Aproksymacyjne własności projekcji Niech f ∈ C([a, b]) oraz k · k = k · k C([a,b]) . Niech dalej

Aproksymacyjne własności projekcji Niech f ∈ C([a, b]) oraz k · k = k · k _C([a,b]) . Niech dalej

V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ · · ·

będzie ustalonym, nieskończonym ciągiem podprzestrzeni liniowych, dim(V _n ) = n. Da- lej będziemy zakładać, że V n = Π n−1 jest podprzestrzenią wielomianów algebraicznych stopnia co najwyżej n − 1. Jak zwykle,

dist(f, V n ) = min

v∈V

kf − vk

i przez v ⁿ _f oznaczymy element optymalny dla f w V _n . Z punktu widzenia praktycznej aproksymacji funkcji f chcielibyśmy mieć algorytm A n : C([a, b]) → V n , który z jednej strony produkuje przybliżenie A _n f z małym błędem kf − A _n f k, a z drugiej jest nie tylko realizowalny, ale też stosunkowo tani obliczeniowo. Realizowalność oznacza tu, że aproksymacja konstruowana jest na podstawie informacji o wartościach funkcji w skończonej liczbie punktów, tzn. A _n jest postaci

A n f = Φ ^ f (x 1 ), f (x 2 ), . . . , f (x n ) ^ ,

gdzie Φ : R ⁿ → C([a, b]) jest pewnym przekształceniem. (To implikuje, w szczególności, że funkcjom o tych samych wartościach w x _i dla 0 ¬ i ¬ n odpowiada ta sama aproksymacja.) Natomiast taniość oznacza koszt proporcjonalny do n. Ten postulat spełniają algorytmy liniowe,

A _n f =

n

X

i=1

f (x _i )φ _i ,

gdzie φ _i ∈ C([a, b]), 0 ¬ i ¬ n, są pewnymi ustalonymi funkcjami. Przykładami są aproksymacja wielomianami Bernsteina,

(B _n f )(x) = (b − a) ¹⁻ⁿ

n

X

i=1

f



a + i − 1

n − 1 (b − a)

 n − 1 i

!

(x − a) ⁱ⁻¹ (b − x) ⁿ⁻ⁱ , albo po prostu interpolacja Lagrange’a z węzłami a ¬ x ₁ < x ₂ < . . . < x _n ¬ b,

(P _n f )(x) =

n

X

i=1

f (x _i ) l _i (x), l _i (x) =

n

Y

j=1,j6=i

x − x _j x _i − x _j .

Natomiast optymalna aproksymacja f 7→ v _f ⁿ nie wchodzi w rachubę, bo v ⁿ _f zależy nieliniowo od f , a poza tym znalezienie v _f ⁿ jest trudne obliczeniowo i wymaga w szcze- gólności znalezienia alternansu.

Dodatkowo chcielibyśmy, aby algorytm A _n “odtwarzał” funkcje z V _n , tzn.

A _n f = f o ile f ∈ V _n .

Ten warunek spełnia interpolacja Lagrange’a, ale nie wielomiany Bernsteina. Można bowiem zauważyć, że już dla wielomianu w 2 (x) = x ² i (dla uproszczenia) [a, b] = [0, 1]

mamy

(B _n w ₂ )(x) = n − 1

n x ² + 1

n x,

1

skąd w ₂ (x) − (B _n w ₂ )(x) = x(1 − x)/n. Już ten fakt niejako dyskredytuje ten typ aproksymacji. (Porównaj również z twierdzeniem 1 poniżej.)

Teraz warto zadać sobie pytanie, czy istnieją algorytmy A _n spełniające powyższe wa- runki, dla których błąd kf − A _n f k zbiega do zera jak błąd optymalny dist(f, V _n ), gdy n → ∞. W szczególności, chcielibyśmy “odtworzyć” następujące twierdzenie, który jest jednym z wariantów słynnego w teorii aproksymacji twierdzenia Jacksona (bez dowodu).

Twierdzenie 1 Jeśli f ∈ C ^r ([a, b]) to dist(f, V n ) ¬ Cn ^−r kf ^(r) k dla pewnej C > 0.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozpatrzmy sytuację nieco ogólniejszą. Niech L n : C([a, b]) → V n , n = 0, 1, 2, . . . ,

będzie ciągiem projekcji, tzn. L _n jest liniowy i ciągły oraz L _n f = f gdy f ∈ V _n . Oczywiście, P _n jest projekcją, ale B _n już nie, jak pokazaliśmy powyżej na przykładzie funkcji x 7→ x ² . Przypomnijmy jeszcze, że norma projekcji (ogólniej, przekształcenia liniowego) zdefiniowana jest jako

kL _n k := sup

kf k¬1

kL _n f k.

Łatwo widać, że dla algorytmu A _n mamy kA _n k = sup

a¬x¬b

n

X

i=1

φ _i (x)    ,

skąd, w szczególności, kB _n k = 1 oraz kP _n k = max _a¬x¬b ^{P n} _i=1 |l _i (x)|.

Dla dowolnej funkcji f ∈ C([a, b]) mamy

kf − L _n f k ¬ kf − v _f ⁿ k + kv _f ⁿ − L _n f k = dist(f, V _n ) + kL _n (v _f ⁿ − f )k

¬ (1 + kL _n k) dist(f, V _n ),

co oznacza, że jeśli normy projekcji są wspólnie ograniczone, kL _n k ¬ M ∀n, to błąd zbiega jak błąd optymalny. Ale też odwrotnie, jeśli istnieje K taka, że dla wszystkich f ∈ C([a, b]) jest kf − L _n f k ¬ K dist(f, V _n ) ∀n, to

kL n f k ¬ kf − L n f k + kf k ¬ (K + 1) kf k

(gdzie wykorzystaliśmy fakt, że dist(f, V _n ) ¬ kf k), czyli normy kL _n k są wspólnie ogra- niczone.

Odpowiedź na nasze pytanie sprowadza się teraz do odpowiedzi na inne pytanie: czy ist- nieją projekcje na V _n = Π _n−1 o wspólnie ograniczonych normach? Niestety, odpowiedź brzmi NIE. Mówi o tym ważne twierdzenie Łozińskiego-Charsziladze, które podajemy bez dowodu i w uproszczonej formie.

Twierdzenie 2 Dla dowolnych projekcji L _n mamy lim _n→∞ kL _n k = ∞.

2

Z naszych rozważań można w szczególności wysnuć wniosek, że nie istnieją projekcje, a więc również algorytmy A _n (w sensie zdefiniowanym powyżej) takie, że dla funkcji f ∈ C ^r ([a, b]) błąd kf − A n f k zbiega do zera jak n ^−r . Okazuje się, że problemem jest wybór podprzestrzeni V _n = Π _n−1 , czyli aproksymacja wielomianami coraz wyższego stopnia. Sytuacja zmienia się radykalnie gdy zamiast aproksymacji wielomianami roz- patrzymy aproksyamcję kawałkami wielomianami ustalonego stopnia r − 1. Wtedy dla f ∈ C ^r ([a, b]) mamy zbieżność n ^−r - PATRZ ROZDZIAŁ 7.3 na str. 83-85 SKRYPTU.

Poza tym, aproksymacja kawałkami wielomianowa okazuje się optymalna w klasie funk- cji z kf ^(r) k ¬ M , w sensie, błędu najgorszego - PATRZ U. 7.2 na str. 85 SKRYPTU.

3