b) := {x ∈ R : a 6 x < b}, (a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}, (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} dla a < b, [a, +∞) := {x ∈ R : x > a}, (a, +∞) := {x ∈ R : x > a} dla a ∈ R,

(−∞, b] := {x ∈ R : x 6 b}, (−∞, a) := {x ∈ R : x < b} dla b ∈ R, (−∞, +∞) := R, ∅,

R+:= [0, +∞), R^>0:= (0, +∞), R− := (−∞, 0], R^<0:= (−∞, 0).

(r) Jeżeli a, b ∈ R, a < b, to istnieje r ∈ Q takie, że r ∈ (a, b) (gęstość Q w R).

Niech a_n+ ε6 bndla n> N1. Dobieramy N₂takie, że |a_n− a_m|, |b_n− b_m| 6 ε/4 dla n, m > N2. Niech N = max{N₁, N₂}, r := a_N + ε/2. Dla n> N mamy an+ ε/46 aN + ε/2 = r < r + ε/4 = (aN + ε/2) + ε/46 b^N − ε/4 6 bn.

(s) Spełniony jest aksjomat Dedekinda.

(15)

Istotnie, przypuśćmy, że R = A ∪ B is spełnione są (C1) – (C4). Korzystając z tych warunków oraz (r), wnioskujemy, że istnieją liczby r₁, s₁ ∈ Q, r1 < s₁, takie, że r₁ ∈ A, s1 ∈ B. Rozważmy, punkt q := ¹₂(r₁+ s₁). Leży on albo w A albo w B. Jeżeli w A to definiujemy r₂ = q, s₂ := s₁. Jeżeli leży w B, to kładziemy r₂= r₁, s₂:= q. Powtarzamy procedurę. Dostajemy ciągi r = (r_n)^∞_n=1, s = (sn)^∞_n=1 ⊂ Q takie, że rn ∈ A, sn ∈ B, r1 6 r² 6 . . . 6 rⁿ < sn 6 sⁿ⁻¹ 6 . . . 6 s¹ i sn − rn = ₂n−1¹ (s1 − r1) dla dowolnego n ∈ N. Dla n, m > N mamy |rⁿ − rm| 6 sN − rN. Wynika stąd natychmiast, że r ∈ C. Podobnie s ∈ C. Oczywiście, r ∼ s, a więc [r]∼ = [s]_∼ =: c.

Przypuśćmy, że c ∈ A. Niech c⁰ ∈ A będzie takie, że c < c⁰. Wobec (r), musi istnieć t ∈ Q takie, c < t < c⁰. Oznacza to w szczególności, że istnieją ε ∈ Q^>0 i N ∈ N takie, że rⁿ+ ε 6 t < sⁿ dla n > N , co daje sprzeczność. Przypadek, gdy c ∈ B jest analogiczny (Ćwiczenie).

(t) (R, +, ·, <) jest ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dedekinda.

Można pokazać, że (R, +, ·, <) jest jedynym ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dede- kinda takim, że istnieje odwzorowanie injektywne τ : Q −→ R, które jest zgodne z działaniami i relacjami.

Dokładniej, jeżeli (eR, e+,e·,<) jest ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dedekinda takim, żee istnieje odwzorowanie injektywne eτ : Q −→ eR, które jest zgodne z działaniami i relacjami (<, e<), to istnieje bijekcja ϕ : eR −→ R zgodna z działaniami i relacjami ( e< i <) taka, że ϕ ◦eτ = τ .

1.8. Kresy

Definicja 1.8.1. Niech A ⊂ R. Mówimy, że A jest ograniczony od góry, jeżeli istnieje M ∈ R takie, że x 6 M dla dowolnego x ∈ A. Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru A. Zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A oznaczamy Maj A.

Mówimy, że A jest ograniczony od dołu, jeżeli istnieje m ∈ R takie, że m 6 x dla dowolnego x ∈ A.

Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru A. Zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A oznaczamy Min A.

Mówimy, że A jest ograniczony, jeżeli jest jednocześnie ograniczony od dołu i od góry.

Mówimy, że element a^∗ ∈ A jest maksimum zbioru A, jeżeli x 6 a^∗ dla dowolnego x ∈ A. Piszemy a^∗= max A.

