∫ ANALIZA HARMONICZNA

ANALIZA HARMONICZNA

I.

Cel ćwiczenia: zapoznać z zagadnieniem rezonansu w obwodzie szeregowym RLC i za- gadnieniem analizy harmonicznej.

II.

Przyrządy: obwód rezonansowy, generator funkcyjny o impedancji wyjściowej nie większej niż 50Ω, częstościomierz cyfrowy, oscyloskop. Pożądany oscylo- skop dwukanałowy z niezależnym wejściem X i dodatkowy generator o dużej stabilności.

III

. Literatura: 1. Ch. Kittel, Mechanika, PWN Warszawa 1969, rozdz. 7, zad. 8, 9, 10, 14, 16 (oscylator harmoniczny, oscylator harmoniczny tłumiony).

2. E. M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN Warszawa 1971, rozdz. 8.1, 8.2 (obwody prądu zmiennego).

3. F. Crawford, Fale, PWN Warszawa 1972, rozdz. 2.3 (analiza harmo- niczna).

4. Opis ćwiczenia E−11A (drgania swobodne, drgania tłumione, drgania wymuszone).

5. Pracownia fizyczna dla zaawansowanych, UŁ. rozdz. III (pomiary oscy- loskopem).

IV. Wprowadzenie IV.1

Twierdzenie Fouriera.

Twierdzenie Fouriera, według którego dowolna „rozsądna” funkcja okresowa zmiennej rze- czywistej t o okresie T może być przedstawiona jako skończony lub nieskończony szereg sinu- sów o okresach T, T/2, T/3 ... odgrywa bardzo ważną rolę w najrozmaitszych dziedzinach nauk przyrodniczych i technicznych. Zastosowania szeregów Fouriera polegają na wykorzystaniu do opisu badanych procesów tzw. analizy harmonicznej, tj. rozkładu dowolnego drgania na sumę n drgań harmonicznych o częstościach będących całkowitymi wielokrotnościami „częstości pod- stawowej” równej częstości danego drgania. Wyrażając się bardziej precyzyjnie można powie- dzieć, że celem analizy harmonicznej jest możliwie dobre przybliżenie empirycznie znanej funk- cji okresowej przez skończone szeregi trygonometryczne.

Uściślając twierdzenie Fouriera z 1822 roku możemy powiedzieć, że dowolną funkcję rze- czywistą i okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, jeśli istnieje całka:

∫ ( )

− 2 T

2 T

dt t f wówczas

( ) ∑

^∞

[ ( ) ( ) ]

=

ω

⋅ + ω

⋅ +

=

1 k

o k

o k

o cos k t b sin k t

2 t 1

f a a

gdzie

(

k t

)

dt cos

) t ( T f 2 ^T2

2 T

o

k

∫

−

ω

=

a ,

(

k t

)

dt sin

) t ( T f b 2

2 T

2 T

o

k

∫

−

ω

= ,

T 2

o

= π

ω ; k = 0, 1, 2, …

Na mocy tego twierdzenia prostokątną falę o amplitudzie Ao i okresie T możemy przedstawić w postaci szeregu:

( )

[ ]

∑

^∞

= +

+ π

= π

0 o

1 2

T / t 1 2 2 sin A

) 4 t ( U

l l

l ( 1 )

Rys.1 Symetryczna względem osi czasu t prostokątna fala napięcia

Obecnie gałąź matematyki, zapoczątkowana przez twierdzenie Fouriera i rozszerzona na funkcje nieokresowe znalazła bardzo szerokie zastosowanie w praktyce. Analizę fourierowską (harmoniczną, widmową) stosuje się wszędzie tam, gdzie zachodzi konieczność przetwarzania zmiennych w czasie sygnałów elektrycznych na ciągi liczb. Jednym ze spektakularnych „sukce- sów” analizy harmonicznej jest cyfrowy zapis dźwięku. Przyrządy przeznaczone do przeprowa- dzania analizy harmonicznej nazywamy analizatorami widma lub analizatorami fourierowskimi.

IV.2 Rezonans w szeregowym obwodzie RLC.

Zjawisko pobudzania układu fizycznego do drgań, których amplituda i energia mogą być niewspółmiernie wielkie w stosunku do mocy czynnika wymuszającego nosi nazwę rezonansu, a częstość drgań, dla której amplituda i energia osiągają maksimum, nazywamy rezonansem.

