Kinematyka punktu materialnego w mechanice klasycznej

Kinematyka punktu materialnego w mechanice klasycznej

##########################################################################################

Autor : R. Waligóra ; data powstania dokumentu : 2008-09-30 ; ostatnie poprawki z dnia: 2008-12-28

##########################################################################################

Wprowadzenie

Mechanikę klasyczną, zwaną mechaniką Newtonowską, ( w dalszej części pod pojęciem „mechanika” , należy rozumieć właśnie mechanikę klasyczną . Oprócz mechaniki klasycznej mamy bowiem m.in. mechanikę

kwantową, mechanikę relatywistyczną i mechanikę falową ) możemy podzielić ogólnie na dwa obszerne działy : kinematykę i kinetykę. Kinetykę, z kolei możemy podzielić na : statykę i dynamikę.

Prezentowany tekst ma za zadanie przedstawić główne idee i metody kinematyki.

Ogólnie, mechanika – jest to nauka zajmująca się ruchem i oddziaływaniem wzajemnym ciał materialnych.

Pod pojęciem - „ruch”, rozumiemy w naszym przypadku „ruch mechaniczny” tj. zmianę położenia ciała lub układu ciał materialnych , w przestrzeni i czasie. Mechanika jest częścią fizyki, a fizyka jak wiadomo jest nauką empiryczną. Zgodnie z metodologią nauk empirycznych, wszelkie modele teoretyczne (modelowane

matematyczne) powinny opierać się na danych uzyskanych poprzez eksperyment lub obserwację.

Wszystkie wprowadzone metody i modele mają lub powinny mieć oparcie w empirii.

Opisem ruchu punktu materialnego bez uwzględnienia przyczyn tego ruchu zajmuje się dział mechaniki zwany

„kinematyką”. W celu lepszego zrozumienia przedstawię jeszcze jedną - obszerniejszą definicje kinematyki : Kinematyka – rozdział mechaniki poświęcony badaniu ruchu ciał materialnych (zamiast pojęcie: „ciało materialne” stosuje się również, zamiennie nazwę: „punkt materialny” – pojęcia te zdefiniuje w dalszej kolejności ) z geometrycznego punktu widzenia tj. bez uwzględnienia przyczyn wywołujących ten ruch (sił, oddziaływań). Od geometrii kinematyka różni się tym, że przy rozpatrywaniu przemieszczeń ciał (ciała) w przestrzeni bierzemy pod uwagę czas w jakim to przemieszczenie zachodzi. Dlatego też kinematykę nazywa się niekiedy „geometrią czterowymiarową”, rozumiejąc czas jako czwarty wymiar.

Do głównych zadań kinematyki należy opisanie jakościowe ruchu ciała (ciał, punktu materialnego) w danym układzie odniesienia tj. ustalenie sposobów za pomocą których możemy określić ruch ciał materialnych.

Jak widać, w zależności od rodzaju rozpatrywanego „obiektu”, możemy mówić o kinematyce (podobnie zresztą jak i w przypadku dynamiki ) : punktu materialnego , ciała stałego (bryły materialnej ) , ośrodka ciągłego lub płynu. Zwyczajowo w pierwszej kolejności – biorąc pod uwagę również złożoność pojęciową teorii – omawia się kinematykę punktu materialnego.

Do podstawowych pojęć kinematyki należą (kolejność mniej więcej odpowiada kolejności ich omówienia ) : -przestrzeń ( przestrzeń w której zachodzi ruch, przestrzeń konfiguracyjna)

-czas (chwila, odcinek czasu, zdarzenie, zegar )

-punkt materialny (ciało materialne, bryła sztywna, układ punktów materialnych, układ fizyczny) -układ odniesienia (układ laboratorium, obserwator, urządzenie pomiarowe, pomiar )

-tor, droga ( przemieszczenie ,hodograf, odległość )

-ruch (przemieszczenie , przesunięcie, ruch względny, złożony, obrotowy) -prędkość (prędkość - średnia, chwilowa, kątowa, polowa ; szybkość) -przyspieszenie (przyspieszenie styczne, dośrodkowe )

Obecnie zajmę się szczegółowym omówieniem wprowadzonych powyżej pojęć.

Należy zaznaczyć, że będziemy mówić o kinematyce punktu materialnego w mechanice klasycznej, w której to w/w pojęcia posiadają sens fizyczny ( i są wielkościami mierzalnymi, obserwowalnymi) . Przykładowo, w mechanice kwantowej niektóre pojęcia np. tor, bryła sztywna są pojęciami pozbawionymi sensu.

W większości w/w pojęcia są pojęciami wyprowadzonymi na podstawie doświadczeń prowadzonych z ciałami makroskopowymi tj. znanych z życia codziennego. ( charakteryzującymi się dostrzegalnymi zmysłowo wymiarami : przestrzennymi lub czasowymi – jeśli mowa o zdarzeniach ).

Można powiedzieć zatem, że mają one charakter fenomenologiczny.

1.Podstawowe pojęcia kinematyki

Głównymi pojęciami kinematyki są : czas i przestrzeń. Ruch mechaniczny zachodzi, bowiem w czasie i przestrzeni. W mechanice przyjmujemy pojęcia czasu i przestrzeni wywodzące się od Newtona. Są to: czas absolutny i przestrzeń absolutna. Istnienie i własności tych pojęć zostały przez Newtona zapostulowane.

Zgodnie z przyjętą aksjomatyką są one niezależne jedno od drugiego, nie zależą one również od innych własności fizycznych takich jak np. masa, prędkość, siła itp.

„Absolutny, prawdziwy matematyczny czas sam przez się i ze swojej własnej natury płynie jednostajnie bez względu na cokolwiek zewnętrznego i inaczej nazywa się trwaniem”

„Absolutna przestrzeń sama w swojej istocie bez względu na cokolwiek zewnętrznego pozostaje zawsze jednakowa i nieruchomą”

Takie definicje podaje Newton w swojej fundamentalnej monografii pt. : „Philosophiae naturalis principia mathematica”. (przekład własny z książki pt. „Isaak Newton „Zasady matematyczne filozofii naturalnej”.

red. L.S. Polak , Moskwa „Nauka” 1989 – książka w języku rosyjskim )

Są to jak powiedziałem postulaty - jak dzisiaj wiemy nie są one spełnione w ogólności. Teoretyczna struktura szczególnej i ogólnej teorii względności jak również mechaniki kwantowej, wymagają (co potwierdza eksperyment) wprowadzenia odmiennych (krańcowo odmiennych) definicji tych pojęć. Jednak co należy podkreślić , w skali makroskopowej tj. w skali codziennego ludzkiego doświadczenia, własności czasu i przestrzeni odpowiadają (z bardzo dobrym przybliżeniem) powyższym definicją.

Czas

Matematycznie czas jest modelowany jako oś skierowana (odcinek osi) liczb rzeczywistych, lub ogólnie jako podzbiór zbioru R – liczb rzeczywistych. Przejmuje on zatem wszelkie własności metryczne i topologiczne tej osi, lub zbioru. (m.in. ciągłość, jednowymiarowość, odległość – metrykę, interwał ). Wato również podkreślić, że zgodnie z takim matematycznym modelem, czas rozciąga się od minus nieskończoności (nieskończonej przeszłości) , do plus nieskończoności (nieskończonej przyszłości) , nie ma więc ani początku ani końca. Ruch mechaniczny (ruch swobodny) może zatem trwać wiecznie nie ma więc sensu dociekać ( w szczególności ) jego przyczyn.

Dokładniej własności czasu omówione są np. w książce : Z. Augustynek „Własność czasu” PWN 1972.

