Windsnelheidsprofiel boven zee

Technische Hogeschool Delft Afdeling Weg en Waterbouw Vakgroep Kustwaterbouw

mei, 1973

B 0 V E N Z E E

samengesteld door R.J.B. Bouwmeester

1

Inleiding

De processen die de winden veroorzaken in de atmosfeer veranderen met de hoogte. Dit rapport handelt over de eerste tientallen meters boven het zee-oppervlak. De richtingsverandering van de wind, die door de aardrotatie

ste

veroorzaakt wordt, blijft dan beperkt. Voor de 50 breedtegraad heeft de richtingsverandering de orde van grootte van 0.5° per 10 meter.

Het windsnelheidsprofiel hangt in sterke mate af van de turbulentie. De turbulentie kan op twee manieren ontstaan:

a) door over elkaar schuivende luchtlagen wordt zgn. mechanische turbulentie opgewekt;

b) door warmte-uitwisseling van een luchtdeeltje met zijn omringende omge-ving wordt zgn. konvektieve turbulentie opgewekt.

Voorlopig wordt uitgegaan van de toestand waarin alleen mechanische turbulen-tie optreedt. Er is dus geen warmte-uitwisseling in de atmosfeer. Hetgeen per definitie betekent dat de processen adiabatisch zijn en dat de atmosfeer in de neutrals toestand verkeert.

Windsnelheidsprofiel in de neutrale toestand.

Het impulsietransport per eenheidsoppervlak in een horizontaal vlak is:

ov

M = E p

-oz

( 1 )

Hierin is E de zgn. "eddy viscosity" coefficient en is gelijk aan:

waarin 1 = mengweglengte.

In de literatuur wordt deze coefficient ook wel aangeduid met K . m

( 2)

vis-cosity coefficient a1s de mengweg1engte in de eerste 100 meter boven het zee-opperv1ak 1ineair toenemen met de hoogte. Voor de mengweg1engte ge1dt:

1 K Z ( 3)

Hierin is K de konstante van Von Karman en heeft de waarde 0.4.

Uit het bovenstaande vo1gt dat de term konstant is. Deze term wordt gedefinieerd a1s de schuifspanningsne1heid u .

~

Substitutie van (2) in (1) 1evert:

2

(

~~]

(

~~]

M = p 1 aangezien au av en az % az ' 2

[:~]'

ge1dt: M = p 1 2 of: M = p u ~

Dit is ook de uitdrukking voor de Reyno1dse schuifspanning T.

Substitutie van vergelij king ( 3) in u _~ = 1

(~]

az geeft: au u ~ az KZ u z Integratie 1evert: u = ~ 1n K z 0 ( 4) ( 5) ( 6) (7) ( 8)

het zgn. 1ogaritmische profie1. Hierin is z de afstand boven het gemidde1d

0

zeeniveau, waarop het turbu1ente windprofie1 geacht wordt te beginnen.

Zowe1 theoretisch a1s empirisch is er tot op heden nog geen afhanke-1ijkheid aangetoond tussen z enerzijds en de go1fhoogte anderzijds. Meer

0

succes b1ijkt uit pogingen om een betrekking op te ste11en tussen de ruwheid van de zee en de schuifspanningssne1heid. Maar ook hier zijn tegenstrijdige formu1es gevonden zoa1s b1ijkt uit f.iguur 1.

In deze figuur dekt de kromme van Charnock het best de waarnemingen van diverse onderzoekers. De kromme is verkregen uit de dimensie1oze

betrek-king: z g 0 u 2 ~ a 3 0.0156 (zie lit. 11) (9)

De betrekking is bepaald n.a.v. metingen op een meer van 1 X 16 km2 met een diepte van 16 meter. Charnock heeft bij deze metingen tevens aangetoond dat z onafhankelijk is van de stabiliteit (zie blz. 8) en de strijklengte. (Zie lit,

0

Uit (8) en (9) kan de volgende betrekking samengesteld worden:

u 1 K ln g z a u 2 ~ ( 1 0)

Op eenvoudige WlJze kan nu een uitdrukking voor de windspanningscoefficient Cz

[~:]

2

bepaald worden'

( 11 )

Wu (lit. 4) heeft deze betrekking voor z

=

10 meter benaderd. Hij deed dit aan de hand van vele waarnemingen van verschillende onderzoekers, die hun metingen zowel in laboratorium als op open water verkregen hadden.

