Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki i Informatyki
Geometria klasyczna
I rok matematyki — studia uzupełniające rok akademicki 2015/2016
Zasady zaliczenia
Zaliczenia składa się z trzech części:
(1) pisemnego kolokwium obejmującego rozwiązywanie zadań z geometrii sferycznej i hiperbolicznej, (2) pisemnego opracowania rozwiązań trzech zadań z geometrii euklidesowej i ich prezentacji, (3) ustnego zaliczenia treści teoretycznych.
Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny jest zaliczenie każdej części. Ocena końcowa przedmiotu jest średnią ważoną części (1), (2), (3) z wagami odpowiednio 14, 14, 12.
Zadania
Dwa zestawy zadań z geometrii sferycznej i hiperbolicznej dostępne w katalogu math.uni.lodz.pl/˜maczar/gk/ . Kolokwium składać się będzie z zadań analogicznych do tych występujących w zestawach.
Zadania z geometrii euklidesowej pochodzą ze zbioru Prasołowa dostępnego także w powyższym katalogu; indywidualny przydział trójek zadań tamże.
Zagadnienia teoretyczne
Literatura
[AF] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathematical Society 2007 [BH] M. Bridson, A. Haefliger Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Springer 1999 [BEG] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge University Press 1999 [D] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM 2001
Zaliczenie części teoretycznej polega na odpowiedzi na trzy pytania z wylosowanego zestawu. Każdy zestaw zawiera po jednym pytaniu z części I, II oraz III. Ocenę dostateczną gwarantuje poprawna odpowiedź na dwa pytania. Ocenę dobrą można otrzymać za poprawną odpowiedź na trzy pytania. Na ocenę bardzo dobrą należy odpowiedzieć dobrze na wszystkie trzy pytania i dodatkowo na pytanie z części IV.
I. Definicje (1) odległość (2) geodezyjna (3) izometria
(4) symetria hiperpłaszczyznowa (5) odległość sferyczna
(6) kąt sferyczny (7) dwukąt sferyczny (8) inwersja
(9) iloczyn Lorentza
(10) wektor przestrzenny, świetlny, czasowy (11) odległość hiperboliczna
(12) kąt hiperboliczny (13) model w kuli
(14) model na półprzestrzeni (15) brzeg idealny
(16) uogólniony trójkąt hiperboliczny
II. Twierdzenia trygonometryczne z dowodami (1) euklidesowe twierdzenie cosinusów i sinusów (2) suma kątów w trójkącie euklidesowym (3) sferyczne twierdzenie cosinusów (4) sferyczne twierdzenie sinusów
(5) II sferyczne twierdzenie cosinusów i suma kątów w trójkącie sferycznym (6) hiperboliczne twierdzenie cosinusów
1
2
(7) hiperboliczne twierdzenie sinusów
(8) II hiperboliczne twierdzenie cosinusów i suma kątów w trójkącie hiperbolicznym
III. Twierdzenia z dowodami
(1) postać geodezyjnych w przestrzeni euklidesowej (2) własności symetrii hiperpłaszczyznowej
(3) klasyfikacja izometrii euklidesowych (4) pole trójkąta euklidesowego
(5) określenie odległości sferycznej
(6) własności wektora kierunkowego geodezyjnej na sferze (7) postać geodezyjnych na sferze
(8) klasyfikacja izometrii sferycznych (9) pole trójkąta sferycznego
(10) nierówność Schwarza–Lorentza (11) określenie odległości hiperbolicznej
(12) własności wektora kierunkowego geodezyjnej w przestrzeni hiperbolicznej (13) postać geodezyjnych w przestrzenie hiperbolicznej
(14) homeomorfizm pomiędzy Hn a modelem w kuli (15) odległość w modelu w kuli
(16) wzór na odległość hiperboliczną w B2⊂ C.
IV. Twierdzenia dodatkowe z dowodami (1) hiperboliczny V postulat
(2) pole trójkąta hiperbolicznego