Ogólne omówienie pojęcia czasu i jego roli w rozwoju cywilizacji , można znaleźć np. w książce : G. J. Whitrow “Czas w dziejach” Prószyński i S-ka 1998

Z fizycznego punktu widzenia, czas jest parametrem zmienności ruchu. Interwał czasu mierzymy za pomocą urządzenia fizycznego zwanego „zegarem”. Od zegara wymagamy periodyczności (powtarzalności), danej dla badanego zagadnienia dokładności i niezależności od czynników zewnętrznych. Z doświadczenia wiemy, że czas jest jednorodny tj. punkt zerowy , na osi czasu możemy wybrać dowolnie lub inaczej - dowolne

doświadczenie mechaniczne nie zależy od wybranej chwil początkowej. Nie trywialnym pytaniem jest problem izotropowości czasu tj. niezależności od wybranego kierunku upływu czasu. (w przeszłość lub przyszłość). Jak wiadomo równania mechaniki , które są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi (rrz) drugiego rzędu (ogólnie) są symetryczne względem odbicia (odwrócenia) czasu. Należy jednak mieć na uwadze to, że dobrze postawiony problem dotyczący rozwiązania rrz musi zawierać warunki początkowe. Zadanie konkretnych warunków początkowych i równań ruchu całkowicie określa ten ruch.

W związku z takim stwierdzeniem wypowiedzieć możemy tzw. „Zasadę przyczynowości Newtona” –

początkowy stan układu mechanicznego tj. zbiór wartości początkowych położenia i prędkości w danej chwili czasu określa jednoznacznie cały ruch tego układu.

Inne warunki początkowe, nawet przy takich samych równaniach ruchu określają inną rodzinę rozwiązań (torów) ruchu. A jak wiadomo pomiar jest zawsze wykonywany z pewną skończoną dokładnością , nie można więc , szczególnie dla pewnej klasy układów dynamicznych ( myślę tutaj o układach „wrażliwych” na warunki początkowe) określić dokładnie dalekiej przeszłości (lub dalekiej przyszłości) takiego układu. Ogólnie jednak w mechanice przyjmujemy, że ruch mechaniczny jest symetryczny względem punktu początkowego (zerowego na osi czasu). Zgodnie z tym możemy dokonać nie tylko nieskończonej predykcji (czyli przewidywania)

zachowania się ciała , ale również nieskończonej w czasie retrodykcji (czyli zbadania jak zachowywało się ciało w przeszłości). Oczywiście jak dzisiaj wiemy (z badań dotyczących stabilności ruchu i dynamiki chaotycznej ) w ogólności takie prognozy (dotyczące nieskończonej przeszłości lub przyszłości ) są zazwyczaj nie uprawnione.

Proste doświadczenia mechaniczne dotyczące badania ruchu układów ciał materialnych takich jak np. ruch wahadła, ruch w polu grawitacyjnym , potwierdzają słuszność idealizacji czasu jako wielkości izotropowej.

Już jednak analiza prostych układów termodynamicznych pokazuje, że taka idealizacja może nie być słuszna, w związku z tym istnieje cały szereg zagadnień ujętych pod wspólnym terminem „strzałka czasu”.

W układzie SI jednostką czasu jest sekunda [s].

Sekunda – jest to czas równy 9192631770 okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133

(J. M. Massalski , J. Studnicki „Legalne jednostki miar i stałe fizyczne” PWN 1988 )

Przestrzeń

Matematycznie przestrzeń mechaniki modelowana jest jako trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa (przestrzeń o metryce euklidesowej). Jak wiadomo jest to przestrzeń płaska, dopuszczająca globalnie, możliwość

wprowadzenia ortogonalnych (prostokątnych) układów współrzędnych. Zazwyczaj wprowadzamy układ kartezjański tj. układ współrzędnych prostokątnych, prostoliniowy. Przestrzeń płaska jest przestrzenią jednorodną i izotropową, znaczy to, że przebieg dowolnego doświadczenia mechanicznego nie jest zależny od wyboru punktu odniesienia (punktu w którym rozpoczynamy doświadczenie) oraz kierunku w którym zachodzi ruch. (oczywiście mowa o przestrzeni „swobodnej” – przestrzeni bez pól )

Przestrzeń taką możemy wyobrażać sobie jako pewną arenę na której rozgrywają się zjawiska.

Własności tej areny nie zależą od rozgrywających się na niej zdarzeń – w szczególności możemy mówić o zupełnie pustej arenie, tj. arenie bez zjawisk. Podobnie jest w przypadku czasu – czas Newtonowski (matematyczny) upływa bez względu na to czy istnieją zjawiska czy nie. Czas jest jak gdyby czymś zewnętrznym w stosunku do zjawisk. Z operacyjnego (instrumentalistycznego) punktu widzenia jest to oczywiście bez sensu – to dopiero zjawisko periodyczne konstytuuje czas i sposób jego pomiaru. Jak wiadomo współczesna fizyka wiąże ściśle pojęcia przestrzeni , czasu i zdarzeń – oddziaływań (pól).

I tak, w kolejności i w szczególności : szczególna teoria względności wprowadza pojęcie czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego , łączącej w jednolitą strukturę geometryczna pojęcie czasu i przestrzeni, ogólna teoria względności wprowadza przestrzeń zakrzywioną (czterowymiarową przestrzeń Riemanna), na której nie można globalnie rozdzielić pojęć : czasu i przestrzeni a mechanika kwantowa wprowadza nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta.

Omawiając pojęcia przestrzeni i czasu dokonaliśmy pewnego wyboru tzw. areny zdarzeń - jest to

czasoprzestrzeń Galileusza. Teraz na tą arenę należy wprowadzić pewne szczegółowe struktury matematyczne (geometryczne i algebraiczne) – m.in są to pojęcia : układu współrzędnych lub (ogólniejsze) pojęcie rozmaitości.

Należy również zdefiniować pewne podstawowe pojęcia fizyczne , takie jak – punkt materialny , układ punktów materialnych , fizyczny układ odniesienia. Warto wspomnieć, że takie podejście przypomina pod pewnymi względami system aksjomatyczny współczesnych nauk dedukcyjnych tj. wprowadzamy zbiór aksjomatów i zasad dedukcji i na tej podstawie budujemy pewną teorię (wywodząc pewne twierdzenia). (zobacz [19] str. 9 ) W układzie SI jednostką długości jest metr [m]

Metr – jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 [s]

Układ odniesienia i układ współrzędnych

Określić ruch punktu materialnego to znaczy określić zmianę jego położenia względem wybranego układu odniesienia w dowolnej chwili czasu. Ustalenie układu odniesienia (ciała odniesienia, układu laboratorium) stanowi podstawę jakiegokolwiek opisu ruchu , jest zatem kluczowym dla całej kinematyki. Nie można mówić o jakimkolwiek ruchu bez wskazania układu odniesienia według którego taki ruch opisujemy, można zatem powiedzieć , że ruch jest pojęciem względnym tj. dotyczy co najmniej dwóch punktów materialnych – nie ma ruchu bezwzględnego, samego w sobie – jest to kluczowe stwierdzenie dla całej fizyki i stanowi podstawę dla zasad względności. Jest to naturalna konsekwencja jednorodności przestrzeni – z każdym dowolnym punktem przestrzeni możemy związać - na zasadzie równouprawnienia - pewien układ odniesienia.

Układem odniesienia - nazywamy ciało materialne lub układ ciał materialnych, wyposażone w zestaw przyrządów pomiarowych (prętów pomiarowych, zegarów, źródeł sygnałów elektromagnetycznych lub podobnych - równoważnych)

Układ odniesienia jest zatem pojęciem makroskopowym (ze wszystkimi tego fizycznymi konsekwencjami).