Mówimy, że element a_∗ ∈ A jest minimum zbioru A, jeżeli a∗ 6 x dla dowolnego x ∈ A. Piszemy a_∗= min A.

Jeżeli zbiór Maj A 6= ∅ ma element minimalny, to nazywamy go supremum (kresem górnym) zbioru A i oznaczamy sup A. To znaczy, że sup A := min(Maj A).

Jeżeli zbiór Min A 6= ∅ ma element maksymalny, to nazywamy go infimum (kresem dolnym) zbioru A i oznaczamy inf A. To znaczy, że inf A := max(Min A).

Obserwacja 1.8.2. (a) Jeżeli a ∈ Maj A i b > a, to b ∈ Maj A. Jeżeli a ∈ Min A i b < a, to b ∈ Min A.

(b) Maj R = Min R = ∅.

(c) ∅ jest ograniczony, ale nie ma kresów.

(d) sup A i inf A są wyznaczone jednoznacznie.

(e) Jeżeli max A (odp. min A) istnieje, to max A = sup A (odp. min A = inf A).

(f) Każdy niepusty zbiór skończony A ⊂ R ma maksimum i minimum.

(g) max A = − min(−A), sup A = − inf(−A), gdzie −A := {−x : x ∈ A}. Jeżeli A jest ograniczony od góry (odp. od dołu), to −A jest ograniczony od dołu (odp. od góry).

(h) ∅ 6= A ⊂ R jest ograniczony od góry (odp. od dołu) i a⁰∈ R, to następujące warunki są równoważne:

• a0= sup A (odp. a0= inf A);

• a0∈ Maj A oraz ∀ε>0∃a∈A: a > a0− ε (odp. a0∈ Min A oraz ∀ε>0∃a∈A: a < a0+ ε).

Twierdzenie 1.8.3. Każdy niepusty zbiór ograniczony od góry (odp. od dołu) ma supremum (odp. infimum).

Dowód . Niech P := R \ Maj A, Q := Maj A. Wtedy:

• P ∪ Q = R;

• P, Q 6= ∅;

• jeżeli a ∈ P , b ∈ Q, to a < b;

• jeżeli a ∈ P , to istnieje b ∈ A takie, że a < b; biorąc a < a⁰< b dostajemy a⁰ ∈ P takie, że a < a⁰;

• z zasady ciągłości wynika, że istnieje b0∈ Q takie, że b06 b dla dowolnego b ∈ Q, czyli b⁰= sup A.

(16)

1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe ¹¹

Przypadek infimum przebiega analogicznie (Ćwiczenie).

Obserwacja 1.8.4. Zbiór I ⊂ R jest przedziałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ I, x < y, mamy [x, y] ⊂ I.

Oczywiście każdy przedział ma wyżej wymienioną własność. Załóżmy teraz, że ∅ 6= I ⊂ R ma tę własność.

• Jeżeli I jest ograniczony, to definiujemy a := inf I, b := sup I. Gdy a = b, to I = {a} = [a, a].

Jeżeli a < b, to, w zależności od tego, czy a i/lub b należą do I, mamy I ∈ {[a, b], (a, b], [a, b), (a, b)}.

• Jeżeli I jest ograniczony od góry, ale nie jest ograniczony od dołu, to definiujemy b := sup I.

Wtedy I ∈ {(−∞, b], (−∞, b)}.

• Jeżeli I jest ograniczony od dołu, ale nie jest ograniczony od góry, to definiujemy a := inf I.

Wtedy I ∈ {[a, +∞), (a, +∞)}.

• Jeżeli I nie jest ograniczony ani od góry ani od dołu, to I = R.

1.9. Nieprzeliczalność R

Twierdzenie 1.9.1 (Twierdzenie Cantora). Niech I_n := [a_n, b_n] ⊂ R, In+1 ⊂ I_n, n ∈ N. Wtedy

∞

T

n=1

In6= ∅.

Dowód . Dla dowolnych m, n mamy aⁿ6 b^m. Niech A := {a1, a2, . . . }. Jest to zbiór ograniczony z góry.

Niech a := sup A. Wtedy an6 a 6 bⁿ dla dowolnego n. Stąd a ∈

∞

T

n=1

In.