Jeżeli w obwód RLC (rys. 2) włączymy źródło zmiennej w czasie siły elektromotorycznej (SEM)

E = E_osinωt, E_o = const ( 2 )

to suma chwilowych wartości spadków potencjału w obwodzie jest równa chwilowej wartości SEM

t sin C E

RI Q dt LdI U U

U_L+ _R + _C = + + = _o ω ( 3 )

Różniczkując (3) względem czasu t otrzymamy:

t cos E CI 1 dt RdI dt

I

Ld _{2 o}

2

ω ω

= +

+ . ( 4 )

Szczególnymi rozwiązaniami równania (4) są funkcje:

U

T t

A_o A_o

I1(t) = Iocos(ωt + ϕ1) ( 5a )

I2(t) = Iosin(ωt + ϕ2) ( 5b )

gdzie ϕ2 jest różnicą faz prądu i SEM

R C L 1 tg ₂ ω −ω

−

=

ϕ ( 5c )

Amplitudę natężenia prądu wyznaczają wartości amplitudy SEM Eo i modułu impedancji (zawa- dy) Z :

2 2

o o

o

C L 1 R

E Z

I E



 





−ω ω +

=

= . ( 6 )

Rys.2 Szeregowy obwód RLC (obwód rezonansowy) ze źródłem sinusoidalnie zmiennej w czasie SEM.

Dla pewnej częstości kątowej ωο opór indukcyjny R^L = ωL jest równy oporowi pojemnościowe-

mu C

R_C 1

=ω , co pociąga za sobą warunki:

LC 1

o =

ω i

LC 2 f_o 1

= π , (ωo = 2πfo) ( 7 )

Dla częstości ωο moduł impedancji (moduł oporności zespolonej, zawady) osiąga wartość mini- malną równą rzeczywistej oporności Ro całego obwodu (źródło SEM, opornik, cewka), zanika różnica między natężeniem prądu a SEM, natomiast amplituda i wartość skuteczna natężenia prądu stają się maksymalne: Io = Eo/Ro , I^sk = Esk/Ro .

Zależność amplitudy natężenia prądu bądź amplitudy spadku potencjału na wybranym ele- mencie obwodu (R, L, C) od częstości SEM nazywamy krzywą rezonansową. Krzywe rezonan- sowe napięcia na kondensatorze I ( )

C U_oC 1 _o ω

=ω i indukcyjności U_oL =ωLI_o(ω) osiągają mak- sima odpowiednio dla częstości kątowych

2 o 2 o

oC 2L

R LC

1 − ≤ω

=

ω ( 8 )

i

2 o 2 o

oL 2LC R C

2 ≥ω

= −

ω ( 9 )

C

L R

~

Dla obwodów rezonansowych o małej wartości oporności rzeczywistej i dużej wartości induk- cyjności, charakteryzujących się tzw. dużą dobrocią

C L R Q 1

o

= ( 10 )

prawdziwe są wzory przybliżone

UoC(ωo) ≈ QEo ( 11a )

i

U_oL(ω_o) ≈ QE_o ( 11b )

Wynika stąd, iż dla obwodów o dużej wartości współczynnika dobroci Q amplitudy napięć mie- rzonych na pojemności i indukcyjności w stanie rezonansu mogą być wielokrotnie większe od amplitudy SEM Eo .

IV.3 Analiza harmoniczna

Jak wynika ze wzoru (1) prostokątną, symetryczną falę napięcia o amplitudzie Ao i częstości f = 1/T można przedstawić jako superpozycję fal sinusoidalnych (harmonicznych) o amplitudach i częstościach spełniających warunki:

...

,f 7f;

7 A A

; f 5 f 5 , A A

; f 3 f 3 , A A

; f f A ,

A₁ 4 ^o ₁= ₂ = ¹ ₂ = _{1 3} = ¹ ₃= _{1 4} = ¹ ₄ = ₁

= π .

Załóżmy, iż w szeregowy obwód RLC o dużej dobroci Q włączyliśmy generator (źródło) syme- trycznej fali prostokątnej i tak dobraliśmy częstość fali f, aby była równa częstości rezonansowej tego układu f = f1 (rys. 3)

Rys. 3 Ogólna idea układu pomiarowego.

Wówczas na ekranie oscyloskopowym obserwować będziemy wyraźne maksimum drgań wzbudzonych w obwodzie, a drgania te będą miały charakter drgań harmonicznych (sinusoidal- nie zmiennych w czasie). Jeśli zaczniemy zmniejszać częstość fali prostokątnej nie zmieniając jej amplitudy, to amplituda drgań wzbudzonych najpierw gwałtownie się zmniejszy, aby następnie ponownie osiągnąć maksimum dla częstości fali prostokątnej równej f2 = f1/3, przy czym ampli- tuda dla tej częstości będzie wynosić tylko 1/3 wartości amplitudy dla częstości f1. W przypadku dalszego zmniejszania częstości fali prostokątnej zaobserwujemy maksima dla kolejnych często- ści f₃ = f₁/5, f₄ = f₁/7 itd.

