Epistemologia liczb względnych

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 4 ( 1 9 8 5 )

G

G

Strasburg

Epistemologia liczb względnych ( 1 ) Minus times Minus equals Plus:

1 2)

The reason for this we need not discuss Jednym z najważniejszych celów dydaktyki matematyki jest ok- reślanie przeszkód , które utrudniają rozumienie i uczenie się tego przedmiotu. Dydaktyka matematyki posługuje się meto­

dami naukowymi, które są stosowane na ogół w dwóch fazach.

Najpierw badacz zbiera corpus złożony z wytworów pisanych

_ _____________________ ł

^ Tłumaczenie "Epistemologie des nombres relalifs" opu­

blikowanego w czasopiśmie "Recherches en Didactique des Mathe- matiques" 2.3 (1981), str.303-346, Copyright, Pensee Sauvage, Grenoble (przyp. tłum.).

(

2

Reguła mnemotechniczna stosowana w szkole angxelskxej.

(3) ' Od czasu, gdy Gaston Bachelard (1938) wyodrębnił poję­

cie "przeszkody epistemologicznej" (w zastosowaniu do fizyki), wielu autorów usiłowało wyodrębnić to pojęcie, sprecyzować je i wysubtelnić w zastosowaniu do matematyki. Za Guy Brousseau ja również podjąłem pewne usiłowania w tym kierunku.

W niniejszym artykule słowa "przeszkody, trudność, próg, symptom" są używane bardzo naiwnie. W istocie jestem przekona­

ny, że jest jeszcze za wcześnie na poddawanie tych pojęć zbyt ścisłemu formułowaniu. Dopiero w rezultacie wielu prac będzie­

my mogli dokonać stosownych rozróżnień, użytecznych dla dydak­

tyki eksperymentalnej. I odrzucimy te, które, pociągające z po­

zoru, mogą stanowić "wiedzę niewłaściwą", stwarzającą przeszko­

dę postępowi.

62 GEORGE GLAESER

lub mówionych badanych indywiduów. Ta dokumentacja jest następ­

nie analizowana tak długo, aż będzie można sformułować wnioski o istnieniu, naturze i lokalizacji progów, które trzeba prze­

kraczać.

Stosując metody eksperymentalne przygotowuje się specjal­

ne sytuacje dydaktyczne, które ułatwiają takie wytwory. To właśnie znajdujemy w większości artykółów w czasopiśmie "Re- cherches en Didactique des mathematiques".

Metody historyczne i epistemologiezne poszukują tego

"corpus" w śladach przeszłości. Badają one dokumenty pozosta­

wione bądź przez wielkich matematyków, bądź przez typowych re­

prezentantów społeczności naukowych minionych epok. To podej­

ście stosujemy tutaj do analizy trudności, jakie niesie studio­

wanie liczb względnych.

I. CZY REGUŁA ZNAKÓW JEST TAK TRUDNA ?

Pojęciowe wprowadzanie liczb ujemnych było procesem zaskakują­

co powolnym. Trwało ono ponad tysiąc pięćset lat - od czasów Diophantesa aż do naszych dni. Przez ten czas matematycy ope­

rowali liczbami względnymi, mieli jednak o nich tylko pojęcie fragmentaryczne z zadziwiającymi brakami.

Rozmiary tego zjawiska wydają się umykać przenikliwości historyków, bardziej zręcznych w ustalaniu izolowanych faktów niż w ogarnianiu całościowym spojrzeniem tak długiego procesu.

Wielu jest nauczycieli, którzy nawet nie podejrzewają, że opanowanie reguły znaków może sprawiać trudności. "Z pewnością - myślą oni - jeśli uczeń nic nie rozumie z matematyki, dozna­

je niepowodzeń w tym zagadnieniu, jak i w każdym innym. Ale liczby względne nie są niczym szczególnie trudnym".

Dydaktycy napisali wiele prac na temat analizy pojęć licz­

bowych. Hans Freudenthal, na przykład, poświęcił 160 stron swe­

go klasycznego dzieła (Freudenthal, 1973) zbadaniu licznych trudności, jakie napotyka się przy opanowywaniu pojęcia liczby.

Ale o regule znaków zaledwie wspomina. Lektura stron 279-281

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLĘDNYCH 63

tej książki nawet nie sugeruje, że zdaje on sobie sprawę z oma­

wianego tutaj niejasnego zjawiska.

Łatwo wytłumaczyć to zaskakujące zaniedbanie. Freudenthal w czasie, gdy pisał to dzieło, szukał tematów do analiz dydak­

tycznych w swoich osobistych wspomnieniach. Otóż żaden z mate­

matyków jego generacji (i naszej) nie zachował wspomnienia, że ( 4 )

reguła znaków sprawiała mu jakieś kłopoty' . Dwadzieścia lat wcześniej było jednak inaczej.

Natomiast Jean Piaget, chociaż opiera swoją dydaktykę na osobistej filozofii, pozostaje bardzo wrażliwy na obserwacje przeprowadzane na dzieciach. Dlatego trudności związane z licz­

bami ujemnymi jemu nie umknęły. Przedstawił bardzo zwięźle (Piaget, 1949, str. 110-115), trudności spowodowane przez licz­

by względne. Piaget cytuje także szokujący tekst d'Alemberta (który omówimy dalej). Jego zdziwienie wywołuje refleksję dy­

daktyczną. Uderza go to, że ten matematyk - encyklopedysta

"uważa za ciemne pojęcie wielkości ujemnej", nie odnotowując, że tak samo było z wszystkimi matematykami aż do XIX wieku ! Ogranicza się do potwierdzenia, że jedyna trudność była związa­

na ze skostniałym charakterem liczby, tak jak ją wtedy pojmowa­

no. Ta przeszkoda zniknie, według Piageta, kiedy zrozumie się, że liczba symbolizuje akcję, a nie stan.

T e w a h a n i a w i e l k i e g o d 3A l e m b e r t a s ą s z c z e g ó l n i e i n s t r u k t y w n e a j e ż e l i c h o d z i o n a t u r ę a k t y w n ą i w c a l e n i e s t a t y c z n ą l i c z b y u j e m n e j i l i c z ­ b y c a ł k o w i t e j w o g ó l n o ś c i . I s t o t n i e 3 j e s t ja s n e j ż e j e ś l i k a ż d e p o j ę -

(~4) Jeszcze rok temu gotów byłem sądzić, że nie napotka­

łem nigdy żadnych trudności z liczbami względnymi. Dziś minęło już około 25 lat od mojego pierwszego kontaktu z dowodem zupeł­

nie formalnym reguły znaków; to było w czasie, gdy ukazał się pierwszy tom Bourbakiego. Pisząc obecny artykuł, jestem coraz bardziej zaskoczony, gdy zdaję sobie sprawę z tak wielu fine­

zji w rozumieniu tego tematu, które umykały mi poprzednio.