Ćwiczenie 1.9.2. Jeżeli w twierdzeniu Cantora ∀_ε>0 ∃_{N ∈N} : b_N − aN 6 ε, to

∞

T

n=1

I_n musi być jednopunktowy.

Twierdzenie 1.9.3. Dowolny przedział I ⊂ R taki, że #I > 2 jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód . Przypuśćmy, że I = {c¹, c2, . . . }. Ustalmy a, b ∈ I, a < b. Jeżeli c1 ∈ I/ 0 := [a, b], to kładziemy I1:= I0. Jeżeli c1∈ I0, to dobieramy mniejszy przedział I1= [a1, b1] ⊂ I0taki, że a1< b1i c1∈ I/ 1. Jeżeli c2 ∈ I/ 1, to kładziemy I2 := I1. Jeżeli c2 ∈ I1, to dobieramy mniejszy przedział I2 = [a2, b2] ⊂ I1 taki, że a2 < b2 i c2 ∈ I/ 2. Powtarzamy rozumowanie. Dostajemy zstępujący ciąg przedziałów In = [an, bn], a_n< b_n, n ∈ N taki, że c1, . . . , c_n∈ I/ _n, n ∈ N. Wynika stąd, że

∞

T

n=1

I_n= ∅ — sprzeczność. Wniosek 1.9.4. Zbiór R \ Q jest gęsty w R.

1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe

Definicja 1.10.1. Niech ∅ 6= A ⊂ R i f : A −→ R. Mówimy, że f jest rosnąca (odp. silnie rosnąca), jeżeli dla dowolnych x, y ∈ A stąd, że x < y wynika, że f (x)6 f (y) (odp. f (x) < f (y)).

Mówimy, że f jest malejąca (odp. silnie malejąca), jeżeli dla dowolnych x, y ∈ A stąd, że x < y wynika, że f (x)> f (y) (odp. f (x) > f (y)).

Funkcje rosnące lub malejące nazywamy monotonicznymi Funkcje silnie rosnące lub silnie malejące nazywamy silnie monotonicznymi

Oczywiście, powyższe definicje dotyczą też ciągów f : N −→ R.

Mówimy, że funkcja f jest okresowa jeżeli istnieje liczba ω > 0 (zwana okresem) taka, że:

• ∀x∈A: x + ω, x − ω ∈ A,

• ∀x∈A: f (x + ω) = f (x).

Jeżeli istnieje okres minimalny, to nazywamy go okresem zasadniczym (podstawowym).

Widać, że f jest rosnąca (odp. silnie rosnąca) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja −f jest malejąca (odp. silnie malejąca).

Przykład 1.10.2. Funkcja f := χ_Q,Rjest okresowa (dowolna liczba ω ∈ Q^>0jest jej okresem), ale f nie posiada okresu zasadniczego.

(17)

1.11. Uzupełniony (rozszerzony) zbiór liczb rzeczywistych

R := R ∪ {−∞, +∞}, gdzie −∞, +∞ /∈ R i −∞ 6= +∞. Dodawanie i mnożenie rozszerzamy na R tylko częściowo:

a, b ∈ R =⇒ a + b =

b\a −∞ R +∞

−∞ −∞ −∞ ?

R −∞ a + b +∞

+∞ ? +∞ +∞

a, b ∈ R =⇒ a · b = b\a −∞ R<0 0 R>0 +∞

−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞

R<0 +∞ a · b 0 a · b −∞

0 ? 0 0 0 ?

R>0 −∞ a · b 0 a · b +∞

+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞

Dalej rozszerzamy relację < na x, y ∈ R:

x < y :⇐⇒ (x, y ∈ R, x < y) ∨ (x = −∞, y ∈ R ∪ {+∞}) ∨ (x ∈ R ∪ {−∞}, y = +∞).

Dostajemy relację spójną i przechodnią (Ćwiczenie). Możemy więc rozszerzyć na R relacje 6, > i >.

Dla dowolnych a, b ∈ R, a < b, definiujemy przedziały [a, b], (a, b], [a, b), (a, b). Ponadto, definiujemy

| ± ∞| := +∞.

