kl 1b Funkcje trygonometryczne I Definicje funkcji sin x, cos x, tg x i ctg x Rozważmy trójkąt prostokątny ABC, przy czym kąt przy wierzchołku B jest prosty i oznaczmy α

23.5.2019, kl 1b

Funkcje trygonometryczne I

Definicje funkcji sin x, cos x, tg x i ctg x Rozważmy trójkąt prostokątny ABC, przy czym kąt przy wierzchołku B jest prosty i oznaczmy α := |^CAB|. Wówczas sinus kąta (ostrego) α definiujemy jako iloraz przyprostokątnej |BC| do przeciwprostokątnej |AC|. Podobnie definiujemy cosinus i tangens:

cos α = ^|AB|_|AC|, tg α = ^|BC|_|AB|. Wygodnie i pożyteczne jest rozszerzyć powyższe definicje na przypadek kątów niekoniecznie ostrych.

Definicja. Rozważmy okrąg jednostkowy o równaniu x²+ y²= 1. Przypomnijmy, liczba π, z definicji, to połowa obwodu tego okręgu. Przypuśćmy, że pewien punkt porusza się po naszym okręgu w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara ze stałą prędkością równą 1 tak, że cały okrąg obiega w czasie 2π jednostek czasu, przy czym przyjmijmy, że punkt nasz wyrusza w podróż z punktu (1, 0). Niech P (t) = (x(t), y(t)) opisuje położenie naszego punktu w chwili t ∈ R. Zatem P (0) = (1, 0) oraz P (t + k · 2π) = P (t) dla k ∈ Z. Cosinus i sinus liczby t definiujemy jako współrzędne punktu P (t):

cos t := x(t), sin t := y(t).

natomiast tg t := _{cos t}^{sin t} (dla t takich, że cos t 6= 0) i (cotangens) ctg t := ^{cos t}_{sin t} (t 6= kπ, k ∈ Z).

Zadania

Zadanie 1. Sprawdź, że powyższa definicja funkcji sinus i kosinus pokrywa się z klasyczną definicją funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.

Zadanie 2. Uzupełnij tabelkę

t 0 π/6 π/4 π/3 π/2

stopnie sin t cos t tg t ctg t

Zadanie 3. Oblicz: (a) cos(−³₂π), (b) sin⁷₆π, (c) tg¹¹₄ π, (d) ctg(−2019^π₆).

Zadanie 4. Określ znak liczb (a) sin¹¹₆π, (b) tg⁸₇π, (c) cos(−1), (d) ctg 2, (e) sin(−2020^π₇) Zadanie 5. Uzasadnij, że dla wszystkich x ∈ R zachodzą wzory

(a) cos(−x) = cos x, (b) sin(−x) = − sin(x),

(c) cos(π − x) = cos x, (d) tg(x + k^π₂) = tg x, k ∈ Z.

(e) sin(^π₂ − x) = cos x.

Zadanie 6. Uzasadnij, że sin²x + cos²x = 1.

Definicja. Załóżmy, że T > 0 i zbiór D ⊂ R ma własność: x ∈ D =⇒ x + T ∈ D. Mówimy, że f : D → R jest funkcją okresową z okresem T (funkcją T -okresową), jeśli dla każdego x ∈ D jest f (x + T ) = f (x). Jeśli istnieje liczba T0, że funkcja f jest T₀-okresowa, ale żadna z liczb T ∈ (0, T₀) nie jest okresem funkcji f , to T₀ nazywamy okresem podstawowym funkcji f .

Zadanie 7. Wykaż, że jeśli okresami funkcji f są 5 i 8, to również 1 jest okresem f .

Zadanie 8. Wyznacz okres podstawowy funkcji (a) sin²x, (b) sin x cos³x, (c) sin(2x+π/2)

cos(3x−π/2), (d) tg(x − bxc).

Zadanie 9. Podaj przykład funkcji okresowej, która nie ma okresu podstawowego.

Zadanie 10. Rozwiąż równania (a) sin x = ¹₂,

(b) sin x + cos x = 1, x ∈ [1, 10], (c) tg x =

√3 3 , (d) | sin x| = | cos x|,

(e) | sin x − cos x| = | sin x| + | cos x|.

Zadanie 11. Rozwiąż nierówności (a) sin x > ¹₂,

(b) sin x > − cos x, (c) tg x ¬ 1.

Zadanie 12. Wiadomo, że tg x = ³₄ oraz sin x < 0. Oblicz cos x.

Zadanie 13. Znajdź maksymalną wartość wyrażenia (x ∈ R) (a) sin x + cos x,

(b) 3 sin x − 4 cos x.

Kącik olimpijski.

Zadanie 1. Rozwiąż równanie cos³x + sin³x = 1.

Zadanie 2. Udowodnij, że dla każdego x ∈ R i n ∈ N mamy równość:

bxc + bx + 1

nc + . . . + bx + n − 1

n c = bnxc.

Zadanie 3. Funkcja f : R → R spełnia dla dowolnych x, y ∈ R równość f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y),

a ponadto istnieje x₀ 6= 0 takie, że f (x₀) = 1. Udowodnij, że funkcja f jest okresowa.

2