Wu vond de volgende relaties: Voor 1 m/sec <

u

10 < 15 m/sec: 0 5 U ~ v 1 0-3 . 10 7\ ( 12) en voor

u

10 > 15 m/sec: ( 13)

Uit figuur 2 blijkt dat de afgeleide betrekking (12) van

c

10 en

u

10 in het bereik van 1 - 15m/sec goed overeenkomt met de waarnemingen. Voor grotere windsnelheden blijft de windspanningscoefficient constant, hetgeen als volgt te verklaren is:

Bij toename van de windsnelheden nemen de golfhoogten eveneens toe. Dit proces houdt echter op wanneer de waterdeeltjes van de golfkammen geblazen worden. De golven hebben schuimkoppen en de toegevoegde energie gaat verlo-ren aan het breken van de golf.

Zoals reeds vermeld heeft de warmte-overdracht invloed op de turbulen-tie in de atmosfeer. Deze invloed is kleiner naarmate de afstand tot het oppervlak kleiner is. Het logaritmische windsnelheidsprofiel zoals dit m.b.v. (12) of (13) te bepalen is, geldt daarom als sen goede benadering in de eer-ste 10 meter boven het zee-oppervlak.

Daarboven wijkt het windsnelheidsprofiel hoe langer hoe sterker af van het logaritmische profiel. In dit opzicht most gesteld worden, dat de sprei-ding welke naar voren komt in figuur 2 door de vertikale streep door de pun-ten van de gemiddelde waarnemingen in sen bepaald interval, deels het gevolg is van de konvektieve turbulentie die door de warmte-overdracht veroorzaakt wordt.

Lumley en Panofsky hebben sen formule opgesteld voor het windsnelheids-profiel waarin deze invloed verwerkt is.

Windsnelheidsprofiel in de niet neutrals toestand.

In de atmosfeer nsemt de druk met toensmende hoogte boven het zee-opper-vlak af. Deze afname kan als volgt weergegeven worden:

p(z)

Hierin is p de druk voor z

0

De drukgradient is dan:

p g dz

0 en ~ de dichtheid van de lucht.

op

-8Z -

-p g

(14)

(15) Verder geldt de wet van Boyle - Gay Lussac die de relatie tussen druk, dichtheid en absolute temperatuur geeft: p

=

R p T (16) Hierin is R de gaskonstante.

Afhankelijk van de verwarming van de lucht en van het zee-oppervlak zal zich sen of andere temperatuursverdeling instellen. Daar gezocht wordt naar de relatie tussen konvektieve turbulentie en de temperatuursgradient die

~ ,· _.

5

deze turbulentie veroorzaakt, is het zinvol die temperatuursgradient te be-palen waarbij geen warmte-overdracht plaatsvindt; dit is de zgn. adiabati-sche temperatuursgradient. Onder adiabatiadiabati-sche omstandigheden geldt de veel

toegepaste formule in de termodynamica: ( 17)

Deze formule legt een verband tussen de druk en de gasdichtheid. K en y zijn konstanten.

K

kan eenvoudig empirisch bepaald worden. y is de verhouding van specifieke warmte bij konstante druk, C , en bij konstant volume, C . C en

p v p

C zijn gedefinieerd als de hoeveelheid warmte die toegevoerd moet worden om

v

de temperatuur Van een eenheidsmassa een graad in temperatuur te Verhagen bij gelijk blijvende druk respektievelijk gelijk blijvend volume. y is voor lucht bij benadering 1.4.

Met behulp van de formulas (15), (16) en (17) is het nu mogelijk de adiabatische temperatuurgradient te bepalen.

(16) gedifferentieerd naar z geeft:

(17) gedifferentieerd naar z geeft:

(18) is ook als volgt te schrijven:

Met (19) geeft dit:

8T

8Z

of: 8T

8Z

1 op pR

8Z

T ie_ p oz

(~R

-~

op K y

8Z

YP

(~R

- _pRKypy TpR

J

_oz op ( 1 8) ( 1 g) (20) ( 21 ) (22)

.

'

· Me.t' '( 16) geeft dit:

.

:

''

.

. 1 [ . 1

·-p'R _{Kyp y .} P

J,

_{~ z.}

a

P

(15) en (17) hierin ge~ubstit~eerd geeft:

..

.' · aT

_a-z

₌

_r;R

1

l'

_{1 -}

_~J

1)

_[

. ) -gp df: (23) (24) (25)

De waarde

y;~

,

welke geevalueerd 9.86° C. per kilometer bedraagt, wordt in de literatuur de "~diabatic lapse rate" genoemd. "La~se rate" betekent de waarde waarmee (in dit geval) de temperatu~r met de hoogte afneemt.