Pojęcia Maj A, Min A, max A, min A, sup A, inf A przenosimy na A ⊂ R. Ponieważ −∞ 6 x 6 +∞

dla dowolnego x ∈ R, zatem wszystkie zbiory A ⊂ R są ograniczone. Ponadto, jeżeli A 6= ∅, to sup A i inf A istnieją. Istotnie:

jeżeli zbiór A ∩ R jest niepusty i ograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := sup(A ∩ R) (po prawej stronie bierzemy supremum w „starym” sensie);

jeżeli zbiór A ∩ R jest niepusty i nieograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := +∞;

jeżeli +∞ ∈ A, to sup A := +∞;

jeżeli A = {−∞}, to sup A := −∞.

Podobnie dla infimum (Ćwiczenie). Odnotujmy, że sup ∅ := −∞, inf ∅ := +∞.

Ćwiczenie 1.11.1. Odwzorowanie ϕ : R −→ [−1, 1], ϕ(x) :=

( _x

1+|x|, jeżeli x ∈ R

±1, jeżeli x = ±∞

jest ściśle rosnącą bijekcją.

1.12. Liczby zespolone W zbiorze C := R × R wprowadzamy działania:

• dodawanie: (x, y) = (u, v) := (x + u, y + v),

• mnożenie: (x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu).

Ćwiczenie 1.12.1. (C, +, ·) jest ciałem, przy czym:

• (0, 0) jest elementem neutralnym dla dodawania.

• −(x, y) = (−x, −y).

• (1, 0) jest elementem neutralnym dla mnożenia.

• (x, y)⁻¹=

x

x2+y², −_x₂_+y^y ₂

dla (x, y) 6= (0, 0).

• Odwzorowanie R 3 x 7−→ (x, 0) ∈ C jest injekcją zgodną z działaniami, co pozwala utożsamiać R z podzbiorem C. W konsekwencji x = (x, 0) dla x ∈ R, np. 0 = (0, 0), 1 = (1, 0).

• Niech i := (0, 1) ∈ C; i nazywamy jednostką urojoną. Wtedy i²= −1 oraz (x, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = x + iy.

(18)

1.12. Liczby zespolone ¹³

Jeżeli z = x + iy to:

x =: Re z nazywamy częścią rzeczywistą z, y =: Im z — częścią urojoną z,

|z| :=p

x²+ y² — modułem (wartością bezwzględną) z, z := x − iy — liczbą sprzężoną z z.

Ćwiczenie 1.12.2. Niech w, z = x + iy ∈ C. Wtedy:

(a) z = z,

(b) z =z ⇐⇒ z = x ∈ R,

(c) x = Re z =¹₂(z + z), y = Im z = ¹₂(z − z), (d) |z| = |z|,

(e) |z|²= z · z,

(f) operator sprzężenia C 3 z 7−→ z ∈ C jest zgodny z działaniami, tzn. w + z = w + z oraz wz = wz, (g) |wz| = |w||z|,

(h) max{|x|, |y|}6 |z| 6√

2 max{|x|, |y|}, |z|6 |x| + |y|, (i) (nierówność trójkąta) ||w| − |z||6 |w + z| 6 |w| + |z|, (j) ¹_z = ¹_z dla z 6= 0.

Twierdzenie 1.12.3 (Nierówność Schwarza ⁵ ). Dla dowolnych a1, . . . , an ∈ C, b1, . . . , bn∈ C mamy

n

X

j=1

a_jb_j

2

6

n

X

j=1

|aj|²

n

X

j=1

|bj|²,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, wektory wektory (a1, . . . , an) oraz (b1, . . . , bn) są C- liniowo zależne.

Dowód . Niech A :=

n

P

j=1

|a_j|², B :=

n

P

j=1

|b_j|², C :=

n

P

j=1

a_jb_j. Jeżeli AB = 0, to twierdzenie jest oczywiste.

Załóżmy więc, że AB > 0. Mamy:

06

n

X

j=1

|Baj− Cbj|²=

n

X

j=1

(Baj− Cbj)(Baj− Cbj) =

= B²

n

X

j=1

|aj|²− BC

n

X

j=1

ajbj− CB

n

X

j=1

bjaj+ |C|²

n

X

j=1

|bj|²=

= B²A − BCC − CBC + |C|²B = B²A − B|C|²= B(BA − |C|²).

Wynika stąd natychmiast, że |C|²6 AB oraz, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Baj = Cb_j,

j = 1, . . . , n.

5

Hermann Schwarz (1789–1857).

(19)