Pomiar parametrów kinematycznych ruchu ciała takich jak np. czas ruchu, przesunięcie, długość musi być jednoznaczny i ograniczony jedynie przez możliwości użytych przyrządów pomiarowych. Przyrządy

mikroskopowe podlegają zasadą kwantowym min. zasadzie nieoznaczoności ,zatem nie mogą być użytecznymi – przynajmniej jeśli chodzi o kinematykę Newtonowską (klasyczną), mającą do czynienia z odległościami ,

czasami, masami - ogólnie skalami makroskopowymi. Widać stąd również, że pojęcia ugruntowane w kinematyce makroskopowej nie mogą być bezkrytycznie przenoszone (stosowane) na inne działy fizyki – szczególnie dotyczy to mechaniki kwantowej, kwantowej teorii pola, lub pewnych zagadnień ogólnej teorii względności. Układ odniesienia w powyższym sformułowaniu jest jednak bardzo użytecznym pojęciem, i może być stosowany (z pewnymi modyfikacjami) w szczególnej i ogólnej teorii względności.

Z danym układem odniesienia wiążemy prawie nierozłącznie (w wielu sytuacjach nawet utożsamiamy – czasem słusznie czasem nie słusznie – w zależności od rozpatrywanego zagadnienia fizycznego) pojęcie – układu współrzędnych. I o ile „układ współrzędnych” jest abstrakcją fizyczną (modelem), to „układ współrzędnych” jest ścisłym (definiowalnym) pojęciem matematycznym. Od razu należy dodać, że z danym układem odniesienia możemy związać nieskończenie wiele - na ogół - różnych układów współrzędnych. (sytuacja odwrotna raczej nie może mieć zastosowania).

Układ odniesienia możemy sobie wyobrazić jako pewne ciało materialne (punkt materialny, zobacz rys. 1) do którego „przyczepiono” trzy nieskończenie długie, absolutnie sztywne, odpowiednio wyskalowane, ułożone prostopadle pręty odmierzające długości w przestrzeni, ciało to wyposażone jest również w zegar -odpowiednio wyskalowany, jego wskazania pokazują upływ czasu absolutnego i mogą być odczytywane z dowolnej

odległości przestrzennej. To założenie równoważne jest postulatowi istnienia sygnału fizycznego o

nieskończonej prędkości rozchodzenia. Równoważnie - możemy również umieścić zegar w każdym, dowolnym punkcie przestrzeni albo przemieszczać jeden zegar nieskończenie szybko do dowolnego punktu w przestrzeni Oczywiście postulujemy, że na chód takiego zegara nie zmienia się po takim przesunięciu – jest to cecha czasu absolutnego.

Rys. 1 Układ odniesienia

Układem współrzędnych – nazywamy zbiór reguł które opisują (reprezentują, jednoznacznie) każdy obiekt (punkt) p, danej przestrzeni P (obszaru) , za pomocą odpowiedniego ciągu ( x1, ... , xn ), liczb rzeczywistych lub zespolonych , nazywanych współrzędnymi lub składowymi tego obiektu. Liczbę n – nazywamy wymiarem przestrzeni P.

Jak już powiedziano przestrzenią matematyczną mechaniki jest trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa E3.

Z punktu widzenia matematyki jest to przestrzeń liniowa (wektorowa) na której zadano metrykę euklidesową.

( szczegóły matematyczne przestrzeni Euklidesa omówione są w książkach : I. M. Gelfand „Wykłady z algebry liniowej” PWN 1975, A. I. Kostrykin „Wstęp do algebry – tom 2 ,algebra liniowa” WN-PWN 2007.

lub innych dotyczących algebry liniowej )

Wybierając w przestrzeni Euklidesa pewien punkt – początek układu współrzędnych otrzymamy przestrzeń afiniczną. Przestrzeń afiniczna umożliwia wprowadzenie ważnych dla kinematyki pojęć :

wektorów swobodnych i zaczepionych, długości wektorów oraz kątów między wektorami.

Wraz z aparatem analizy wektorowej (zwłaszcza teorii równań różniczkowych zwyczajnych) geometria afiniczna umożliwia wyprowadzenie wszystkich pojęć mechaniki.

Należy podkreślić iż istnieją możliwości wyprowadzenia mechaniki bazujące na przestrzeniach innego typu ,np.

przestrzeni fazowych (przestrzenie symplektyczne) lub też wykorzystujące inne metody analityczne np.

rachunek wariacyjny. (zobacz np. [12] )

Możemy wprowadzić następującą, abstrakcyjna definicję :

Niech { O, e1, ... , en }- będzie reperem przestrzeni afinicznej P tj. bazą {e1, ... , en } przestrzeni liniowej V razem z punktem O ∈ P – zwanym „początkiem układu współrzędnych” .

Definicja. Afiniczny (lub prostoliniowy) układ współrzędnych odpowiadający reperowi { O, e1, ... , en }, jest to zbiór funkcji :

x = ( x1, ... , xn ) , xi : P - > R zdefiniowanych następująco :

xi (p) - ei (Op→ ) , i = 1, ...n (1.1) {e1, ... , en } – jest bazą V* dualną do bazy {e1, ... , en } przestrzeni V.

Funkcje xi nazywamy funkcjami współrzędnościowymi reperu. Dla punktu p ∈ P zbiór liczb :

x(p) = (x1(p) , ... , xn(p) ) nazywamy „współrzędnymi punktu p” w układzie współrzędnych x = (x1, ... , xn ) Zauważmy ,że (1.1) jest równoważne :

Op→ = xi(p) • ei

tj. współrzędne punktu p są to współrzędne wektora wodzącego Op→, w bazie {e1, ... , en }

We współrzędnych kartezjańskich, trójwymiarowych mamy reper o postaci : {O, i, j, k } gdzie : i, j, k – są wersorami układu współrzędnych, O – jest początkiem układu współrzędnych.

Każdemu punktowi przestrzeni P, możemy przyporządkować pewien wektor wodzący tj. zdefiniować pewną wektorofunkcje. (dokładnie zobacz tekst „Podstawy geometrii różniczkowej”, który stanowi teoretyczną podstawę dla dalszej części artykułu ).

Położenie punktu w przestrzeni określa wektor (wektor wodzący tego punktu ) :

r = x(α)i + y(α)j + z(α)k , gdzie α - jest ustalonym parametrem (1.2)

Rys. 2 Wektor wodzący punktu (geometrycznego) w przestrzeni Euklidesa we współrzędnych kartezjańskich

W kinematyce parametrem α jest czas , oznaczany zwyczajowo symbolem - „t”. Jest to więc funkcja wektorowa zmiennej skalarnej.

Każdemu punktowi w przestrzeni fizycznej możemy przypisać trzy liczby (x, y, z) – o stałej wartości, dla punktu nieruchomego w danym układzie odniesienia lub będące funkcjami czasu – dla punktu poruszającego się (w danym układzie odniesienia). Taką procedurę nazywamy „arytmetyzacją przestrzeni”. Powstaje pytanie czy taka arytmetyzacja może być wykonana zawsze i bez względu na rozważane parametry fizyczne.

Jak łatwo się jest domyśleć – odpowiedź jest przecząca, jednak dla celów mechaniki , zakładamy, że jest to całkowicie wykonywalne. (zobacz np. : D. I. Błohnicew „Przestrzeń i czas w mikroświecie” Moskwa, Nauka 1982 – książka w języku rosyjskim ).

Poprzez arytmetyzację przestrzeni (dla danego układu współrzędnych) możemy wprowadzić odpowiedni, dla tej arytmetyzacji układ współrzędnych.

Punkt materialny

Punktem materialnym nazywamy ciało materialne o niezerowej masie ,którego rozmiary liniowe dążą do zera lub są dużo, dużo mniejsze od rozpatrywanych odległości przestrzennych.

