1. Uwagi wstępne
Niech I ⊂ R będzie dowolnym przedziałem i a, b ∈ I, przy czym a < b. Niech dane będzie odwzorowanie Φ = (ϕ1, . . . , ϕn) : I → Rn. Załóżmy, że funkcje ϕ1, . . . , ϕn są różniczkowalne w przedziale I. Wówczas mówimy, że odwzorowanie Φ jest różniczkowalne w tym przedziale, a jego pochodną nazywamy odwzorowanie Φ′ : I → Rnokreślone wzorem
Φ′(x) = ϕ′1(x), . . . , ϕ′n(x)
dla x∈ I.
Załóżmy teraz, że funkcje ϕ1, . . . , ϕnsą całkowalne w sensie Riemanna w przedziale ha, bi. Wów- czas mówimy, że odwzorowanie Φ jest całkowalne w tym przedziale, a całką odwzorowania Φ w prze- dziale ha, bi nazywamy punkt przestrzeni Rn dany wzorem
Z b
a
Φ(t)dt = Z b
a
ϕ1(t)dt, . . . , Z b
a
ϕn(t)dt . Przestrzeń Rn wyposażamy w normę określoną wzorem
|y| =maxn
i=1 |yi| = max{|yi| : i = 1, 2, . . . , n}, y= (y1, . . . , yn).
Łatwo wykazać, że norma ta jest równoważna z normą euklidesową w przestrzeni Rn. Jedną z korzyści wprowadzenia powyższej normy jest prosty dowód poniższej własności.
Własność 1. Dla każdego odwzorowania Φ = (ϕ1, . . . , ϕn) : ha, bi → Rn, całkowalnego na ha, bi, zachodzi nierówność
Z b a
Φ(t)dt 6
Z b a
|Φ(t)|dt.
Dowód. Ponieważ dla każdego i = 1, 2 . . . , n zachodzą nierówności
Z b
a
ϕi(t)dt 6
Z b
a
|ϕi(t)|dt 6 Z b
a
|Φ(t)|dt,
to
Z b
a
Φ(t)dt
=maxn
i=1
Z b a
ϕi(t)dt . 6
Z b a
|Φ(t)|dt.
2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
Punkt (x, y1, . . . , yn) przestrzeni Rn+1 oznaczać będziemy krótko jako (x, y), gdzie x ∈ R oraz y= (y1, . . . , yn).
Niech dany będzie obszar G ⊂ Rn+1 i odwzorowanie ciągłe F = (f1, . . . , fn) : G → Rn. Układem normalnym równań różniczkowych pierwszego rzędu nazywamy układ
y′1= f1(x, y1, . . . , yn), . . . . y′n= fn(x, y1, . . . , yn) lub krócej – układ
(1) y′ = F (x, y).
Rozwiązaniem układu (1) nazywamy każde odwzorowanie Φ = (ϕ1, . . . , ϕn) : I → Rn określone i różniczkowalne na przedziale I ⊂ R i takie, że dla każdego x ∈ I punkt x, Φ(x)
∈ G i Φ′(x) = F x, Φ(x)
.
W sposób analogiczny jak dla równań różniczkowych wprowadzamy pojęcia: przedłużenia roz- wiązania, przedłużenia właściwego, rozwiązania integralnego układu równań różniczkowych.
Dla ustalonego punktu (ξ, η) ∈ G, gdzie η = (η1, . . . , ηn), warunki początkowe lub Cauchy’ego polegają teraz na poszukiwaniu rozwiązania Φ : I → Rn układu (1) takiego, że
Φ(ξ) = η, czyli takiego, że ξ ∈ I oraz ϕ1(ξ) = η1, . . . , ϕn(ξ) = ηn.
Niech T będzie podzbiorem G. Mówimy, że odwzorowanie F spełnia na T warunek Lipschitza ze wzgędu nay, gdy istnieje stała L > 0 taka, że nierówność
|F (x, y) − F (x, y∗)| 6 L|y − y∗| zachodzi dla wszystkich punktów (x, y), (x, y∗) ∈ T .
Niech (ξ, η) ∈ G, a, b > 0 oraz
T = {(x, y) ∈ R × Rn: |x − ξ| 6 a, |y − η| 6 b}.
Podobnie jak w rozdziale II (korzystając z własności 1) pokazujemy, że istnieje ciągłe rozwiązanie układu równań całkowych postaci
y(x) = η + Z x
ξ
F t, y(t) dt,
a zatem istnieje rozwiązanie układu równań różniczkowych (1), przy stosownych założeniach.