64 GEORGE GLAESER

c i e m a t e m a t y c z n e u w a ż a s i ę za p o c h o d z ą c e z p o s t r z e g a n i a , l i c z b a u j e m ­ na n i e m i a ł a b y u z a s a d n i e n i a , p o n i e w a ż o d p o w i a d a ł a b y b r a k o w i p o s t r z e ­ g a n i a l u b c z e m u ś j e s z c z e m n i e j s z e m u , a n i e m a s t o p n i w p o s t r z e ż e n i a c h z e r o w y c h . Z a d z i w i a j e d n a k to, ż e ta s p r z e c z n o ś ć m i ę d z y i n t e r p r e t a c j ą z m y s ł o w ą p o z n a n i a a r z e c z y w i s t o ś c i ą m a t e m a t y c z n ą n i e d o p r o w a d z i ł a u- m y s ł u t a k z w i ą z a n e g o z k o n k r e t e m i z a p r a w i o n e g o w r o z w a ż a n i a c h m e c h a ­ n i c z n y c h j a k d ’A l e m b e r t d o z r o z u m i e n i a , ż e i s t o t n a n a t u r a l i c z b y ni e j e s t a n i s t a t y c z n a , a n i p e r c e p c y j n a , a l e d y n a m i c z n a i z w i ą z a n a z s a ­ m ą a k c j ą , z i n t e r i o r y z o w a n ą w o p e r a c j a c h .

Wyjaśnienie podane przez Piageta zawiera wiele prawdy.

Ale na pewno nie jest jedynym wyjaśnieniem. Dowodem na to jest istnienie matematyków, którzy doskonale rozumieli dynamiczny charakter liczby, ale mimo to napotykali trudności związane z liczbami. Krępowały ich inne przeszkody, o których Piaget nie wspomina. Pomiędzy nimi zasygnalizujemy to, co nazywamy dwu­

znacznością dwóch zer. Przez wieki matematycy byli pod wraże­

niem zera absolutnego, poniżej którego nic już nie można było sobie wyobrazić. To przeszkadzało im w łatwym wprowadzeniu ze­

ra jako początku układu, obieranego dowolnie na zorientowanej osi. Zamieszanie to pojawia się zresztą w cytowanej krótkiej wypowiedzi Piageta, a propos "braku postrzegania" i "stopni w postrzeganiu zera".

Liczni autorzy potwierdzają, że "nic nie mogłoby być bar­

dziej nieruchome niż nieruchomość". Zgodnie z tym dla odkrycia pojęcia ujemnej prędkości trzeba odkryć całą intelektualną kon­

strukcję, która stała się możliwa dopiero dużo później.

W pracy, którą tu przedstawiamy, cytujemy dwudziestu auto­

rów. Dochodzimy do wyodrębnienia tuzina przeszkód, utrudniają­

cych zadowalające zrozumienie liczb względnych. Te przeszkody przejawiają się w dwudziestu symptomach, ale nie można przypo­

rządkować każdego z nich jednej tylko określonej przeszkodzie.

Zajmiemy się teraz drobiazgowym objaśnianiem tekstów, co jedynie pozwoli dojść do wyważonych wniosków. Ale ten sposób przedstawienia będzie z konieczności chaotyczny, chwiejny, po­

dobny do zygzakowatego rozwoju rozumienia liczb względnych w

ciągu wieków. Jeżeli przyjmiemy w naszej pracy przedstawienie

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLęDNYCH 65

chronologiczne, nie ustalimy porządku w pokonywaniu przeszkód.

Są prekursorzy, którzy pokonują takie trudności szybko, i opóź­

nieni, którzy popadają w stare błędy. Można myśleć o wypracowa­

niu klasyfikacji strukturalnej. Ten sposób przedstawienia za­

gadnienia ma jednak tę niedogodność, że gubi wiele faktów, na­

tomiast wprowadza strukturę, której w ogóle nie było w rozwoju historycznym.

Dla ułatwienia lektury, zaryzykujemy przedstawienie pro­

wizorycznego przeglądu zawartości naszego artykułu, bez ukrywa­

nia, że może on być uproszczony.

Wybraliśmy więc sześć przeszkód, które zostaną obszernie opisane w dalszym ciągu, i dziesięciu cytowanych autorów. Spo­

rządzimy bardzo schematyczną tabelę, w której okienka zawiera­

ją znaki + lub - zależnie od tego, czy autor, prezentowany przez cytowany tekst, przekroczył już dany próg.

Chodzi tutaj o klasyfikację zwięzłą, do której odnosimy się zresztą z pełną rezerwą, ale która jest pożyteczna jako prowizoryczne odniesienie w dalszej lekturze.

Prowizoryczna lista niektórych przeszkód

(1) Niezdolność do manipulowania wielkościami ujemnymi.

(2) Trudność w nadawaniu sensu izolowanym wielkościom u- jemnym.

(3) Trudność w unifikacji prostej liczbowej.

Ta ostatnia trudność objawia się na przykład tam, gdzie podkreśla się różnice jakościowe między wielkościami ujemnymi a liczbami dodatnimi, albo gdzie opisuje się prostą jako leżą­

ce obok siebie dwie półproste przeciwnie skierowane o różno­

rodnych symbolach, albo kiedy odrzuca się rozpatrywanie jedno­

cześnie charakteru dynamicznego i statycznego liczb.

(4) Dwuznaczność dwu zer (patrz wyżej).

66 GEORGE GLAESER

(5) Zatrzymanie się w stadium operacji konkretnych (w przeciwstawieniu do stadium operacji formalnych). To jest trud­

ność w oderwaniu się od konkretnego sensu przypisywanego licz­

bom.

(6) Dążenie do modelu unifikującego. Jest to chęć stworze­

nia "dobrego" modelu addytywnego, równie ważnego dla ilustra­

cji dzieciny multiplikacyjnej, gdzie ten model jest bezużytecz­

ny.

Bardziej dokładne komentarze są rozsiane w całym artykule.

Wystarczy, dla przykładu, zasygnalizować, że w cytowanym frag­

mencie Piaget robił aluzje (świadomie lub nie) do przeszkód (3) i (4).

Przyjrzyjmy się tabeli:

Przeszkody

Autorzy

1

2

(3) (4) (5)

6

Diophantes -

Simon Stevin

- - - -

Rene Descartes

7

Colin McLaurin

-

Leonard Euler

- -

Jean d'Alembert

-

Lazare Carnot

-

Pierre de Laplace

Augustin Cauchy

- -

Herman Hankel

Znaki zapytania oznaczają przypadki, w których nie potrafimy dać odpowiedzi, bądź dlatego, że cytowane teksty nie są do te­

go wystarczającą podstawą, bądź też dlatego, że przyjęta przez nas prowizorycznie zwięzła klasyfikacja nie pozwala uwzględnić niuansów, które będą w dalszym ciągu analizowane.

Tabela ta, jakkolwiek zwięzła, ujawnia interesujące fakty*

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLęDNYCH 67

Uwidacznia dobrze fragmentaryczność w rozumieniu osiągniętym przez cytowanych matematyków klasycznych. Potrafili oni dobrze posługiwać się liczbami względnymi z biegłością budzącą podziw, ale dopóki wszystkie przeszkody nie zostały pokonane, pozosta­

wało wiele wysepek niezrozumienia; sukces nie był zapewniony w sposób trwały.

Wydawało mi się na początku moich badań, że przełomowym krokiem było przekroczenie progów (5) i (6). Ale tablica uwi­

dacznia przypadek McLaurina, który dokonał tego kroku, ale nie opanowawszy progów (3) i (4), nie osiągnął ostatecznego celu.

Skoro zaś niedostateczne zrozumienie nie pozwoliło mu przeko­

nać definitywnie swych czytelników, postęp, jaki osiągnął chwilowo, zastał stracony dla przyszłości.