Możemy zatem powiedzieć, że punkt materialny to punkt w sensie geometrycznym posiadający własność fizyczną zwaną - „masa”. Masa jest parametrem dynamicznym dlatego zostanie ona zdefiniowana i omówiona w rozdziale dotyczącym dynamiki. Nie ma sensu pojęcie punktu materialnego który ma zerową masę (był by to punkt geometryczny), co najwyżej masa może być pomijalnie mała w porównaniu z innymi rozpatrywanymi masami. Często w zagadnieniach fizycznych przyjmujemy masę jednostkową tj. masę równą jednej przyjętej jednostce w której ją definiujemy.

Jest to oczywiście idealizacja (model matematyczno fizyczny ), jest ona uprawniona w szczególnych warunkach np. jako punkt materialny możemy traktować Ziemię , rozważając jej ruch po ekliptyce, punktem materialnym możemy również nazwać samochód , rozpatrując jego ogólny ruch po torze, nie można by przyjąć takiej idealizacji gdyby chcieć rozpatrywać aspekty aeordynamiczne jego ruchu.

Przyjęta idealizacja pozwala przypisać punktowi materialnemu pewien wektor tj. układ trzech funkcji skalarnych lub po prostu trzy współrzędne , zmieniające się w czasie. Położenie punktu materialnego może być określone jednoznacznie przez podanie jednego wektora. Układ ciał materialnych lub bryła materialna do jednoznacznego określenia położenia wymaga większej liczby wektorów.

Naturalnym rozszerzeniem pojęcia punktu materialnego jest układ punktów materialnych i bryła sztywna .

Bryłą sztywną nazywamy taki układ punktów materialnych ,w którym przy dowolnym jego ruchu odległości między punktami nie ulegają zmianie.

Rys. 3 Punkt materialny M, układ punktów materialnych , bryła sztywna.

Tor ruchu punktu materialnego

Krzywą geometryczną jaką zakreśla punkt materialny podczas swojego ruchu nazywamy „torem” tego punktu.

Tor bywa również nazywany „trajektorią” – termin zaczerpnięty z balistyki lub „orbitą” – termin stosowany w astronomii.

Z matematycznego punktu widzenia torem nazywamy wykres wektorofunkcji r = r(t) ,zgodnie z którą porusza się punkt materialny. Należy zauważyć , że przypisując punktowi materialnemu pewien ściśle określony tor , zakładamy, że możemy dokonać pomiaru o dowolnej dokładności , jego położenia w przestrzeni. Zakładamy bowiem ,że w każdej chwili czasu t (należącej do przedziału czasu w którym ruch jest określony ) punktowi materialnemu możemy przypisać jego wektor wodzący. Jest to oczywiście idealizacja niesłuszna w mechanice kwantowej. Ponadto zakładamy , że możemy rozróżnić jednoznacznie tor obserwowanego przez nas punktu materialnego od innych torów , lub co na jedno wychodzi ,że możemy rozróżnić obserwowany punkt materialny od innych punktów materialnych obecnych w danym obszarze przestrzeni. Założenie taki również traci sens w mechanice kwantowej np. elektron jak wiemy jest cząstką nierozróżnialną.

Tor może być krzywą zamkniętą , przecinającą się lub linią prostą. Zazwyczaj zakładamy, że jest on krzywą gładką (prostowalną ) - zobacz tekst dotyczący podstaw geometrycznych.

W zależności od „rodzaju” postaci ( właściwie od jej postaci geometrycznej ) funkcji r (t) możemy podzielić ruch następująco : gdy funkcja | r (t) | jest ograniczona - ruch nazwiemy ograniczonym, gdy funkcja r (t) jest okresowa – ruch nazywamy „okresowym” (periodycznym). Ruch będziemy nazywali „płaskim” , gdy tor leży całkowicie w pewnej ustalonej płaszczyźnie.

Droga

Drogą - w przedziale czasu < t0 , t1 > - punktu materialnego nazywamy długość łuku , którą punkt materialny zakreśla w tym przedziale czasowym podczas swego ruchu.

Niech tor punktu materialnego P będzie określony w kartezjańskim układzie współrzędnych przez równanie postaci :

r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , gdzie : t ∈ < t0 , t1 > (1.3) Jak wiadomo równanie to jest równoważne trzem równaniom skalarnym ;

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

Drogę przebytą przez ten punkt materialny możemy obliczyć za pomocą następującego wzoru : t1

s(t) =

∫

Mamy jednak : dr /dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt)k

Rys 4 Droga jako długość krzywej

Zatem : t1

s(t) =

∫

Jeżeli punkt materialny porusza się po jednej prostej, jego tor będzie opisywany przez jedno równanie skalarne (przy odpowiednim wyborze układu współrzędnych )np. postaci : x = x(t)

Wtedy :

s(t) = | x( t1) - x( t0 ) |

Droga będzie więc równa długości odcinka o początku w punkcie x( t0) i końcu

w punkcie x( t1). Jest to oczywiście najprostszy znany wzór na drogę stosowany dla ruchu odbywającego się po ustalonej prostej.

Dla przypadku w którym ruch odbywa się na ustalonej prostej tj. tor jest linią prostą zamiast wektorofunkcji r(t) możemy rozpatrywać funkcje drogi s = s(t), lub dla przypadku kiedy tor pokrywa się np. z osią Ox , możemy rozpatrywać funkcję x = x(t)

Prędkość

W kinematyce możemy rozróżnić kilka rodzajów prędkości : prędkość średnia, chwilowa, kątowa, polowa.

Rozpocznijmy od definicji prędkości średniej.

Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu wektora wodzącego w dwóch położeniach 1 i 2 ,do czasu jaki zajmuje przejście od położenia początkowego 1 ,do położenia końcowego 2.

Rys. 5 Interpretacja geometryczna wektora ∆r(t)

vśr = ∆r(t) / ∆ t (1.7)

∆r(t) = r(t2 ) - ∆r(t1) ; przyrost (skończony) wektora wodzącego

∆t = t2 - t1 ; czas potrzebny na przejście od punktu 1 do punktu 2

Wektor prędkości średniej posiada kierunek cięciwy , a jego wartość jest wielkością fizycznie mierzalną.

We wszystkich pomiarach praktycznych wyznaczamy zawsze prędkość średnią, która zależy od odległości między punktami 1 i 2. Prędkość średnia zależy nie tylko od ruchu punktu , ale i od doboru punktów obserwacyjnych 1, 2. Zależność od takiego wyboru punktów możemy usunąć definiując wektor prędkości chwilowej.

Wektorem prędkości chwilowej nazywamy granicę, do której zmierza wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu dąży do zera.

v = lim ∆r(t) / ∆t = dr(t) / dt (1.8) ∆t ->0

Definicja 1. Wektor prędkości chwilowej jest pochodną wektora wodzącego względem czasu.

Jak widać pojęcie prędkości chwilowej jest pojęciem abstrakcyjnym. Nie jest zatem pojęciem w oparciu o które moglibyśmy zbudować urządzenie mierzące prędkość – takim operacyjnym pojęciem jest pojecie prędkości średniej. Jednak dla fizyki ma ono większą, od tego ostatniego wartość , ponieważ charakteryzuje ono jednoznacznie ruch w danej chwili i w danym punkcie jednoznacznie.

Zgodnie z rachunkiem różniczkowym funkcji wektorowej wiemy ,że pochodna wektora wodzącego jest wektorem stycznym do toru – zatem prędkość chwilowa ma kierunek i zwrot stycznej do toru.

Zwrot wektora prędkości określa kierunek ruchu

Rys. 6 Wektor prędkości chwilowej v(t)

Na podstawie wzoru (1.3) możemy napisać :

dr(t) / dt = (dx(t)/dt ) i + (dy(t)/dt ) j + (dz(t)/dt ) k (1.9) lub :

v(t) = vx(t) + vy(t) + vz(t) ; gdzie : vx(t) = (dx(t)/dt ) i ; vy(t) = (dy(t)/dt ) j ; vz(t) = (dz(t)/dt ) k ; Moduł prędkości tj. wielkość : v = | v(t)| = sqrt ( vx2 + vy2 + vz2 ) – nazywamy szybkością.