In werkelijkheid zal er in de atmosfeer bijna nooit een adiabatische temperatuurgradient zijn. Overdag is de gradient door de verwarming ven het zee-oppervlak in de regel kleiner. Het veroorzaakt een naar boven gericht warmtetransport. 's Nachts treedt het omgekeerde proces op.

Om inzicht te krijgen hoe de konvektieve turbulentie ontstaat wordt het fysische proces beschouwd dat een luchtdeeltje ondergaat, indien het zich t.g.v. de turbulentie verplaatst in vertikale zin.

Stel dat de werkelijke temperatuurgradient kleiner (en absoluut grater) is dan de adiabatische (zie figuur: lijn 1 l en stel dat het deeltje zich juist in z

1 bevindt me~ een naar boven gerichte snelheid.

z

1

-

T

adiabatische temp.gradient

de gemiddelde hoogte waar-op het luchtdeeltje zich

7

Indien het luchtdeeltje geisoleerd zou worden van zijn omgeving, zouden de temperatuurs-veranderingen adiabatisch zijn. In werkelijkheid komt,het deel-tje boven z

1 in aanraking met koudere lucht, waardoor de temperatuur minder hoog wordt t.o.v. zijn omgeving. Het betekent evenwel dat de dichtheid van het deeltje t.o.v. zijn omgeving steeds kleiner is. Het ondervindt daardoor een naar boven gerichte kracht of een opdrijfkracht, met als gevolg dat het zich verder van z

1 zal verwijderen. De mate waarin dit gebeurt bepaalt de grootte van de konvektieve turbulentie.

Dp dezelfde wijze kan nu aangetoond wor.den dat er op een luchtdeeltje met een naar beneden gerichte snelheid een naar beneden gerichte kracht werkt. De geheEgedachtengang wordt in onderstaand schema, zowel voor een temperatuursgradient die grater als kleiner is dan de adiabatische, weerge-geven.

luchtdeel tj e met dT /(lz < (dT/(lz)ad. dT /(lz > (dT/(lz)ad.

konstant volume beweging

₊

_t

t

t

-

_{temperatuur l.d. t.o.v. lager hager hager lager}

zij n omgeving

- _{dichtheid l.d. t. o. v. grater kleiner kleiner grater}

zijn omgeving

-

_{kracht t.g. v. relatieve}

t

t

t

₊

gewicht luchtdeel tj e

- _{richting van beweging i.v.m. gelij k gelij k ongelij k ongelij k}

richting van kracht gericht gericht gericht gericht

turbulentie wordt grater wordt onderdrukt

Afhankelijk van de temperatuursgradient worden de volgende atmosferische toestanden onderscheiden:

ClT/Clz < (ClT/Clz)ad. onstabiele toestand dT/Clz (dT/Clz)ad. neutrals toestand ClT/Clz > (ClT/Clz)ad. stabiele toestand

M.b.v. een energie beschouwing heeftRichardson de invloed van de kon-vektieve turbulentie behandeld. Hij stelde het volgende:

Indien de dichtheid in een vloeistof naar boven toe afneemt t.g.v. bijvoor-beeld temperatuursgradienten dan zal de turbulentie tegen de zwaartekracht in een gelijkmatiger dichtheidsverdeling tot stand brengen, waardoor kine-tische energie verloren gaat. De grootte van de door de turbulentie verrich-te arbeid per massa en per tijdseenheid bedraagt:

1 E:

w

p Clp

az-g

(26) 2 -1

Hierin is E: de "eddy transfer" coefficient voor warmte (l t ). In de w

literatuur oak vaak aangegeven met KH.

Om dit proces op gang te houden wordt door de Reynoldsspanningen (veroor-zaakt door over elkaar schuivende lagen) energie opgewekt in de vorm van turbulentie. De door deze spanningen verrichte arbeid per massa en tijds-eenheid bedraagt:

E:[~~)2

( 12 t-3)

Hierin is E: weer de "eddy viscosity" coefficient (12 t-1). Indien.,nu geldt:

E: [

~ ~]

2 > E: g 1

le.