Natomiast Lazare Carnot, formułując z dużą jasnością wszystko to, co wydawało mu się niezrozumiałe w pojęciu liczb ujemnych, był jednym z rzemieślników najbardziej sprawnych w osiąganiu ostatecznego sukcesu.

II. PEWIEN SYMPTOM

Na drogę badań przedstawioną tutaj zostałem wprowadzony czyta­

jąc "Życie Henryka Brulard" (Stendhal,1835), autobiografię Stendhala (1783-1843, prawdziwe nazwisko Henryk Beyle). Pisarz ten należał do pierwszych absolwentów 1'Ecole Centrale w Gre­

noble; jest to jedna z pierwszych instytucji, gdzie nauczano matematyki dzieci już od 13 roku życia. Młody Henryk studiował tam od czternastego do siedemnastego roku życia. Przedstawiał szczegóły swojego życia szkolnego - szczególnie cenne świadec­

two (być może jedyne) pierwszych kontaktów młodzieńca z nowym zinstytucjonalizowanym nauczaniem matemytyki.

Otóż, ani otrzymane wykształcenie, ani lektura słynnego

podręcznika Bezout (1772) nie zaspokoiły ciekawości młodego

ucznia, który chciał zrozumieć pochodzenie reguły znaków. Jego

nauczyciele również nic nie rozumieli ! Nawet nie starali się

zrozumieć lub wyjaśnić. Omijali trudność przedstawiając ten

68 GEORGE GLAESER punkt w postaci dogmatu objawionego: "każde twierdzenie

Bezouta - pisał Stendhal - robi wrażenie wielkiej tajemnicy u- zyskanej od sąsiadki".

Oto jego świadectwo:

W e d ł u g m n i e w m a t e m a t y c e n i e m o ż l i w a b y ł a h i p o k r y z j a i w m o j e j m ł o ­ d z i e ń c z e j p r o s t o c i e , m y ś l a ł e m , ż e t a k s a m o j e s t w e w s z y s t k i c h d z i e ­ d z i n a c h w i e d z y , g d z i e , j a k s ł y s z a ł e m , j ą s i ę s t o s u j e . C o d z i a ł o s i ę z e mną, k i e d y z a u w a ż y ł e m 3 ż e n i k t n i e u m i e m i w y j a ś n i ć , j a k to s i ę d z i e j e 3 że: m i n u s r a z y m i n u s d a j e p l u s { - . - = + ) ? {Jest to j e d n a z f u n d a m e n t a l n y c h p o d s t a w n a u k i 3 k t ó r a n a z y w a s i ę " a l g e b r ą " .

)

D u ż o g o r s z e ni ż n i e w y j a ś n i e n i e m i t e j t r u d n o ś c i {która b e z w ą t ­ p i e n i a j e s t m o ż l i w a d o w y jaśnienia,3 s k o r o p r o w a d z i d o p r a w d y ) 3 b y ł o w y j a ś n i a n i e j e j za p o m o c ą a r g u m e n t ó w e w i d e n t n i e n i e z b y t j a s n y c h d l a t y c h 3 k t ó r z y m i je p r e z e n t o w a l i .

P a n C h a b e r t 3 p r z y c i ś n i ę t y p r z e z e m m e 3 p o w t a r z a ł s w o j ą "lekcję", p r z e c i w k o k t ó r e j p o d n o s i ł e m w ł a ś n i e o b i e k c j e 3 k o ń c z ą c z m i n ą 3 k t ó r a m ó w i ł a : "Ale ta k j e s t p r z y j ę t e 3 w s z y s c y p r z y j m u j ą to w y j a ś n i e n i e . E u l e r i L a g r a n g e 3 k t ó r z y o c z y w i ś c i e w a r c i s ą w i ę c e j n i ż p a n 3 t a k ż e j e p r z y j m u j ą " .

P r z e k o n a ł e m s i ę p o d ł u ż s z y m c z a s i e , ż e m o j e o b i e k c j e c o d o -

• - -

O g r a n i c z y ł e m s i ę d o t e g o 3 c o d z i ś j e s z c z e s o b i e m ó w i ę : t r z e b a 3 ż e b y m i n u s p r z e z m i n u s d a w a ł o p l u s , p o n i e w a ż o c z y w i ś c i e i l e k r o ć u ż y ­ w a s i ę t e j r e g u ł y w r a c h u n k a c h , z a w s z e d o c h o d z i s i ę d o w y n i k ó w " p r a w ­ d z i w y c h i n i e w ą t p l i w y c h " .

M o i m w i e l k i m n i e s z c z ę ś c i e m b y ł a f i g u r a :

B

A C

Z a ł ó ż m y , ż e R P j e s t l inią, k t ó r a o d d z i e l a d o d a t n i e o d u j e m n e g o ,

69 EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLĘDNYCH

I

w s z y s t k o , c o j e s t p o w y ż e j , j e s t d o d a t n i e j a w s z y s t k o , c o p o n i ż ę j ,j e s t u j e m n e ; jak, b i o r ą c k w a d r a t B t y l e razy, i l e j e s t j e d n o s t e k w k w a d ­ r a c i e A , m o g ą d o j ś ć d o tego, ż e k w a d r a t C z n a j d z i e s i ę p o p r z e ­ c i w n e j s t r o n i e ?

D a l e j - n i e z g r a b n e p o r ó w n a n i e , k t ó r e a k c e n t p a n a C h a b e r t w n a j ­ w y ż s z y m s t o p n i u r o z w l e k ł y i g r e n o b l a ń s k i c z y n i j e s z c z e b a r d z i e j n i e ­ z g r a b n y m : z a ł ó ż m y , ż e w i e l k o ś c i u j e m n e s ą d ł u g a m i p e w n e g o c z ł o w i e k a ; j a k m n o ż ą c d ł u g 1 0 0 0 0 f r a n k ó w p r z e z 50 0 f r a n k ó w te n c z ł o w i e k m ó ż e d o j ś ć d o f o r t u n y 5 0 0 0 0 0 0 ?

Widać, że tutaj Stendhal i jego nauczyciele dwukrotnie natknęli się na przeszkodę (4). Model komercjalny, który ułat­

wia zrozumienie dodawania liczb względnych, jest przeszkodą w zrozumieniu mnożenia.

Ten tekst jest symptomem niezrozumienia, którego historię śledzimy z wieku na wiek.

III. NIECO HISTORII

Źródło reguły znaków jest na ogół przypisywane Diophantesowi (koniec trzeciego wieku po Chrystusie). Ten autor nigdy nawet nie wspominał o liczbach ujemnych. A przecież, na początku Księgi I swojej "Arytmetyki" (Diophantes) robiąc niewątpliwą aluzję do rozwinięcia iloczynu dwu różnic, napisał:*

T o c z e g o b r a k u j e , p o m n o ż o n e p r z e z to, c z e g o b r a k u j e , d a j e to, c o j e s t d o d a t n i e ; p o d c z a s g d y to, c z e g o b r a k u j e , p o m n o ż o n e p r z e z to, c o j e s t d o d a t n i e , d a j e to, c z e g o b r a k u j e .

Nie podawał dowodu, ale dowód był już w zasięgu starożyt­

nych Greków. Komentatorzy lub tłumacze Diophantesa nie mieliby żadnych trudności w zredagowaniu dowodu.