Jak widać wektor prędkości możemy przedstawić w postaci :

v(t) = v αααα ; gdzie αααα - jest wersorem stycznej do toru i oczywiście αααα = αααα(t)

Aby dowiedzieć się więcej o tym rozkładzie wykorzystajmy aparat geometrii różniczkowej.

(zobacz tekst „Podstawy geometrii różniczkowej” )

Sparametryzujmy krzywą (tor) parametrem naturalnym s –drogą.

r = r(s(t)) zatem :

dr/dt = (dr/ds ) (ds./dt) = t (ds/dt) ; gdzie t – jest wersorem stycznej do krzywej (toru)

Zauważmy , że dla ruchu na ustalonej prostej mamy : v = ds./dt tzn. prędkość (w tym przypadku skalar) jest pochodną drogi względem czasu.

Zadanie 1 Dane jest równanie ruchu :

r(t) = r0 ( cos (ωt) i + sin (ωt) j ) + β t k ; gdzie : r0 , ω, β - dowolne stałe.

Obliczyć wektor prędkości , szybkość , podać równanie drogi.

Jak widać torem jest krzywa przestrzenna, wektor prędkości ma postać : v(t) = d r(t) /dt = r0 ω ( - sin (ωt) i + cos (ωt) j ) + βk

v = sqrt ( r02 ω2 + β2 )

t1 t1 t1 t1

s(t) =

∫

∫

∫

Równaniem kinematycznym (w odróżnieniu od równań dynamicznych Newtona) nazywamy równanie różniczkowe postaci :

v(t) = dr(t)/dt lub równoważne trzy równania skalarne : dx/dt = vx(t) ; dy/dt = vy(t) ; dz/dt = vz(t)

Związane są one z zagadnieniem kinetycznym – mając daną zależność wektora prędkość punktu od czasu materialnego znaleźć opisującą jego położenie w czasie.

Na koniec podkreślę jeszcze raz wektorowy charakter prędkości – prędkość jest wektorem ślizgającym się tj.

wektorem którego punkt zaczepienia można przesuwać po prostej wyznaczonej przez wersor tego wektora.

Dla zastosowań fizycznych istotną dogodnością wektorowego charakteru prędkości jest możliwość jej geometrycznego dodawania.

Przykład 1. Mamy następujące zagadnienie :

Pod jakim (stałym) kątem w stosunku do nurtu rzeki należy płynąć aby dopłynąć na przeciwległy brzeg w linii prostej.

Niech nurt rzeki ma stałą prędkość v, łódka niech płynie ze stałą prędkością v’. Odpowiedź podpowiada nam prawo wektorowego dodawania prędkości. Prędkość wypadkowa łódki jest dana wzorem :

vwyp = v + v’ , kąt ϕ - jest to kat jaki tworzy wektor prędkości wypadkowej z wektorem v.

Rys. 7 Wektorowe prawo dodawania prędkości

Przyspieszenie

Wektorem przyspieszenia średniego nazywamy stosunek przyrostu wektora prędkości do przyrostu czasu.

aśr = ∆v(t) / ∆ t (1.10) Wektorem przyspieszenia chwilowego nazywamy granicę , do której dąży wektor przyspieszenia średniego , gdy przyrost czasu dąży do zera.

a = lim ∆v(t) / ∆t = dv(t) / dt = d2v(t) / dt2 (1.11) ∆t ->0

Definicja 2. Wektor przyspieszenia chwilowego jest równy drugiej pochodnej wektora wodzącego względem czasu.

a(t) = ax(t) + ay(t) + az(t) ; gdzie : ax(t) = (d2x(t)/dt2 ) i ; ay(t) = (d2y(t)/dt2 ) j ; az(t) = (d2z(t)/dt2 ) k ; Moduł przyspieszenia jest dany wzorem :

a = | a(t)| = sqrt ( ax2 + ay2 + az2 )

Rozkład wektora przyspieszenia na składowe: normalną i styczną

Zróżniczkujmy względem czasu zależność : v(t) = t (ds/dt) , otrzymujemy :

dv(t)/dt = d/dt [ t (ds/dt) ] = (dt /dt) (ds/dt) + t (d2s/dt2 ) ale : dt /dt = (dt /ds.) (ds./dt) = v (dt /ds.) oraz ds/dt = v, zatem : a = v2 (dt /ds.) + t (dv/dt )

Jak jednak wiemy : dt/ds. ≡ t. = k n , gdzie k- jest krzywizną , n –wersorem normalnej do toru, zatem : a = v2k n + t (dv/dt) lub a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ; gdzie ρ =1/k – jest promieniem krzywizny toru , Jak widać wektor przyspieszenia możemy rozłożyć w przestrzeni trójwymiarowej na dwie składowe : a = anormalna + astyczna .

anormalna = (v2/ ρ) n ; astyczna = (dv/dt) t

Wielkości tak zdefiniowane nazywamy odpowiednio : wektorami przyspieszenia normalnego i stycznego a = sqrt [ (anormalna )2 + (astyczna ) ]

Rys. 8 Reper lokalny n,b,t zaczepiony na krzywej będącej torem punktu materialnego.

Przyspieszenie normalne nazywamy również “przyspieszeniem dośrodkowym”.

Uwaga ! wektor przyspieszenia rozkłada się w ogólności na trzy składowe : a = anormalna + astyczna + abinormanla

Zgodnie z wzorami Freneta, składowa abinormanla jest jednak w naszym przypadku równa zeru.

Ponieważ abinormanla = 0 , widać , że wektor przyspieszenia w ogólnym przypadku leży na płaszczyźnie ściśle stycznej, po tej stronie stycznej do toru , po której znajduje się środek jego krzywizny.

Przyspieszenie normalne zależy odwrotnie proporcjonalnie od promienia krzywizny toru oraz od szybkości Jeżeli torem jest linia prosta wtedy ρ -> ∝ (k = 1/ρ -> 0 ), a zatem anormalna = (v2/ ρ) -> 0, i przyspieszenie a = astyczna = (dv/dt) t , zależy jedynie od zmiany szybkości.

Gdy v = const. – ruch nazywamy ruchem jednostajnym . Jak widać w ruchu jednostajnym :

a = anormalna = (v2/ ρ)

Gdy v = const. i ρ = const.- ruch nazywamy ruchem jednostajnym po kole a = anormalna = (v2/ ρ)

Gdy v = const. i k = 0 – ruch nazywamy ruchem jednostajnym prostoliniowym i oczywiście : a = 0

Gdy astyczna = const. – ruch nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Gdy astyczna = const. i anormalna = 0 – ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym.

Przyspieszenie może mieć znak dodatni lub ujemny. W przypadku przyspieszenia o znaku ujemnym mówimy o

„opóźnieniu”. Jeżeli kierunki wektorów v i a są jednakowe to ruch jest przyspieszony, w przeciwnym wypadku jest ruchem opóźnionym.

Warto również wspomnieć, że spotyka się również pojęcie „drugiego przyspieszenia”, czyli pochodnej przyspieszenia po czasie. Wektor ten zdefiniowany jest wzorem :

w = da /dt

w = d/dt [ (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ]

Powyżej dokonałem omówienia najważniejszych pojęć kinematycznych. Jak widać są one pojęciami mającymi niewątpliwy związek z obrazem ruchu obiektów, rzeczywistych i występujących w przyrodzie. Należy jednak zauważyć, że ich definicje są idealizacjami (abstrakcjami fizycznymi). W mechanice klasycznej idealizacje te są w większości przypadków słuszne i doskonale sprawdzają się w modelowaniu matematycznym w oparciu o które można wykonywać obliczenia z zaskakująco małym marginesem błędów.

Warto wspomnieć , że abstrahowanie i idealizacja jako metoda fizyki teoretycznej stanowi klucz do wielu wydawać by się mogło beznadziejnie trudnych problemów.

