Wykład 20: Równanie Schrödingera

Wykład 20: Równanie

Schrödingera

Dr inż. Zbigniew Szklarski

Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez

austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej. (Wikipedia 2013)

Uogólnienie przez Schrödingera hipotezy de Broglie’a o falowej naturze materii dało początek mechanice

kwantowej.

Hipoteza de Broglie’a, przypisuje poruszającej się swobodnie cząstce falę o określonej częstotliwości i długości.

Louis de Broglie (1892-1987)

Dyfrakcja elektronów (1000 el/s) na dwóch szczelinach.



19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 3

pojedyncza ekspozycja – 1s - 3-4 fotony/s;

nałożone 2000 zdjęć

W klasycznym opisie – fala elektromagnetyczna zgodnie z równaniem Maxwella:

∇²𝐸 = 𝜇₀𝜀₀ 𝜕²𝐸

𝜕𝑡²

Natężenie prążków interferencyjnych:

𝐼 ~ 𝐸 Ԧ𝑟, 𝑡 ² = 𝐸₁ Ԧ𝑟, 𝑡 + 𝐸₂ Ԧ𝑟, 𝑡 ² I  N liczby fotonów w czasie t, które dotarły do punktu Ԧ𝑟 𝑡

Interferencja pojedynczych fotonów?

Z pojedynczym fotonem związane jest pole , które podlega zasadzie superpozycji. 𝑒 Ԧ𝑟, 𝑡Ԧ

Obserwowane pole elektryczne po przejściu pojedynczego fotonu przez dwie szczeliny:

Ԧ

𝑒 Ԧ𝑟, 𝑡 = Ԧ𝑒₁ Ԧ𝑟, 𝑡 + Ԧ𝑒₂ Ԧ𝑟, 𝑡 Zatem dla niepodzielnych fotonów równanie

przedstawia funkcję rozkładu prawdopodobieństwa, gdzie

jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że foton znajduje się w obszarze o rozmiarze wokół punktu .

𝐼 ~ Ԧ𝑒 Ԧ𝑟, 𝑡 ² = Ԧ𝑒₁ Ԧ𝑟, 𝑡 + Ԧ𝑒₂ Ԧ𝑟, 𝑡 ²

Ԧ

𝑒 Ԧ𝑟, 𝑡 ² 𝑑³Ԧ𝑟

𝑑³Ԧ𝑟 Ԧ𝑟

1 – pierwsza szczelina 2 – druga szczelina

Funkcja falowa fal materii

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 5

Z elektronami i innymi materialnymi cząsteczkami związana jest opisana przez de Broglie’a fala materii.

Funkcja opisująca przemieszczanie się tej fali nazywa się funkcją

falową. Funkcja ta jest często funkcją zespoloną i dopiero jej kwadrat ma sens fizyczny. Zarówno funkcje falowe jak i ich pochodne po położeniu muszą być:

- ciągłe,

- jednoznaczne oraz

- Ψ^∗ 𝑥, 𝑡 Ψ 𝑥, 𝑡 = Ψ 𝑥, 𝑡 ² jest prawdopodobieństwem przypadającym na jednostkę długości osi x, znalezienia cząstki w chwili t w punkcie x.

Ta tzw. funkcja falowa spełnia pewne liniowe równanie – równanie Schrödingera.

) , ( lub )

,

( t  x t

 r 

Fala de Broglie’a jest reprezentowana przez funkcję falową, która dla przypadku jednowymiarowego, dla cząstki swobodnej ma postać równania fali bieżącej.

W notacji zespolonej, jaką zwyczajowo stosuje się w mechanice kwantowej falę tę można zapisać jako:

(

)

A Ae

t

x, ) ^{i kx t} cos sin



( = ^{( )} = −

 ⁻







oraz = 2

= h k

p

gdzie dla małych prędkości (gdy energia całkowita E = E_k )

k

 E 

h h

E = = =    =



 

2

m E p

2

= 2

Energia cząstki swobodnej = ℎ²

2𝑚² = ℎ² 4𝜋²

𝑘²

2𝑚 = ħ² 𝑘² 2𝑚

więc otrzymujemy tzw. związek dyspersyjny  i k:

Związek funkcji falowej z zachowaniem cząstki wyraża się za pośrednictwem gęstości prawdopodobieństwa –

(prawdopodobieństwa na jednostkę długości osi X), znalezienia cząstki w pobliżu punktu o współrzędnej x w czasie t.

*

( , ) ( , ) ( , )

) ,

( x t =  x t  x t =  x t



( ^{kx i t} )

A Ae

t

x , )

cos sin 

(

*

= = +



gdzie

( ^{kx i t} )

A Ae

t

x , )

cos sin 

( =

= −





=  E

Skoro 𝐸 = ħ² 𝑘²

2𝑚 oraz

𝜔 =

2𝑚

r d t

r 

 )

,

 (

Dla przypadku trójwymiarowego:

Wg interpretacji Maxa Borna (1926r) jest to prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w chwili t w sześciennym pudełku o objętości d³r wokół położenia wyznaczonego przez wektor

r 

Wynika stąd, że prawdopodobieństwo znalezienia elektronu gdziekolwiek w przestrzeni:

+





−

= 1 )

,

(r ^{2 3}r d



normalizacyjny (normalizacja amplitudy A).