Oto, na przykład, jak on jest przedstawiony w "Arytmetyce"

Szymona Stevina, wydanej w 1625 (Stevin 1634) :

P l u s p o m n o ż o n y p r z e z p l u s d a j e w i l o c z y n i e plus; m i n u s p o m n o ż o n y p r z e z m i n u s d a j e w i l o c z y n i e p l u s ; p l u s p o m n o ż o n y p r z e z m i n u s lub m i ­ n u s p o m n o ż o n y p r z e z p l u s d a j e w i l o c z y n i e minus.

W y j a ś n i e n i e tego, c o p o d a n o : P o m n ó ż m y 8 - 5 p r z e z 9-7; s i ł ą r z e c z y m a my: - 7 r a z y - 5 d a j e +3 5 {+35, b o j a k m ó w i t w i e r d z e n i e , - p r z e z -

70 GEORGE GLAESER

d a j e +

) .

t ę p n i e d o d a n e - 5 6 - 4 5 d a j ą -101. I o d j ę c i e 101 o d 1 0 7 d a j e r e s z t ę 6 j a k o i l o c z y n t e g o m n o ż e n i a . S t ą d p r z e d s t a w i e n i e c h a r a k t e r u o p e r a c j i j e s t t akie:

8

5

9

7

- 5 6 +3 5 72 - 4 5

6

W y j a ś n i e n i e w ł a ś c i w e : T r z e b a u d o w o d n i ć , c o p o w y ż e j p o d a n o , że- + p o m n o ż o n y p r z e z + d a j e + , ż e - p r z e z - d a j e + , że + p r z e z - lub - p r z e z + d a j e - . D ó w ó d : M n o ż n a 8 - 5 r ó w n a s i ę 3 i m n o ż ­ n i k 9 - 7 r ó w n a s i ę 2. A l e m n o ż ą c 2 p r z e z 3 o t r z y m u j e m y i l o c z y n 6.

W i ę c p o w y ż s z y i l o c z y n 6 j e s t p r a w d z i w y m i l o c z y n e m . A l e to s a m o z o s ­ t a ł o o t r z y m a n e tam, g d z i e m ó w i l i ś m y , ż e + p o m n o ż o n y p r z e z + d a j e + , - p r z e z - d a j e + , + p r z e z - lub - p r z e z + d a j e - , w i ę c t w i e r d z e n i e j e s t p r a w d z i w e .

I n n y d o w ó d g e o m e t r y c z n y .

D 2 F 7

10

6 21

A

2

N i e c h A B 8 - 5 {na m o c y A D 8 - D B 5

).

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLęDNYCH 71

-plus. P l u s p o m n o ż o n y p r z e z m i n u s lub m i n u s p ó m n o ż ó n y p r z e z p l u s d a j e mi n u s . T o b y ł o d o u d o g o d n i e n i a .

Można zauważyć, że pierwsze rozumowanie jest tylko weryfi­

kacją na przykładzie liczbowym, nie mającym ogólnego znaczenia.

Ale dowód geometryczny może służyć za podstawę dla ogólnego rozwinięcia wzoru

(a-b>(c-d)= ac - ad - bc + bd .

Jakkolwiek by było, nie widać, aby pojawiały się u Diophantesa izolowane liczby ujemne. Reguła (-)•(-) = (+) interweniuje tylko jako postępowanie przejściowe przed otrzymaniem rezulta­

tu "do przyjęcia", tzn. dodatniego.

Odtąd matematycy zabierają się do rachowania, przeszkoda (1). zostanie definitywnie pokonana.

Jeśliby chcieli uniknąć używania liczb ujemnych, praktyka rachunkowa zmusi ich do wprowadzenia ich jako pośredników w ra­

chunku. I długo będą się dziwić zauważając, że rachunki wykony­

wane na "fałszywych liczbach" prowadzą w ostatecznym rachunku do poprawnych wyników.

Na przykład często podstawiając liczbę dodatnią a w i- dentyczności wielomianowej P(x)»Q(x) = R(x) , dochodzi się do dodatniej wartości R(a) , mimo że P(a) i Q(a) nie są dodat­

nie.

W ten sposób "ukryta" praktyka rachunku liczb względnych poprzedza od 1600 lat jego rozumienie. Oto lekcja, której dy­

daktyka matematyki nie powinna zapomnieć !

Ten sukces usprawiedliwia wobec niezbyt skrupulatnych ma­

tematyków używanie izolowanych liczb ujemnych... Pojawiają się one w VII wieku przed Chrystusem u Brahmagupty (Brahmagupta Bhascara, 1817). Dzieła hinduskie tej epoki są tylko zbiorem re­

cept, którym towarzyszą liczbowe przykłady. Ale nie ma w nich starań o wyjaśnienia, dlaczego "zaprzeczenie mnożone przez za­

przeczenie daje potwierdzenie".

Trzeba wiedzieć, że w średniowieczu i w okresie renesansu

"cud" niewyjaśnionej skuteczności rachowania na liczbach względnych znaleźć można także w innych dziedzinach. Sytuacja

liczb niewspółmiernych wydaje się bardziej zaprzątać uwagę ma-

72 GEORGE GLAESER tematyków, którzy usiłują uzasadnić arytmetykę i algebrę.

Najsławniejszym z nich jest Simon Stevin (1540-1620). Two­

rzy on pewną ideę liczby, wyrażoną w definicji:

"Liczba jest tym, przez co wyraża się ilość każdej rzeczy".

Nie zadaje on sobie jednak trudu, aby dowieść, że liczby dziesiętne "obcięte" (to znaczy ułamkowe), niewymierne itd. in­

terweniują skutecznie jako dobre symbole miary. Odrzuca on na­

wet tezę Euklidesa, dla którego jednostka nie była liczbą; mó­

wi :

K o n k l u d u j e m y w i ę c > ż e n i e m a ż a d n y c h l i c z b a b s u r d a l n y c h , n i e w y m i e r ­ n y c h 3 n i e r e g u l a r n y c h

,

Jednakże izolowanych liczb ujemnych brakuje na tej liście.

Nic się nie mówi o ich prawie do istnienia jako symbolu ilości.

Co oznacza to milczenie ?

Z drugiej strony w całym tym dziele pisze się dużo o licz­

bach ujemnych używanych jako chwyty rachunkowe. Usprawiedliwia się je (jak w wyżej cytowanych dowodach). Udoskonala się ich u- żywanie, kiedy autor pisze: "Zamiast mówić odejmijcie 3, mów dodajcie -3".

Ale jego kłopoty widać najwyraźniej, gdy jest mu potrzeb­

na interpretacja ujemnych pierwiastków równania i gdy podaje pomysłową propozycję, którą przedstawimy w następujący sposób:

Pierwiastki ujemne równania są to pierwiastki dodatnie równania powstałego przez podstawienie -x w miejsce x (ina- czej mówiąc, jeśli -2 jest pierwiastkiem równania x +px = q 2 to znaczy, że +2 jest pierwiastkiem równania x -px = q ). 2

Spotykamy tutaj pierwszy przejaw symptomu unikania. Cho­

dzi o wyobrażenie sobie procederu, który w praktyce rezygnuje z używania liczb ujemnych. W naszych czasach żaden matematyk nie potrzebuje takich sztucznych zabiegów. Jeśli -2 jest liczbą równie dobrą jak +2 , nie potrzeba szukać dla niej żad­

nej interpretacji jako rozwiązania innego problemu postawione­

go ad hoc.

