Geometria klasyczna I rok matematyki — studia uzupełniające

Uniwersytet Łódzki

Wydział Matematyki i Informatyki

Geometria klasyczna

I rok matematyki — studia uzupełniające

Geometria sferyczna — zestaw zadań

1. W trójkącie sferycznym prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierz- chołku C wykazać, że:

(a) cos c = cos a cos b (b) cos c = ctg α ctg β

(c) sin a = sin c sin α (d) cos α = tg b ctg c

(e) sin a = tg b ctg β (f) cos α = cos a sin β

2. Wykazać, że trójkąty sferyczne mają te same kąty wtedy i tylko wtedy, gdy są przystające.

3. Wykazać, że suma długości boków w trójkącie sferycznym jest mniejsza niż 2π.

4. W trójkącie sferycznym ABC wykazać, że jeżeli α ¬ β ¬ ^π₂, to a ¬ ^π₂, a równość a = ^π₂ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α = β = ^π₂.

5. Wykazać, że w trójkącie sferycznych naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok i na odwrót.

6. Niech ABC będzie trójkątem sferycznym o kątach α, β < ^π₂. Wyka- zać, że punkt okręgu wielkiego przechodzącego przez A, B najbliższym punktu C leży na odcinku geodezyjnym [A, B].

7. Niech α, β, γ będą takimi liczba rzeczywistymi, że 0 < α ¬ β ¬ γ < π.

Wykazać, że istnieje trójkąt sferyczny o kątach α, β, γ wtedy i tylko wtedy, gdy β − α < π − γ < α + β.

8. Rozwiązać trójkąty sferyczne mając dane:

(a) α = β = ^π₃, γ = ^π₂ (b) α = β = ^π₂, γ = ^2π₃

1

(c) a = b = ^3π₄ , γ = ^π₄ (d) a = b = ^π₃, c = ^π₂

9. Obliczyć pole trójkąta sferycznego o bokach długości ^π₆,^π₄,^π₄.

10. Obliczyć pole trójkąta sferycznego trójkąta równobocznego o boku dłu- gości a.

11. Obliczyć odległość i wyznaczyć geodezyjną pomiędzy punktami A =

−¹₂,¹₂,

√ 2 2

 i B =^1₃,²₃, −²₃^.

12. Wyznaczyć geodezyjną od bieguna północnego N = (0, 0, 1) do punktu A = (a1, a2, a3) ∈ S².

13. Obliczyć odległość i wyznaczyć geodezyjną pomiędzy dwoma punktami ustalonego:

(a) południka (b) równoleżnika

14. Podać wzór na odległość punktu na S² od jej równika z = 0.

15. Podać wzór na symetrię względem południka.

16. Wyznaczyć długość promienia okręgu opisanego na sferycznym trójką- cie równobocznych o boku długości a.

17. Sformułować i uzasadnić odpowiednik sferyczny twierdzenia o dwu- siecznej kąta wewnętrznego w trójkącie.

18. Wyznaczyć długości środkowych trójkąta sferycznego o bokach ^π₆,^π₄,^π₄. 19. Sformułować i uzasadnić wzór na długość środkowej w trójkącie sfe-

rycznym.

20. Wyznaczyć długości wysokości trójkąta sferycznego o kątach ^π₂,^π₃,^π₄.

2