Zainteresowanego odsyłam do książek :

„Modele matematyczne a rzeczywistość” – R. Hooke, D. Shaffer. PWN 1969

„Matematyka a świat fizyczny” – Morris Kline. PWN 1964

„Abstrakcja w matematyce i fizyce” – M. I. Kaganow, G. Ja.Lubarski Moskwa 2004 – książka po rosyjsku

Następny punkt ma charakter bardziej matematyczny , wprowadza nas on bowiem do pewnej klasy układów współrzędnych wykorzystywanych w kolejnych rozdziałach i pozwalających zdefiniować dalsze pojęcia kinematyki.

2.Układy współrzędnych stosowane w kinematyce

Jak już powiedziano najczęściej stosowanym układem współrzędnych wprowadzanym na trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa E3, jest układ ortokartezjański. Jest to układ prostoliniowy i prostokątny. Istnieją jednak pewne zagadnienia kinematyczne (dynamiczne lub ogólniejsze) w których celowe jest stosowanie innych układów współrzędnych. Zazwyczaj wybór takiego układu związany jest z prostszą postacią równań (a co z tym związane – łatwiejszym ich rozwiązaniem) otrzymywanych w takim, konkretnym układzie współrzędnych.

Spośród wielu możliwych do zdefiniowania, ortogonalnych układów współrzędnych omówię trzy : kartezjański, sferyczny, walcowy. Są to układy krzywoliniowe prostokątne.

Przegląd i omówienie innych układów można znaleźć w :

„Matematyka w fizyce i chemii” – H. Margenau. G. M. Murphy. PWN 1962.

(Dla zaspokojenie ciekawości dodam , że możemy również wprowadzić układy : elipsoidalne, sferoidalne, stożkowe, dwubiegunowe itp. )

Rozpatrzę w tej chwili w sposób ogólny krzywoliniowe układy współrzędnych.

Położenie punktu materialnego można zadać nie tylko przy pomocy współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) ale również dowolnych innych współrzędnych q1, q2, q3 . Współrzędne kartezjańskie mogą być oczywiście wyrażone jednoznacznie przez te współrzędne :

x = x(q1, q2, q3 ) , y = y(q1, q2, q3 ) , z = z(q1, q2, q3 )

I odwrotnie – współrzędne q1, q2, q3 mogą być wyrażone (przy spełnieniu warunku różnego od zera jakobianu przekształcenia) jako funkcje współrzędnych x, y, z :

q1= q1(x, y, z) , q2 = q2(x, y, z) , q3 = q3 (x, y ,z)

Współrzędne : q1, q2, q3 lub ogólnie qi ; gdzie i = 1,2,3 - będziemy nazywali „współrzędnymi uogólnionymi”.

Współrzędne uogólnione jak zobaczymy odgrywają podstawową rolę w mechanice analitycznej.

Mamy zatem : qi = qi (t) r = r (qi )

Linie qi = const , nazywamy liniami współrzędnościowymi.

∂r/∂qi = ( ∂x/∂qi ) ei = Hi ei ;

gdzie ei – wersory bazy krzywoliniowego układu współrzędnych Hi – współczynniki Lamego.

(zobacz np. „Wstęp do analizy wektorowej” – T. Trajdos-Wróbel. PWN 1959 )

Rys. 9 Reper krzywoliniowego układu współrzędnych

Hi = | ∂r/∂qi | = sqrt [ (∂x/∂qi )2 + (∂y/∂qi )2 + (∂z/∂qi )2 ] ei = (1/ Hi )(∂r/∂qi )

Współrzędne krzywoliniowe nazywamy ortogonalnymi jeżeli : ( e1 • e2 ) = ( e2 • e3 ) =( e1 • e3 ) = 0

W dalszym ciągu będziemy rozważali tylko układy ortogonalne.

Mamy następujące wzory na różniczki współrzędnych : dx = (∂x/∂q1)dq1 + (∂x/∂q2)dq2 + (∂x/∂qi)dq3 dy = (∂y/∂q1)dq1 + (∂y/∂q2)dq2 + (∂y/∂qi)dq3 dz = (∂z/∂q1)dq1 + (∂z/∂q2)dq2 + (∂z/∂qi)dq3

Wektor prędkości w układzie krzywoliniowym (q1(t), q2(t), q3(t) ) ma postać : v = dr /dt = (∂r/∂q1)(dq1/dt ) + (∂r/∂q2)(dq2/dt ) + (∂r/∂q3)(dq3/dt ) = = H1(dq1/dt ) e1+ H2(dq2/dt ) e2+ H3(dq1/dt ) e3.

lub w skróconym zapisie : 3

v =

Σ

Wielkości : Hi (dqi/dt ) = vi

Możemy traktować jako uogólnione składowe wektora prędkości.

Uwaga. ! Jeżeli jakaś wielkość (fizyczna, matematyczna) zależy od czasu to często pochodną tej wielkości względem czasu nazywamy prędkością – dodając do tej nazwy odpowiednie określenie. Prędkości które do tej pory rozpatrywaliśmy nazywamy – „prędkościami liniowymi”. Są one, bowiem związane z pochodną długości linii lub łuku toru względem czasu. Pochodną względem czasu dowolnej współrzędnej uogólnionej q nazywamy

„prędkością uogólnioną”. Jako współrzędne uogólnione w mechanice analitycznej możemy wybrać dowolne wielkości charakteryzujące ruch danego punktu materialnego lub złożonego układu fizycznego. W szczególności może to być kąt (jak dalej zobaczymy dla np. współrzędnych sferycznych ). Wtedy pochodną tego kąta

względem czasu nazywamy „prędkością kątową”.

Wektor przyspieszenia w układzie krzywoliniowym (q1(t), q2(t), q3(t) ) ma postać : a = d2r /dt2 = dv /dt ( w ogólnym przypadku jest to dosyć złożone wyrażenie )

Znajdźmy rozkład wektora przyspieszenia (przyjmując, że układ krzywoliniowy jest ortogonalny ) : 3

a =

Σ

aqi = ai ei = (1/ Hi )(∂r/∂qi ) (dv /dt) = (1/ Hi ){ d/dt [ v (∂r/∂qi )] - v d/dt (∂r/∂qi )}

aqi – rzut wektora przyspieszenia na kierunek linii współrzędnej qi .

d/dt (∂r/∂qi )= (∂2r/∂qi ∂q1)(dq1/dt ) + (∂2r/∂qi ∂q2)(dq2/dt ) + (∂2r/∂qi ∂q3)(dq3/dt ).

a ponieważ :

v = (∂r/∂q1)(dq1/dt ) + (∂r/∂q2)(dq2/dt ) + (∂r/∂q3)(dq3/dt ) to :

∂v/∂q1 = d(∂r/∂qi )/dt oraz ∂v/∂(dq1/dt) = (∂r/∂qi ) dlatego :

aqi = (1/ Hi ){d/dt [ v (∂r/∂qi )] - v (∂v/∂qi )}

Wprowadźmy oznaczenie T = ½ mv2. W mechanice analitycznej wielkość ta będzie nazwana „energią kinetyczną” cząstki o masie m poruszającej się z prędkością v. Z wykorzystaniem wielkości T, mamy dalej : aqi = (1/ Hi ) { [ d/dt (∂T/∂qi ) ] - (∂T/∂qi )}; i = 1,2, 3

Kartezjański układ współrzędnych

Układ kartezjański jest układem prostoliniowym i prostokątnym.

Dla tego układu mamy : Hi = 1 ; i = 1,2 ,3 e1 = i , e2 = j , e1 = k . i • i = j • j = k • k =1, i • j = j • k = k • i =0,

Jak wiadomo istnieją dwa równoprawne rodzaje układów kartezjańskich :

prawo i lewo skrętny. Zazwyczaj posługujemy się układem prawoskrętnym dla którego słuszna jest reguła śruby prawoskrętnej.