Przez cały bieg historii matematycy pozwalają sobie prak-

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLĘDNYCH 73

tykować coraz to lepiej rachunek liczb względnych. Ale aż do końca XVIII wieku wartości ujemne nie uzyskały statusu liczb.

Wobec ich wtargnięcia nie w porę do rachunku, uczeni sta­

wiają problem: "Jak się ich pozbyć?"

Na przykład Piotr de Fermat (1601-1665) przedstawił zreda­

gowane przez swego przyjaciela Jakuba de Billy (Fermat, 1891) rady, jak postępować w obecności "fałszywych" pierwiastków pew­

nego równania diofantycznego. Proponował metodę wydedukowania w pewnych przypadkach rozwiązania "dopuszczalnego" (jest to in­

ny typowy przykład symptomu unikania) .

Istnieje zwyczaj zacierania ważnej części dróg, po jakich krążą idee, przez przypisywanie Kartezjuszowi (1596-1650) uży­

wania układu współrzędnych "kartezjańskich". W istocie nigdy nie używał on osi, na której odcięta punktu zmienia się od-oo do + oo . Co najwyżej rozważał oddzielnie dwie przeciwne pół- proste, wiedząc, że liczby ujemne powinny być skierowane prze­

ciwnie niż dodatnie. Ale krzywe, które badał, redukują się często do pierwszej ćwiartki. Na przykład,dziś nie bardzo ro-

3 3

zumiemy, dlaczego krzywa o równaniu x + y = 3axy nazywa się liściem* Kartezjusza: ze swoją asymptotą wcale nie przypo­

mina kształtu liścia. W rzeczywistości jest to badanie obcięcia tej krzywej do pierwszej ćwiartki, które zostało zaproponowane Fermatowi w roku 1633 jako wyzwanie.

Trzeba ponadto zauważyć, że Kartezjusz poświęca trzecią część swojej książki "Geometria" (1628) sztuce pozbywania się fałszywych pierwiastków 1 Otóż ten słynny autor oświadcza we wszystkich swoich dziełach, że chce atakować tylko kwestie pod­

stawowe, pozostawiając "swoim małym kuzynom" troskę o szczegó­

ły. To znaczy, że dla niego chwyt ze zmianą początku osi odcię­

tych dla otrzymania równań, których wszystkie pierwiastki są dodatnie, nie jest kwestią podrzędną: to jest symptom unikania, objaw obawy przed użyciem liczb ujemnych.

Innego rewelacyjnego świadectwa dostarcza "Słownik matema­

tyczny" Jakuba Ozanana, opublikowany w 1691 roku. W spisie rze­

czy wylicza się około dwudziestu rodzajów liczb (między nimi

74 GEORGE GLAESER liczby całkowite, "obcięte", niewspółmierne, głuche itd.).Trzeba wierzyć, że w tej epoce nikomu się nawet nie śniło o liczbach ujemnych. Tymczasem w rubryce "pierwiastek" rozróżnia się pier­

wiastki prawdziwe, fałszywe lub urojone: "Pierwiastek fałszywy jest zaprzeczoną wartością litery niewiadomej równania" (I?).

To bredzenie kontrastuje ze względną jasnością reszty dzie- ła<5>.

Począwszy od XVII wieku liczby ujemne pojawiają się w spo­

sób całkiem naturalny w pracach naukowych - są akceptowane na mocy pewnego rodzaju metody Couś: skuteczność rachunku wystar­

cza do wzmocnienia matematyka w jego wierze. Niepokój przeja­

wia się w pismach o charakterze pedagogicznym. Uczony nie pot­

rafi dać wyjaśnienia, które uważałby za wystarczające. Ale sko­

ro nie może uczciwie przyznać się do swej słabości, nadużywa omówień bogatych w gramatyczne formy negatywne. Oto symptom po­

jawiający się u prawie wszystkich autorów, których cytujemy (z wyjątkiem, być może, Clairauta, który pisał zawsze autorytatyw­

nie i) .

Ten symptom spotyka się w pismach Colina McLaurina. W swo­

im "Traktacie o różniczkach" (1742) pisze: "Używanie znaku u- jemnego w algebrze spowodowało wiele konsekwencji, które prze­

de wszystkim trudno przyjąć i które dają początek ideom nie mającym, jak się wydaje, żadnej realnej podstawy". Dalej po

zagmatwanych rozważaniach, autor napotyka nagle przeszkodę (3).

Podaje przepis na używanie stosunku między liczbami ujemnymi a dodatnimi uważanymi za wielkości nieporównywalnie różnorodne.

(Prawie identyczne argumenty przeczytać można w tekstach d'Alemberta i Carnota cytowanych dalej.)

"Traktat o Algebrze", wydany w roku 1748, dwa lata po

(5) • •

Zainteresowany czytelnik może także zbadać początek rozdziału LXVI "Algebry" Jana Wallisa (1673), którego stresz­

czenie przetłumaczone z łaciny na angielski figuruje w "Źródło­

wej księdze" Smitha. Wallis mówi o liczbach ujemnych, ale pre­

zentuje wiele symptomów niezrozumienia analogicznych do tych,

które cytujemy według innych autorów.

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLęDNYCH 75

śmierci McLaurina, pozostał dziełem, na które powoływano się tak w Wielkiej Brytanii, jak i na kontynencie. Oto, jak przed­

stawia on wielkości ujemne:

N a z y w a s i ę w i e l k o ś c i a m i d o d a t n i m i lub t w i e r d z ą c y m i te, k t ó r e s ą p o ­ p r z e d z o n e z n a k i e m + , a u j e m n y m i te, k t ó r e s ą p o p r z e d z o n e z n a k i e m -

A b y m i e ć j a s n e i d o k ł a d n e p o j ę c i e o t y c h d w ó c h r o d z a j a c h w i e l ­ k o ś c i , t r z e b a z a u w a ż y ć , ż e k a ż d a w i e l k o ś ć m o ż e w e j ś ć d o r a c h u n k u a l ­ g e b r a i c z n e g o j a k o d o d a n a l u b j a k o o d j ę t a , to z n a c z y , j a k o p o w i ę k s z e ­ n i e lub j a k o p o m n i e j s z e n i e . O t ó ż p r z e c i w i e ń s t w o , j a k i e i s t n i e j e m i ę ­ d z y p o w i ę k s z e n i e m a p o m n i e j s z e n i e m , t k w i w p o r ó w n a n i u w i e l k o ś c i : na p r z y k ł a d m i ę d z y w a r t o ś c i ą p i e n i ę d z y , k t ó r e k t o ś m a u kogoś, a tymi, k t ó r e k o m u ś j e s t w i n i e n ; m i ę d z y l i n i ą w y k r e ś l o n ą w p r a w o a l i n i ą w y k ­ r e ś l o n ą w lewo; m i ę d z y p o d n i e s i e n i e m p o n a d h o r y z o n t a o p u s z c z e n i e m p o n i ż e j . W ten s p o s ó b w i e l k o ś ć uj e m n a , d a l e k a o d t e g o b y b y ć ś c i ś l e c z y m ś m n i e j n i ż nic, n i e j e s t m n i e j r z e c z y w i s t a w s w o j e j i s t o c i e niż w i e l k o ś ć d o d a t n i a , a l e j e s t w z i ę t a w s e n s i e p r z e c i w n y m ; s t ą d wy n i k a , ż e s a m a r o z w a ż a n a w i e l k o ś ć n i e m o ż e b y ć u j e m n a , m o ż e b y ć t a k a w p o ­ r ó w n a n i u z w i e l k o ś c i ą d o d a t n i ą , i ż e o d w i e l k o ś c i , k t ó r ą n a z y w a m y d o d a t n i ą , j e ś l i n i e m a d l a n i e j p r z e c i w n e j , n i e p o w i n n i ś m y o d e j m o w a ć w i ę k s z e j ; na p r z y k ł a d b y ł o b y a b s u r d e m c h c i e ć o d j ą ć w i ę k s z ą i l o ś ć m a ­ t e r i i o d m n i e j s z e j .