Funkcje falowe stosowane do opisu „cząstek” takich jak elektrony to „fale prawdopodobieństwa”. Tam gdzie amplituda funkcji falowej jest mała, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest małe.

Funkcje falowe mają fazy co pozwala im interferować jak wszystkim innym falom.

PRZYKŁAD

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 9

Funkcja falowa jest zdefiniowana jedynie w obszarze 0 ≤ x ≤ L. Obliczyć stałą A korzystając z warunku normalizacji



 



= 

 x

L A n

x 2



sin )

(

Rozwiązanie





^{x dx} =

0

2

1

)

 (

 

 



= 

L A n

t 

 ( r  , )

sin

²



^{A } _ ^ _L ^{n x } _ ^{ dx =}

0

2

2

2 1

sin 

Stosując podstawienie za argument sinusa i korzystając z „1” tryg.

otrzymamy:

2 1

2

L =

A

( ) 2 2

2 sin

2 2

2

0

2

2

L

A n n

A L du

n u A L

n

=

 = _ ^





Poszukiwania odpowiedniego równania falowego.

Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, natomiast równanie falowe dla fal elektromagnetycz- nych można wyprowadzić z równań Maxwella.

Kwantowego równania falowego dla cząstki swobodnej nie da się otrzymać z równań mechaniki klasycznej.

Poszukiwane równanie falowe zostało sformułowane na podstawie następujących postulatów:

• spełniona jest relacja de Broglie’a:

• przyjęta została klasyczna definicja (nie relatywistyczna) energii całkowitej:

• równanie musi być liniowe (kombinacja liniowa funkcji falowych spełnia to równanie).

 = ℎ Ԧ 𝑝 𝐸 = 𝑝²

2𝑚 + 𝑉(𝑥)

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 11

) 2 ( )

, ) (

,

( ₂

) , (

) (

2 2

2

t x k

Ae x k

t x

t x

t kx

i = − 

−

 =







−



 ^

Druga pochodna po x:

Ze związku dyspersyjnego   k wyliczamy

i podstawiamy do (2) otrzymując:





) 3 ( )

, 2 (

) , (

2 2

t m x

x t

x = − 





 





 



 = m k 2

 2



Obliczając pochodne (po t i x) wyjściowego równania zespolonego fali:  ( x , t ) = Ae

) 1 ( )

, ) (

, (

) , (

)

(

i x t

Ae t i

t x

t x

t kx

i

= − 

−

 =







−



 _{  }

_

otrzymujemy:

)

)

,

(

x ikAe t

x =







Rozpatrzmy cząsteczkę swobodną, tzn. taką, której energia potencjalna V(x) = 0

Jest to ogólne równanie Schrödingera dla cząsteczki swobodnej o stałej energii kinetycznej (nie uwzględniamy energii spoczynkowej tzn. E = E_k).

) 4 ) (

, ( )

, 1 (

) ,

( t

t i x

t t x t i

x 



= 





− 

=



Z pierwszej pochodnej (x,t) po czasie (1) wynika że:

Podstawiając (4) do (3)

t t x i m

x t x





− 

 =



 ( , ) 2 ( , )

2 2

 stąd

 



 



 = − 





 ( , ) ( , ) t x t i

t

x



− ħ² 2𝑚

𝜕²Ψ Ԧ𝑟, 𝑡

𝜕𝑟² = 𝑖ħ𝜕Ψ Ԧ𝑟, 𝑡

𝜕𝑡 − ħ²

2𝑚∇²Ψ Ԧ𝑟, 𝑡 = 𝑖ħ𝜕Ψ Ԧ𝑟, 𝑡

3-D: lub 𝜕𝑡

) 3 ( ) , 2 (

) , (

2 2

t m x

x t

x =− 





 

 

t t i x

x t x

m 



= 





−  ( , ) ( , )

2

2 2

 

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 13

Gdy na cząstkę działa siła:

Jeżeli na cząstkę działa siła określona przez energię potencjalną V(x) zależną od położenia cząsteczki

to wówczas zachowana jest energia całkowita cząstki )

2 ( )

(

2

x m V

x p V E

E =

+ = + stąd jej energia kinetyczna:

) 2 (

2

x V m E

E

= p = −

uwzględniając to w obliczeniach  , otrzymujemy równanie

( ^{( )} ) ^{( , )}

) , (

2

2 2

t x x

V x E

t x

m = − 





−  



 







− 

= x

x x V

F ( )

) (

) , ( )

