Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki i Informatyki
Geometria klasyczna
I rok matematyki — studia uzupełniające
Geometria hiperboliczna — zestaw zadań
1. W trójkącie hiperbolicznym prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C wykazać, że:
(a) cosh c = cosh a cosh b, (b) cosh c = ctg α ctg β,
(c) sinh a = sinh c sin α, (d) cos α = tgh b ctgh c,
(e) sinh a = tgh b ctg β, (f) cos α = cosh a sin β.
2. Wykazać, że trójkąty hiperboliczne mają te same kąty wtedy i tylko wtedy, gdy są przystające.
3. Wykazać, że w trójkącie hiperbolicznym naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok i na odwrót.
4. Wykazać, że trójkąt hiperboliczny jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma równe wszystkie kąty.
5. Wykazać, że w równobocznycm trójkącie hiperbolicznym o boku dłu- gości a i kącie α zachodzi związek
cosha 2sinα
2 = 1 2.
6. Wykazać, że dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie hiperbolicz- nym dzieli bok przeciwległy na połowy wtedy i tylko wtedy, gdy boki przyległe do tego kąta są równej długości.
7. Wykazać, że dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie hiperbolicz- nym przecinają się w jednym punkcie, który jest równo odległy od wszystkich boków tego trójkąta.
1
8. Niech α, β, γ będą takimi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, że α + β + γ < π. Wykazać, że istnieje uogólniony trójkąt hiperboliczny o kątach α, β, γ.
9. Rozwiązać trójkąty hiperboliczne mając dane:
(a) α = β = π4, γ = π3, (b) a = b = 1, γ = π4,
(c) a = b = 2, c = 3.
10. Obliczyć pole trójkąta sferycznego o bokach długości 2, 3, 4.
11. Obliczyć pole hiperbolicznego trójkąta równobocznego o boku a.
12. Wyznaczyć geodezyjną od punktu O = (0, 0, 1) do punktu A = (a1, a2, a3) ∈ H2.
Model na półpłaszczyźnie
13. Wyznaczyć równanie prostej hiperbolicznej łączącej punkty:
(a) A = 2 + 2i, B = 2 + 4i, (b) A = 1 + 2i, B = 2 + 3i.
14. Obliczyć odległość punktów ai oraz bi i wywnioskować stąd równanie geodezyjnej łączącej punkty i oraz 2i.
15. Wyznaczyć środek odcinka hiperbolicznego [A, B] jeżeli:
(a) A = 2i, B = 4i,
(b) A = 1 + 2i, B = 3 + 2i.
16. Wyznaczyć wspólną prostopadłą do prostych hiperbolicznych l1 : x = 0, l2 : (x − 3)2+ y2 = 4.
17. Wykazać, że nie istnieje wspólna prostopadła do prostych hiperbolicz- nych
l1 : x = 0, l2 : (x − 1)2+ y2 = 1.
18. Podać wzór symetrii osiowej względem prostej hiperbolicznej:
(a) x = 2,
2
(b) (x − 2)2+ y2 = 1.
19. Wykazać, że odległość prostych hiperbolicznych x = 1 i (x−2)2+y2 = 1 wynosi 0.
20. Znaleźć równanie zbioru wszystkich punktów odległych od prostej hi- perbolicznej x = 0 o r > 0.
21. Podać równanie okręgu hiperbolicznego o środku i oraz promieniu r >
0.
Model w kole
22. Wyznaczyć równanie prostej hiperbolicznej łączącej punkty:
(a) A = 12i, B = −14i, (b) A = 12, B = 12i.
23. Obliczyć odległość punktów a oraz b, gdzie a, b ∈ (−1, 1) i wywniosko- wać stąd równanie geodezyjnej łączącej punkty −12 oraz 12.
24. Wyznaczyć środek odcinka hiperbolicznego [A, B] jeżeli:
(a) A = 0, B = 12, (b) A = −14, B = 12i.
25. Podać wierzchołki hiperbolicznego n–kąta foremnego o środku 0 i sumie kątów 2π, gdy n ∈ {6, 8}.
26. Podać równanie symetralnej odcinka hiperbolicznego [A, B], gdy (a) A = 0, B = 12,
(b) A = 12, B = 12i.
27. Znaleźć trójkąt hiperboliczny o kącie prostym w 0, na którym nie można opisać okręgu.
28. Podać wzór symetrii osiowej względem prostej hiperbolicznej:
(a) x = 2,
(b) (x − 2)2+ y2 = 1.
3
![Ćwiczenie 23. Pokazać, że grafy [digrafy] są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy moż- na tak ponumerować wierzchołki, by dostać równe macierze sąsiedztwa.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)