Dokładniej, definiując odpowiedni ciąg kolejnych przybliżeń:
Φ0(x) = η, x∈ I, Φk(x) = η +
Z x
ξ
f t, Φk−1(t)
dt, x∈ I, k= 1, 2, . . .
postępujemy jak w dowodzie twierdzenia Picarda z poprzedniego rozdziału, otrzymując:
Twierdzenie 1 (Picarda). Jeśli spełnione są poniższe założenia:
(a) F : G → Rn jest odwzorowaniem ciągłym, (b) T ⊂ G,
(c) F spełnia na T warunek Lipschitza ze względu na y, (d) |F (x, y)| 6 M dla (x, y) ∈ T , gdzie M > 0,
(e) I = hξ − δ, ξ + δi, gdzie δ = min{a,Mb },
to istnieje rozwiązanie Φ: I → Rn układu (1) spełniające warunek początkowy Φ(ξ) = η o wykresie leżącym w T . Ponadto rozwiązanie to jest jednoznaczne w tym sensie, że jeśli eΦ : eI → Rn jest rozwiązaniem układu (1), spełniającym warunek początkowy eΦ(ξ) = η, o wykresie przebiegającym w T , to eΦ(x) = Φ(x) dla x ∈ I ∩ eI.
Mówimy, że odwzorowanie F = (f1, . . . , fn) : G → Rn spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y, gdy każdy punkt (ξ, η) ∈ G posiada otoczenie T ⊂ G, na którym F spełnia warunek Lipschitza ze względu na y.
Własność 2. Jeśli wszystkie współrzędne f1, . . . , fn odwzorowania F mają ograniczone pochodne cząstkowe względem zmiennychy1, . . . , yn, toF spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y.
W szczególności każde odwzorowanie F = (f1, . . . , fn) klasy C1 spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu nay.
Dowód. Ustalmy punkt (ξ, η) ∈ G. Z założenia istnieje stała M > 0 i prostokąt T = {(x, y) ∈ Rn+1: |x − ξ| 6 a, |y − η| 6 b}, dla których spełnione są nierówności:
(fi)′yk(x, y)
6 M dla (x, y) ∈ T, i, k = 1, . . . , n.
Zauważmy, że dla dowolnych (x, y) ∈ T i (x, y∗) ∈ T zachodzi tożsamość fi(x, y) − fi(x, y∗) = fi(x, y1, y2, . . . , yn) − fi(x, y1∗, y2, . . . , yn)
+ + fi(x, y∗1, y2, . . . , yn) − fi(x, y1∗, y2∗, . . . , yn)
+ . . .
+ fi(x, y∗1, . . . , yn−1∗ , yn) − fi(x, y∗1, . . . , yn−1∗ , y∗n) .
Stąd i z twierdzenia o wartości średniej, stosowanego do każdej zmiennej y1, . . . , yn, dostajemy, że
|fi(x, y) − fi(x, y∗)| 6 nM |y − y∗|.
Zatem dla dowolnych (x, y) ∈ T i (x, y∗) ∈ T ,
|F (x, y) − F (x, y∗)| 6 nM |y − y∗|.
Twierdzenie 2 (integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności). Jeżeli odwzorowanie ciągłe F = (f1, . . . , fn) : G → Rn
spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y, to przez każdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu (1). Rozwiązanie to jest określone w przedziale otwar- tym.
Dowód tego twierdzenia poprzedzimy lematem.
Lemat 1. Przy założeniach powyższego twierdzenia, jeżeli Φ1 : I1 → Rn i Φ2 : I2 → Rn są dwoma rozwiązaniami układu (1) przechodzącymi przez punkt (ξ, η), to
Φ1(x) = Φ2(x) dla x∈ I1∩ I2.
Dowód. Jeśli I1∩ I2 = {ξ}, to lemat zachodzi w sposób oczywisty. Natomiast, jeśli I1∩ I2 6= {ξ}, to zbiór I = I1∩ I2 jest przedziałem zawierającym ξ i zbiór
Z = {x ∈ I : Φ1(x) = Φ2(x)}
jest niepusty, bo ξ ∈ Z. Ponieważ Φ1 i Φ2 są odwzorowaniami ciągłymi, zbiór Z jest domknięty.
Weźmy dowolny punkt ξ0 ∈ Z i niech η0 = Φ1(ξ0) = Φ2(ξ0). Oczywiście punkt (ξ0, η0) ∈ G zatem na mocy założenia istnieje prostokąt
T0= {(x, y) ∈ Rn+1: |x − ξ0| 6 a0, |y − η0| 6 b0},
zawarty w G. Z twierdzenia 1 istnieje więc rozwiązanie Φ0 : I0 → Rn układu (1) określone na przedziale otwartym1 I0 o środku w punkcie ξ0, przechodzące przez punkt (ξ0, η0). Na mocy drugiej części twierdzenia 1 rozwiązanie to jest jednoznaczne, czyli
Φ1(x) = Φ2(x) = Φ0(x) dla x∈ I0∩ I.