Maksymalne amplitudy drgań wymuszonych będą wynosiły odpowiednio 1/5, 1/7, itd. war- tości maksymalnej amplitudy dla częstości f₁. Dzieje się tak dlatego, iż fala prostokątna o często-

C

L R

X

Y

Y X

ściach f2, 3f2, 5f2 ..., a skoro f² = f1/3, gdzie f1 jest częstością rezonansową, to poszczególne har- moniczne tej fali pozostają w stosunku do częstości rezonansowej f1 jak f1/3, f1, 5f1/3, ... .Tak więc częstość drugiej harmonicznej fali prostokątnej o częstości f2 = f1/3 jest równa częstości rezonansowej obwodu. Odpowiednio, trzecia harmoniczna fali prostokątnej o częstości f3 = f1/5 będzie równa częstości rezonansowej. Ponieważ kolejne harmoniczne mają coraz to mniejsze amplitudy drgań wzbudzonych, to maksymalne amplitudy drgań wzbudzonych w obwodzie będą coraz to mniejsze.

Rys. 4 Widmo harmonicznych trzech fal prostokątnych (w przedziale częstości od 0 Hz do 12 kHz). Linią ciągłą zaznaczono amplitudy dla częstości mierzonych doświad- czalnie.

A[mV]

50

frez 5 10 f, kHz

0

Fala prostokątna Ao = 50 mV, f1 = frez = 3 kHz 1

2

A[mV]

50

frez 5 10 f, kHz

0

Fala prostokątna Ao = 50 mV, f2 = frez/3 = 1 kHz

2 1

3 4 5

6

A[mV]

50

frez 5 10 f, kHz

0

Fala prostokątna A_o = 50 mV, f₃ = f_rez/5 = 600 Hz

2 1

3 4 5 6 7 8 9 10

———

Jednocześnie w miarę zmniejszania częstości będzie się bardziej uwypuklał tłumiony charak- ter drgań w obwodzie.

Gdybyśmy zastąpili źródło fal prostokątnych źródłem, którego SEM zmienia się w czasie w inny sposób, to powtarzając opisaną powyżej procedurę wzbudzilibyśmy w obwodzie drgania harmo- niczne, ale sekwencja częstości, dla których wystąpiłby rezonans, byłaby inna i wynikałaby wprost z analizy fourierowskiej tej SEM.

Najprostszy sposób przedstawienia wyników analizy harmonicznej określonej funkcji (drga- nia, fali) przedstawiono na rys. 4.

Przedstawia on zależność amplitudy kolejnych harmonicznych od częstości (widmo harmonicz- nych). W bardziej skomplikowanych przypadkach wykres ten należy jeszcze uzupełnić wykre- sem zależności faz poszczególnych harmonicznych od częstości, aby w pełni przedstawić daną falę czy pojedynczy impuls. Na rysunku 4 zilustrowano ponadto procedurę przeprowadzenia analizy harmonicznej fali prostokątnej metodą wzbudzania obwodu rezonansowego. Jeżeli czę- stość rezonansowa i dobroć obwodu wynoszą odpowiednio frez = 3 kHz i Q = 100, to zjawisko rezonansu wystąpi np. dla fali prostokątnej o częstości f1 = 3 kHz (amplituda napięcia na kon- densatorze UC1 ≈ 5V), f2 = 1 kHz (UC2 ≈ 1,67V), f3 = 600 Hz (UC3 ≈ 1V). Przewidywana (w przybliżeniu) maksymalna amplituda napięcia na kondensatorze równa jest iloczynowi współ- czynnika dobroci Q i amplitudy tej harmonicznej, której częstość jest równa częstości rezonan- sowej. Dokładność tej metody jest tym większa, im większa jest wartość dobroci Q.

V. Pomiary

1. Połączyć przyrządy wg schematu przedstawionego na rys. 5. Obwód rezonansowy powinien być zasilany z wyjścia o impedancji nie większej niż 50 Ω, częstościomierz cyfrowy najlepiej połączyć z jednym z wyjść pomocniczych generatora funkcyjnego.

Rys. 5 Układ pomiarowy: CC − częstościomierz cyfrowy, GF generator funkcyjny, We Y − wej- ście Y oscyloskopu.

2. Wyznaczyć krzywą rezonansową obwodu RLC zasilanego napięciem sinusoidalnie zmiennym w czasie. Szczególnie dokładnie wyznaczyć wartości częstości rezonansowej i amplitudy drgań w stanie rezonansu.

3. Dostroić generator do częstości rezonansowej obwodu, odłączyć obwód od generatora, połą- czyć wyjście generatora z wejściem Y oscyloskopu i zmierzyć z maksymalną dokładnością amplitudę napięcia wyjściowego generatora.

