Nieliniowe równanie Schrödingera w pułapce harmonicznej

Nieliniowe równanie Schrödingera w pułapce harmonicznej

Iwo Białynicki-Birula and Tomasz Sowi´nski ^†

Centrum Fizyki Teoretycznej, Polska Akademia Nauk

† tomsow@cft.edu.pl

Streszczenie

Przedyskutowali´smy wpływ nieliniowego równania Schródingera na dynamik˛e kwantowej cz ˛astki w obracaj ˛acej si˛e pułapce harmonicznej. W odró˙znieniu od równania Grossa-Pitayevskiego w naszym rówaniu wyst˛epuje nieliniowo´s´c logarytmiczna, co znacznie upraszcza rachunki. Okazuje si˛e, ˙ze w obecno´sci nieliniowo´sci równanie mo˙ze mie´c dwa, a nawet trzy niezale˙zne współistniej ˛ace rozwi ˛azania. Zmienia si˛e równie˙z struktura warunków stabilno´sci układu.

Wst˛ep

Nieliniowe równanie Schödingera pojawiło si˛e w mechanice kwanto- wej w dwóch kontekstach. Po pierwsze nieliniowo´s´c wprowadzono do równania Schrödingera, aby znale´z´c do´swiadczalnie sprawdzalne ewen- tualne odst˛epstwa mechaniki kwantowej od jej liniowego charakteru.

Po drugie jako sposób przybli˙zonego rozwi ˛azywania skomplikowanych problemów metod ˛a potencjału efektywnego.

W latach ’70 rozwa˙zano [2] logarytmiczne równanie Schrödingera po- staci (¯h = 1 i m = 1):

i∂ _t ψ(r, t) =



− 1

2 ∆ + V (r, t) − b log(|ψ(r, t)| ² /a ³ )



ψ(r, t) (1) Parametr b jest miar ˛a oddziaływania nieliniowego (dodatnie b oznacza przyci ˛aganie). Parametr a uzgadnia jednostki i nie ma fizycznego zna- czenia. Mo˙zna zatem poło˙zy´c a = 1.

Sformuowanie naszego problemu

Zadaniem jakie sobie postawili´smy było zbadanie wpływu nieliniowego charakteru mechaniki kwantowej (abstrachuj ˛ac od jego pochodzenia) na dynamik˛e cz ˛astki w obracaj ˛acej si˛e pułapce harmonicznej. Równianie Schrödingera ma wtedy posta´c:

i∂ _t ψ(r, t) =



− 1

2 ∆ + 1

2 r · ˆ V (t)·r − b log(|ψ(r, t)| ² )



ψ(r, t), (2) gdzie opisuj ˛aca pułapk˛e macierz ˆ V (t) jest symetryczna i zale˙zna od czasu. Aby upro´sci´c rozwa˙zania przechodzimy do układu obracaj ˛a- cego si˛e, w którym macierz ˆ V nie zale˙zy od czasu. Taki układ jest nieinercjalny, zatem do hamiltonianu dodajemy człon opisuj ˛acy sił bez- władno´sci Ω · M, gdzie Ω jest wektorem pr˛edko´sci k ˛atowej pułapki, a M = r × p jest momentem p˛edu cz ˛astki. Równanie Schrödingera ma posta´c:

i∂ _t ψ(r, t) =



− 1

2 ∆ + 1

2 r · ˆ V ·r − Ω · M − b log(|ψ(r, t)| ² )



ψ(r, t)

Rozwi ˛azania Gaussowskie

Rozwi ˛aza´n tego równania poszukujemy w postaci gaussonu - gaussow- skiej paczki scentrowanej wokół ξ(t) i p˛edzie ´srodka masy π(t):

ψ(r, t) = N (t)e ^iφ(t) exp



− 1

2 (r − ξ(t))· ˆ K(t)·(r − ξ(t)) + iπ(t)·r



Zespolona i symetryczna macierz ˆ K(t) opisuje kształt paczki. Dwie rzeczywiste funkcje N(t) oraz φ(t) definiuj ˛a stał ˛a normalizacyjn ˛a funk- cji falowej. Rozwi ˛azanie uznajemy za stabilne, gdy cz˛e´s´c rzeczy- wista macierzy ˆ K jest dodatnio-okre´slona. Z nieliniowego równania

Schrödingera wynika, ˙ze taka funkcja falowa jest jego rozwi ˛azaniem je´sli spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace równania:

d ˆ A(t)

dt = ˆ B(t) ˆ A(t) + ˆ A(t) ˆ B(t) − h ˆΩ, ˆ A(t) i

, (3a)

d ˆ B(t)

dt = ˆ B(t) ² − ˆ A(t) ² + ˆ V + 2b ˆ A(t) − h ˆΩ, ˆ B(t) i

, (3b)

dξ(t)

dt = π(t) − Ω × ξ(t), (3c)

dπ(t)

dt = − ˆ V ·ξ(t) − Ω × π(t), (3d)

dN (t)

dt = 1

2 Tr{ ˆ B(t)}N (t), (3e)

dφ(t)

dt = − 1 2

 Tr{ ˆ A(t)} + π(t)·π(t) − ξ(t)· ˆ V ·ξ(t) 

, (3f) Antysymetryczna macierz ˆΩ zdefiniowana jest przez wektor pr˛edko´sci k ˛atowej Ω _ij =  _ijk Ω ^k . Natomiast symetryczne macierze ˆ A i ˆ B s ˛a od- powiednio cz˛e´sci ˛a rzeczywist ˛a i urojon ˛a macierzy ˆ K .

Nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze dynamika ´srodka masy (równania (3c) i (3d)) od- separowuje si˛e od reszty równa´n i jest zgodna z klasycznymi równa- niami ruchu. Ogólniejsze twierdzenie ([5] oraz [3]) mówi, ˙ze taka se- paracja zachodzi zawsze dla potencjału harmonicznego dowolnie zale˙z- nego od czasu.

Rozwi ˛azania stacjonarne w dwóch wymiarach

W do´swiadczeniach z BEC obrót pułapki odbywa si˛e najcz˛e´sciej wokół jednej z jej osi głównych. W takim przypadku ruch w kierunku tej osi odseparowuje si˛e i pozostajemy z problemem dwuwymiarowym.

Jak wynika z równa´n ruchu (3) rozwi ˛azanie stacjonarne (nieewoluuj ˛ace w czasie) opisane jest przez gausson, dla którego ξ(t) = 0, π(t) = 0.

Zatem nasz stan stacjonarny jest całkowicie opisany przez dwie dwu- wymiarowe i rzeczywiste macierze ˆ A i ˆ B , które w tym przypadku nie zale˙z ˛a od czasu. Spełniaj ˛a one nast˛epuj ˛ace równania macierzowe:

0 = ˆ B ˆ A + ˆ A ˆ B − h ˆΩ, ˆ A i

(4a) 0 = ˆ B ² − ˆ A ² + ˆ V + 2b ˆ A − h ˆΩ, ˆ B i

(4b) Nie zmniejszaj ˛ac ogólno´sci rozwa˙za´n upraszczamy nasze rachunki przechodz ˛ac do układu odniesienia, w którym macierz potencjału jest diagonalna ˆ V = Diag(V _x , V _y ) , a jej parametry spełniaj ˛a warunek V _x < V _y . Jak wynika z równania (3e) macierz ˆ B musi by´c bez´sladowa.

Macierzy ˆ A i ˆ B szukamy w postaci:

A = ˆ α ₁ α α α ₂



B = ˆ β ₁ β β −β ₁



Z równa´n (4) wynika, ˙ze α = 0 i β ₁ = 0 . I pozostaje do rozwi ˛azania układ trzech równa´n:

(α ₁ + α ₂ )β − (α ₁ − α ₂ )Ω = 0, (5a) β ² − α ² ₁ + V _x + 2bα ₁ + 2βΩ = 0, (5b) β ² − α ² ₂ + V _y + 2bα ₂ − 2βΩ = 0. (5c)

Z równania (5a) natychmiast wynika, ˙ze gdy pułapka si˛e nie obraca (Ω = 0) parametr β znika i dostajemy jedno fizycznie dopuszczalne rozwi ˛azanie:

α ₁ = b + p

b ² + V _x (6a)

α ₂ = b + q

b ² + V _y (6b)

β = 0 (6c)

W przypadku braku obrotu nieliniowo´s´c zmienia zatem tylko rozmiary gaussonu. Warto zauwa˙zy´c, ˙ze nawet dla ujemnych b (oddziaływanie odpychaj ˛ace) rozwi ˛azanie zawsze istnieje.

Równie˙z w sytuacji gdy pułapka si˛e obraca, ale równianie jest czysto liniowe (b = 0) otrzymujemy jedno rozwi ˛azanie równa´n (5):

α ₁ =

r

V _x + V _y + 2Ω ² ± 2 q

(V _x − Ω ² )(V _y − Ω ² ) 1 +

q

(V _y − Ω ² )/(V _x − Ω ² )

, (7a)

α ₂ =

r

V _x + V _y + 2Ω ² ± 2 q

(V _x − Ω ² )(V _y − Ω ² ) 1 +

q

(V _x − Ω ² )/(V _y − Ω ² )

, (7b)

β = Ω 1 − q

(V _y − Ω ² )/(V _x − Ω ² ) 1 +

q

(V _y − Ω ² )/(V _x − Ω ² )

. (7c)

Rozwi ˛azanie to jest jednak dopuszczalne tylko dla Ω ² < V _x lub Ω ² > V _y . Identyczne warunki opisuj ˛a obszary stabilno´sci ruchu kla- sycznej i kwantowej cz ˛astki [4] oraz ruchu ´srodka masy dowolnego układu [3]. We wzorach (7) nale˙zy wybra´c znak + i − odpowiednio w pierwszym i drugim obszarze stabilno´sci.