Zatem I0∩ I ⊂ Z i w konsekwencji zbiór Z jest otwarty w I. Ponieważ I jest przedziałem (tzn.
zbiorem spójnym na prostej R), więc Z = I. To należało pokazać.
Dowód twierdzenia 2. Rozważmy rodzinę J wszystkich przedziałów I, dla których istnieją rozwią- zania ΦI : I → Rn układu (1) przechodzące przez punkt (ξ, η). Na podstawie twierdzenia Picarda rodzina J jest niepusta. Niech eI oznacza sumę wszystkich przedziałów rodziny J , czyli
Ie= [
I∈J
I.
Łatwo zauważyć, że eI jest przedziałem zawierającym ξ. Dla każdego x ∈ eI przyjmijmy Φ(x) = Φe I(x), jeśli x∈ I, I ∈ J .
Na podstawie lematu 1 odwzorowanie eΦ jest jednoznacznym integralnym rozwązaniem układu (1) przechodzącym przez punkt (ξ, η).
Na zakończenie pokażemy, że eI jest przedziałem otwartym. Przypuśćmy przeciwnie, że na przy- kład prawy koniec β przedziału eI należy do tego przedziału. Wówczas punkt β, eΦ(β)
∈ G, więc z założenia istnieje zbiór
T = {(x, y) ∈ Rn+1: |x − β| 6 a, |y − eΦ(β)| 6 b},
w którym można zastosować twierdzenie 1. Istnieje więc rozwiązanie Φ0 : I0 → Rn układu (1) określone na przedziale I0 o środku w punkcie β takie, że Φ0(β) = eΦ(β). Z lematu 1 odwzorowanie
Φ(x) =
Φ0(x) dla x ∈ I0, Φ(x)e dla x ∈ eI
1 Na podstawie twierdzenia 1 istnieje rozwiązanie określone na przedziale domkniętymhξ0− δ, ξ0+ δi. Możemy przyjąć I0= (ξ0− δ, ξ0+ δ).
jest rozwiązaniem układu (1). Jest ono właściwym przedłużeniem rozwiązania eΦ, co przeczy inte- gralności rozwiązania eΦi kończy dowód.
Podamy jeszcze jedno integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności, gdy odwzorowanie F jest określone na obszarze o specjalnym kształcie:
G= {(x, y) ∈ R × Rn: x ∈ (p, q), y ∈ Rn}.
Twierdzenie 3. JeśliF : G → Rnjest odwzorowaniem ciągłym i dla każdego domkniętego przedziału I ⊂ (p, q) spełnia ono warunek Lipschitza na zbiorze I × Rn ze względu na y, to przez każdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu (1). Jest ono określone w całym przedziale (p, q).
Szkic dowodu. Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Picarda poszukujemy ciągłego rozwiązania układu równań całkowych:
y(x) = η + Z x
ξ
F t, y(t) dt.
Ponieważ odwzorowanie F jest określone w zbiorze G = (p, q) × Rn, to można poprawnie zdefiniować następujący ciąg kolejnych przybliżeń:
Φ0(x) = η, x∈ (p, q), Φk(x) = η +
Z x
ξ
F t, Φk−1(t)
dt, x∈ (p, q), k= 1, 2, . . .
Biorąc dowolny przedział domknięty I ⊂ (p, q), stwierdzamy, że istnieje stała M > 0 taka, że
|F (x, η)| 6 M dla x∈ I.
Następnie, analogicznie jak w dowodzie twierdzenia Picarda, wykazujemy indukcyjnie nierówność
|Φk(x) − Φk−1(x)| 6 M Lk−1
k! |x − ξ|k (x ∈ I, k = 1, 2, . . .),
z której wynika, że ciąg (Φk) jest jednostajnie zbieżny na przedziale I. Z dowolności I wynika, że w całym przedziale (p, q) ciąg (Φk) jest zbieżny punktowo do odwzorowania ciągłego Φ.
Ponieważ F spełnia warunek Lipschitza na każdym zbiorze postaci I × Rn, to podobnie jak w dowodzie twierdzenia Picarda wykazujemy, że
Φ(x) = η + Z x
ξ
F t, Φ(t)
dt dla x∈ I, a więc z dowolności przedziału I
Φ(x) = η + Z x
ξ
F t, Φ(t)
dt dla x∈ (p, q).
Jednoznaczność rozwiązania Φ otrzymujemy z twierdzenia 2, gdyż z przyjętych założeń wynika, że odwzorowanie F spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y.
To kończy dowód twierdzenia.
