ROZWIĄZANIA ZADAŃ 9-12 z zestawu 60 Zadanie 9.
a) Niewykonalne, bo D jest typu 3 × 3, a A typu 2 × 2.
b) Wykonalne, bo D jest typu 3 ×3, a C typu3× 2. Liczby czerwonesą takie same. Mamy
2 ·
7 0 4
2 −2 0
0 2 7
·
1 −4 0 −5
4 3
= 2 ·
7 · 1 + 0 · 0 + 4 · 4 7 · (−4) + 0 · (−5) + 4 · 3 2 · 1 + (−2) · 0 + 0 · 4 2 · (−4) + (−2) · (−5) + 0 · 3 0 · 1 + 2 · 0 + 7 · 4 0 · (−4) + 2 · (−5) + 7 · 3
= 2 ·
23 −16
2 2
28 11
=
46 −32
4 4
56 22
.
c) Niewykonalne AT jest typu 2 ×2, a BT typu3× 2. Czerwone liczby nie są takie same.
d) Wykonalne A jest typu 2 ×2, a B typu 2×3, C jest typu 3× 2. Czerwone liczby sa takie same i zielone liczby są takie same. To i następne zadania nie rozpisujemy już tak dokładnie. Mamy
A · B =
"
24 −8 −20 17 −4 −17
# .
I dalej
A · B · C =
"
−56 −116
−51 −99
# .
e) Niewykonalne, bo BT jest typu 3 ×2, a B typu3× 2. Czerwone liczby nie są takie same.
f) Niewykonalne jest już CTB, bo CT jest typu 2 ×3, a B typu2× 3. Czerwone liczby nie są takie same.
g) Wykonalne, bo BT jest typu3×2, a CT typu2×3. Wynik BTCT będzie typu 3 × 3, a macierz 4D też jest typu 3 × 3.
Mamy
BT · CT =
1 −5 23
8 10 −6
−15 −10 −22
.
4D =
28 0 16
8 −8 0
0 8 28
.
Zatem
BTCT − 4D =
−27 −5 7
0 18 −6
−15 −18 −50
.
Zadanie 10.
Rozwijamy względem 3 wiersza. Otrzymujemy
|A| = 0 + 0 + (−1)3+3· 1 ·
−3 −4 −4
0 6 3
3 10 7
+ (−1)3+4· 7 ·
−3 −4 −1
0 6 7
3 10 8
.
1
Policzymy wyznaczniki macierzy 3 × 3 metodą Sarrusa.
−3 −4 −4 −3 −4
0 6 3 0 6
3 10 7 3 10
= (−3) · 6 · 7 + (−4) · 3 · 3 + (−4) · 0 · 10 − 3 · 6 · (−4) − 10 · 3 · (−3) − 7 · 0 · (−4) = 0.
−3 −4 −4 −1 −4
0 6 7 0 6
3 10 8 3 10
= (−3) · 6 · 8 + (−4) · 7 · 3 + (−41 · 0 · 10 − 3 · 6 · (−1) − 10 · 7 · (−3) − 8 · 0 · (−4) = 0.
Zatem ostatecznie
|A| = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Zadanie 11.
Niech
A =
70 2 3
7 4 7
7 2 −3
,
Ax =
6 2 3
0 4 7
6 2 −3
,
Ay =
70 6 3
7 0 7
7 2 −3
,
Az =
70 2 6 7 4 0 7 2 6
.
Wtedy (wyznaczniki liczymy metodą Sarrusa - pomijamy rozpisywanie)
x = |Ax|
|A| = −144
−1722 = 72 861, y = |Ay|
|A| = −518
−1722 = 259 861, z = |Az|
|A| = −882
−1722 = 147 287. Zadanie 12.
a) Niech
A =
"
2 7
−2 3
# .
2
Mamy
2 7
−2 3 = 20.
AT =
"
2 −2
7 3
# .
Zatem
A−1= 1 20 ·
"
+|[3]| −|[7]|
−|[−2]| +|[2]|
#
=
"
0,15 −0,35 0,1 0,1
# .
b) Niech
B =
−2 7 6 1 7 −1
2 1 3
.
Wtedy (pomijamy szczegóły)
|B| =
−2 7 6 1 7 −1
2 1 3
= −157.
BT =
−2 1 2
7 7 1
6 −1 3
.
Zatem
B−1 = 1
−157 ·
+ 7 1
−1 3 − 7 1
6 3 + 7 7
6 −1
− 1 2
−1 3 + −2 2
6 3 − −2 1
6 −1 + 1 2
7 1 − −2 2
7 1 + −2 1
7 7
= − 1 157
22 −15 −49
−5 −18 40
−13 16 −21
≈
−0,140 0,096 0,312 0,032 0,115 −0,025 0,083 −0,102 0,134
.
3