, ( ) ) (

, (

2

2 2

t x E

t x x

x V t x

m +  = 





−  

Zgodnie z postulatem Einsteina oraz E =   więc ostatecznie otrzymujemy:

) 5 ) (

, ) (

, ( ) ) (

, (

2

2 2

t a t i x

t x x

x V t x

m 



= 



 +



−   

Jest to ogólne równanie Schrödingera dla cząsteczki poruszającej się w potencjale V(x).

t t i x

t

x 



= 

 ( , )

) ,



Problem rozwiązania równania Schrödingera sprowadza się do znalezienia wartości własnych hamiltonianu i funkcji

własnych (x) – będących rozwiązaniem tzw. niezależnego od czasu równania Schrödingera.

t t i x

x t x

m 



= 





−  ( , ) ( , )

2

2 2

 

Dla cząsteczki swobodnej:

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 15

Rozwiązanie równania Schrödingera

Aby rozwiązać to cząstkowe równanie różniczkowe szukamy rozwiązania w postaci iloczynu funkcji, z których każda zależy tylko od jednej zmiennej występującej w równaniu. Jest to tzw.

metoda separacji zmiennych.

) ( ) ( )

,

( x t =  x   t



Rozwiązanie takie istnieje o ile energia potencjalna nie zależy w sposób jawny od czasu tzn. można ją zapisać tylko jako V(x).

) 5 ) (

, ) (

, ( ) ) (

, (

2

2 2

t a t i x

t x x

x V t x

m 



= 



 +



−   

podstawiając to rozwiązanie do (5a):

(ogólnego równania Schrödingera)

) ( ) ( )

,

( x t =  x   t



dt t x d

i t

x x

dx V x t d

m

) ) (

( )

( ) ( ) ) (

) (

2 (

2

2

      

 + =

−

) ( )

( x  t

 

dzieląc obustronnie przez otrzymujemy:

) 6 ) (

( )

) ( ) (

( )

( 1

2

2 2

dt t d t x i

dx V x d

x m











 + =

−

Lewa strona równania (6) nie zależy od t, a prawa nie zależy od x. Wynika stąd, że wspólna dla obu stron równania wartość musi być stała. A stała jest dla cząstki

) 5 ) (

, ) (

, ( ) ) (

, (

2 ²

2 2

t a t i x

t x x x V

t x

m 



= 



 +



−   

jej energia całkowita.

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 17

Lewa strona równania:

) ) (

) ( ( )

( 1

2 ²

2 2

dt t d t x i

dx V x d

x m











 + =

−

E x

dx V x d

x

m + =

− ( ) ( )

) ( 1

2

2

2







Jest to równanie Schrödingera niezależne od czasu – energia potencjalna V(x) jest stała w czasie.

) 9 ( )

( )

( ) ) (

(

2

2 2

x E

x x

dx V x d

m   

= +

−

 

Poprawne, fizyczne rozwiązania równania Schrödingera

istnieją tylko dla niektórych wartości energii E – są to tzw.

wartości własne.

Każdej wartości własnej odpowiada funkcja własna  (x).

Funkcje własne i ich pochodne muszą mieć następujące właściwości:

muszą być – skończone, jednoznaczne i ciągłe.

Rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera (5a) są zatem

funkcje falowe:

2 2

t a t i x

t x x

x V t x

m 



= 



 +



−   

 t iE n

n

n

e x t

x =

 ( , )  ( ) gdzie n – to liczba kwantowa.

Kombinacja liniowa tych rozwiązań też jest rozwiązaniem tego równania.

 t iE n

n

n

e x t

x t

x C

t x C

t

x =  +  + +  =

 ( , )

( , )

( , ) .. C

( , )  ( )

19.05.2021 Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika 19

Rozwiązanie równania dla cząsteczki swobodnej

Dla cząsteczki swobodnej można założyć, że V(x) = 0 zatem równanie Schrödingera niezależne od czasu (7) przybierze postać:

Szukamy rozwiązania w postaci  ( x ) = Ae

𝛼 = ±𝑖 2𝑚𝐸 ħ

mE x i

mE x

i

Be

Ae

x

2 2

)

( =

+

 Np. dla rozwiązania „+”:

p k

mE = =

²  skoro 2

) 10 ( )

) ( (

2

2 2

x dx E

x d

m  ₌ 

− 

( ^{cos sin} ) ^{( 11 )}

)

( x = Ae

= A kx + i kx



Podsumowanie

Rozwiązanie dla równania Schrödingera zależnego od czasu ma postać

 iEt

e x t

x =

 ( , )  ( )

lecz zgodnie z postulatem Einsteina = 

 E

a zatem rozwiązanie to można zapisać:

t

e

x t

x = 

 ( , ) ( ) co po uwzględnieniu (9) daje:

) sin(

) cos(

) ,

( x t = Ae

= A kx −  t + iA kx −  t



^lub

 ) (

) , (

Et px i

Ae t

x

−

=

 Jest to równanie fali bieżącej.