. ,

w p az

dan zal de turbulentie toenemen. De toestand is onstabiel. ding van konvektieve turbulentie en mechanische turbulentie van Richardson toegekend: E: 1

Ri w p ()p

a-zg

[

~]2

E: ·Cl z (27) Aan de verhou-wordt het getal

9

Als dit toegepast wordt op de stroming in de atmosfeer, kan de term 1

l.e.

p

az

vervangen worden door: ₁

_[aT

_[aT)

₎

"T

az - az

ad.

Deze term wordt ook wel weergegeven door:

1

- a01az

T

Hierin is 8 de potentials temperatuur en wordt wel gedefinieerd als de tem-peratuur welke een luchtdeeltje zou krijgen indien het naar een standaard-druk (gewoonlijk 1000 mb) zou worden gebracht.

Voor de eerste 100m boven het zee~oppervlak wordt i.h.a. aangenomen

dat: E := E

w

zodat vgl. (28) geschreven kan worden als:

Ri

=

g

a01az

2

T(au/az)

Ri onderscheidt derhalve de atmosferische toestanden als volgt:

(29)

(30)

Ri < 0: onstabiele toestand; er wordt energie toegevoegd aan de mechanische turbulentie. Ri 0: neutrals toestand; er is een adiabatische temperatuursgradient. Ri > 0: stabiele toestand; voor voldoende grate positieve waarden vindt

volledige uitdemping van de turbulentie plaats.

De waarde van Ri welke de vertikale turbulentie scheidt van geen turbulentie is waarschijnlijk 0.25 (lit. 7) (Zie fig. 3.)

Lumley en Panofsky hebben aan de logaritmische formule voor het windsnel-heidsprofiel het Richardson getal toegevoegd:

( 31 )

~(Ri) is positief indien Ri < 0.

dan de warmte-overdracht mede bepaald wordt door straling, hetgeen impli-ceert dat het getal van Richardson niet langer alleen als criterium mag gelden (lit. 1); en verder, omdat de windsnelheden op verschillende niveaus onafhankelijker van elkaar worden.

Voor de verdeling van Ri over de hoogte is door Monin en Dbukhov

(lit. 2) een gelijkvormigheids-theorie ontwikkeld. Hierin definieren zij de zgn. Monin - Dbukhov lengte:

3

C T L = -

u~

p P

K g

H

waarin H de vertikale warmteflux is.

(32)

Uit (32) valt af te leiden dat L onafhankelijk van de hoogte is. Indien L in de uitdrukking voor Ri gesubstitueerd wordt dan blijkt de vol-gende relatie te bestaan:

Ri = z/L X · 1/~(z/L)

Vergelijking (31) is dus ook te schrijven als:

u = u~

K

(33)

(34)

Lumley en PanDfsky hebben voor de functie ~(z/L) empirische waarden bepaald voor de verschillende toestanden (lit. 1).

De bepaling van het gemiddelde snelheidsprofiel volgens deze methode is zeer bewerkelijk en moeilijk uitvoerbaar vanwege de bepaling van de warmteflux H.

Er zijn nog verschillende andere theoretische modellen voor stromingen met een termische stratificatie. Deze zijn gebaseerd op dynamische

vergelij-kingen waarin diffusie en transporttermen verwaarloosd zijn. (lit. 8).

Vergelijking van de theoretisch bepaalde waarden met waarnemingen hebben bij deze formules een beperkte geldigheid aangetoond.

Hieronder valt bijvoorbeeld de formule (35) van Deacon. Hij laat de invloed van de temperatuursgradient op het snelheidsprofiel tot uiting komen

1 1

in de empirisch te bepalen waarde van

a

u

=

u~

(cz/z

0

l1

-a -

1]

K(a-al (35)

Nader onderzoek toonde echter. aan dat er geen waarde van

a

bestond waarvoor het profiel over de beschouwde hoogte overeenkwam met de werkelijkheid.

Indien genoegen genomen kan worden met een enigszins grove benadering van het windsnelheidsprofiel dan kan de machtwet toegepast worden:

(lit. 5: blz. 78 - 94)(36)

In de historische ontwikkeling van de behandeling van de atmosferische turbulentie was er een tijd dat men zich uitsluitend bediende van de empi-rische machtwet. Pas na invoering van de mengweg door Prandtl is het pro-bleem met de logaritmische wet beschreven. Prandtl richtte echter de aandacht op het feit dat het logaritmische snelheidsprofiel vergaand overeenstemde met de tot dan toe gebruikte machtwet. In vele gevallen verdient bovendien het gebruik van de machtwet de voorkeur, omdat deze wet een eenvoudige ana-lytische behandeling van het probleem mogelijk maakt.