Czytelnik zauważy, że przeszkoda w przejściu do dynamiki sygnalizowana przez Piageta, została doskonale przekroczona ! Ale zrozumienie jest dalekie od osiągnięcia celu z powodu przeszkód (3) i (4), których najwyraźniej nie przekroczong.

Tymczasem autor przyznaje implicite, że to, co jest absur­

dalne dla zera absolutnego (dwie ostatnie linijki), jest dosko­

nale uprawnione dla zera, jako początku układu współrzędnych.

Dalej wypowiada regułę znaków, którą komentuje tymi słowami:

M o ż n a b y w y d e d u k o w a ć r e g u ł ę z n a k ó w , k t ó r ą s i ę z a z w y c z a j w y p o w i a d a w t a k i s p o sób, ż e z n a k i p o d o b n e m n o ż n i k a i m n o ż n e j d a j ą w i l o c z y n i e + , a r ó ż n e z n a k i d a j ą - . U n i k n ę l i ś m y w t e n s p o s ó b p r z e d s t a w i e n i a

t e j r e g u ł y , a b y o s z c z ę d z i ć p o c z ą t k u j ą c y m s z o k u j ą c e g o w y r a ż e n i a , że - p r z e z - d a j e + , c o j e s t k o n i e c z n ą k o n s e k w e n c j ą r e g u ł y ; można, j a k m y to r o b i m y , j e j n i e lubić, a l e n i e m o ż n a j e j p r z e c z y ć lub u s u ­ nąć; C z y t e l n i k , n a w e t n i e z a u w a ż a j ą c tego, d o s t r z e g ł s e n s t e g o w p o p r z e d n i c h p r z y k ł a d a c h ; z a z n a j o m i o n y z p r o b l e m e m , c z y ż m ó g ł b y j e s z -

76 GEORGE GLAESER

c z e w y s t r a s z y ć s i ę s l o w ? J e ś l i p o z o s t a j ą m u j e s z c z e j a k i e ś s k r u p u ł y , n i e c h p o ś w i ę c i t r o c h ę u w a g i n a s t ę p u j ą c e m u d o w o d o w i , k t ó r y a t a k u j e t r u d n o ś ć w p r o s t : M a m y + a - a = 0 , w i ę c p r z e z j a k ą k o l w i e k w i e l k o ś ć p o ­ m n o ż y s i ę a - a , i l o c z y n p o w i n i e n b y ć r ó w n y 0; j e ś l i m n o ż ę p r z e z n , to o t r z y m a m j a k o p i e r w s z y s k ł a d n i k +n a , a j a k o d r u g i - n a , p o n i e ­ w a ż te d w a s k ł a d n i k i m u s z ą s i ę z n o s i ć . W i ę c r ó ż n e z n a k i d a j ą - w i l o c z y n i e . J e ś l i p o m n o ż ę + a - a p r z e z - n , to na p o d s t a w i e p o p r z e d ­ n i e g o p r z y p a d k u b ę d ę m i a ł - n a j a k o p i e r w s z y s k ł a d n i k ; w i ę c +n a j a k o d r u g i , b o o b a s k ł a d n i k i m u s z ą s i ę z n o s i ć ; w i ę c - p o m n o ż o n y p r z e z - d a j e + w i l o c z y n i e .

Ten tekst unaocznia godny uwagi postęp. Dowód reguły zna­

ków jest przeprowadzony formalnie. Związek z rozdzielnością względem dodawania uwypuklono implicite.

Można by zapytać, w jakich granicach McLaurin stosuje for- malistyczny punkt widzenia. Ustęp, który właśnie zacytowaliś­

my, pozwala przewidzieć już wyprzedzenie przez autora wszys­

tkich matematyków aż do korica XIX wieku.

Ale początek jego traktatu o różniczkach (1742) jest dużo bardziej wyraźny:

M a t e m a t y k a b a d a s t o s u n k i m i ę d z y j e d n y m i w i e l k o ś c i a m i a dru,gimi i w s z y s t k i e i c h w ł a s n o ś c i , k t ó r e m o g ą b y ć p o d d a n e p e w n e j r e g u l e l u b p o ­ m i a r o w i .

I kilka linijek dalej:

W t y c h n a u k a c h b a d a s i ę r a c z e j z w i ą z k i p o m i ę d z y r z e c z a m i n i ż i c h i s t o ­ tę w e w n ę t r z n ą ; d l a t e g o , ż e m o ż e m y m i e ć j a s n y p o g l ą d n a to, c o j e s t p o d s t a w o w e d l a p e w n e g o s t o s u n k u , n i e m a j ą c d o k ł a d n e g o a n i k o m p l e t n e g o p o g l ą d u na a t r y b u t y s a m e j r z e c z y . N a s z e i d e e o s t o s u n k a c h s ą c z ę s t o b a r d z i e j j a s n e i b a r d z i e j w y r a ź n e o d i d e i s a m y c h r z e c z y , k t ó r e w c h o ­ d z ą w te s t o s u n k i ; i to j e s t to, c o p o w i n n i ś m y g ł o w n i e p r z y p i s y w a ć m a ­ t e m a t y c e j a k o j e j c e c h ę s z c z e g ó l n ą . N i e j e s t k o n i e c z n e , a b y p r z e d m i o ­ ty n a s z y c h t e o r i i b y ł y o p i s a n e a k t u a l n i e lub ż e b y i s t n i a ł y p o z a n a mi;

j e s t j e d n a k i s t o t n e , a b y i c h s t o s u n k i b y ł y j a s n o z r o z u m i a n e , w y d e d u k o - w a n e w s p o s ó b o c z y w i s t y i b y b y ł o k o r z y s t n e i c h s t o s o w a n i e , s z c z e g ó l ­ n i e w r o z w a ż a n i u tych, k t ó r e o d p o w i a d a j ą o b i e k t o m z e w n ę t r z n y m i k t ó r e m o g ą r o z s z e r z y ć n a s z ą z n a j o m o ś ć f i z y k i .

Czyż nie ma się wrażenia, że się czyta Hilberta lub Bour-

bakiego ? Zauważmy w szczególności ustęp, gdzie przyjmuje się

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLĘDNYCH 77

obiekty matematyczne opisane w terminach struktury, nie wyma­

gając, "aby istniały poza nami".

Istnienie fizyczne rozważane jest tylko jako "korzystne"

potwierdzenie, które nie jest istotne'

.

Ale ustęp cytowany wyżej pokazuje także, że te spektaku­

larne postępy nie wystarczyły McLaurinowi dla uzyskania pełne­

go zrozumienia. Ponieważ potyka się na przeszkodach (3) i (4) , nie jest zdolny przedstawić teorii liczb względnych z całą up­

ragnioną swobodą. Czytelnicy nie podejrzewali, że McLaurin prawie zrozumiał liczby względne. Jego historyczny sukces zos­

tał czasowo zagubiony dla potomnych.