(zobacz np. : Zarys teorii wektorów i tensorów” – E. Karaśkiewicz. PWN1976 , str. 38-40)

Rys. 10 Układy kartezjańskie

Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych

W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = ρ - odległość punktu M od ustalonej prostej Oz

q2 = ϕ - kąt utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M z ustaloną płaszczyzną xOz q1 = z – wartość zorientowanego odcinka na osi Oz

Rys. 11 Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych.

Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(ρ, ϕ, z) ; 0 ≤ ρ < + ∝ , 0 ≤ ϕ < 2π , -∝ < z < + ∝.

Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = ρ cos (ϕ) , y = ρ sin (ϕ) z = z

ρ = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , ϕ = arctg (y/x) = arcsin(y/ρ) , z = z Współczynniki Lamego :

H1 = sqrt [ (∂x/∂ρ)2 + (∂y/∂ρ)2 + (∂z/∂ρ)2 ] = 1 H2 = sqrt [ (∂x/∂ϕ)2 + (∂y/∂ϕ)2 + (∂z/∂ϕ)2 ] = ρ H3 = sqrt [ (∂x/∂z)2 + (∂y/∂z)2 + (∂z/∂z)2 ] = 1 Wersory :

e1 = eρ = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j e2 = eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j e3 = k

Składowe cylindryczne wektora prędkości są równe : vρ = H1 (dρ/dt) = dρ/dt

vϕ = H2 (dϕ/dt) = ρ (dϕ/dt) vz = H3 (dz/dt) = dz/dt

Składowe cylindryczne wektora przyspieszenia są równe : aρ = d2ρ/dt2 - ρ (dϕ/dt)2

aϕ = ρ(d2ϕ/dt2 ) + 2 (dϕ/dt) (dρ/dt) az = (d2z/dt2 )

Zadanie2.1 Wyrazić wektor prędkości : vk = vx i + vy j + vzk , zapisany we współrzędnych kartezjańskich we współrzędnych walcowych.

vw = vρ eρ+ vϕ eϕ + vz k vρ = vx cos (ϕ) + vy sin (ϕ) vϕ = - vx sin (ϕ) + vy cos (ϕ) vz = vz

Wzory te wyrażają rzuty wektora prędkości vk na kierunki eρ, eϕ , k poprzez rzuty vx , vy , vz .Mamy również vx = vρ cos (ϕ) - ρ vϕ sin (ϕ)

vy = vρ sin (ϕ) + ρ vϕ cos (ϕ) vz = vz

Ostatecznie mamy więc :

vw = [vx cos (ϕ) + vy sin (ϕ)] eρ + [ - vx sin (ϕ) + vy cos (ϕ)] eϕ + vz k vk = [ vρ cos (ϕ) - ρ vϕ sin (ϕ)] i + [vρ sin (ϕ) + ρ vϕ cos (ϕ)] j + vz k

Sferyczny (biegunowy) układ współrzędnych

W sferycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = r - odległość punktu M od ustalonego punktu O (biegun)

q2 = θ - kąt utworzony przez wektor wodzący r punktu M z ustaloną półprostą Oz (oś biegunowa) q3 = ϕ – kat utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M , ze stałą płaszczyzną xOz Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(r, θ, ϕ) ; 0 ≤ r < + ∝ , 0 ≤ θ < π , 0 < ϕ < 2π.

Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = r sin (θ) cos (ϕ) , y = r sin (θ) sin (ϕ) z = r cos (θ)

r = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , θ = arctg {sqrt [(x2 + y2 ) / z ]} , ϕ = arctg (y/x) Współczynniki Lamego :

H1 = sqrt [ cos2 (θ) sin2(θ) + sin2(θ) sin2(θ) + cos2 (θ) ] = 1

H2 = sqrt [ r2 sin2(ϕ) sin2(θ) + r2 cos2 (ϕ) sin2(θ)] = r sin(θ) H3 = sqrt [ r2 cos2(ϕ) scos2(θ) + r2 sin2 (ϕ) cos2(θ) + r2 sin2(θ)] = r Wersory :

e1 = er = cos (ϕ) sin(θ) i + sin (ϕ)sin(θ) j + cos(θ) k e2 = eϕ = -r sin (ϕ) sin(θ) i + r cos (ϕ)sin(θ) j

e3 = eθ = r cos (ϕ) cos(θ) i + r sin (ϕ) cos(θ) j – r sin(θ) k

Jak widać wersor eϕ leży w płaszczyźnie (x, y) , a wersor er jest skierowany w dół.

Składowe sferyczne wektora prędkości są równe : vr = H1 (dr/dt) = dr/dt

vϕ = H2 (dϕ/dt) = r sin(θ) (dϕ/dt) vθ = H3 (dθ/dt) = r (dθ/dt)

Składowe sferyczne wektora przyspieszenia są równe : ar = d2r/dt2 – r [(dϕ/dt)2 sin2(θ) + (dθ/dt)2 ]

aϕ = 2 (dr/dt) (dϕ/dt)sin(θ) + 2 r (dϕ/dt) (dθ/dt) cos(θ) + r (d2ϕ/dt2 ) sin(θ) aθ = r (d2θ/dt2 ) + 2 (dr/dt) (dθ/dt) – r (dϕ/dt)2 sin(θ) cos(θ)

Rys. 12 Sferyczny układ współrzędnych.

Często rozpatrujemy ruch płaski wykorzystując współrzędne biegunowe. wtedy funkcja opisująca położenie punktu M ma postać : M = M(r, ϕ). Dla tego przypadku składową vr – nazywamy prędkością radialną, składową vϕ – nazywamy prędkością transwersalną. (analogiczne nazwy mamy dla rozkładu wektora przyspieszenia )

vbieg. = vr er + vϕ eϕ = (dr/dt ) er + (dϕ /dt) eϕ

Rys.13 Rozkład wektora prędkości w biegunowym układzie współrzędnych

er = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j vr = dr/dt

vϕ = r (dϕ/dt)

Zatem rozpisując dla układu kartezjańskiego otrzymujemy :

vkart. = (dr/dt) (cos (ϕ) i + sin (ϕ) j ) + r (dϕ/dt) (-sin (ϕ) i + cos (ϕ) j ) = [ (dr/dt) cos (ϕ) – r (dϕ/dt) sin (ϕ) ] i + + [ (dr/dt) sin(ϕ) + r (dϕ/dt)cos (ϕ)] j.

Wzory te oczywiście są identyczne jak dla różniczkowania zależności wejściowych, postaci : x = r cos (ϕ) , y = r sin (ϕ)

[10, str. 55 ]

3.Ruch po okręgu o stałym promieniu

Rozpatrzymy teraz szczególny przypadek ruchu - mianowicie ruch punktu materialnego po okręgu.

Zagadnienie analizy ruchu po okręgu jest istotnym z punktu widzenia fizyki i wiąże się ściśle z ruchem harmonicznym. Wzmiankowany ruch jest ruchem płaskim i okresowym, którego tor jest krzywą zamkniętą.

W celu jego przeanalizowania skorzystamy z dogodności jego zapisu w biegunowym układzie współrzędnych.

Oczywiście wybór takiego krzywoliniowego układu współrzędnych w sposób naturalny podyktowany jest przez symetrię osiową tego ruchu.

Rys. 13 Ruch po okręgu

Niech promień okręgu wynosi r =const. lub R =const .Zatem funkcja opisująca ruch ma postać : M = M(θ) Położenie punktu M na okręgu określamy jednoznacznie podając kąt biegunowy ϕ, liczony np. od osi Ox.