Voor toepassing van de machtwet voor het snelheidsprofiel boven zee is de waarde van r uit vgl. (36) nog niet bepaald. Men stelt wel (lit.11) dat r voor zeer grote wateroppervlakken een waarde 10 kan hebben. Enkele waarden voor r boven land komen tot uitdrukking in fig. 4.

P.S. Indien men zich wenst te verdiepen in de dynamische windbelasting op konstrukties wordt verwezen naar (lit. 9 - 11 - 12 - 13) en naar het Kollege Dynamica van Prof. Ir. ·A.L. Bouma.

Referenties

1. John L. Lumley and Hans A. Panofsky: The structure of atmosferic turbulence; John Wiley

&

Sons; 1964.

2. A.S. Monin and A.M. Dbukhov: Fundamentele Gesetzmassigkeite der turbulenten Vermischung in der bodennahen Schicht der Atmosphare. Uit: Statistische Theorie der Turbulenz; Akademie Verlag, 1958.

3. H.U. Roll: Physics of Marine Atmosphere; International Geophysics Series 7; Academic Press, New York; 1965.

4. J. Wu: Laboratory studies of wind boundary layers; Wind-stress coefficients and scalings; Von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1970. Lectures on the fluid dynamics of air-sea interactions;

Series no. 19, section no. 2 and 3.

5. Dr. H. Lettau: Atmospharische Turbulenz; Akademische Verlag Gesell-schaft mbH, Leipzig; 1939.

6. R.S. Scorer: Aernautical Sciences and space flight; Natural Aerodynamics; Pergamom Press London; 1958.

Uit Agard Proceedings No. 48, 1970; Aerodynamic Shear Flows: 7. H.A. Panofsky: Structure of atmospheric shear flows.

B. J.E. Cermack and S,P.S. Arya: Problems of atmospheric shear flows and their laboratory simulation.

1 3

Uit Ingenieur no. 31, 1970: 9. H. van Katen: De windbelasting

10. P.J. Rijkoort: Wind en meteorologische grootheid. 11. P.A. Bossers: Windinvloed om en in gebouwen.

~

12. H. Charnock: Wind stress on a water surface. Uit: Quart. J. Roy. Meteorol. Soc.; 1955.

13. H. van Katen en Ir. C.A.M. Bos

Syllabus van de leergang WIND - T.G.B. 1972

10- 1 10- 2 10- 3 1D-4 E _-5 u ₁₀ 0 N D •rl m 10- 6 .L. 3 ::J 0:::

~·

)( ~X \'\

'"

\;.~

----

·---..

•

..

:.

Portman (1960)

•

•

10 20 30 40 50 Hay (1955) Charnock (1955) Roll (1948a) Motzfeld ( 1 937) von Karman (1934) U (em/sec,) X

Fig. 1. Ruwheid Z als funktie van de schuifspanningssnelheid U

0 X

Dvergenomen uit lit. 3.

15 \0 o, onstabiel, Ri

= -

0.07 \l E ₆

.~~·

~ m 4 X, adiabatisch, Ri

=

0.01 +' bO b> stabiel, Ri = 0.18 0 2 0 .L. o.9 o . ., 1.0 Rel. windsnelheid

Fig. 3. Profielen van de relatieve windsnelheid boven het zeeopper-vlak voor verschillende waarden van Ri (overgenomen van Deacon 1956)

I 0 N 0 "" u ~ 1-z w H u H LL w 0 :,L (f) lCl z H 2 ~ 1 <t: D.... (f) 0 z H 3 0 1 2 3 4 5 6 I I I 0 5 10 BEAUFORT SCHAAL 7 8 9

'·

I

1

4~ ~

+

- -

r-1

••

•

2

I

ln(z/ )

K=

konstante van I Von Karman 10 . z= 10 m O(U 2 0.0156u 2 7j, = - 9 ( - - ~---X-g g 15 20 25 WINDSNELHEID,

u

10 (m/sek.) 11

FIGUUR 2 Oceanografische metingen onder verschillende zeetoestanden

12

Ul

~ E QJ +' b.(J 0 0 .I: 1

v

rvZ2 500 400 300 200 100 100 z 95 90 84 78 72 Centrum grote stad FIGUUR 4 Vrvz1/3.5 100 z 96

~

v'"'-J

z 117 100 z 90 84 97 76 65

bebost ter- vlak land zonder rein,buiten- bebouwing

wij ken