4. Ustawić przełącznik rodzaju napięcia wyjściowego generatora w pozycji „fala prostokątna”.

Wyznaczyć częstości, dla których występuje zjawisko rezonansu i zmierzyć maksymalną am-

3,9 nF ±±±± 5% We Y

do oscyloskopu 51 ΩΩΩΩ ±±±± 5%

263 mH ±±±± 10%

13 ΩΩΩ ±Ω±±± 5%

GF CC

plitudę drgań dla każdej z tych częstości, pamiętając, iż drgania wzbudzone w tym obwodzie RLC falą prostokątną są drganiami tłumionymi o wykładniczo malejącej w czasie amplitudzie.

5. Odłączyć generator od obwodu RLC, połączyć wyjście generatora z wejściem Y oscyloskopu i z maksymalną dokładnością zmierzyć amplitudę fali prostokątnej.

6. Pożądane jest praktyczne zapoznanie się z alternatywną metodą wykonania pomiarów, opisa- ną w Uzupełnieniu.

VI. Opracowanie wyników

1. Wykreślić krzywą rezonansową amplitudy napięcia na kondensatorze.

2. Obliczyć przewidywane na podstawie wzorów teoretycznych i danych liczbowych na schema- cie wartości częstości rezonansowej, współczynnik dobroci i amplitudy napięcia na kondensa- torze w stanie rezonansu (obwód zasilany napięciem sinusoidalnie zmiennym). Porównać te wartości z wynikami pomiarów.

3. Obliczyć przewidywane wartości częstości oraz maksymalnych amplitud w stanach rezonansu (obwód zasilany falą prostokątną) i porównać je z wartościami zmierzonymi. Narysować przewidywane i wyznaczone doświadczalnie widmo harmonicznych.

4. Obliczyć przewidywane i doświadczalne wartości stosunków częstości fal prostokątnych (oraz amplitud), dla których występuje rezonans do częstości rezonansowej (amplitudy w stanie re- zonansu). Przeprowadzić dyskusję wyników.

UWAGA!

Opisana metoda wykonania analizy harmonicznej nie jest w istocie rzeczy metodą wykonania analizy harmonicznej konkretnej fali prostokątnej (taką analizę można wykonać jedynie za pomocą analizatora widma) lecz metodą pozwalającą sprawdzić doświadczalnie poprawność rozwinięcia prostokątnej fali napięcia w szereg Fouriera.

Rys.6 Schemat płytki montażowej obwodu RLC.

BNC 3,9 nF ±±±± 5%

51 ΩΩΩΩ ±±±± 5%

263 mH ±±±± 10%

13 ΩΩΩΩ ±±±± 5%

Uzupełnienie

Bardzo efektowną metodą zilustrowania zagadnienia analizy harmonicznej jest metoda pole- gająca na obserwacji figur Lissayou's, powstających na ekranie oscyloskopu, połączonego z ob- wodem rezonansowym tak, jak to pokazano na rys. 7

Rys.7 Układ pomiarowy: G.F. − generator funkcyjny, G.P. − generator pomocniczy dostrojony do częstości rezonansowej obwodu RLC, oscyloskop pracujący jednocześnie w trybie XY i trybie „siekanego” (chopped) przełączania przełącznika elektronicznego (jednoczesna praca XY i praca dwukanałowa).

Metodę tę możemy z powodzeniem zastosować, jeśli dysponujemy:

1. oscyloskopem umożliwiającym uzyskanie dwóch wykresów na ekranie podczas pracy XY, 2. generatorem funkcyjnym wyposażonym w dwa synchroniczne wyjścia fali prostokątnej i fali

sinusoidalnej,

3. dodatkowym generatorem fali sinusoidalnej o dużej stabilności (generator pomocniczy) 4. obwodem rezonansowym o dużej dobroci. Generator pomocniczy dostrajamy bardzo dokład-

nie do częstości rezonansowej obwodu. Jak wynika z wcześniejszych rozważań, częstości fali prostokątnej, dla których uzyskamy stan rezonansu, pozostają w stosunku do częstości rezo- nansowej obwodu, jak 1:1, 1:3, 1:5 ... itd. Skoro zaś częstość drgań wzbudzonych w obwodzie jest zawsze równa częstości rezonansowej obwodu, to dla każdej z częstości fali prostokątnej, inicjującej stan rezonansu otrzymamy na ekranie dwie figury Lissayou's, z których jedna od- powiadać będzie stosunkowi częstości 1:1 i której wysokość będzie zależała od amplitudy drgań w stanie rezonansu, natomiast druga wyrażać będzie aktualną wartość stosunku często- ści fali prostokątnej do częstości rezonansowej obwodu.

L

G.F

.

~

^G.P

~

.

CH 1 CH 2

We X R C 1