Dopóki wszystkie aspekty zagadnienia nie zostaną równo­

cześnie opanowane, zawsze należy się obawiać nawrotu do niezro zumienia.

Leonard Euler (1707-1783) był z pewnością wirtuozem ra­

chunku. W swoich naukowych artykułach posługiwał się liczbami względnymi i zespolonymi z pomysłowością i rozmachem, nie pod­

nosząc sprawy słuszności swoich konstrukcji. Ale w pewnym dzie le przeznaczonym dla początkujących ( Euler, 1770) podjął się zadania pedagogicznego i został zmuszony do dostarczenia wyjaś nień. Próbował mianowicie usprawiedliwić regułę znaków. Podzie limy jego argumentację na trzy części:

1. Mnożenie długu przez liczbę dodatnią nie sprawia wiel­

kiej trudności: trzy długi po a talarów dają jeden dług 3a talarów. Więc b • (-a) = -ab .

Zauważmy, że na tym przykładzie mnożenie jest działaniem zewnętrznym, rozumowanie jest więc bezwartościowe, jeżeli mnożnik nie jest liczbą naturalną.

2. Z prawa przemienności Euler wydedukował, że (-a) • b -ab . Rozumowanie bezwartościowe dla działania zewnętrznego, które znaczy (-3) -krotny zysk a talarów.

^ W angielskim wydaniu "Traktatu o różniczkach" (1742)

temu wyznaniu wiary towarzyszy odsyłacz do "Eseju o ludzkim

rozsądku" (księga 2, rozdz.25). Czyż należy stąd wnioskować,

że Jan Locke jest ojcem Bourbakiego ?

78 GEORGE GLAESER

3. Pozostaje ustalić, co to jest iloczyn (-a) razy (-b) . Jest jasne, mówi Euler, że wartością bezwzględną będzie ab .

Chodzi więc o zdecydowanie +ab czy -ab . Ale skoro (-a)-b tyło już równe -ab , pozostaje tylko jedna możliwość:

(-a) . (-b) = +ab (!!!) .

Ten piruet nie przekracza zupełnie poziomu wulgaryzacji.

Ale jeśli Euler nie podaje lepszego uzasadnienia reguły znaków, to bez wątpienia nie znał lepszego. W tym samym rozdziale od­

krywamy jeszcze jedną przeszkodę, której Euler (jak i wielu in­

nych autorów) nie pokonał, a która odnosi się do niezrozumie­

nia unifikacji prostej liczbowej. Euler oświadcza, że liczba ujemna jest reprezentowana przez literę poprzedzoną znakiem -.

W dziesiejszych czasach, natomiast, symbol -x oznacza liczbę przeciwną do x (z dowolnym znakiem). Umowa wypowie­

dziana explicite przez Eulera jest zresztą sprzeczna z jego co­

dzienną praktyką. Słynny analityk nie waha się nigdy podsta­

wiać wartość ujemną lub urojoną za zmienną występującą w wie­

lomianie lub szeregu.

Chaos w języku, który stąd wynika, jest szczególnie wyraź­

ny w poniższym tekście Gabriela Cramera, współczesnego Eulero­

wi. Zauważymy, że w drugim ustępie tego tekstu litera x zmie­

nia znaczenie kilkakrotnie, podczas gdy parametr a jest im­

plicite dodatni.

W t e n s p ó s o b w k r z y w e j 3 k t ó r ą p r z e d s t a w i a r ó w n a n i e : x » x + 6 a x + + 5 a * a - 6 a y

-

,

~ +

4

5 . . .

^

A a =

g

.

•CCC

s k ł a d n i k i i x t a k ż e r o s n ą b e z z m n i e j s z a n i a s t a ł e g o s k ł a d n i k a

^ a . T o d o w o d z i 3 ż e k i e d y o d c i ę t a x r o ś n i e 3 r z ę d n a y

(-

+

.

A ż e b y p o z n a ć p r z e b i e g t e j l i n i i ó d s t r o n y u j e m n y c h o d c i ę t y c h 3

EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLęDNYCH 79

p r z y j m i e m y , ż e x j e s t u j e m n e , e o p r z e k s z t a ł c a r ó w n a n i e y ~

-j—

1 x x 1

° •

+ x + -ą a w r ó w n a n i e y =

-

^

.

(Cramer, 1750) .

Niejasności są tutaj tylko językowe; rozumie się doskona­

le, co autor chciał powiedzieć. Zagmatwany wykład nie jest więc niczym innym, jak symptomem głębszego niezrozumienia:

unikanie rozumowania dotyczącego liczb ujemnych, istotnie róż­

nych od dodatnich.

Zwróćmy uwagę na ustęp, gdzie zmiana zmiennej x —> -x pozwala Cramerowi w ostatnim fragmencie, posługiwać się w ro­

zumowaniu nierównościami. Trzeba wiedzieć, że znaki < i >

zostały wprowadzone w roku 1631 w angielskich książkach Toma­

sza Harriota (Cajori, 1928), a analiza nieskończenie małych do­

prowadziła do stosowania majoryzacji. Ale aż do końca XIX wieku rozwiązywania nierówności nie należy do repertuaru nauczania dla początkujących. Najstarszym dziełem, jakie znalazłem, za­

wierającym specjalny rozdział poświęcony nierównościom, jest traktat o algebrze Józefa Bertranda (1870). Wypowiada się tam i dowodzi reguły odwracania nierówności przez mnożenie obu stron przez czynnik ujemny, (por. także Bourdon, 1834).

Oczywiście, w epoce Eulera umiano już dobrze posługiwać się majoryzacją. Ale uciekano się za każdym razem do sztuczek, podobnych do tych, jakich używał Cramer, aby uniknąć porówny­

wania liczb względnych.

Pisma Aleksego Clairauta (1713-1765) nie faworyzują badań epistemologicznych. Autor ten przyjmuje strategię pedagogiczną, która polega na rozwijaniu tego, co jest doskonale jasne, i systematycznym przemilczaniu wszystkich pytań, które męczą je­

go współczesnych; w braku dokumentów nie zaryzykujemy więc aluzji do progów, których Clairaut nie przekroczył i

Oto ustęp z jego "Elementów Algebry" (1749), gdzie wypo­

wiada się co do pewnego punktu, który zrozumiał zupełnie dok­

ładnie .

M o ż n a z a p y t a ć , c z y m o ż n a d o d a ć l i c z b ę u j e m n ą d o d o d a t n i e j l u b r a c z e j ,

80 GEORGE GLAESER

c z y m o ż n a p o w i e d z i e ć ż e s i ę d o d a j e l i c z b ę u j e m n ą . N a c o o d p o w i a d a m

,

ż e to w y r a ż e n i e j e s t ś c i s ł e 3 g d y n i e m y l i s i ę d o d a w a n i a z p o w i ę k s z a ­ niem. K i e d y d w i e ó s o b y 3 na p r z y k ł a d , ł ą c z ą s w o j e f o r t u n y 3 j a k i e k o l ­ w i e k b y o n e b y ł y 3 p o w i e m 3 ż e w t e d y o n e d o d a j ą s w o j e m a j ą t k i . K i e d y j e d n a m a d ł u g i i r e a l n y m a j ą t e k 3 j e ś l i j e j d ł u g i p r z e w y ż s z a j ą w a r ­ t o ś ć m a j ą t k u 3 o n a m a t y l k o w a r t o ś ć u j e m n ą 3 i p o ł ą c z e n i e j e j f o r t u n y z tą d r u g ą p o m n i e j s z a f o r t u n ę t e j o s t a t n i e j w t e n s p o s ó b 3 ż e s u m a o k a z u j e s i ę a l b o m n i e j s z a 3 a l b o c a ł k o w i c i e ujem n a .