Mamy zatem funkcje opisująca ruch postaci : ϕ = ϕ(t) [rad ] vbieg. = vϕ eϕ = (dϕ /dt) eϕ

vkart. = r (dϕ/dt) [cos (ϕ) j – sin (ϕ) i ] a ponieważ :

eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j zatem :

v = r (dϕ/dt) eϕ . [m/s] – jest to prędkość liniowa (3.1) Wektor prędkości liniowej ma kierunek styczny do toru

Wielkość : dϕ /dt – nazywamy „prędkością kątową” . Kąt mierzymy zwykle w radianach . Zgodnie z analizą wymiarową wymiarem prędkości kątowej jest [1/s] lub [rad/s]

Prędkość kątową oznaczamy : ω = dϕ/dt [1/s]

Drogę przebytą przez ten punkt możemy zapisać wzorem : s = ϕ r (co wynika z całkowania wzoru (3.1) )

a = d/dt [r (dϕ/dt) eϕ ] = r d/dt [ (dϕ/dt) eϕ ] = r [ (d2ϕ/dt2) eϕ + (dϕ/dt) (deϕ /dt) ] = rα eϕ - rω2 er . (3.2) gdzie: α = dω/dt – jest przyspieszeniem kątowym, rω2 – jest przyspieszeniem dośrodkowym (radialnym) ponieważ ma kierunek przeciwny do wersora er , rα - jest przyspieszeniem stycznym (transwersalnym) o kierunku wersora eϕ .

Rozważmy ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych : r(t) = R cos (ϕ) i + R sin (ϕ) j ; ϕ = ϕ(t)

v(t) = r(t)/dt = - R (dϕ/dt) sin (ϕ) i + R (dϕ/dt) cos (ϕ) j = R (dϕ/dt) [cos (ϕ) j - sin (ϕ) i ] Jak widać zatem wersor eϕ - jest wersorem stycznym do toru , możemy zatem napisać : eϕ = t v(t) = | r(t)/dt | = R (dϕ/dt) – szybkość (skalar)

Zatem :

v(t) = R (dϕ/dt) eϕ co oczywiście jest zgodne z wzorem (3.1) Mamy oczywiście również :

v(t) = (ds./dt) t = R (dϕ/dt) eϕ Ze wzorów Freneta mamy :

a = v2k n + t (dv/dt) lub a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ,ale mamy również wzór (3.2) :

a = rα eϕ - rω2 er . (3.3) Sprawdźmy czy są one tożsame.

W pierwszej kolejności zauważmy , że :

n = er = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j (dla ruchu płaskiego)

Zatem : a = rα t - rω2 n . Mamy również : v = r (dϕ/dt) = rω oraz dv/dt = r (d2ϕ /dt2 ) = rα Podstawiając upewniamy się w słuszności i równoważności obu wzorów.

Zastanówmy się teraz dokładniej nad prędkością kątową ω = dϕ/dt .

Jest to wielkość pseudowektorowa – tj. wektor osiowy o kierunku ϕϕϕϕ0 – prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i v.

Rys. 14 Kierunek wektora ω

Prędkość liniową punktu materialnego możemy wyrazić jako iloczyn wektorowy wektora prędkości kątowej - ω i wektora położenia - r.

v = ω × r (3.4)

Rys.15 Zależności definiujące wzór (3.4)

Wektor przyspieszenia ma zatem postać :

a = dv/dt = d/dt ( ω × r ) = (dω/dt )× r + ω × (dr/dt) = (dω/dt )× r + ω × v (3.5) a = astyczne + aradialne = (dω/dt )× r + ω × v (3.6) Wzór (3.6) jest oczywiście tożsamy z wzorem (3.3). aby się o tym przekonać wystarczy zauważyć , że :

ω × v = ω × ( ω × v ) = ω ( ω • v ) - r ( ω • ω ) = -rω2 .

(zobacz np. „Wstęp do fizyki współczesnej – tom I, podstawy teoretyczne“ – J. Kociński ,PWN 1977,str. 16-18.

Rysunki 14, 15 zaczerpnięto z tej właśnie, bardzo ciekawej książki )

4. Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny jest ważnym przypadkiem ruchu drgającego , w którym to punkt materialny w sposób periodyczny (okresowy) zmienia swoje położenie, pozostając stale w pobliżu położenia równowagi. Mówimy ,że ciało jest w ruchu harmonicznym wokół położenia równowagi x0 = 0 , jeżeli wychylenie x z tego położenia jest sinusoidalną funkcją czasu :

x(t) = A cos (ωt + α ), A – amplituda ruchu harmonicznego (maksymalne wychylenie z położenia równowagi ) α - faza początkowa ruchu harmonicznego (przesunięcie fazowe).

Ruch harmoniczny możemy sobie wyobrazić jako rzut na oś pionową lub poziomą kolejnych położeń punktu poruszającego się po okręgu , o środku w początku układu współrzędnych ze stałą prędkością kątową ω.

Przykładem ruchu harmonicznego może być ruch wahadła dla małych wychyleń

(wtedy zgodnie ze wzorem : x(t) = r cos (ϕ) mamy r = A. α = 0 , ω = dϕ/dt. Można również skorzystać z rzutu składowej y = y(t ), otrzymane wzory będą analogiczne )

Czas :

T = 2π / ω [s] – nazywamy okresem ruchu harmonicznego, jest to czas pełnego obiegu punktu po okręgu.

Częstość drgań : n = 1/T = ω / 2π [1/s]

Prędkość :

dx/dt = - A ω sin (ωt + α ) Przyspieszenie :

d2x/dt2 = - Aω2 cos (ωt + α ) = - ω2x.

Rys. 16 Obraz ruchu harmonicznego rzutowanego na oś y.

(Zainteresowanego odsyłam do książki pt. „Pola i ruch” – W. Gorzkowski, A. Szymacha , WSiP 1983 , rozdział 1 )

5. Prędkość polowa, przyspieszenie polowe

Rozpatrzmy punkt poruszający się po pewnej krzywej. Niech w czasie ∆t zakreśli on łuk AB (zobacz rys. 17 ) W tym czasie promień wodzący r , tego punktu przemieści się o ∆r . Wielkość ½ | r × ∆r | stanowi pole trójkąta AOB. Wielkość :

S = lim ½ | r × ∆r | / ∆t - nazywamy prędkością polową punktu materialnego M względem środka O.

∆t -> 0

Mamy oczywiście :

S = lim ½ | r × v | [ m2 / s ]

Wektor prędkości polowej ma kierunek wyznaczony zgodnie z kierunkiem wektora | r × v |

Rys. 17 Definicja prędkości polowej punktu materialnego względem środka O

Pochodną względem czasu , prędkości polowej S nazywamy „przyspieszeniem polowym”.

A = dS/dt = ½ [ (dr/dt) × v + r × (dv/dt ) ] jednak : (dr/dt) × v = 0 , zatem :

A = ½ ( r × a )

(zobacz np. [10] ,str. 56 ; [16] , str. 77 , rysunek 17 zaczerpnięto z [16] )

6. Przykłady zagadnień kinematycznych

Rozpatrzymy teraz kilka zadań charakterystycznych dla kinematyki.

ZADANIE 1.

Ruch punktu materialnego na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych , opisują równania : x = a cos2 (t ) ; y = a sin2 (t ) ; z = 0 , a – stała.

Znaleźć : tor punktu,

zależność drogi od czasu

W pierwszej kolejności zauważmy ,że : x + y = a [cos2 (t ) + sin2 (t ) ] = a , zatem torem punktu w układzie OXY jest prosta o równaniu : y = a – x.

Ze wzoru (1.2) mamy :

t1 t1 t1

s(s) =

∫

∫

∫

= 2√2 a sin2(t) + s0 ZADANIE 2.

Równania ruchu punktu materialnego są dane : x = 2cos (3t) ; y = 2sin(3t) ; z = 2t

Wyznaczyć promień krzywizny toru.

Promień krzywizny toru wyznaczymy ze wzoru :