W sytuacji gdy istniej ˛a równocze´snie obrót i człon nieliniowy własno-

´sci rozwi ˛aza´n zmieniaj ˛a si˛e dramatycznie. Najciekawsze jest pojawie- nie si˛e dodatkowych rozwi ˛aza´n gaussowskich. W teorii liniowej czysty stan gaussowski jest stanem fundamentalnym i jest jeden! Rozwi ˛azanie równa´n (5) jest technicznie trudne i rozwi ˛azujemy je numerycznie. Na rysunkach prezentujemy obliczone warto´sci paramtetrów α w zale˙zno-

´sci od pr˛edko´sci obrotu Ω w trzech przypadkach: braku nielinowo´sci, nieliniowo´sci przyci ˛agaj ˛acej i odpychaj ˛acej. We wszystkich przypad- kach ustalone s ˛a parametry pułapki na V _x = 2/3 i V _y = 4/3.

Podsumowanie

Znajomo´s´c dokładnej postaci rozwi ˛azania logarytmicznego równania Schrödingera pozwoliła nam zbada´c wpływ obrotu i nieliniowo´sci na stabilno´s´c rozwi ˛aza´n. Niespodziewanym rezultatem tych bada´n jest ist- nienie dodatkowych, współistniej ˛acych rozwi ˛aza´n gaussowskich oraz zmniejszenie obszaru niestabilno´sci nawet w przypadku oddziaływania odpychaj ˛acego. Nale˙zy jednak podkre´sli´c, ˙ze takie zachowanie mo˙ze by´c prawdziwe tylko dla tego typu nieliniowo´sci - nieliniowo´sci loga- rytmicznej.

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

PSfrag replacements

α ₁ ,α ₂ Ω

b = 0

Ω = ω ₁ Ω = ω ₂

Rysunek 1: Wykres przedstawia zale˙zno´s´c parametrów α

₁

i α

₂

w zale˙z- no´sci od pr˛edko´sci k ˛atowej pułapki Ω przy braku członu nieliniowego.

Dla ka˙zdej warto´sci Ω z obszaru stabilno´sci istnieje dokładnie jedno roz- wi ˛azanie stacjonarne opisane parametrami α

₁

i α

₂

.

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

PSfrag replacements

α ₁ ,α ₂ Ω

b = 1

Ω = ω ₁ Ω = ω ₂

Rysunek 2: Wykres przedstawia zale˙zno´s´c parametrów α

₁

i α

₂

w przy- padku przyci ˛agaj ˛acego oddziaływania nieliniowego. Dla odpowiednio silnego oddziaływania (ten przypadek) zawsze istniej ˛a stabilne rozwi ˛a- zania. Dla małych i du˙zych pr˛edko´sci k ˛atowych istnieje tylko jedno roz- wi ˛azanie stacjonarne, ale dla po´srednich istniej ˛adwa, a nawet trzy współ- istniej ˛ace rozwi ˛azania. Odpowiednie pary parametrów α oznaczone s ˛a tym samym kolorem.

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

PSfrag replacements

α ₁ ,α ₂ Ω

b = −1

Ω = ω ₁ Ω = ω ₂

Rysunek 3: Wykres przedstawia parametry α

₁

i α

₂

dla oddziaływania odpychaj ˛acego. Cho´c jest dodatkowe odpychanie w układzie, to w po- równaniu z przypadkiem braku nieliniowo´sci (Rys.1) zmniejszył si˛e ob- szar niestabilno´sci! Jest to bardzo zaskakuj ˛ace, gdy˙z niestabilno´s´c ta jest wywołana sił ˛a od´srodkow ˛a - równie˙z odpychaj ˛ac ˛a. W tym obszarze s ˛a dopuszczalne a˙z dwa niezale˙zne rozwi ˛azania gaussowskie, których para- metry oznaczone s ˛a tym samym kolorem.

Literatura

[1] I. Bialynicki-Birula and T. Sowi´nski, Solutions of the logarythmic Schrödinger equation in a rotating har- monic trap, in Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects, F. Kh. Abdullaev and V. V. Konotop (eds.), Kluver, Amsterdam, 2004, p. 99. (quant-ph/0310195)

[2] I. Bialynicki-Birula and J. Mycielski, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 23, 461 (1975).

[3] I. Bialynicki-Birula and Z. Bialynicka-Birula, Phys. Rev. A 65, 063606 (2002).

[4] T. Sowi´nski and I. Bialynicki-Birula, Harmonic oscillator in a rotating trap: Complete solution in 3D, (to be published).

[5] J. J. García-Ripoll, V. M. Pérez-García and V. Vekslerchik, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 23, 461 (1975).

Ogólnopolskie Warsztaty Naukowe Optyka i Informatyka Kwantowa. Toru´n, 20-25.IX.2004

Praca naukowa finansowana ze ´srodków Komitetu Bada´n Naukowych w latach 2004-2006 jako projekt badawczy.