Gdzie indziej Clairaut zahacza o kwestią znaczenia ujem­

nych rozwiązań problemu; a propos "problemu kurków" konkluduje że trzeba rozważać źródło jako "ujmowanie wody ze zbiornika", zamiast dostarczania tam wody.

Otóż w tamtej epoce i później pojawiają się pierwiastki u jemne nie jako rozwiązanie problemu, ale jako sygnał źle pos­

tawionego pytania. Na przykład w podręczniku "Algebry" de Bour dou (1834) czytamy:

1. K a ż d a w a r t o ś ć u j e m n a w y z n a c z o n a d l a n i e w i a d o m e j p r o b l e m u p i e r w ­ s z e g o r z ę d u w s k a z u j e b ł ą d w s e n s i e w a r u n k ó w t e g o p r o b l e m u lub p r z y ­ n a j m n i e j w r ó w n a n i u j k t ó r e j e s t j e g o t ł u m a c z e n i e m a l g e b r a i c z n y m . 2. T a w a r t o ś ć 3 a b s t r a h u j ą c o d j e j z n a k u 3 m o ż e b y ć u w a ż a n a za o d p o ­ w i e d ź na p y t a n i e 3 k t ó r e g o s f o r m u ł o w a n i e r ó ż n i s i ę o d s f o r m u ł o w a n i a p o s t a w i o n e g o p y t a n i a t y l k o t y m 3 ż e p e w n e w i e l k o ś c i 3 k t ó r e b y ł y d o d a ­ wan e j s t a j ą s i ę o d e j m o w a n e i na odwrót.

W ten sposób otrzymanie pierwiastka ujemnego jest uważane za błąd łatwy do naprawienia, podczas gdy w naszych czasach jest rozwiązaniem całkowicie dopuszczalnym.

Sygnalizujemy, że Euler w cytowanym już dziele proponuje wiele ćwiczeń dotyczących tego zagadnienia. Otóż stara się on o to, by wszystkie przykłady równania pierwszego stopnia miały tylko dodatnie pierwiastki. Uwalnia go to od poruszania próbie mu. Natomiast wtrącił do swojego tekstu kilka równań kwadrato­

wych mających ujemne pierwiastki. W takim przypadku Euler nie daje żadnego komentarza, nie przewidując, że czytelnik, po na­

potkaniu takiej trudności po raz pierwszy, mógłby być w kłopo­

cie.

Reasumując, spotkaliśmy teksty wielkich uczonych, w któ-

81 EPISTEMOLOGIA LICZB WZGLĘDNYCH

rych pojawiały się mniej lub bardziej samorzutnie oznaki nie­

zrozumienia tematu tak banalnego, jak liczby względne. Ale na­

sze zdumienie jeszcze wzrośnie wobec syntez d'Alemberta i Car­

nota, którzy nie wahają się ujawnić całkiem bez osłonek swoje­

go niezrozumienia.

Tekstem demonstrującym najlepiej zamieszanie panujące pod koniec XVIII wieku jest na pewno artykuł "Ujemne", który

d'Alembert (1717-1783) napisał dla "Encyklopedii" Diderota.

Oto jego fragment:

W i e l k o ś c i u j e m n e s ą p r z e c i w i e ń s t w e m d o d a t n i c h . Tam, g d z i e s i ę d o d a t ­ ni a k o ń c z y , t a m s i ę u j e m n a zacz y n a . P a t r z p o d " D o d a t n i a " .

T r z e b a p r z y z n a ć , ż e n i e j e s t ł a t w o o k r e ś l i ć p o j ę c i e w i e l k o ś c i u j e m n y c h i ż e k i l k u z r ę c z n y c h l u d z i m i a ł o s w ó j u d z i a ł w j e g o z a g m a t ­ w a n i u p r z e z m a ł o d o k ł a d n e p o j ę c i a , k t ó r e p r z e d s t a w i a l i . M ó w i ć , że w i e l k o ś ć u j e m n a j e s t p o n i ż e j n i c z e g o , to z n a c z y t w i e r d z i ć coś, c z e g o ni e m o ż n a p o j ą ć . Ci, k t ó r z y u t r z y m u j ą , ż e 1 n i e j e s t p o r ó w n y w a l n e z -1 i ż e s t o s u n e k m i ę d z y 1 a -1 j e s t r ó ż n y o d s t o s u n k u m i ę d z y - l a l , p o p e ł n i a j ą p o d w ó j n y błą d : 1 ® d l a t e g o , ż e d z i e l i s i ę z a w ­ s z e w o p e r a c j a c h a l g e b r a i c z n y c h 1 p r z e z -1

;

K i e d y r o z w a ż a s i ę d o k ł a d n o ś ć i p r o s t o t ę o p e r a c j i a l g e b r a i c z n y c h . na w i e l k o ś c i a c h u j e m n y c h , m a s i ę t e n d e n c j ę d o w i e r z e n i a , że p r e c y z y j ­

na idea, k t ó r ą t r z e b a w i ą z a ć z w i e l k o ś c i a m i u j e m n y m i , p o w i n n a b y ć i d e ą p r o s t ą i a b s o l u t n i e n i e p o w i n n o s i ę j e j d e d u k c w a ć z w i e l o z n a c z ­ n e j m e t a f i z y k i . A b y s t a r a ć s i ę o d k r y ć p r a w d z i w e p o j ę c i e , m u s i si ę n a j p i e r w z a u w a ż y ć , ż e w i e l k o ś c i , k t ó r e n a z y w a s i ę u j e m n y m i i k t ó r e f a ł s z y w i e u w a ż a s i ę za l e ż ą c e p o n i ż e j zera, s ą b a r d z o c z ę s t o r e p r e ­ z e n t o w a n e p r z e z w i e l k o ś c i r z e c z y w i s t e , j a k w g e o m e t r i i , g d z i e l i n i e u j e m n e r ó ż n i ą s i ę o d d o d a t n i c h t y l k o i c h p o ł o ż e n i e m w z g l ę d e m p e w n e j l i n i i ó w s p ó l n y m z n i m i p u n k c i e . P a t r z p o d "Kr z y w a " . J e s t w i ę c d ó s y ć n a t u r a l n e w n i o s k o w a ć s tąd, ż e w i e l k o ś c i u j e m n e , k t ó r e s p o t y k a s i ę w r a c h u n k u , s ą w i s t o c i e w i e l k o ś c i a m i r z e c z y w i s t y m i , a l e w i e l k o ś c i a m i r z e c z y w i s t y m i , k t ó r y m t r z e b a p r z y p i s a ć i n n e z n a c z e n i e n i ż s i ę p r z y ­ p u s z c z a ł o . W y o b r a ź m y s o b i e , na p r z y k ł a d , ż e s z u k a m y w a r t o ś c i l i c z b y x , k t ó r a d o d a n a d o 1 0 0 d a j e 5 0

;

= 50 i x

-